CN108920419B - 基于单参数的分数阶Fourier逆变换分级扫描方法 - Google Patents

基于单参数的分数阶Fourier逆变换分级扫描方法 Download PDF

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Abstract

基于单参数的分数阶Fourier逆变换分级扫描方法，本发明适用于采用单参数四项加权分数傅里叶变换SP‑4‑WFRFT的通信系统。针对基于SP‑4‑WFRFT的数字通信系统特性，在变换阶数未知的条件下，为快速地恢复数据信号，数据信号可是调制信号、基带序列、扩频序列等，或估计变换阶数，在逆变换过程中，建立一种分级扫描方法。主要通过定义分级终值常量，利用分级级数变量、扫描变量对变换阶数进行分级，并在每一级进行SP‑4‑WFRFT逆变换，从而得到所需的待解调数据或基带数据。本发明的优点是：SP‑4‑WFRFT逆变换过程中，变换阶数的分级扫描具有优先级，且可依据用户需求灵活地设置。

Description

基于单参数的分数阶Fourier逆变换分级扫描方法
技术领域
本发明涉及信号处理、数字通信技术领域，尤其是涉及基于单参数的分数阶Fourier(傅里叶)逆变换分级扫描方法。
背景技术
在信号处理领域，随着DFT算法的提出，傅里叶变换占据了主导地位。然而，傅里叶变换也存在局限性，比如对非平稳信号的分析与处理，为了更好地描述信号特性，出现了分数阶傅里叶变换(Fractional Fourier Transform,FRFT)，目前FRFT主要有经典类FRFT(Chirp-type Fractional Fourier Transform,CFRFT)和加权类FRFT(WeightedFractional Fourier Transform,WFRFT)，而加权类FRFT又主要有单参数四项加权分数傅里叶变换(Single-Parameter 4-Weighted Fractional Fourier Transform,SP-4-WFRFT)和多参数分数傅里叶变换(Multiple-parameter Fractional Fourier Transform,MPFRFT)。分数阶Fourier变换的应用已从最初的光学领域扩展到其他领域，近年已在通信系统的信号检测、信道估计、同步算法等领域得到广泛应用，且其完全适用于现有的通信发射、接收系统，并不需要额外的装置和系统变化。
由于分数阶Fourier变换的变换阶数敏感度较高，而为了能够正确地恢复原始数据，对于逆变换的变换阶数要求较为苛刻，尤其是在通信系统应用中存在误差或影响条件时。为此，对于分数阶Fourier逆变换过程中，变换阶数的扫描方法研究也成为了研究的重点。
发明内容
本发明的目的是提供基于单参数的分数阶Fourier逆变换分级扫描方法，适用于采用单参数四项加权分数傅里叶变换(SP-4-WFRFT)的通信系统。本发明针对基于SP-4-WFRFT的数字通信系统特性，在变换阶数未知的条件下，为快速地恢复数据信号(数据信号可是调制信号、基带序列、扩频序列等)或估计变换阶数，在逆变换过程中，建立一种分级扫描方法。
采用的技术方案是：
基于单参数的分数阶Fourier逆变换分级扫描方法：
在接收端，设定信号经过前端处理后的基带信号为：
r(n)＝Fα(s(n))+λ0(n) (1)。
其中，λ0(n)为高斯白噪声项，s(n)为基带信号，α为变换阶数，Fα(·)为α阶的SP-4-WFRFT变换，具体过程为：
Fα(s(n))＝ω0(α)s(n)+ω1(α)S(n)+ω2(α)s(-n)+ω3(α)S(-n) (2)。
式(2)中，s(n)、S(n)、s(-n)和S(-n)这4种“态函数”是s(n)分别作0、1、2、3次傅里叶变换得到的结果。加权系数ωl(α)的定义为式(3)。
Figure GDA0003382121440000021
结合DFT的公式，式(2)可等效为：
Figure GDA0003382121440000022
由于傅里叶变换具有周期为4的特性，为此随着α的变化，加权系数ωl(α)也呈现周期为4的变化，Fα(·)也满足周期特性，且α的取值主周期为[04)。
考虑r(n)为SP-4-WFRFT变换后的信号，利用SP-4-WFRFT变换的旋转可加性，为恢复数据信号或估计变换阶数α需对接收信号进行SP-4-WFRFT逆变换，也等效为-β阶的SP-4-WFRFT变换：
