CN108874743B - 一种控制频谱主副瓣特性的加窗方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供一种控制频谱主副瓣特性的加窗方法，通过设定不同的窗函数和赋形向量，再计算频域Wf与目标频域Wfm差值的2‑范数的最小值，获取对应的所需窗函数；则所需窗函数对待分析信号进行加窗时，能够灵活控制截断信号的主副瓣特性，如控制主瓣展宽及主瓣增益损失、压低部分区域的副瓣，能够改善遮蔽效应，增强弱目标的检测能力，通用性强，实用性高，灵活性好。
Description
技术领域
本发明属于数字信号处理领域，尤其涉及一种控制频谱主副瓣特性的加窗方法。
背景技术
加窗，这个具有近百年历史的通用技术，几乎在所有基于频谱分析的信号处理领域都有所应用。如在基于傅里叶变换的频谱分析中，加特定的窗函数可以改善无限长序列由于被截断而在频域产生的频谱泄露问题；在雷达信号处理领域，对雷达回波信号，如线性调频信号回波的处理，通常都要在匹配滤波的最后一步加窗，从而改善脉冲压缩的输出特性，使各散射点之前由于副瓣遮蔽效应造成的影响降低。除此之外，在波束形成、数字滤波器设计等相关领域，窗函数都有所应用。由此可见，设计具有良好主副瓣特性的窗函数是十分必要的。
矩形(Rectangle)窗是默认的，也是最简单的窗函数。但由于其时域的不连续性，其幅频特性具有较高的副瓣，即存在较大的频谱泄露。由于具有如狄拉克(Dirac)函数一般的具有理想频谱特性的窗函数在实际中并不存在，所以很多学者从各个角度提出了较优的窗函数设计。一类常用的加窗函数是具有固定形状和表达式的窗，窗长是其唯一的参数。例如三角(Triangle)窗，汉明(Hamming)窗，汉宁(Hanning)窗、布莱克曼(Blackman)窗等等。这些窗函数旨在通过对矩形窗的不连续区域进行平滑处理来达到较低的副瓣输出效果，但是这样往往会带来较高的主瓣增益损失及较大的主瓣展宽。其另一个缺点是不灵活，即一旦窗函数选定，其时/频域特性也随之确定。这就要求设计者必须熟悉了解多种此类窗函数的属性，权衡主瓣展宽、主瓣增益损失和低副瓣值等等的主副瓣特性，才有可能选出适合当下应用的窗函数。另一类窗是以凯撒(Kaiser)窗、切比雪夫(Chebyshev)窗、高斯(Gauss)窗为代表的具有一个可调整参数的窗函数。窗函数的主副瓣特性可通过调整此参数来实现。其具有一定的灵活性，但是一个参数并不能独立控制主瓣和副瓣特性，设计者仍需做出权衡与选择。后来，有学者提出由多个参数控制的窗函数，如巴特沃斯(Butterworth)窗等。其各参数可以独立控制主瓣特性及副瓣特性，窗函数的灵活度进一步提升。但是，在一些实际应用中，并不是频谱上所有的副瓣都需要被抑制。在窗函数的应用过程中，若具有强频率成分的目标的副瓣高于具有弱频率成分的目标的主瓣，则会产生相应的遮蔽效应，对弱目标检测与测量造成影响。这时我们只需要根据一些对于强弱目标的已知信息，去压低感兴趣区域的副瓣即可达到目的。
发明内容
为解决上述问题，本发明提供一种控制频谱主副瓣特性的加窗方法，能够改善遮蔽效应，增强弱目标的检测能力，通用性强，实用性高，灵活性好。
一种控制频谱主副瓣特性的加窗方法，包括以下步骤：
S1：根据设定初始窗函数w0的频域Wf0与设定的赋形向量m的乘积，获取目标频域Wfm；
S2：设期望窗函数w的频域为Wf，获取频域Wf与目标频域Wfm差值的2-范数取最小值时对应的期望窗函数w，所述对应的期望窗函数w为待定窗函数；
S3：判断所述待定窗函数是否满足设定条件：如果满足，所述待定窗函数为所需窗函数，并执行步骤S4；否则将所述待定窗函数取代设定初始窗函数w0后，重新执行步骤S1和S2，直到所述待定窗函数满足设定条件，获取所需窗函数；
S4：将所需窗函数截断待分析信号，从而实现加窗，进而改变待分析信号信号频谱的主副瓣特性。
