CN110362784B - 一种基于切比雪夫多项式的小行星着陆段引力计算方法 - Google Patents

一种基于切比雪夫多项式的小行星着陆段引力计算方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于切比雪夫多项式的小行星着陆段引力计算方法，包括步骤如下：设置小行星着陆段引力计算问题参数；建立着陆段空间目标点位置方程；基于切比雪夫‑高斯‑拉布托节点方式选取采样点并求解其位置；利用最小二乘方法求解切比雪夫多项式系数；基于上述得到的切比雪夫多项式系数求解得到目标点的引力。本发明适用于小行星着陆段圆锥形飞行空间内的引力计算；采用切比雪夫‑高斯‑拉布托节点方法对整个飞行空间进行采样，所需切比雪夫多项式系数存储量小；计算引力时，计算效率高且精度高。

Description

一种基于切比雪夫多项式的小行星着陆段引力计算方法
技术领域
本发明属于航空航天技术领域，具体指代一种基于切比雪夫多项式的小行星着陆段引力计算方法。
背景技术
小行星是太阳系的重要组成部分，并且数目众多。对小行星进行探测具有重要的科学意义。小行星着陆是开展小行星探测的一种主要方式。由于地球与小行星之间存在通讯延时和不确定性，探测器开展着陆任务时具备自主在轨轨迹规划能力对保障任务成功非常有帮助。探测器轨迹规划通常涉及小行星的引力计算。但是，由于小行星形状不规则性，导致其引力场也具有不规则性。尤其是对于小行星着陆段，引力场不规则性更加明显。如何快速的计算小行星的引力，直接影响了探测器在轨轨迹规划的可行性。不规则小行星引力的快速计算是当前科技人员关注的热点问题之一。
已发展的不规则小行星引力快速计算方法中，在先文献Chanut T G G,AljbaaeS,Carruba V.Mascon gravitation model using a shaped polyhedral source[J].Monthly Notices of the Royal Astronomical Society,2015,450(4):3742-3749中公开了基于多面体模型中的四面体数据提取质点位置，并通过将所有提取到的质点的引力场合成来计算目标位置引力的方法。但该方法在多面体模型精度很高时质点数目多、计算效率不足，并且计算小行星表面附近点时精度低。
在先文献Hu S C,Ji J H.Using Chebyshev polynomial interpolation toimprove the computational efficiency of gravity models near an irregularly-shaped asteroid[J].Research in Astronomy and Astrophysics,2017,17中公开了对小行星附近空间进行网格划分，分别在每一个子空间内，通过切比雪夫多项式插值计算引力。但是，该方法在高精度计算时需要对将空间划分为大量的子空间，所需的切比雪夫多项式系数存储量大，不利于在轨计算。
发明内容
针对于上述现有技术的不足，本发明的目的在于提供一种基于切比雪夫多项式的小行星着陆段引力计算方法，以解决现有技术中难以用较低存储量实现不规则小行星引力快速精确计算的问题。为达到上述目的，本发明采用的技术方案如下：
本发明的一种基于切比雪夫多项式的小行星着陆段引力计算方法，包括步骤如下：
1)设置小行星着陆段引力计算问题参数；
2)建立着陆段空间目标点位置方程；
3)基于切比雪夫-高斯-拉布托(Chebyshev-Gauss-Lobatto)节点方式选取采样点并求解其位置；
4)利用最小二乘方法求解切比雪夫多项式系数；
5)基于上述得到的切比雪夫多项式系数求解得到目标点的引力。
进一步地，所述步骤1)具体包括：设定目标小行星的密度σ及多面体模型参数；选择着陆点位置，设定着陆段圆锥形飞行空间约束条件参数δmax和ρmax；设定切比雪夫多项式阶数N和切比雪夫-高斯-拉布托节点参数M。
进一步地，所述步骤2)具体包括：依次建立小行星本体坐标系A和用于描述圆锥形飞行空间的着陆点当地坐标系B，在坐标系A中，原点位于小行星质心，坐标轴x轴和z轴分别与小行星本体最小和最大惯量主轴重合，坐标轴y轴指向满足右手系；在坐标系B中，原点位于着陆点，坐标轴i轴为着陆点当地水平面内任意选定的单位向量，坐标轴k轴垂直于着陆点当地水平面，坐标轴j轴指向满足右手系；记坐标系A下着陆点位置为rc，目标点位置为r，则目标点位置的方程如下：
r＝ρ[cosδk+sinδsinθi+sinδcosθj]+rc (1)
其中，ρ∈[0，ρmax]为目标点和着陆点之间的距离，δ∈[0,δmax]为r和j轴之间的夹角，θ∈[0,2π]为坐标系B位置矢量在ij平面内投影与i轴之间的夹角。
进一步地，所述步骤3)具体包括：
定义如下坐标变换关系：
Figure BDA0002088209950000021
则式(1)中位置r转换为关于ξ，η和
Figure BDA0002088209950000024
三个坐标的函数；选取切比雪夫-高斯-拉布托节点为采样点，即选取
Figure BDA0002088209950000022