Figure GDA0003382121440000031
式中，当β与α相等时，接收信号可得：
r”(n)＝F0(S(n))+λ'0(n)＝S(n)+λ'0(n) (6)。
由于SP-4-WFRFT变换的保范性，高斯白噪声经过变换前后的统计特性不变，故可认为λ0(n)与λ'0(n)有相同的影响，为此逆变换处理得到的信号r'(n)中除了噪声影响外，即可得到数据信号。
然而，在变换阶数α未知的条件下，欲满足式(6)成立，即：β＝α的要求，则通过以[04)为主周期对β扫描的方式，达到对α扫描的目的。
设定逆变换的变换阶数与正变换的变换阶数间差值为Δα＝α-β，结合变换阶数扫描间隔与误码率的关系，Δα越小则逆变换处理后信号的误码率越小，也即r'(n)与真实信号的误差越小。然而，Δα越小，在0～4区间需要扫描的次数就越多，例如：当Δα＝0.01时，需要扫描的次数为400次。当Δα＝0.0078125时，需要扫描的次数为512次。
考虑逆变换过程中，在变换阶数α未知的条件下，扫描次数较大、扫描速度较慢等问题，针对基于SP-4-WFRFT的数字通信系统特性，为快速地恢复数据信号(数据信号可是调制信号、基带序列、扩频序列等)或估计变换阶数α，建立基于单参数的分数阶傅里叶逆变换分级扫描方法，原理如下：
定义分级终值常量M，其是分级的最大限定，M是用户依据精度需求自定义的一个正整数，数值大于等于1。进而定义分级级数变量m，m∈[1,2ΛM]，随着m从1到M递增。定义变量j为扫描变量。从第一级到第M级对变换阶数进行扫描，每一级的扫描次数Lm为：
Figure GDA0003382121440000041
当m≤2级时，分级规则为式(8)，得到变换阶数
Figure GDA0003382121440000042
其中，扫描变量j的遍历范围为j∈[1 Lm]。
Figure GDA0003382121440000043
当3≤m≤M时，分级规则的迭代方程为式(9)，得到变换阶数
Figure GDA0003382121440000044
其中，扫描变量j的遍历范围为j∈[1 Lm-1]。
Figure GDA0003382121440000045
从第一级到第M级对变换阶数进行扫描，每一级的扫描优先级为m，每一级的扫描敏感度为21-m，遍历扫描后总体的扫描敏感度为21-M，遍历扫描后总体的扫描次数为式(10)。
Figure GDA0003382121440000046
在信号处理领域，为了更好地描述信号特性，出现了分数阶傅里叶变换(Fractional Fourier Transform,FRFT)，其应用已从最初的光学领域扩展到其他领域，近年已在通信系统的信号检测、信道估计、同步算法等领域得到广泛应用。由于分数阶傅里叶变换的变换阶数敏感度较高，而为了能够正确地恢复原始数据，对于逆变换的变换阶数要求较为苛刻，尤其是在通信系统应用中存在误差或影响条件时。为此，对于分数阶傅里叶逆变换过程中，变换阶数的扫描方法研究也成为了研究的重点。本发明适用于采用单参数四项加权分数傅里叶变换(SP-4-WFRFT)的通信系统。针对基于SP-4-WFRFT的数字通信系统特性，在变换阶数未知的条件下，为快速地恢复数据信号(数据信号可是调制信号、基带序列、扩频序列等)或估计变换阶数，在逆变换过程中，建立一种分级扫描方法。主要通过定义分级终值常量，利用分级级数变量、扫描变量对变换阶数进行分级，并在每一级进行SP-4-WFRFT逆变换，从而得到所需的待解调数据或基带数据。本发明的优点是：SP-4-WFRFT逆变换过程中，变换阶数的分级扫描具有优先级，且可依据用户需求灵活地设置。
其优点在于：
主要通过定义分级终值常量，利用分级级数变量、扫描变量对变换阶数进行分级，并在每一级进行SP-4-WFRFT逆变换，从而得到所需的待解调数据或基带数据。本发明的优点是：SP-4-WFRFT逆变换过程中，变换阶数的分级扫描具有优先级，且可依据用户需求灵活地设置。
附图说明
图1是本发明方法的处理流程图。
具体实施方式
基于单参数的分数阶Fourier逆变换分级扫描方法：
Step1：用户依据所需的扫描精度21-M，设置分级终值常量M。
Step2：输入前端处理后的基带信号：
r(n)＝Fα(s(n))+λ0(n) (11)。
Step3：首先进行第一级扫描参数计算，即m＝1，优先级最高，利用式(7)计算得到扫描次数Lm＝22＝4。并计算扫描变量j的遍历范围为j∈[1 4]。进一步利用式(8)的分级规则，从而得到