可选地，所述设定条件为以下其中一个：
迭代次数不小于最大迭代次数Lmax；与上一次迭代中待定窗函数的感兴趣区域的副瓣深度差值不超过设定阈值ε0；待定窗函数的感兴趣区域的副瓣深度不大于设定阈值ε1；待定窗函数的3dB主瓣宽度不小于设定阈值ε2以及待定窗函数的主瓣增益损失不小于设定阈值ε3。
可选地，所述设定初始窗函数为w0：
其中，N为设定初始窗函数w0的有效长度，M为补零后窗函数的长度，[·]T表示向量的转置。
可选地，获取频域Wf与目标频域Wfm差值的2-范数取最小值时对应的期望窗函数w包括：
S201：获取频域Wf与目标频域Wfm差值的2-范数的最小值，则有
其中，||·||2代表2-范数，FM为M维的离散傅里叶变换矩阵；
S202：设对应的期望窗函数w的前N行非零值为窗函数
离散傅里叶变换矩阵FM的前N列作为FMN，则有
S203：获取窗函数
的最小二乘解
则有
其中，
为矩阵FMN的左逆；
S204：获取逆离散傅里叶变换矩阵
与
的关系，具体为：
其中，
为离散傅里叶变换矩阵FM的共轭转置，
为离散傅里叶变换矩阵FMN的共轭转置；
S205：根据所述逆离散傅里叶变换矩阵
的前N行与目标频域Wfm获取最小二乘解
则所述最小二乘解
为对应的期望窗函数w。
可选地，所述设定初始窗函数w0的频域Wf0获取方法包括：
对所述设定初始窗函数w0进行傅里叶变换，则获取对应的频域Wf0。
可选地，根据设定的赋形向量m与所述频域Wf0，获取目标频域Wfm，包括：
将所述赋形向量m与所述频域Wf0的乘积作为目标频域Wfm，其中所述赋形向量m为
m＝[m(1),m(2),…,m(p),…,m(M)]T
其中，m(p)为赋形向量m的元素，在所述赋形向量m的M个元素中，处于中间位置的元素对应于主瓣区间，且对应于主瓣区间的元素取值为1；对应于副瓣区间的元素对称分布在对应于主瓣区间的元素两边，对应于副瓣区间的元素取值范围为[0,1]，T表示转置。
有益效果：
本发明提供一种具有灵活主副瓣特性的用于频谱分析的窗函数及其设计方法，通过设定不同的初始窗函数和赋形向量，再计算期望频域W与目标频域Wfm差值的2-范数的最小值，获取对应的所需窗函数；则所需窗函数对待分析信号进行加窗截断后，信号频域则具有设定的主副瓣特性，如主瓣展宽及主瓣增益损失、压低部分区域的副瓣等，能够改善遮蔽效应，增强弱目标的检测能力，其通用性强，实用性高，灵活性好。
本发明同时提供了一种计算上述窗函数的快速设计算法，仅通过快速傅里叶变换(FFT)及逆快速傅里叶变换(IFFT)等快速运算操作，就能够获取期望窗函数的最小二乘解，避免了复杂的矩阵求逆、矩阵乘法、矩阵分解等计算过程，计算复杂度低，能够有效减少窗函数设计中的权衡过程及计算资源开销，满足工程中的实时性要求。
附图说明
图1为本发明实施例提供的一种控制频谱主副瓣特性的加窗方法的流程图；
图2为本发明实施例提供的副瓣深度可控的幅频特性示意图；
图3为本发明实施例提供的窗函数在3-dB主瓣宽度相同时，与现有窗函数主副瓣特性对比的示意图；
图4为本发明实施例提供的窗函数在峰值副瓣深度相同时，与现有窗函数主副瓣特性对比的示意图；
图5为本发明实施例提供的窗函数在平均副瓣深度相同时，与现有窗函数主副瓣特性对比的示意图；
图6为本发明实施例提供的窗函数在主瓣增益损失相同时，与现有窗函数主副瓣特性对比的示意图；
图7为本发明实施例提供的基于不同的初始窗函数构建设定窗函数时，获取的所需窗函数的幅频特性示意图。
具体实施方式
为了使本技术领域的人员更好地理解本申请方案，下面将结合本申请实施例中的附图，对本申请实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述。
参见图1，该图为本实施例提供的一种控制频谱主副瓣特性的加窗方法的流程图。本实施例以矩形窗构建设定初始窗函数w0为例进行详细说明。一种控制频谱主副瓣特性的加窗方法，包括以下步骤：
