CN108875174A - 一种基于多段打靶法的不变拟周期轨道确定方法 - Google Patents

一种基于多段打靶法的不变拟周期轨道确定方法 Download PDF

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何艳超
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Abstract

一种基于多段打靶法的不变拟周期轨道确定方法，包括步骤如下：步骤一、计算获得主星在引力场中的运动状态量，主星在主星轨道坐标系中的角速度和角加速度；获得编队飞行从星在主星轨道坐标系中的相对运动学方程；步骤二、获得从星在主星轨道坐标系中的状态量：步骤三、通过建立方程使得所有点Q1～QN均处于同一条轨道上；给定任何保持不变相对运动的初始轨道Q(0)，通过牛顿法迭代求解Q，直至||F(Q(j‑1))||的取值小于设定的阈值；步骤四、求得最优解；步骤五、得到每步迭代时的修正量ΔQ(j)，对初始轨道进行修正，修正量为ΔQ(j)，实现不变拟周期轨道的确定。本发明的方法解决了解析方法得到的不变相对构型持续时间短和幅度小不足的问题。

Description

一种基于多段打靶法的不变拟周期轨道确定方法
技术领域
本发明涉及一种不变拟周期轨道确定方法，属于卫星轨道设计技术领域。
背景技术
基于相对轨道运动的编队飞行航天器由于其分布式构型设计，可实现大尺度干涉测量以及多角度、多时段观测，通过协同执行空间科学任务，目前在近地航天工程和技术验证任务中已显示了其独特的作用。由于行星形状不规则，密度分布不均匀，产生的非球形部分将会成为卫星运动不可忽略的摄动源，因此，非中心引力场下的轨道运动需要考虑中心天体的不规则形状和不均匀的质量分布引起的非球形引力效应。
现有卫星编队模型有以下不足：一、忽略动力学中的非线性和高阶摄动力项。二、设中心天体的引力为中心型，未考虑存在的非球形摄动作用。三、仅考虑在J2摄动项下，不变相对轨道的推导，设计的构型尺寸小、保持时间短。因此，以上方法在实际应用中将存在不可避免的局限性和误差。
精确的初值是形成稳定不变相对轨道的必要条件，因此在考虑高阶摄动下，推导不变相对轨道形成条件，即不变条件尤为重要。
由于解析法推导不变条件仅适用于短时间和小尺寸相对运动的缺点，本发明给出一种纯数值方法来搜索满足不变条件约束的相对轨道，获得构型保持时间更长和尺寸分布更大的拟周期不变轨道，得到精度较高，且极大地减小计算量的不变相对轨道设计。
发明内容
本发明要解决的技术问题是：针对现有技术的不足，本发明提供了一种基于多段打靶法的不变拟周期轨道确定方法，解决了解析方法得到的不变相对构型持续时间短和幅度小不足的问题，得到精度较高，具有更长的持续时间和更大的幅值，且极大地减小计算量的不变相对轨道设计。
本发明所采用的技术方案是：一种基于多段打靶法的不变拟周期轨道确定方法，包括步骤如下：
步骤一、计算获得主星在引力场中的运动状态量主星在主星轨道坐标系中的角速度ωc＝[ωcx,ωcy,ωcz]T和角加速度获得编队飞行从星在主星轨道坐标系中的相对运动学方程；
其中，ic为轨道倾角，uc为纬度幅角，rc为主星在惯性坐标系下离原点的距离，为径向速度，hc为角动量，ωcx,ωcy,ωcz分别为主星角速度在主星轨道坐标系三轴方向的分量，分别为主星角加速度在主星轨道坐标系三轴方向的分量；
所述惯性坐标系的原点为中心天体的质心，X轴指向春分点，Z轴为天体自转轴，Y轴与X、Z轴形成右手系。