Figure GDA0003382121440000051
Step4：进行第一级扫描处理，利用
Figure GDA0003382121440000052
对前端处理后的基带信号r(n)进行4次SP-4-WFRFT逆变换处理，第j次处理如式(12)，从而得到4组结果。
Figure GDA0003382121440000061
式中r(n)、R(n)、r(-n)和R(-n)这4种“态函数”是r(n)分别作0、1、2、3次傅里叶变换的结果。加权系数ωl(α)为：
Figure GDA0003382121440000062
Step5：利用4组结果
Figure GDA0003382121440000063
可进一步进行解调或基带运算等后续处理，得到所需数据信号。
Step6：进行第二级扫描参数计算，即m＝2，优先级递减，利用式(7)计算得到扫描次数Lm＝22＝4。并计算扫描变量j的遍历范围为j∈[1 4]。进一步利用式(8)的分级规则，从而得到
Figure GDA0003382121440000064
Step7：进行第二级扫描处理，利用
Figure GDA0003382121440000065
对前端处理后的基带信号r(n)进行4次SP-4-WFRFT逆变换处理，第j次处理如式(14)，从而得到4组结果。其中“态函数”和加权系数规则与Step 4相同。
Figure GDA0003382121440000066
Step8：利用4组结果
Figure GDA0003382121440000067
可进一步进行解调或基带运算等后续处理，得到所需数据信号。
Step9：进行第三级扫描处理参数计算，即m＝3，优先级继续递减，利用式(7)计算得到扫描次数Lm＝2m＝8。并计算扫描变量j的遍历范围为j∈[1 Lm-1]＝[1 4]。进一步利用式(9)的分级规则，从而得到：
Figure GDA0003382121440000068
Step10：进行第三级扫描处理，利用
Figure GDA0003382121440000071
对前端处理后的基带信号r(n)进行Lm＝8次SP-4-WFRFT逆变换处理，第j次处理如式(16)～(17)，从而得到8组结果。其中“态函数”和加权系数规则与Step 4相同。
Figure GDA0003382121440000072
Figure GDA0003382121440000073
Step11：利用共8组结果
Figure GDA0003382121440000074
和
Figure GDA0003382121440000075
可进一步进行解调或基带运算等后续处理，得到所需数据信号。
Step12：进行第m级扫描参数计算，随着m的增大优先级递减，利用式(7)计算得到扫描次数Lm＝2m。并计算扫描变量j的遍历范围为j∈[1 Lm-1]。进一步利用式(9)的分级规则，从而得到：
Figure GDA0003382121440000076
Step13：进行第m级扫描处理，利用
Figure GDA0003382121440000077
对前端处理后的基带信号r(n)进行2m次SP-4-WFRFT逆变换处理，第j次处理如式(19)～(20)，从而得到2m组结果。其中“态函数”和加权系数规则与Step 4相同。
Figure GDA0003382121440000078
Figure GDA0003382121440000081
当扫描的
Figure GDA0003382121440000082
或
Figure GDA0003382121440000083
与α近似相等时，在此设
Figure GDA0003382121440000084
与α近似相等，则SP-4-WFRFT逆变换处理可得式(21)，又由于λ0(n)与λ'0(n)有相同的影响，为此SP-4-WFRFT逆变换处理得到的信号
Figure GDA0003382121440000085
中除了噪声影响外，即可得到所需数据信号。
Figure GDA0003382121440000086
Step14：利用2m组结果
Figure GDA0003382121440000087
可进一步进行解调或基带运算等后续处理，得到所需数据信号。
Step15：重复Step 12～Step 14，直至m＝M后终止。

