CN108121865A - 一种基于伴随变量法的含有多不确定参数的结构区间响应传播分析方法 - Google Patents
一种基于伴随变量法的含有多不确定参数的结构区间响应传播分析方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种基于伴随向量法的含有多不确定参数的结构区间响应传播分析方法，本发明对结构区间响应进行Taylor级数展开，在不确定参数区间内得到系统响应的一阶近似模型，基于此进而求得区间响应的上下界。针对含有多不确定参数的系统，在Taylor级数展开时，基于伴随变量法求解响应关于不确定参数的偏导数，可以减少系统重分析的次数得到响应关于所有不确定参数的偏导数，进而确定系统响应不确定区间的上下界。该方法在保证计算精度的前提下，极大地提高了计算效率。因此可高效地预测结构的响应边界。
Description
技术领域
本发明涉及含区间参数结构响应的不确定性传播领域，特别涉及一种基于伴随变量法的 含有多不确定参数的结构区间响应传播分析方法，该方法是基于Taylor级数展开法并结合伴 随变量法而提出的。
背景技术
在工程结构的设计和分析中，通常采用确定性的模型，即这些模型都是建立在确定性参 数基础上的。然而在实际工程中，由于工程结构的复杂性和材料的分散性，以及测量、加工、 制造误差的影响，该系统的响应将与确定性系统下的响应有一定出入，会出现一定程度的波 动。因此对系统进行不确定性分析十分有必要。目前，针对结构系统的不确定性分析已有大 量学者研究，主要采用的方法有顶点组合法、Taylor级数展开方法、区间矩阵摄动法、区间 参数摄动法。顶点组合法将不确定参数的顶点值进行排列组合，计算对应的响应值并确定响 应上下界，方法简单计算精确且易于编程；但随着不确定参数的增多，计算量会有“组合爆 炸”现象，面临着“维度灾难”，使得该方法只能处理含有少不确定参数系统的区间响应分 析。Taylor级数展开法通过对系统响应进行Taylor级数展开来近似，其中需要系统响应分别 对不确定参数进行求导运算，系统响应与不确定参数的关系往往不具有显示表达式，因此， 目前的研究工作的求导运算主要采用差分计算，然而差分来进行求导运算会带来两方面的问 题，(1)差分步长的选取具有一定主观性，并且步长会影响求导精度；(2)差分法的计算成 本会随着不确定参数的增多急剧增加。结构分析的摄动法中会面临着对刚度矩阵求逆的问 题，有学者对此进行了纽曼级数展开进行分析，同样不可避免在Taylor级数展开法中面临的 问题。
因此，本发明针对含有多不确定性参数系统的区间相应传播问题，提出基于伴随法的 Taylor级数展开法，该方法能以较少的计算量来求解含有多不确定参数系统的响应区间。通 过算例分析表明，该方法在保证计算精度的前提下，极大地提高了计算效率。
需要说明的是，本发明方法比较适合解决含有较多不确定参数的响应传播分析，当不确 定参数多于响应时，本发明方法具有较明显的优势；不可否认该方法也存在一定的不足，当 响应的数量和不确定参数相当，甚至前者大于后者时，该方法将失去其优势，该情况不在本 发明的讨论范围之内。
发明内容
本发明要解决的技术问题是：克服现有方法和技术的不足，提供一种基于伴随变量法的 含有多不确定参数的结构区间响应传播分析方法，本发明充分考虑了多个不确定性因素对结 构响应带来的影响，建立了一种结合伴随变量法与Taylor展开法的求解不确定性传播的响应 区间上/下界的方法，相较于传统的方法拓展了不确定性传播分析的方法，并可以快速准确地 确定含有多不确定性参数系统中结构响应区间的上/下界。
本发明采用的技术方案为：一种基于伴随变量法的含有多不确定参数的结构区间响应传 播分析方法，具体流程见图1，其实现步骤如下：
第一步：建立结构的有限元模型，包括建立几何模型，赋予材料属性，施加荷载和边界 条件；
第二步：为充分考虑结构中的不确定参数，使得结构响应的计算结果更具有客观性，需 要在分析之前定义结构中的不确定参数，通常如结构中的材料参数(弹性模量)、尺寸参数、 荷载等；不确定参数可用区间形式来描述，一般可记作分析之前需确定各不确 定参数的区间范围，其中α和分别是不确定区间的下、上界；