所述主星轨道坐标系的原点为主星质心，x轴沿主星的径向方向由地心指向主星，z轴指向主星的角动量方向，y轴与x、z轴组成右手系。
步骤二、将时间区间[t1,tN]等分为N-1段，得到子区间时间长度为Δt＝tk+1-tk；将从星在主星轨道坐标系中的状态量取为：
其中，k＝1,2,…,N-1，N为正整数；t1为初始时间，tN为终止时间；(xk,yk,zk)分别为tk时刻从星在主星轨道坐标系中的坐标；
步骤三、根据编队飞行从星在主星轨道坐标系中的相对运动学方程的解定义映射P:Qk→Qk+1；
通过建立方程：使得所有点Q1～QN均处于同一条轨道上；
其中，F表示为数量为6(N-1)的方程组成方程组矩阵；
给定任何保持不变相对运动的初始轨道Q(0)，通过牛顿法迭代求解Q，直至||F(Q(j -1))||的取值小于设定的阈值；
步骤四、根据Lagrange方程：L(ΔQ,λ)＝ΔQTΔQ+λT(F(Q)+DF(Q)ΔQ)求得最优解为：ΔQ(j)＝-DF(Q(j-1))T[DF(Q(j-1))DF(Q(j-1))T]-1F(Q(j-1))；j为正整数；
其中，λ为乘子向量；
步骤五、定义对称矩阵M＝DF(Q(j-1))DF(Q(j-1))T，并引入变量Z(j-1)＝M-1F(Q(j-1))，将步骤四中的最优解表达为：ΔQ(j-1)＝-DF(Q(j-1))TZ(j-1)；
根据ΔQ(j-1)＝-DF(Q(j-1))TZ(j-1)得到每步迭代时的修正量ΔQ(j)，对初始轨道进行修正，修正量为ΔQ(j)，实现不变拟周期轨道的确定。
所述步骤一中，主星的运动状态量由如下公式计算获得：
其中，为主星受到的引力摄动在主星轨道坐标系z轴方向的加速度分量，Ωc为升交点赤经；Pn(·)为n阶Legendre多项式，Jn为带谐项系数，n为大于等于2的正整数。
所述步骤一中，主星在主星轨道坐标系中的角速度ωc＝[ωcx,ωcy,ωcz]T的各分量分别表示为：
ωcy＝0，
所述步骤一中，主星在主星轨道坐标系中的角加速度的各分量分别表示为：
所述步骤一中，编队飞行从星在主星轨道坐标系中的相对运动学方程：
其中，ρ＝rd-rc＝[x,y,z]T表示在主星轨道坐标系中从星相对主星的位置，引力势的梯度
从星在引力场中势能
rd表示在惯性坐标系中从星的位置，rc表示在惯性坐标系中主星的位置；
矢量rd的在惯性坐标系z轴分量为：
rdz＝(r+x)sinic sinuc+ysinic cosuc+zcosic；
从星到惯性坐标系原点的距离
所述步骤三中，牛顿法迭代求解的方程为：
DF(Q(j-1))(Q(j)-Q(j-1))＝-F(Q(j-1))；
其中，DF(Q(j-1))为矩阵DF在Q(j-1)处的取值，矩阵DF表示为：
Ak为每步迭代中映射P的Jacobian矩阵在Qk处的取值，I为单位矩阵；
每步牛顿法迭代求解的约束条件为：相邻两次迭代解的欧几里得范数||ΔQ(j)||＝||Q(j)-Q(j-1)||最小。
所述步骤五中，对称矩阵M分解为如下形式：
式中各变量的表达式为：
所述步骤五中，变量Z通过如下递推关系得到
式中，l＝N-2,N-3,...,1，辅助变量X＝[X1,…,XN-1]T；辅助变量Y＝[Y1,…,YN-1]T，且满足Y＝Z(j-1)。
本发明与现有技术相比的优点在于：
(1)本发明的方法弥补了解析法针对长时间和大尺寸构型失效的根本原因在于不变条件线性化近似和初值确定平瞬转化时存在的误差缺陷，利用多段打靶法实现了在高阶引力下的具有长时间和大尺寸的有界相对构型设计。