Claims (1)

1.基于单参数的分数阶Fourier逆变换分级扫描方法，其特征在于包括下列步骤：
定义分级终值常量M，其是分级的最大限定，M是用户依据精度需求自定义的一个正整数，数值大于等于1；进而定义分级级数变量m，m∈[1,2ΛM]，随着m从1到M递增；定义变量j为扫描变量；从第一级到第M级对变换阶数进行扫描，每一级的扫描次数Lm为：
Figure FDA0003382121430000011
当m≤2级时，分级规则为式(8)，得到变换阶数
Figure FDA0003382121430000012
其中，扫描变量j的遍历范围为j∈[1Lm]；
Figure FDA0003382121430000013
当3≤m≤M时，分级规则的迭代方程为式(9)，得到变换阶数
Figure FDA0003382121430000014
其中，扫描变量j的遍历范围为j∈[1 Lm-1]；
Figure FDA0003382121430000015
从第一级到第M级对变换阶数进行扫描，每一级的扫描优先级为m，每一级的扫描敏感度为21-m，遍历扫描后总体的扫描敏感度为21-M，遍历扫描后总体的扫描次数为式(10)；
Figure FDA0003382121430000016
当Step1：用户依据所需的扫描精度21-M，设置分级终值常量M；
Step2：输入前端处理后的基带信号：
r(n)＝Fα(s(n))+λ0(n) (11)；
其中，λ0(n)为高斯白噪声项，s(n)为基带信号，α为变换阶数，Fα(·)为α阶的SP-4-WFRFT变换；
Step3：首先进行第一级扫描参数计算，即m＝1，优先级最高，利用式(7)计算得到扫描次数Lm＝22＝4；并计算扫描变量j的遍历范围为j∈[1 4]；进一步利用式(8)的分级规则，从而得到
Figure FDA0003382121430000021
Step4：进行第一级扫描处理，利用
Figure FDA0003382121430000022
对前端处理后的基带信号r(n)进行4次SP-4-WFRFT逆变换处理，第j次处理如式(12)，从而得到4组结果；
Figure FDA0003382121430000023
式中r(n)、R(n)、r(-n)和R(-n)这4种“态函数”是r(n)分别作0、1、2、3次傅里叶变换的结果；加权系数ωl(α)为：
Figure FDA0003382121430000024
Step5：利用4组结果
Figure FDA0003382121430000025
可进一步进行解调或基带运算等后续处理，得到所需数据信号；
Step6：进行第二级扫描参数计算，即m＝2，优先级递减，利用式(7)计算得到扫描次数Lm＝22＝4；并计算扫描变量j的遍历范围为j∈[1 4]；进一步利用式(8)的分级规则，从而得到
Figure FDA0003382121430000026
Step7：进行第二级扫描处理，利用
Figure FDA0003382121430000027
对前端处理后的基带信号r(n)进行4次SP-4-WFRFT逆变换处理，第j次处理如式(14)，从而得到4组结果；其中“态函数”和加权系数规则与Step 4相同；
Figure FDA0003382121430000031
Step8：利用4组结果
Figure FDA0003382121430000032
可进一步进行解调或基带运算等后续处理，得到所需数据信号；
Step9：进行第三级扫描处理参数计算，即m＝3，优先级继续递减，利用式(7)计算得到扫描次数Lm＝2m＝8；并计算扫描变量j的遍历范围为j∈[1 Lm-1]＝[14]；进一步利用式(9)的分级规则，从而得到：
Figure FDA0003382121430000033
Step10：进行第三级扫描处理，利用
Figure FDA0003382121430000034
对前端处理后的基带信号r(n)进行Lm＝8次SP-4-WFRFT逆变换处理，第j次处理如式(16)～(17)，从而得到8组结果；其中“态函数”和加权系数规则与Step 4相同；
Figure FDA0003382121430000035
Figure FDA0003382121430000036
Step11：利用共8组结果
Figure FDA0003382121430000037
和
Figure FDA0003382121430000038
可进一步进行解调或基带运算等后续处理，得到所需数据信号；
Step12：进行第m级扫描参数计算，随着m的增大优先级递减，利用式(7)计算得到扫描次数Lm＝2m；并计算扫描变量j的遍历范围为j∈[1 Lm-1]；进一步利用式(9)的分级规则，从而得到：
Figure FDA0003382121430000041
Step13：进行第m级扫描处理，利用
Figure FDA0003382121430000042
对前端处理后的基带信号r(n)进行2m次SP-4-WFRFT逆变换处理，第j次处理如式(19)～(20)，从而得到2m组结果；其中“态函数”和加权系数规则与Step4相同；
Figure FDA0003382121430000043
Figure FDA0003382121430000044
当扫描的
Figure FDA0003382121430000045
或
Figure FDA0003382121430000046
与α近似相等时，在此设
Figure FDA0003382121430000047
与α近似相等，则SP-4-WFRFT逆变换处理可得式(21)，又由于λ0(n)与λ'0(n)有相同的影响，为此SP-4-WFRFT逆变换处理得到的信号
Figure FDA0003382121430000048
中除了噪声影响外，即可得到所需数据信号；
Figure FDA0003382121430000049
Step14：利用2m组结果
Figure FDA00033821214300000410
可进一步进行解调或基带运算等后续处理，得到所需数据信号；
Step15：重复Step12～Step14，直至m＝M后终止。
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