第三步：定义了不确定参数及其区间后，考虑不确定性参数的结构静力学平衡方程可以 表述为如下形式：
K(α)U＝F(α)
其中，为结构的不确定参数，并且刚度矩阵K和载荷F都是关于 不确定参数的函数，故结构位移U也是不确定参数的函数，可表示为：
第四步：由于不确定性参数的区间为较小，因此可以基于Taylor级数展开法对位移进行 一阶近似，可以得到位移关于不确定参数函数的近似表达：
这里，
其中，为结构位移关于不确定性参数的函数，α0是不确定性参数的中心值向量，是结 构位移函数在不确定性参数取中心值α0时的值，δ是不确定性参数的半径向量；g是结构 位移函数关于各不确定性参数在中心值处的偏导数向量；
第五步：计算步骤四中需要的位移函数对不确定量α的偏导，因此可对步骤三中 的静力平衡方程两侧求偏导得到：
进一步整理可得：
第六步：求解响应对不确定参数的偏导数，在静力学分析中，位移、应力以及载荷的第 j个响应φj可以表示成位移的函数则响应φj对不确定量的偏导数为：
将步骤五中的方程代入上述方程中，可得到，
其中，
这里，和Qj分别是伴随位移与伴随载荷。通过待求响应φj来确定伴随载荷，假设待求响 应为位移的第j个分量uj，则根据可知，
Qj＝[0,...0,1,0,...0]T
这里Qj的第j个分量为1，其它分量都为0，则Qj为步骤六中的虚拟载荷，根据 此方程可以求解对应的伴随位移
第七步：通过步骤六可以得到结构响应关于不确定性参数的偏导数，基于此计算结构响 应的区间半径△U，根据一阶Taylor级数展开公式可以得到结构响应的一阶增量：
第八步：计算结构响应区间的上下界由步骤三中的静力平衡方程求得结构 响应的中心值Uc，结合步骤七中求得的结构响应的区间半径△U求得结构响应区间的上下 界：
U＝Uc-△U,U＝Uc+△U
第九步：结束。
本发明与现有技术相比的有点在于：
本发明为考虑结构中的不确定性因素(如材料特性、集合尺寸和载荷等)对结构响应的 影响。一般地，不确定性参数的区间范围较小，故采用Taylor级数展开法对结构响应进行一 阶近似，以此求解结构响应的区间上下界。为充分考虑不确定性参数的对结构响应的影响， 引入较多数量的不确定参数，针对由此带来的计算量较大的问题，本发明结合伴随变量法求 解结构响应对不确定性参数的灵敏度，极大地减少了结构有限元重分析的次数，在充分考虑 多不确定性参数的影响和保证一定计算精度的前提下，本发明极大地提高了计算效率。针对 含有大规模不确定性参数的结构，现有的方法存在不足：如顶点组合法的计算量会随着不确 定性参数数量的增加呈指数增加；区间摄动法不适于处理不确定性区间较大的问题，且不确 定性参数数量增多会面临结构刚度矩阵求逆的问题。该方法可以克服上述方法的不足，计算 量不会随不确定性参数数量的增加而明显增加，在处理大不确定性问题时可以采取高阶 Taylor级数近似，因此可高效地预测结构的响应边界。
附图说明
图1是本发明一种基于伴随变量法的含有多不确定参数的结构区间响应传播分析方法流 程图；
图2是六杆桁架结构及相关物理参数；
图3是多层输电塔架结构，其中图3(a)为正面图，图3(b)为轴测图；
图4是不同确定性因子下多层输电塔架中节点2位移响应的边界对比；
图5是多层输电塔架基于MTEM和MMA的计算时间对比。
具体实施方式
下面结合附图以及具体实施方式进一步说明本发明。
如图1所示，本发明提出了一种基于伴随变量法的含有多不确定参数的结构区间响应传 播分析方法，包括以下步骤：
第一步：建立结构的有限元模型，包括建立几何模型，赋予材料属性，施加荷载和边界 条件；
第二步：为充分考虑结构中的不确定参数，使得结构响应的计算结果更具有客观性，需 要在分析之前定义结构中的不确定参数，通常如结构中的材料参数(弹性模量)、尺寸参数、 荷载等；不确定参数可用区间形式来描述，一般可记作分析之前需确定各不确 定参数的区间范围；
第三步：定义了不确定参数及其区间后，考虑不确定性参数的结构静力学平衡方程可以 表述为如下形式：
K(α)U＝F(α)
其中，为结构的不确定参数，并且刚度矩阵K和载荷F都是关于 不确定参数的函数，故结构位移U也是不确定参数的函数，可表示为：
第四步：由于不确定性参数的区间为较小，因此可以基于Taylor级数展开法对位移进行 一阶近似，可以得到位移关于不确定参数函数的近似表达：
