CN111753244A - 一种基于牛顿迭代的Lambert变轨问题半长轴迭代空间转移轨道计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于牛顿迭代思想的Lambert变轨问题改进求解方法。步骤1：计算转移角θ、辅助变量c和辅助变量s；步骤2：根据步骤1的转移角和辅助变量，确定轨道形状；步骤3：当Δt＞Δt_p时，则转移轨道为椭圆轨道，并求解；步骤4：当Δt＜Δt_p时，则转移轨道为双曲线轨道，并求解；步骤5：当Δt＝Δt_p时，则转移轨道为抛物线轨道，并求解；步骤6：将步骤3‑5中的将Lambert变轨问题解析方程表示成圆锥曲线半长轴的函数，计算圆锥曲线半通径；步骤7：计算变轨点速度和交汇点速度；步骤8：证明基于牛顿迭代思想的Lambert变轨问题改进求解方法的高效准确性。本发明为了提高航天器交会中的Lambert变轨问题的求解速度。

Description

一种基于牛顿迭代的Lambert变轨问题半长轴迭代空间转移 轨道计算方法

技术领域

本发明属于航天器轨道设计的技术领域；具体涉及一种基于牛顿迭代的Lambert变轨问题半长轴迭代空间转移轨道计算方法。

背景技术

Lambert变轨问题，也被称为两点边界值问题，是指航天器在指定转移时间飞过两个预定位置矢量的轨道确定。该方法求解空间转移轨道不受轨道高度，轨道倾角等条件的影响，可求解任意两个位置矢量间的圆锥曲线轨道，具有广泛适用性。由Lagrange转移时间方程可以知道，转移时间和转移轨道的轨道要素之间关系复杂，无法通过数值方法直接确定满足要求的转移轨道曲线。目前，Lambert变轨问题求解的基本思路为选择迭代变量对转移时间求解进行转化，确定其初值，最后通过对迭代结果进行转换，得到转移轨道起始点速度和交汇点的速度，进而确定转移轨道的轨道要素。Gauss最早提出了利用迭代变量求解Lambert变轨问题的方法，Battin-Vaughan进一步完善Gauss算法，通过对辅助变量x的迭代计算得到转移轨道半长轴、半通径、离心率等轨道根数，并得到了转移轨道上起始时刻和交会时刻的速度矢量,该方法只对于360°的等径转移存在奇异，但是计算繁琐，耗时很长。Klumpp进一步改进Battin算法，消除了奇异性。但该方法仍需求解超几何函数，计算复杂，时效性差。