(2)本发明的方法通过求解每步迭代时的修正量ΔQ(j)的最优解，实现最低成本、最低燃料消耗下的轨道维持，减少了卫星发射质量，增加任务寿命。
(3)本发明的方法利用多段打靶法，求解在考虑长期和长周期摄动下的不变拟周期轨道。提高了精度，在不变相对轨道设计上极大地减小计算量，能够广泛应用于卫星编队的不变相对轨道设计中。
附图说明
图1为惯性坐标系和主星轨道轨道坐标系；
图2为多段打靶法示意图：相邻节点(a)；全局图(b)；
图3为初始猜测样本点和收敛后的修正图；
图4为修正后的不变相对轨道及三视图；
图5(a)、图5(b)分别为相对距离和沿迹向距离随时间的变化
图6为对初始点积分1年得到的相对运动构型图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明进行进一步说明。
基于多段打靶法的不变拟周期轨道确定方法，包括步骤如下：
一、建立高阶带谐项摄动下相对动力学模型
为精确描述中心天体下的非球形引力场下编队飞行航天器运动，首先分别定义惯性坐标系和主星轨道坐标系。
如图1所示，惯性坐标系原点取在中心天体的质心，X轴指向春分点，Z轴取为天体自转轴，Y轴最后与X、Z轴形成右手系；主星轨道坐标系原点取在主星质心，x轴沿主星的径向方向由地心指向主星，z轴指向主星的角动量方向，y轴与x、z轴组成右手系。
以ic取为轨道倾角，Ωc为升交点赤经，uc为纬度幅角，rc为主星在惯性系下离原点的距离，为径向速度，hc为角动量。考虑带谐项摄动作用，航天器在引力场中的运动状态可通过变量来描述，其关于时间的导数可表示如下
式(3)和(5)中，，为主星受到的引力摄动在惯性坐标系z轴方向的加速度分量，为
主星的角速度在主星轨道坐标系中可表示为
其中，Rx(ic)、Rz(ic)为分别绕轴转大小为ic角的基元旋转矩阵。Pn(·)为n阶Legendre多项式，Jn为带谐项系数，n为大于等于2的正整数。
角速度的各分量分别表示为
将式(1)～(6)分别代入式(8)～(10)中可得到如下方程：
ωcy＝0(12)
对式(11)～(12)关于时间求导，可得各分量的角加速度分别为：
因此给定主星状态量其角速度和交角速度可分别由式(11)～(13)和式(14)～(16)求出。
下面推导编队飞行从星在主星轨道坐标系中的相对运动学方程。主(从)星的位置、速度矢量分别表示为rc(rd)和vc(vd)。在主星轨道坐标系中从星相对主星的位置表示为ρ＝rd-rc＝[x,y,z]T。以上各变量的关系为
rd＝rc+ρ (17)
从星位置在惯性坐标系中可表示为
Ird＝Rz(-Ωc)Rx(-ic)Rz(-uc)(rc+ρ) (19)
则矢量Ird的在惯性坐标系z轴分量为
rdz＝(r+x)sinicsinuc+ysiniccosuc+zcosic (20)
且从星到惯性坐标系原点的距离为
从星在引力场中势能为
动能为
从星相对主星运动的Lagrange方程[141]为
将式(22)与(23)代入式(24)中，并经过整理，可得到在考虑带谐项引力摄动下相对运动的非线性运动学方程如下
综上所述，主星的状态量可由式(1)～(5)确定；而角速度ωc＝[ωcx,ωcy,ωcz]T和角加速度可分别通过式(11)～(13)、(14)～(16)计算得到；根据式(20)～(22)可得到引力势的梯度类似地，可由式(23)得到动能的梯度为至此，完成了无任何简化且考虑任意带谐项引力摄动的编队飞行相对运动学方程的推导，该方程也为后续打靶法求解不变相对轨道提供了精确的模型。
二、利用多段打靶法求解不变拟周期轨道