i＝0,1,2,…M为离散坐标；将该离散坐标依次代入式(2)和(1)，即求得采样点的位置。
进一步地，所述步骤4)具体包括：基于多面体方法求解得到各个采样点的引力；通过下述方程依次拟合采样点的引力沿各轴的分量：
Figure BDA0002088209950000023
其中，g表示引力，下标d＝x,y或z表示引力在某一轴方向上的分量，T表示第一类切比雪夫多项式，apqr表示待求解的切比雪夫多项式系数；根据最小二乘方法和方程(3)，求解得到切比雪夫多项式系数并保存。
进一步地，所述步骤5)具体包括：导入切比雪夫多项式系数，给定目标点ρ、δ和θ，代入式(2)转换为于ξ，η和
Figure BDA0002088209950000031
然后代入式(3)即可求解得到目标点的引力。
本发明方法计算的引力是小行星着陆段的引力；所述步骤2)中描述的着陆段空间目标点位置属于圆锥形空间。
本发明的有益效果：
本发明的计算方法适应于小行星着陆段圆锥形飞行空间内的引力计算；该方法采用切比雪夫-高斯-拉布托节点方法对整个飞行空间进行采样，所需切比雪夫多项式系数存储量小。计算引力时，计算效率高且精度高。
附图说明
图1为本发明计算方法流程示意图；
图2为本发明的坐标系定义示意图。
具体实施方式
为了便于本领域技术人员的理解，下面结合实施例与附图对本发明作进一步的说明，实施方式提及的内容并非对本发明的限定。
参照图1所示，本发明的一种基于切比雪夫多项式的小行星着陆段引力计算方法，包括步骤如下：
1)设置小行星着陆段引力计算问题参数；
2)建立着陆段空间目标点位置方程；
3)基于切比雪夫-高斯-拉布托节点方式选取采样点并求解其位置；
4)利用最小二乘方法求解切比雪夫多项式系数；
5)基于上述得到的切比雪夫多项式系数求解得到目标点的引力。
下面以小行星Itokawa为例：
1、设定目标小行星Itokawa的密度σ＝1.95g/cm3及多面体模型参数。小行星多面体模型参数选择HAY-A-AMICA-5-ITOKAWASHAPE-V1.0模型库中具有25350个顶点和49152个面的多面体模型参数。选择着陆点位置为[0.113541,0.081843,-0.009614]km，设定着陆段圆锥形飞行空间约束条件参数δmax＝π/6和ρmax＝0.3km。设定切比雪夫多项式阶数N＝12和切比雪夫-高斯-拉布托节点参数M＝25。
2、依次建立小行星本体坐标系A和用于描述圆锥形飞行空间的着陆点当地坐标系B，如图2所示。在坐标系A中，原点位于小行星质心，坐标轴x轴和z轴分别与小行星本体最小和最大惯量主轴重合，坐标轴y轴指向满足右手系。在坐标系B中，原点位于着陆点，坐标轴i轴选取为着陆点当地水平面(即着陆点所在的多面体表面三角形平面)内的单位向量[-0.783499615589,-0.208999138159,-0.585190321708]，坐标轴k轴垂直于着陆点当地水平面为[-0.018673282191,0.949234310457,-0.314015178587]，坐标轴j轴指向满足右手系。
记坐标系A下着陆点位置为rc，目标点位置为r，则目标点位置的方程可以写作：
r＝ρ[cosδk+sinδsinθi+sinδcosθj]+rc (1)
其中，ρ∈[0，ρmax]为目标点和着陆点之间的距离，δ∈[0,δmax]为r和j轴之间的夹角，θ∈[0,2π]为坐标系B位置矢量在ij平面内投影与i轴之间的夹角。
3、定义如下坐标变换关系：
Figure BDA0002088209950000041
则式(1)中位置r转换为关于ξ，η和
Figure BDA0002088209950000044
三个坐标的函数；选取切比雪夫-高斯-拉布托节点为采样点，即选取
Figure BDA0002088209950000042
i＝0,1,2,…M为离散坐标；将该离散坐标依次代入(2)和(1)，即可求得采样点的位置。
4、基于多面体方法求解得到各个采样点的引力；通过下述方程依次拟合采样点的引力沿各轴的分量：
Figure BDA0002088209950000043
其中，g表示引力，下标d＝x,y或z表示引力在某一轴方向上的分量，T表示第一类切比雪夫多项式，apqr表示待求解的切比雪夫多项式系数；根据最小二乘方法和方程(3)，求解得到切比雪夫多项式系数并保存。双精度存储在.txt文件中仅需105kb。
5、导入切比雪夫多项式系数；给定ρ＝0km、δ＝0和θ＝0，代入式(2)转换为于ξ，η和
Figure BDA0002088209950000045
然后代入式(3)即可求解得到目标点的引力为[-1.7390,-6.9814,1.3464]×10-8km/s2。若分别以0.03km、π/30和π/10的步长对ρ、δ和θ进行遍历，获得各个目标点的ρ、δ和θ并求解引力，并对比多面体方法所得的标称引力，则可以得到：式(3)计算所得引力最大相对误差仅为0.0924％，平均相对误差仅为0.0102％，所需计算CPU时间仅约为多面体方法的1/800。
本发明具体应用途径很多，以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以作出若干改进，这些改进也应视为本发明的保护范围。