这里，
其中，为结构位移关于不确定性参数的函数，α0是不确定性参数的中心值向量，表示 结构位移函数在不确定性参数取中心值α0时的值，δ为各不确定性参数的区间半径向量， g是结构位移函数关于各不确定性参数在中心值处的偏导数向量。
第五步：计算步骤四中需要的位移函数对不确定量α的偏导，因此可对步骤三中 的静力平衡方程两侧求偏导得到：
进一步整理可得：
第六步：求解响应对不确定参数的偏导数，静力学分析中，位移、应力以及载荷的第j 个响应φj可以表示成位移的函数则响应φj对不确定量的偏导数为：
将步骤五中的方程代入上述方程中，可得到，
其中，
这里，和Qj分别是伴随位移与伴随载荷。通过待求响应φj来确定伴随载荷，假设待求响 应为位移的第j个分量uj，则根据可知，
Qj＝[0,...0,1,0,...0]T
这里Qj的第j个分量为1，其它分量都为0，则Qj为步骤六中的虚拟载荷，根据 此方程可以求解对应的伴随位移
第七步：通过步骤六可以得到结构响应关于不确定性参数的偏导数，基于此计算结构响 应的区间半径△U，根据一阶Taylor级数展开公式可以得到结构响应的一阶增量：
第八步：计算结构响应区间的上下界由步骤三中的静力平衡方程求得结构 响应的中心值Uc，结合步骤七中求得的结构响应的区间半径△U求得结构响应区间的上下 界：
第九步：结束。
实施例：
为了充分地了解本发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明建立如图2所示的包含 弹性模量、杆件截面积和荷载等不确定性参数的六杆桁架结构，并对结构位移传播进行分析。 该桁架结构及相关物理参数如图2所示，为充分考虑不确定性参数对结构位移的影响并考虑 结构的对称性，引入不确定性参数如下：杆①②的弹性模量，截面面积分别为E1和A1；杆③ ④的弹性模量，截面面积分别为E2和A2；杆⑤⑥的弹性模量，截面面积分别为E3和A3。结 构所受荷载为非对称荷载，四个荷载分别是F1、F2、F3和F4。因此该结构共计10个不确定 性参数，可表示为向量的形式αI＝(E1,E2,E3,A1,A2,A3,F1,F2,F3,F4)T，各不确定性参数的范围 如表1所示。计算结构中节点3处的水平和竖直位移的区间上下界，计算结果见表2。
表1结构中不确定性参数及其范围
注：i＝1,2,3
由表2可知：本发明提出的方法计算精度较高，其中最大误差保证在3.2％以内。在取 得较高精度的同时，该方法的计算效率相对顶点组合法有明显优势，见表3。该方法针对含 有较多不确定参数的结构响应分析十分有效，具有较高的计算效率，本发明中以调用有限元 程序的次数来作为计效率的衡量指标。该方法仅需进行3次有限元计算即可求得结构位移的 上下界，其中一次是不确定性参数中心值处的计算，另外两次是分别对两个响应进行偏导运 算；而顶点组合法调用有限元程序的次数为210次，约为本发明提出方法计算量的64倍；即 使采用差分方法来进行Taylor级数展开，在该算例中也需要进行11次有限元计算，是本文方 法计算量的3.3倍。
表2桁架中节点3的位移(单位：×10-5m)
表3各方法调用有限元程序次数对比
该方法适用于求解含有较多不确定参数的结构响应边界，计算效率较高。其计算量只与 结构响应量的个数有关，与结构中不确定参数的个数没有关系。因而特别适用于分析不确定 性参数数量远大于响应数量的问题。
为进一步说明该方法的计算效率及在实际工程中的应用，针对含有不确定参数的多层输 电塔架的位移响应传播进行研究，采用本发明提出的方法求解输电塔架的位移边界。如图3 为输电塔架的立体图，为九层结构，主要由管材组成，其中管材截面分为两种，四条边为主 要立柱，截面为Φ120×120×4(mm)，其余管件截面为Φ50×5(mm)。材料的弹性模量为 Ec＝2.06×105MPa，泊松比为0.3。塔架在四个底座处为固定约束，在塔架的悬臂端施加集中 荷载。考虑到材料的分散性，将弹性模量作为不确定性参数。为充分考虑弹性模型的影响， 在有限元计算时将每个单元的弹性模型作为一个独立的不确定性参数，记为Ei∈[1-β,1-β]Ec，i为单元的编号，β为不确定性因子，衡量不确性的大小。