发明内容

本发明的目的是为了提高航天器交会中的Lambert变轨问题的求解速度，提出了基于牛顿迭代思想的一种Lambert变轨问题的半长轴迭代求解方法。

本发明通过以下技术方案实现：

一种基于牛顿迭代思想的Lambert变轨问题的半长轴迭代求解方法，所述半长轴迭代空间转移轨道计算方法包括以下步骤：

步骤1：已知初始时刻t₁任务飞行器在起始轨道上的位置矢量为r₁，交会时刻t₂目标飞行器在目标轨道的位置矢量为r₂，计算转移角θ、辅助变量c和辅助变量s；

步骤2：根据步骤1计算的转移角θ、辅助变量c和辅助变量s，确定飞行器的空间转移轨道形状；

步骤3：当转移时间Δt大于抛物线轨道转移时间Δt_p时，则转移轨道为椭圆轨道，对椭圆轨道求解；

引入最小能量椭圆半长轴

当a＜a_m时，两点间不存在椭圆转移轨道，即对于椭圆轨道有a_m＜a＜+∞,0≤e＜1；

步骤4：当转移时间Δt小于抛物线轨道转移时间Δt_p时，则转移轨道为双曲线轨道，对双曲线轨道求解；

对于双曲线轨道有-∞＜a＜0,e＞1；

步骤5：当转移时间Δt等于抛物线轨道转移时间Δt_p时，则转移轨道为抛物线轨道，对抛物线轨道求解；

对于抛物线轨道有半长轴a_z＝∞,e＝0；

步骤6：将步骤3-5中的将Lambert变轨问题解析方程表示成圆锥曲线半长轴的函数，计算圆锥曲线半通径；

步骤7：根据步骤3至步骤6知

为初始时刻t₁任务飞行器在起始轨道上的速度矢量，

为交会时刻t₂目标飞行器在目标轨道的速度矢量，计算任务飞行器和目标飞行器变轨点速度和交汇点速度，从而完成空间转移轨道计算过程。

进一步的，所述步骤1中计算转移角θ、辅助变量c和辅助变量s，具体为，

转移角

辅助变量

辅助变量

式中，r₁为初始时刻t₁任务飞行器在起始轨道上的位置矢量，r₂为交会时刻t₂目标飞行器在目标轨道的位置矢量，r₁＝||r₁||,r₂＝||r₂||；设Δt为转移轨道的转移时间，Δt＝t₂-t₁。