Claims (3)

1.一种基于切比雪夫多项式的小行星着陆段引力计算方法，其特征在于，包括步骤如下：
1)设置小行星着陆段引力计算问题参数；
2)建立着陆段空间目标点位置方程；
3)基于切比雪夫-高斯-拉布托节点方式选取采样点并求解其位置；
4)利用最小二乘方法求解切比雪夫多项式系数；
5)基于上述步骤4)中得到的切比雪夫多项式系数求解得到目标点的引力；
所述步骤1)具体包括：设定目标小行星的密度σ及多面体模型参数；选择着陆点位置，设定着陆段圆锥形飞行空间约束条件参数δmax和ρmax；设定切比雪夫多项式阶数N和切比雪夫-高斯-拉布托节点参数M；
所述步骤2)具体包括：依次建立小行星本体坐标系A和用于描述圆锥形飞行空间的着陆点当地坐标系B，在坐标系A中，原点位于小行星质心，坐标轴x轴和z轴分别与小行星本体最小和最大惯量主轴重合，坐标轴y轴指向满足右手系；在坐标系B中，原点位于着陆点，坐标轴i轴为着陆点当地水平面内任意选定的单位向量，坐标轴k轴垂直于着陆点当地水平面，坐标轴j轴指向满足右手系；记坐标系A下着陆点位置为rc，目标点位置为r，则目标点位置的方程如下：
r＝ρ[cosδk+sinδsinθi+sinδcosθj]+rc (1)
其中，ρ∈[0，ρmax]为目标点和着陆点之间的距离，δ∈[0,δmax]为r和j轴之间的夹角，θ∈[0,2π]为坐标系B位置矢量在ij平面内投影与i轴之间的夹角；
所述步骤3)具体包括：
定义如下坐标变换关系：
Figure FDA0003868755200000011
则式(1)中位置r转换为关于ξ，η和
Figure FDA0003868755200000012
三个坐标的函数；选取切比雪夫-高斯-拉布托节点为采样点，即选取
Figure FDA0003868755200000013
i＝0,1,2,…M为离散坐标；将该离散坐标依次代入式(2)和(1)，即求得采样点的位置。
2.根据权利要求1所述的基于切比雪夫多项式的小行星着陆段引力计算方法，其特征在于，所述步骤4)具体包括：基于多面体方法求解得到各个采样点的引力；通过下述方程依次拟合采样点的引力沿各轴的分量：
Figure FDA0003868755200000021
其中，g表示引力，下标d＝x,y或z表示引力在某一轴方向上的分量，T表示第一类切比雪夫多项式，apqr表示待求解的切比雪夫多项式系数；根据最小二乘方法和方程(3)，求解得到切比雪夫多项式系数并保存。
3.根据权利要求2所述的基于切比雪夫多项式的小行星着陆段引力计算方法，其特征在于，所述步骤5)具体包括：导入切比雪夫多项式系数，给定目标点ρ、δ和θ，代入式(2)转换为于ξ，η和
Figure FDA0003868755200000022
然后代入式(3)求解得到目标点的引力。
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