S1：根据设定初始窗函数w0的频域Wf0与设定的赋形向量m的乘积，获取目标频域Wfm。
下面介绍所述频域Wf0的一种获取方式。当所述设定初始窗函数w0为时域窗函数时，所述设定初始窗函数w0的频域Wf0获取方法包括以下步骤：
S101：假设所述设定初始窗函数w0为：
其中，N为设定初始窗函数中矩形窗的有效长度，即1的个数；M为补零后设定初始窗函数的长度。
需要说明的是，本实施例在设定初始窗函数尾部补(M-N),M>>N个零，是为了降低由离散傅里叶变换带来的栅栏效应。
S102：对所述设定初始窗函数w0进行离散傅里叶变换，获取对应的频域Wf0。具体的：
Wf0＝FMw0 (2)
其中，FM是M点的离散傅里叶变换矩阵：
其中，j为虚数单位，k∈[0,M-1]。上述频域Wf0的模值|Wf0|即为矩形窗w0的幅频特性。
下面介绍所述赋形向量m的一种获取方式：
其中，m(p)为赋形向量m的元素，在所述赋形向量m的M个元素中，处于中间位置的元素对应于主瓣区间，且对应于主瓣区间的元素取值为1；对应于副瓣区间的元素对称分布在对应于主瓣区间的元素两边，对应于副瓣区间的元素取值范围为[0,1]。
需要说明的是，为了保持窗函数的实对称性，根据离散傅里叶变换理论，本实施例将赋形向量m的各个元素定义为
需要说明的是，赋形向量m是由一系列比例系数构成的向量，其作用是对初始的设定初始窗函数w0的频域Wf0进行赋形加权，从而获得目标频域Wfm，则可以通过控制赋形向量m来灵活的控制窗函数的副瓣特性而保持主瓣特性不变。例如，在副瓣区间中选定感兴趣区域[a,b]，则
就代表了目标频域Wfm在副瓣区间[a,b]的水平。此外，对应于主瓣区间的元素个数和对应于副瓣区间的元素个数，需根据设定初始窗函数的主瓣宽度和副瓣宽度确定。
参见图2，该图为实施例提供的副瓣深度可控的副瓣幅频特性示意图。在副瓣区间中选取不同的感兴趣区域，并设定三个感兴趣区域的平均副瓣深度分别为-60dB,-80dB以及-95dB，则通过使不同的感兴趣区域对应赋形向量m中不同的比例系数，使本实施例提供的窗函数较为精确的达到设定需求。也就是说，本实施例提供的加窗方法能够根据设计者的实际需求设置不同的赋形向量，从而控制主瓣展宽、主瓣增益损失、副瓣的位置以及深度。
S2：假设期望窗函数w的频域为Wf，获取频域Wf与目标频域Wfm差值的2-范数取最小值时对应的期望窗函数w，所述对应的期望窗函数w为待定窗函数。
下面介绍获取频域W与目标频域Wfm的2-范数取最小值时对应的期望窗函数w的一种实现方式。
S201：获取频域W与目标频域Wfm差值的2-范数的最小值，则有
其中，||·||2代表2-范数，FM为M维的离散傅里叶变换矩阵；可以知道，在理想情况下，式(5)为0，即
FMw＝Wfm (6)
似乎可以直接在等式(6)两边左乘离散傅里叶变换矩阵的逆
得到期望窗函数w：
但是需要注意，由于对应的期望窗函数w中的有效长度，即非零行的长度应为N，其后面(M-N)的位置均为填充的零值，而式(7)结果并不能保证后面(M-N)的位置为全零值。因此，需要将对应的期望窗函数w中的非零行单独抽取出来，再执行后续步骤。
S202：设对应的期望窗函数w的前N行非零值为窗函数
离散傅里叶变换矩阵FM的前N列作为FMN，则有
其中，
需要说明的是，矩阵方程(8)为具有M个方程和N个未知量的超定方程，只有在极少的情况下，超定方程才具有精确解。然而超定方程一定存在一个最小二乘解。
S203：获取窗函数
的最小二乘解
则有
其中，
为离散傅里叶变换矩阵FMN的左逆，具体的
同时，为了保证窗的实值非负特性，本实施例对最小二乘解取了模值。
S204：逆离散傅里叶变换矩阵
与
的关系表示如下
其中，
为M点的离散逆傅里叶变换矩阵，
为离散傅里叶变换矩阵FM的共轭转置，