进一步的，所述步骤2中根据步骤1计算的转移角θ、辅助变量c和辅助变量s，确定轨道形状；

其中μ为地球引力常数，Δt_p为抛物线轨道转移时间。

进一步的，所述步骤3包括以下步骤：

步骤3.1：利用固定大步长迭代法得出搜索闭区间：令搜索区间上限a₀＝a_m,搜索区间下限a₁＝10a_m，由

和

得到辅助变量α,β，当θ≤π时，取0≤α≤2π,0≤β≤π；当θ＞π时，取0≤α≤2π,-π≤β≤0；

步骤3.2：取

并将Lambert变轨问题解析方程表示成圆锥曲线半长轴的函数，即

分别计算f(a₀),f(a_z),f(a₁)；

步骤3.3：如果f(a₀)f(a₁)＜0，则进行步骤3.4；如果f(a₀)f(a₁)＞0，则a₀＝a₁,a₁＝2a₁，重复步骤3.2；

步骤3.4：引入牛顿迭代法，记迭代变量

判断是否满足f(a_i+1)→0，若不满足则循环执行步骤3.4，直到满足条件为止；

步骤3.5：当f(a_i+1)→0时，此时取a＝a_i+1即为利用牛顿迭代法求得的椭圆转移轨道的半长轴。

进一步的，所述步骤4中包括以下步骤：

步骤4.1：选定固定大步长迭代法的搜索闭区间：令搜索区间上限a₀＝-10⁶，搜索区间下限a₁＝-10⁸，由

和

得到辅助变量α,β，当θ≤π时，取0≤α,0≤β；当θ＞π时，取0≤α,β≤0；

步骤4.2：取

并将Lambert变轨问题解析方程表示成圆锥曲线半长轴的函数，即

分别计算f(a₀),f(a_z),f(a₁)；

步骤4.3：如果f(a₀)f(a₁)＜0，则进行步骤4.4；如果f(a₀)f(a₁)＞0，则a₀＝a₁,a₁＝2a₁，重复步骤4.2；

步骤4.4：引入牛顿迭代法，记迭代变量

判断是否满足f(a_i+1)→0，若不满足则循环执行步骤4.4，直到满足条件为止；

步骤4.5：当f(a_i+1)→0时，此时取a＝a_i+1即为利用牛顿迭代法求得的双曲线转移轨道的半长轴。

进一步的，所述步骤6中将步骤3-5中的将Lambert变轨问题解析方程表示成圆锥曲线半长轴的函数，计算圆锥曲线半通径，

椭圆轨道

抛物线轨道

其中A＝r₁ ²-2r₁r₂cosΔf+r₂ ²，B＝-2r₁r₂(r₁+r₂)(1-cosΔf)，C＝r₁ ²r₂ ²(1-cosΔf)²，Δf为飞行转移角，

其中

双曲线轨道

进一步的，所述步骤7中计算变轨点速度和交汇点速度具体为，

变轨点速度矢量

交会点速度矢量

本发明的有益效果是：

本发明解决了已知初始点位置、交会点位置和转移时间的条件下，求解空间转移轨道的问题，提高Lambert变轨问题的求解效率，具有广阔的应用前景。

附图说明

附图1本发明的总体框图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

实施例1

一种基于牛顿迭代思想的Lambert变轨问题的半长轴迭代求解方法，所述半长轴迭代求解方法包括以下步骤：

步骤1：已知初始时刻t₁任务飞行器在起始轨道上的位置矢量为r₁，交会时刻t₂目标飞行器在目标轨道的位置矢量为r₂，计算转移角θ、辅助变量c和辅助变量s；

步骤2：根据步骤1计算的转移角θ、辅助变量c和辅助变量s，确定飞行器的空间转移轨道形状；

步骤3：当转移时间Δt大于抛物线轨道转移时间Δt_p时，则转移轨道为椭圆轨道，对椭圆轨道求解；

引入最小能量椭圆半长轴

当a＜a_m时，两点间不存在椭圆转移轨道，即对于椭圆轨道有a_m＜a＜+∞,0≤e＜1；

步骤4：当转移时间Δt小于抛物线轨道转移时间Δt_p时，则转移轨道为双曲线轨道，对双曲线轨道求解；

对于双曲线轨道有-∞＜a＜0,e＞1；

步骤5：当转移时间Δt等于抛物线轨道转移时间Δt_p时，则转移轨道为抛物线轨道，对抛物线轨道求解；

对于抛物线轨道有半长轴a_z＝∞,e＝0；

步骤6：将步骤3-5中的将Lambert变轨问题解析方程表示成圆锥曲线半长轴的函数，计算圆锥曲线半通径，

双曲线轨道

步骤7：根据步骤3至步骤6知

为初始时刻t₁任务飞行器在起始轨道上的速度矢量，

为交会时刻t₂目标飞行器在目标轨道的速度矢量，计算任务飞行器和目标飞行器变轨点速度和交汇点速度，从而完成空间转移轨道计算过程；

变轨点速度矢量

交会点速度矢量

步骤8：通过与Lambert变轨问题的Battin-Vaughan解法和二分法求解椭圆轨道计算效率的比较分析，证明基于牛顿迭代思想的Lambert变轨问题改进求解方法的高效准确性。

进一步的，所述步骤1中计算转移角θ、辅助变量c和辅助变量s，具体为，

转移角

辅助变量

辅助变量

式中，r₁为初始时刻t₁任务飞行器在起始轨道上的位置矢量，r₂为交会时刻t₂目标飞行器在目标轨道的位置矢量，r₁＝||r₁||,r₂＝||r₂||；设Δt为转移轨道的转移时间，Δt＝t₂-t₁。