受多段打靶法在真实多引力场星历下求解平动点拟周期轨道的启发，为获得不变轨道，初值可以是任意能确保实现有界运动的轨道，即可以为在真实引力环境中并不真正存在的轨道，但需要在相对距离上确保严格有界；这是由于利用多段打靶法修正得到的轨道与初始猜测非常接近，因而高度依赖初值的有界。一般来说，周期相对轨道可选为本方法的初值猜测。根据主星参考轨道的偏心率大小，以决定选择HCW或者TH周期解作为算法的迭代初值，以确保在复杂引力环境中修正得到的目标拟周期轨道同初始猜测非常接近。下面给出多段打靶法的过程。
取整个研究时间区间为[t1,tN]，将其等分为N-1段。设初始时间为t1，终止时间为tN，子区间时间长度为Δt＝tk+1-tk，k＝1,2,…,N-1。从星在主星轨道坐标系中的状态量取为
其变量个数为6N。根据编队飞行相对运动学方程[式(25)～(27)]的解定义映射P:Qk→Qk+1。(xk,yk,zk)分别为tk时刻从星在主星轨道坐标系中的坐标；
所有点均处于同一条轨道，则条件Fk(Q)＝P(Qk)-Qk+1＝0满足，其中Fk表示第k个分为N块的6N个标量方程矩阵。写为向量形式即
式中F表示为数量为6(N-1)的方程组成方程组，未知量Q含6N个分量。给定任何保持不变相对运动的初始轨道Q(0)，通过牛顿法迭代求解Q，直至||F(Q(j-1))||的取值小于某个阈值，如本发明取10-12：
DF(Q(j-1))(Q(j)-Q(j-1))＝-F(Q(j-1)) (30)
式中DF(Q(j-1))为矩阵DF在Q(j-1)处的取值，该矩阵表示为
其中Ak(6×6阶)为每步迭代中映射P的Jacobian矩阵在Qk处的取值，I为单位矩阵，k＝1,2,…,N-1。需要说明的是，每步迭代方程的个数[6(N-1)]始终小于未知变量个数6N，因此需要在每步额外添加一个约束条件，即要求相邻两次迭代解的欧几里得范数||ΔQ(j)||＝||Q(j)-Q(j-1)||最小。引入Lagrange方程：
L(ΔQ,λ)＝ΔQTΔQ+λT(F(Q)+DF(Q)ΔQ) (32)
式中，λ为乘子向量。可求得最优解为
ΔQ(j)＝-DF(Q(j-1))T[DF(Q(j-1))DF(Q(j-1))T]-1F(Q(j-1)) (33)
j为正整数；
根据文献提供的矩阵分解和递推方法，可以避免直接求解稀疏逆矩阵[DF(Q(j-1))DF(Q(j-1))T]-1的巨大计算量。定义对称矩阵
并引入新变量Z(j-1)＝M-1F(Q(j-1))，式(33)可化为
ΔQ(j-1)＝-DF(Q(j-1))TZ(j-1) (35)
为求出Z和ΔQ的表达式，对称矩阵M可分解为如下形式
式中各变量的表达式为
由此变量Z可通过如下递推关系得到
式中，l＝N-2,N-3,...,1辅助变量X＝[X1,…,XN-1]T；辅助变量Y＝[Y1,…,YN-1]T，且满足Y＝Z(j-1)。
最终根据式(35)可得到每步迭代时的修正量ΔQ(j)。对初始轨道进行修正，修正量为ΔQ(j)，通过修正量ΔQ(j)即可实现不变拟周期轨道的确定。
采用多段打靶法求解拟周期轨道过程如图2(a)、(b)所示，其中(a)表示相邻节点之间的轨道修正；(b)为使用该方法的全局效果。当算法收敛后，在每个子区间中，最后得到的轨道与初始值距离最近。具体来说，最终修正后的拟周期轨道依赖于初始轨道，而该初始轨道可以是任何保持不变相对运动的轨道；进一步地说，对于任意两条相邻子区间内的轨道，前一区间的终止时刻轨道状态同后一时间区间的初始时刻轨道状态基本一样，各子区间内轨道可以看作为相互连接的，最终由子区间内轨道拼接的轨道可以看作为第一个子区间内初始点经过相同时间积分得到。