为离散傅里叶变换矩阵FMN的共轭转置。
S205：根据离散逆傅里叶变换矩阵
的前N行与目标频域Wfm获取最小二乘解
则所述最小二乘解
为对应的期望窗函数w。
需要说明的是，最小二乘解的求解过程相当复杂，特别是FMN的左逆
的求解更为复杂。根据离散傅里叶变换矩阵的性质，并经过推导发现逆离散傅里叶变换矩阵
的前N行即为矩阵FMN的左逆
进而，提出用快速傅里叶变换(FFT)和逆快速傅里叶变换(IFFT)来代替S2中的求解左逆
的相关矩阵乘法，以达到降低计算复杂度的目的。
需要说明的是，对于逆离散傅里叶变换矩阵
的前N行与FMN的左逆
相等的证明过程，本实施例不做赘述。
需要说明的是，由于最小二乘解本身并不是精确解，同时为了保证待定窗函数的实值非负特性，本实施例忽略了最小二乘解的相位信息，这也带来了相应的误差，导致此时的待定窗函数的频域特性并不完全符合期望。则为了使待定窗函数尽可能接近最终所需的窗函数，本实施例通过迭代运算来达到这一目的。迭代运算具体为：
S3：判断所述待定窗函数是否满足设定条件：如果满足，所述待定窗函数为所需窗函数，否则将所述待定窗函数取代设定初始窗函数w0后，重新执行步骤S1和S2，直到满足设定条件，获取所需窗函数。
其中，所述设定条件为以下其中一个：
迭代次数不小于最大迭代次数Lmax；与上一次迭代中待定窗函数的感兴趣区域的副瓣深度差值不超过设定阈值ε0；待定窗函数的感兴趣区域的副瓣深度不大于设定阈值ε1；待定窗函数的3dB主瓣宽度不小于设定阈值ε2以及待定窗函数的主瓣增益损失不小于设定阈值ε3。
所述设定条件具体的表达式为：
其中，SLl为第l次迭代时待定窗函数的感兴趣区域的副瓣深度，SLl-1为第l-1次迭代时待定窗函数的感兴趣区域的副瓣深度，MLWl为第l次迭代时待定窗函数的主瓣最大值下降3dB时对应的宽度，GLl为第l次迭代时待定窗函数的主瓣增益损失。
需要说明的是，Lmax控制着迭代的最大次数，ε0控制迭代的收敛条件，ε1,ε2,ε3分别控制着窗函数在频域的副瓣深度、主瓣展宽及主瓣增益损失。当满足任何一个条件时，迭代将停止，否则将所述待定窗函数取代设定初始窗函数w0后，重复S1到S3。
S4：将所需窗函数截断待分析信号，从而实现加窗，进而改变加窗截断后信号频谱的主副瓣特性。
参见表1，该表为本实施例产生的所需窗函数与常用窗函数的主副瓣特性对比。
其中，3-dB主瓣宽度、峰值副瓣深度、平均副瓣深度以及主瓣增益损失越小越好。例如，在3-dB主瓣宽度相同的情况下，本实施例提供的窗函数的峰值副瓣深度优于凯撒窗函数和高斯窗函数，平均副瓣深度优于高斯窗函数和切比雪夫窗函数，主瓣增益损失优于切比雪夫窗函数、凯撒窗函数以及高斯窗函数。同理可得在峰值副瓣深度、平均副瓣深度以及主瓣增益损失相同的情况下，本实施例提供的窗函数相较于切比雪夫窗函数、凯撒窗函数以及高斯窗函数的主副瓣特性。因此由表1可知，通过本实施例获取的所需窗函数，综合性能最好。
参见图3～图6，分别为在3-dB主瓣宽度相同、峰值副瓣深度相同、平均副瓣深度相同以及主瓣增益损失相同时，本实施例提供的窗函数与现有窗函数主副瓣特性对比的示意图。例如，由图6可知，在主瓣增益损失相同的情况下，本实施例提供的窗函数对主副瓣特性的控制效果最为明显。同理，可以从图3～图5中获取本实施例提供的窗函数与现有窗函数主副瓣特性对比情况。因此由图3～图6可知，通过本实施例获取的所需窗函数，综合性能最好。
需要说明的是，除了矩形窗，任何已知的窗函数都可以用来构建本实施例的设定初始窗函数w0，例如汉明窗、布莱克曼窗以及切比雪夫窗来。参见图7，该图为本实施例提供的基于不同窗函数构建设定窗函数时，获取的所需窗函数的副瓣幅频特性示意图。由此可知，不管采用何种基础窗函数来构建设定窗函数，通过本实施例方法获取的所需窗函数，均可对主瓣特性和副瓣特性进行灵活控制。同时，本实施例获取的所需窗函数不仅具有原初始窗函数的优良主副瓣特性，而且还具有灵活的副瓣特性，即在感兴趣区域形成特定深度的副瓣。