进一步的，所述步骤2中根据步骤1计算的转移角θ、辅助变量c和辅助变量s，确定轨道形状；

其中μ为地球引力常数，Δt_p为抛物线轨道转移时间。

进一步的，所述步骤3包括以下步骤：

步骤3.1：利用固定大步长迭代法得出搜索闭区间：令搜索区间上限a₀＝a_m,搜索区间下限a₁＝10a_m，由

和

得到辅助变量α,β，当θ≤π时，取0≤α≤2π,0≤β≤π；当θ＞π时，取0≤α≤2π,-π≤β≤0；

步骤3.2：取

并将Lambert变轨问题解析方程表示成圆锥曲线半长轴的函数，即

分别计算f(a₀),f(a_z),f(a₁)；

步骤3.3：如果f(a₀)f(a₁)＜0，则进行步骤3.4；如果f(a₀)f(a₁)＞0，则a₀＝a₁,a₁＝2a₁，重复步骤3.2；

步骤3.4：引入牛顿迭代法，记迭代变量

判断是否满足f(a_i+1)→0，若不满足则循环执行步骤3.4，直到满足条件为止；

步骤3.5：当f(a_i+1)→0时，此时取a＝a_i+1即为利用牛顿迭代法求得的椭圆转移轨道的半长轴。

进一步的，所述步骤4中包括以下步骤：

步骤4.1：选定固定大步长迭代法的搜索闭区间：令搜索区间上限a₀＝-10⁶，搜索区间下限a₁＝-10⁸，由

和

得到辅助变量α,β，当θ≤π时，取0≤α,0≤β；当θ＞π时，取0≤α,β≤0；

步骤4.2：取

并将Lambert变轨问题解析方程表示成圆锥曲线半长轴的函数，即

分别计算f(a₀),f(a_z),f(a₁)；

步骤4.3：如果f(a₀)f(a₁)＜0，则进行步骤4.4；如果f(a₀)f(a₁)＞0，则a₀＝a₁,a₁＝2a₁，重复步骤4.2；

步骤4.4：引入牛顿迭代法，记迭代变量

判断是否满足f(a_i+1)→0，若不满足则循环执行步骤4.4，直到满足条件为止；

步骤4.5：当f(a_i+1)→0时，此时取a＝a_i+1即为利用牛顿迭代法求得的双曲线转移轨道的半长轴。

进一步的，所述步骤6中将步骤3-5中的将Lambert(如表1所示)变轨问题解析方程表示成圆锥曲线半长轴的函数，计算圆锥曲线半通径，

椭圆轨道

抛物线轨道

其中A＝r₁ ²-2r₁r₂cosΔf+r₂ ²，B＝-2r₁r₂(r₁+r₂)(1-cosΔf)，C＝r₁ ²r₂ ²(1-cosΔf)²，Δf为飞行转移角，

其中

双曲线轨道

进一步的，所述步骤7中计算变轨点速度和交汇点速度具体为，

变轨点速度矢量

交会点速度矢量

实施例2

下面选择地心惯性系中变轨位置为r₁＝[-0.6058 0.3742 0.4001]×10⁷m，交会位置为r₂＝[-1.5981 -2.1344 0.1212]×10⁷m为例，结合附图对本发明的技术方案做进一步描述。