将塔架离散为3088个单元，每个单元的弹性模量都是一个独立的不确定性参数，针对 一个含有3088个不确定参数的结构如果采用顶点法需要调用23088次确定性的有限元程序， 其计算成本太高，不能应用于此类含有大规模不确定性参数的问题。为了验证本发明方法(记 作MTEM)，将其计算结果和基于移动渐近线法(Method of Moving Asymptotes，简记MMA) 的优化算法的计算结果对比，见表4。
表4在不确定因子下节点2处的位移边界及边界求解时间
注：UB为上界；LB为下界；ERROR为相对误差。
这里以MMA的计算计算结果作为基准，由表4可以看出，MTEM和MMA的计算结果 非常吻合，两者计算结果随不确定因子的变化如图4所示，随着不确定性因子的增大，相对 误差都保证在1％之内。
需要指出的是，MMA是基于优化思想计算得到结构位移响应边界，需要若干次的迭代 分析，并且每次优化得到的只是响应的一个边界(上界或下界)。因此在其计算时间就耗费 较多，如表4所示，MMA的计算时间为2次优化时间的总和。相对地，MTEM只需调用较 少次数有限云程序，且一次计算可得到结构响应的上/下两个边界，计算时间明显少于MMA 的计算时间，两者的计算时间对比见图5。
本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。
以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于非 线性系统区间相应的不确定性传播分析中，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方 案，均落在本发明权利保护范围之内。
Claims (5)
1.一种基于伴随变量法的含有多不确定参数的结构区间响应传播分析方法，其特征在于，该方法实现步骤如下：
第一步：建立结构的有限元模型，包括建立几何模型，赋予材料属性，施加荷载和边界条件；
第二步：确定结构中的不确定性参数及其不确定区间，可记作其中α和分别是不确定区间的下、上界；
第三步：建立结构的静力学平衡方程：
K(α)U＝F(α)
其中，为结构不确定性参数向量，含有m个分量αi(i＝1,2,...,m)，刚度矩阵K和载荷F都是关于不确定参数的函数，故结构位移U也是不确定性参数的函数，可表示为：
第四步：基于Taylor级数展开法对结构位移进行一阶近似，可以得到位移关于不确定性参数函数的近似表达：
这里，
其中，为结构位移关于不确定性参数的函数，α0是不确定性参数的中心值向量，是结构位移函数在不确定性参数取中心值α0时的值，δ是不确定性参数的半径向量；g是结构位移函数关于各不确定性参数在中心值处的偏导数向量；
第五步：计算步骤四中位移函数对不确定量α的偏导，因此可对步骤三中的静力平衡方程两侧求偏导得到：
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第六步：求解响应对不确定性参数的偏导，在静力学分析中，位移、应力以及载荷的第j个响应φj可以表示成位移的函数则响应φj对不确定性参数的偏导数为：
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<mi>U</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mi>j</mi>
<mi>T</mi>
</msubsup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<mi>F</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&alpha;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<msub>
<mi>&alpha;</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
</mrow>
</mfrac>
<mo>-</mo>
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<mrow>