三、检验多段打靶法的有效性
为了检验多段打靶法的有效性，下面验证生成的拟周期轨道确实能确保相对距离的有界。本仿真的初始猜测可以取HCW方程周期解，即当取初值
可以得到周期相对轨道，式(39)中nc为主星的轨道角速度。
主星的平均轨道根数取为[ac,ec,ic,ωc,Ωc,Mc]T＝[7100km,0.01,50°,10°,30°,95°]T。由周期相对轨道条件，将初始的相对位置和速度取为x0＝100km，y0＝-75km，z0＝-1.5km；平均角速度为μ地球引力常数，ac为主星轨道半长轴。
在本实施例中，采用J15引力摄动和30天的仿真时间，经过若干次迭代，收敛之后可得到基于初始猜测修正的最终轨道。
图3对比了初始猜测上的样本点(圆点)和对应修正后的样本点(“*”点)。根据修正后的样本点，在相邻两个时间区间内进行轨道积分，以得到最终的不变轨道，如图4所示。
可以看出相对轨道在径向和沿迹向平面内的投影为短轴:长轴长度比约为1:2的椭圆。
进一步地由图5(a)、(b)可知，沿迹向的轨道漂移得到了较好地抑制，且相对距离保持有界，为100～205km，从而说明在整个仿真时间内从星能够保持在主星附近的有界相对运动。
此外，根据前面所述，最终形成的轨道实际上为各子区间内轨道拼接而形成的；但是因为算法的收敛性，各子区间端点之间基本是相互连接的；因此即便本方法采用的是分段积分方法，随后拼接而形成最终轨道，依旧可以认为该轨道是通过第一个子区间内的初始点通过轨道积分而得到。本实施例中对该点的修正量达
若同样对该点进行积分，将时间区间从30天延长至1年，最后得到的相对运动如图6所示，所形成的相对构型与标准的有界相对运动构型类似。
本发明未详细说明部分属于本领域技术人员公知技术。

Claims (10)

1.一种基于多段打靶法的不变拟周期轨道确定方法，其特征在于，包括步骤如下：
步骤一、计算获得主星在引力场中的运动状态量主星在主星轨道坐标系中的角速度ωc＝[ωcx,ωcy,ωcz]T和角加速度获得编队飞行从星在主星轨道坐标系中的相对运动学方程；
其中，ic为轨道倾角，uc为纬度幅角，rc为主星在惯性坐标系下离原点的距离，为径向速度，hc为角动量，ωcx,ωcy,ωcz分别为主星角速度在主星轨道坐标系三轴方向的分量，分别为主星角加速度在主星轨道坐标系三轴方向的分量；
步骤二、将时间区间[t1,tN]等分为N-1段，得到子区间时间长度为Δt＝tk+1-tk；将从星在主星轨道坐标系中的状态量取为：
其中，k＝1,2,…,N-1，N为正整数；t1为初始时间，tN为终止时间；(xk,yk,zk)分别为tk时刻从星在主星轨道坐标系中的坐标；
步骤三、根据编队飞行从星在主星轨道坐标系中的相对运动学方程的解定义映射P:Qk→Qk+1；
通过建立方程：使得所有点Q1～QN均处于同一条轨道上；
其中，F表示为数量为6(N-1)的方程组成方程组矩阵；
给定任何保持不变相对运动的初始轨道Q(0)，通过牛顿法迭代求解Q，直至||F(Q(j-1))||的取值小于设定的阈值；
步骤四、根据Lagrange方程：L(ΔQ,λ)＝ΔQTΔQ+λT(F(Q)+DF(Q)ΔQ)求得最优解为：ΔQ(j)＝-DF(Q(j-1))T[DF(Q(j-1))DF(Q(j-1))T]-1F(Q(j-1))；j为正整数；
其中，λ为乘子向量；
步骤五、定义对称矩阵M＝DF(Q(j-1))DF(Q(j-1))T，并引入变量Z(j-1)＝M-1F(Q(j-1))，将步骤四中的最优解表达为：ΔQ(j-1)＝-DF(Q(j-1))TZ(j-1)；