步骤1：计算转移角θ＝1.4707rad、辅助变量c＝2.7121×10⁷m和辅助变量s＝3.0990×10⁷m；

利用轨道根数求解初始时刻任务飞行器在变轨位置r₁处的速度矢量

计算初始位置和交会位置距离r₁＝||r₁||＝8.168×10⁶m,r₂＝||r₂||＝2.6691×10⁷m。

步骤2：根据步骤1计算的转移角θ、辅助变量c和辅助变量s，确定轨道形状；

其中μ为地球引力常数，得抛物线轨道转移时间Δt_p＝3893.7s。

步骤3：当转移时间Δt大于抛物线轨道转移时间Δt_p时，则转移轨道为椭圆轨道，对椭圆轨道求解；

引入最小能量椭圆半长轴a_m＝1.5495×10⁷m，当a＜a_m时，两点间不存在椭圆转移轨道；

步骤3.1：利用固定大步长迭代法得出搜索闭区间：令搜索区间上限a₀＝a_m,搜索区间下限a₁＝10a_m，由

和

得到辅助变量α,β，当θ≤π时，取0≤α≤2π,0≤β≤π；当θ＞π时，取0≤α≤2π,-π≤β≤0；

步骤3.2：取

并将Lambert变轨问题解析方程表示成圆锥曲线半长轴的函数，即

分别计算f(a₀),f(a_z),f(a₁)；

步骤3.3：如果f(a₀)f(a₁)＜0，则进行步骤3.4；如果f(a₀)f(a₁)＞0，则a₀＝a₁,a₁＝2a₁，重复步骤3.2；

步骤3.4：引入牛顿迭代法，记迭代变量

判断是否满足f(a_i+1)→0，若不满足则循环执行步骤3.4，直到满足条件为止；

步骤3.5：当f(a_i+1)→0时，此时取a＝a_i+1即为利用牛顿迭代法求得的椭圆转移轨道的半长轴；

步骤4：当转移时间Δt小于抛物线轨道转移时间Δt_p时，则转移轨道为双曲线轨道，对双曲线轨道求解；

对于双曲线轨道有-∞＜a＜0,e＞1；

步骤4.1：选定固定大步长迭代法的搜索闭区间：令搜索区间上限a₀＝-10⁶，搜索区间下限a₁＝-10⁸，由

和

得到辅助变量α,β，当θ≤π时，取0≤α,0≤β；当θ＞π时，取0≤α,β≤0；

步骤4.2：取

并将Lambert变轨问题解析方程表示成圆锥曲线半长轴的函数，即

分别计算f(a₀),f(a_z),f(a₁)；

步骤4.3：如果f(a₀)f(a₁)＜0，则进行步骤4.4；如果f(a₀)f(a₁)＞0，则a₀＝a₁,a₁＝2a₁，重复步骤4.2；

步骤4.4：引入牛顿迭代法，记迭代变量

判断是否满足f(a_i+1)→0，若不满足则循环执行步骤4.4，直到满足条件为止；

步骤4.5：当f(a_i+1)→0时，此时取a＝a_i+1即为利用牛顿迭代法求得的双曲线转移轨道的半长轴。

步骤5：当转移时间Δt等于抛物线轨道转移时间Δt_p时，则转移轨道为抛物线轨道，对抛物线轨道求解；

对于抛物线轨道有半长轴a_z＝∞,e＝0；

步骤6：将步骤3-5中的将Lambert变轨问题解析方程表示成圆锥曲线半长轴的函数，计算圆锥曲线半通径，

椭圆轨道

抛物线轨道

其中A＝r₁ ²-2r₁r₂cosΔf+r₂ ²，B＝-2r₁r₂(r₁+r₂)(1-cosΔf)，C＝r₁ ²r₂ ²(1-cosΔf)²，Δf为飞行转移角，

其中

双曲线轨道

步骤7：根据步骤3-6知

为初始时刻t₁任务飞行器在起始轨道上的速度矢量，

为交会时刻t₂目标飞行器在目标轨道的速度矢量，计算变轨点速度和交汇点速度；

变轨点速度矢量

交会点速度矢量

至此，完成将Lambert变轨问题解析方程看做圆锥曲线半长轴的函数利用固定大步长迭代法和牛顿迭代思想求解Lambert变轨问题。

步骤8：通过与Lambert变轨问题的Battin-Vaughan解法和二分法求解椭圆轨道计算效率的比较分析，证明基于牛顿迭代思想的Lambert变轨问题改进求解方法的高效准确性。

通过与Lambert变轨问题的Battin-Vaughan解法(如表1所示)计算效率的比较分析，可以看到基于牛顿迭代思想的Lambert变轨问题改进求解方法在求解椭圆轨道、双曲线轨道的情况都更加高效，而且能求解抛物线轨道；通过与Lambert变轨问题的二分法(如表2所示)求解椭圆轨道计算效率的比较分析，可以看到基于牛顿迭代思想的Lambert变轨问题改进求解方法在求解椭圆轨道的情况迭代次数更少，计算效率更高，而且可以求解抛物线轨道和双曲线轨道的情况，证明基于牛顿迭代思想的Lambert变轨问题改进求解方法的高效普适性。

表1

表2

Claims (7)