需要说明的是，当所述设定初始窗函数w0为频域窗函数时，对所述设定窗函数w0进行逆离散傅里叶变换，则能够获取对应的时域Wf0。也就是说，若加窗域为频域，只要交换上述方法流程中快速傅里叶变换(FFT)和逆快速傅里叶变换(IFFT)的操作，就可以直接应用于频域加窗，从而控制窗函数的时域特性。本实施例对此不做赘述。
当然，本发明还可有其他多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，熟悉本领域的技术人员当然可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。
Claims (4)
1.一种控制频谱主副瓣特性的加窗方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1：根据设定初始窗函数w0的频域Wf0与设定的赋形向量m的乘积，获取目标频域Wfm；其中，所述设定初始窗函数w0为：
其中，N为设定初始窗函数w0的有效长度，M为补零后窗函数的长度，[·]T表示向量的转置；
S2：设期望窗函数w的频域为Wf，获取频域Wf与目标频域Wfm差值的2-范数取最小值时对应的期望窗函数w，所述对应的期望窗函数w为待定窗函数；其中，所述期望窗函数w的获取方法为：
S201：获取频域Wf与目标频域Wfm差值的2-范数的最小值，则有
其中，||·||2代表2-范数，FM为M维的离散傅里叶变换矩阵；
S202：设对应的期望窗函数w的前N行非零值为窗函数
离散傅里叶变换矩阵FM的前N列作为FMN，则有
S203：获取窗函数
的最小二乘解
则有
其中，
为矩阵FMN的左逆；
S204：获取逆离散傅里叶变换矩阵
与
的关系，具体为：
其中，
为离散傅里叶变换矩阵FM的共轭转置，
为离散傅里叶变换矩阵FMN的共轭转置；
S205：根据所述逆离散傅里叶变换矩阵
的前N行与目标频域Wfm获取最小二乘解
则所述最小二乘解
为对应的期望窗函数w；
S3：判断所述待定窗函数是否满足设定条件：如果满足，所述待定窗函数为所需窗函数，并执行步骤S4；否则将所述待定窗函数取代设定初始窗函数w0后，重新执行步骤S1和S2，直到所述待定窗函数满足设定条件，获取所需窗函数；
S4：将所需窗函数截断待分析信号，从而实现加窗，进而改变待分析信号频谱的主副瓣特性。
2.如权利要求1所述的一种控制频谱主副瓣特性的加窗方法，其特征在于，所述设定条件为以下其中一个：
迭代次数不小于最大迭代次数Lmax；与上一次迭代中待定窗函数的感兴趣区域的副瓣深度差值不超过设定阈值ε0；待定窗函数的感兴趣区域的副瓣深度不大于设定阈值ε1；待定窗函数的3dB主瓣宽度不小于设定阈值ε2以及待定窗函数的主瓣增益损失不小于设定阈值ε3。
3.如权利要求1所述的一种控制频谱主副瓣特性的加窗方法，其特征在于，所述设定初始窗函数w0的频域Wf0获取方法包括：
对所述设定初始窗函数w0进行傅里叶变换，则获取对应的频域Wf0。
4.如权利要求1所述的一种控制频谱主副瓣特性的加窗方法，其特征在于，根据设定的赋形向量m与所述频域Wf0，获取目标频域Wfm，包括：
将所述赋形向量m与所述频域Wf0的乘积作为目标频域Wfm，其中所述赋形向量m为
m＝[m(1),m(2),…,m(p),…,m(M)]T
其中，m(p)为赋形向量m的元素，在所述赋形向量m的M个元素中，处于中间位置的元素对应于主瓣区间，且对应于主瓣区间的元素取值为1；对应于副瓣区间的元素对称分布在对应于主瓣区间的元素两边，且对应于副瓣区间的元素取值范围为[0,1]。
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