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<mi>K</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&alpha;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<mo>&part;</mo>
<msub>
<mi>&alpha;</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
</mrow>
</mfrac>
<mi>U</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
其中，
<mrow>
<mi>K</mi>
<msub>
<mover>
<mi>U</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mi>j</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>Q</mi>
<mi>j</mi>
</msub>
</mrow>
第七步：计算结构响应的区间半径△U，根据一阶Taylor级数展开公式可以得到结构响应的一阶增量：
第八步：计算结构响应区间的上下界由步骤三中的静力平衡方程求得结构响应的中心值Uc，结合步骤七中求得的结构响应的区间半径△U求得结构响应区间的上下界：
<mrow>
<munder>
<mi>U</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</munder>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>U</mi>
<mi>c</mi>
</msup>
<mo>-</mo>
<mi>&Delta;</mi>
<mi>U</mi>
<mo>,</mo>
<mover>
<mi>U</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>U</mi>
<mi>c</mi>
</msup>
<mo>+</mo>
<mi>&Delta;</mi>
<mi>U</mi>
</mrow>
第九步：结束。
2.根据权利要求1所述的一种基于伴随变量法的含有多不确定性参数的结构区间响应传播分析方法，其特征在于：在分析含有多不确定性参数结构响应的区间传播时，在不确定性参数的区间范围较小的情况下，采用一阶Taylor级数展开法对结构响应进行一阶近似，并通过伴随法解决近似模型中对多不确定量求偏导的问题，从而在保证一定计算精度的前提下，极大地提升了计算结构响应区间的效率。
3.根据权利要求1所述的一种基于伴随变量法的含有多不确定参数的结构区间响应传播分析方法，其特征在于：该方法基于一阶Taylor级数展开法来对结构响应进行一阶近似，因此该方法适用于不确定性参数区间范围较小的情况，针对较大不确定参数区间的情况需要进行二阶或更高阶Taylor级数展开法进行更精确的近似，只需考虑级数展开时的高阶项即可。
4.根据权利要求1所述的一种基于伴随变量法的含有多不确定参数的结构区间响应传播分析方法，其特征在于：该方法针对含有较多不确定参数的结构响应分析十分有效，具有较高的计算效率，其计算量和结构中不确定参数的个数没有直接关系，而与结构响应量的个数相关，其中以调用有限元程序的次数来作为计算量的衡量指标，假设某结构中含有m个不确定性参数，需要求解结构的n个响应的不确定区间上下界，则采用该方法，其计算量只需进行n+1次有限元计算。
5.根据权利要求1所述的一种基于伴随变量法的含有多不确定参数的结构区间响应传播分析方法，其特征在于：在步骤六中的和Qj分别是伴随位移与伴随载荷，通过待求响应φj来确定伴随载荷，假设待求响应为位移的第j个分量uj，则根据可知，
Qj＝[0,...0,1,0,...0]T
这里Qj的第j个分量为1，其它分量都为0，则Qj为步骤六中的虚拟载荷，根据此方程可以求解对应的伴随位移
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