1.一种基于牛顿迭代的Lambert变轨问题半长轴迭代空间转移轨道计算方法，其特征在于，所述半长轴迭代空间转移轨道计算方法包括以下步骤：

步骤1：已知初始时刻t₁任务飞行器在起始轨道上的位置矢量为r₁，交会时刻t₂目标飞行器在目标轨道的位置矢量为r₂，计算转移角θ、辅助变量c和辅助变量s；

步骤2：根据步骤1计算的转移角θ、辅助变量c和辅助变量s，确定飞行器的空间转移轨道形状；

步骤3：当转移时间Δt大于抛物线轨道转移时间Δt_p时，则转移轨道为椭圆轨道，对椭圆轨道求解；

引入最小能量椭圆半长轴

当a＜a_m时，两点间不存在椭圆转移轨道，即对于椭圆轨道有a_m＜a＜+∞,0≤e＜1；

步骤4：当转移时间Δt小于抛物线轨道转移时间Δt_p时，则转移轨道为双曲线轨道，对双曲线轨道求解；

对于双曲线轨道有-∞＜a＜0,e＞1；

步骤5：当转移时间Δt等于抛物线轨道转移时间Δt_p时，则转移轨道为抛物线轨道，对抛物线轨道求解；

对于抛物线轨道有半长轴a_z＝∞,e＝0；

步骤6：将步骤3至步骤5中的将Lambert变轨问题解析方程表示成圆锥曲线半长轴的函数，计算圆锥曲线半通径；

步骤7：根据步骤3至步骤6知

为初始时刻t₁任务飞行器在起始轨道上的速度矢量，

为交会时刻t₂目标飞行器在目标轨道的速度矢量，计算任务飞行器和目标飞行器变轨点速度和交汇点速度，从而完成空间转移轨道计算过程。

2.根据权利要求1所述半长轴迭代空间转移轨道计算方法，其特征在于，所述步骤1中计算转移角θ、辅助变量c和辅助变量s，具体为，

转移角

辅助变量

辅助变量

式中，r₁为初始时刻t₁任务飞行器在起始轨道上的位置矢量，r₂为交会时刻t₂目标飞行器在目标轨道的位置矢量，r₁＝||r₁||,r₂＝||r₂||，设Δt为转移轨道的转移时间，Δt＝t₂-t₁。

3.根据权利要求1所述半长轴迭代空间转移轨道计算方法，其特征在于，所述步骤2中根据步骤1计算的转移角θ、辅助变量c和辅助变量s，确定轨道形状；

其中μ为地球引力常数，Δt_p为抛物线轨道转移时间。

4.根据权利要求1所述半长轴迭代空间转移轨道计算方法，其特征在于，所述步骤3包括以下步骤：

步骤3.1：利用固定大步长迭代法得出搜索闭区间：令搜索区间上限a₀＝a_m,搜索区间下限a₁＝10a_m，由

和

得到辅助变量α,β，当θ≤π时，取0≤α≤2π,0≤β≤π；当θ＞π时，取0≤α≤2π,-π≤β≤0；

步骤3.2：取

并将Lambert变轨问题解析方程表示成轨道的圆锥曲线半长轴的函数，即

分别计算f(a₀),f(a_z),f(a₁)；

步骤3.3：如果f(a₀)f(a₁)＜0，则进行步骤3.4；如果f(a₀)f(a₁)＞0，则a₀＝a₁,a₁＝2a₁，重复步骤3.2；

步骤3.4：引入牛顿迭代法，记迭代变量

判断是否满足f(a_i+1)→0，若不满足则循环执行步骤3.4，直到满足条件为止；

步骤3.5：当f(a_i+1)→0时，此时取a＝a_i+1即为利用牛顿迭代法求得的椭圆转移轨道的半长轴。

5.根据权利要求1所述半长轴迭代空间转移轨道计算方法，其特征在于，所述步骤4中包括以下步骤：

步骤4.1：选定固定大步长迭代法的搜索闭区间：令搜索区间上限a₀＝-10⁶，搜索区间下限a₁＝-10⁸，由

和

得到辅助变量α,β，当θ≤π时，取0≤α,0≤β；当θ＞π时，取0≤α,β≤0；

步骤4.2：取

并将Lambert变轨问题解析方程表示成圆锥曲线半长轴的函数，即

分别计算f(a₀),f(a_z),f(a₁)；

步骤4.3：如果f(a₀)f(a₁)＜0，则进行步骤4.4；如果f(a₀)f(a₁)＞0，则a₀＝a₁,a₁＝2a₁，重复步骤4.2；

步骤4.4：引入牛顿迭代法，记迭代变量

判断是否满足f(a_i+1)→0，若不满足则循环执行步骤4.4，直到满足条件为止；

步骤4.5：当f(a_i+1)→0时，此时取a＝a_i+1即为利用牛顿迭代法求得的双曲线转移轨道的半长轴。

6.根据权利要求1所述半长轴迭代空间转移轨道计算方法，其特征在于，所述步骤6中将步骤3-5中的将Lambert变轨问题解析方程表示成圆锥曲线半长轴的函数，计算圆锥曲线半通径，

椭圆轨道

抛物线轨道

其中A＝r₁ ²-2r₁r₂cosΔf+r₂ ²，B＝-2r₁r₂(r₁+r₂)(1-cosΔf)，C＝r₁ ²r₂ ²(1-cosΔf)²，Δf为飞行转移角，

其中

双曲线轨道

7.根据权利要求1所述半长轴迭代空间转移轨道计算方法，其特征在于，所述步骤7中计算变轨点速度和交汇点速度具体为，

变轨点速度矢量

交会点速度矢量

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