根据ΔQ(j-1)＝-DF(Q(j-1))TZ(j-1)得到每步迭代时的修正量ΔQ(j)，对初始轨道进行修正，修正量为ΔQ(j)，实现不变拟周期轨道的确定。
2.根据权利要求1所述的一种基于多段打靶法的不变拟周期轨道确定方法，其特征在于：所述步骤一中，主星的运动状态量由如下公式计算获得：
其中，为主星受到的引力摄动在主星轨道坐标系z轴方向的加速度分量，Ωc为升交点赤经；Pn(·)为n阶Legendre多项式，Jn为带谐项系数，n为大于等于2的正整数。
3.根据权利要求1或2所述的一种基于多段打靶法的不变拟周期轨道确定方法，其特征在于：所述步骤一中，主星在主星轨道坐标系中的角速度ωc＝[ωcx,ωcy,ωcz]T的各分量分别表示为：
ωcy＝0，
4.根据权利要求3所述的一种基于多段打靶法的不变拟周期轨道确定方法，其特征在于：所述步骤一中，主星在主星轨道坐标系中的角加速度的各分量分别表示为：
5.根据权利要求3所述的一种基于多段打靶法的不变拟周期轨道确定方法，其特征在于：所述步骤一中，编队飞行从星在主星轨道坐标系中的相对运动学方程：
其中，ρ＝rd-rc＝[x,y,z]T表示在主星轨道坐标系中从星相对主星的位置，引力势的梯度
从星在引力场中势能
rd表示在惯性坐标系中从星的位置，rc表示在惯性坐标系中主星的位置；
矢量rd的在惯性坐标系z轴分量为：
rdz＝(r+x)sinic sinuc+ysinic cosuc+zcosic；
从星到惯性坐标系原点的距离
6.根据权利要求4所述的一种基于多段打靶法的不变拟周期轨道确定方法，其特征在于：
所述步骤三中，牛顿法迭代求解的方程为：
DF(Q(j-1))(Q(j)-Q(j-1))＝-F(Q(j-1))；
其中，DF(Q(j-1))为矩阵DF在Q(j-1)处的取值，矩阵DF表示为：
Ak为每步迭代中映射P的Jacobian矩阵在Qk处的取值，I为单位矩阵；
每步牛顿法迭代求解的约束条件为：相邻两次迭代解的欧几里得范数||ΔQ(j)||＝||Q(j)-Q(j-1)||最小。
7.根据权利要求1所述的一种基于多段打靶法的不变拟周期轨道确定方法，其特征在于：
所述步骤五中，对称矩阵M分解为如下形式：
式中各变量的表达式为：
m＝2,3,...,N-1。
8.根据权利要求7所述的一种基于多段打靶法的不变拟周期轨道确定方法，其特征在于：
所述步骤五中，变量Z通过如下递推关系得到
式中，l＝N-2,N-3,...,1，辅助变量X＝[X1,…,XN-1]T；辅助变量Y＝[Y1,…,YN-1]T，且满足Y＝Z(j-1)。
9.根据权利要求1所述的一种基于多段打靶法的不变拟周期轨道确定方法，其特征在于：所述惯性坐标系的原点为中心天体的质心，X轴指向春分点，Z轴为天体自转轴，Y轴与X、Z轴形成右手系。
10.根据权利要求1所述的一种基于多段打靶法的不变拟周期轨道确定方法，其特征在于：所述主星轨道坐标系的原点为主星质心，x轴沿主星的径向方向由地心指向主星，z轴指向主星的角动量方向，y轴与x、z轴组成右手系。
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CN109375648A (zh) * 2018-12-07 2019-02-22 北京理工大学 一种多约束条件下椭圆轨道卫星编队构形初始化方法
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