CN108872935B - 一种基于距离测量的静止刚体定位方法 - Google Patents

一种基于距离测量的静止刚体定位方法 Download PDF

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CN108872935B CN201810567164.0A CN201810567164A CN108872935B CN 108872935 B CN108872935 B CN 108872935B CN 201810567164 A CN201810567164 A CN 201810567164A CN 108872935 B CN108872935 B CN 108872935B
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Abstract

本发明公开了一种基于距离测量的静止刚体定位方法，其先确定刚体定位问题的约束最小二乘表述形式，其包含有待估计的旋转矩阵和位置矢量；然后通过改变约束条件，得到刚体定位问题的约束最小二乘表述形式的转化形式，进而得到刚体定位问题的半正定规划形式；再对刚体定位问题的半正定规划形式进行求解，得到旋转矩阵和位置矢量各自的初步值；最后对旋转矩阵的初步值进行正交化，将正交化后的值作为旋转矩阵的估计值，且直接将位置矢量的初步值作为其估计值；优点是其在无线传感器网络中锚节点分布比较差或无线传感器网络中噪声比较大的情况下，也能对刚体的旋转和位置进行精确估计，且计算复杂度低。

Description

一种基于距离测量的静止刚体定位方法
技术领域
本发明涉及一种目标定位方法，尤其是涉及一种无线传感器网络中基于距离测量的静止刚体定位方法，其定位内容为估计刚体的旋转和位置。
背景技术
近些年来，无线传感器技术的快速发展使得无线传感器网络(WSN)在与定位导航、安防监控相关的不同领域得到了广泛应用。在很多实际应用中，精确估计刚体(即有固定形状的物体)的旋转和位置是非常重要的，如机器人、航天飞船、水下交通工具等等。因此，对无线传感器网络中刚体的定位方法的研究十分有必要。
目前，对于无线传感器网络中刚体的定位方法，使用较多的是基于距离测量的方法，其优点是测量系统复杂度低，可实现高精度的定位结果。然而，在无线传感器网络中锚节点分布比较差或无线传感器网络中噪声比较大的情况下，现有的基于距离测量的方法的定位精度会明显下降；而现有的定位精度较高的定位方法，其计算复杂度比较高。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是提供一种基于距离测量的静止刚体定位方法，其在无线传感器网络中锚节点分布比较差或无线传感器网络中噪声比较大的情况下，也能对刚体的旋转和位置进行精确估计，且计算复杂度低。
本发明解决上述技术问题所采用的技术方案为：一种基于距离测量的静止刚体定位方法，其特征在于包括以下步骤：
步骤一：设定无线传感器网络中存在M个用于接收测量信号的锚节点和一个刚体，并设定刚体的内部放置有N个用于发射测量信号的未知节点；在无线传感器网络中建立一个空间坐标系作为全局参考坐标系，并在刚体的内部设置一个空间坐标系作为局部参考坐标系；将M个锚节点在全局参考坐标系中的坐标位置对应记为a1,...,am,...,aM，将刚体运动前N个未知节点在局部参考坐标系中的坐标位置对应记为c1,...,ci,...,cN；其中，M和N均为正整数，M≥4，N≥3，a1表示第1个锚节点在全局参考坐标系中的坐标位置，m为正整数，1≤m≤M，am表示第m个锚节点在全局参考坐标系中的坐标位置，aM表示第M个锚节点在全局参考坐标系中的坐标位置，c1表示刚体运动前第1个未知节点在局部参考坐标系中的坐标位置，i为正整数，1≤i≤N，ci表示刚体运动前第i个未知节点在局部参考坐标系中的坐标位置，cN表示刚体运动前第N个未知节点在局部参考坐标系中的坐标位置；
步骤二：使刚体运动，将刚体运动后N个未知节点在全局参考坐标系中的坐标位置对应记为s1,...,si,...,sN；然后获取每个未知节点到各个锚节点的测量距离，将第i个未知节点到第m个锚节点的测量距离记为rmi；其中，s1表示刚体运动后第1个未知节点在全局参考坐标系中的坐标位置，si表示刚体运动后第i个未知节点在全局参考坐标系中的坐标位置，sN表示刚体运动后第N个未知节点在全局参考坐标系中的坐标位置；
步骤三：对刚体运动后每个未知节点在全局参考坐标系中的坐标位置以模型方式进行描述，将si的模型描述为：si＝Qci+t；然后对每个未知节点到各个锚节点的测量距离以模型方式进行描述，将rmi的模型描述为：rmi＝||am-si||+vmi＝||am-Qci-t||+vmi；接着对每个未知节点到各个锚节点的测量距离的模型描述进行形式整理，对于rmi＝||am-si||+vmi＝||am-Qci-t||+vmi，将等式rmi＝||am-Qci-t||+vmi两边同时平方，忽略
Figure BDA0001684827750000031
同时将||am-Qci-t||替换为rmi，整理得到
Figure BDA0001684827750000032
再将
Figure BDA0001684827750000033
Figure BDA0001684827750000034
堆砌成向量的形式，描述为：
Figure BDA0001684827750000035
最后令
Figure BDA0001684827750000036
成立，并确定刚体定位问题的约束最小二乘表述形式，描述为：
Figure BDA0001684827750000037
其中，Q表示旋转矩阵，Q的维数为3×3，t表示位置矢量，t代表刚体运动后局部参考坐标系的原点在全局参考坐标系中的坐标位置，t的维数为3×1，符号“||||”为求欧几里德范数符号，vmi表示rmi中存在的测量噪声，vmi服从零均值的高斯分布
Figure BDA0001684827750000038
Figure BDA0001684827750000039
表示vmi的功率，
Figure BDA00016848277500000310
为ci的转置，
Figure BDA00016848277500000311
为am的转置，符号
Figure BDA00016848277500000312
为克罗内克积运算符号，vec(Q)表示对Q进行矩阵矢量化，QT为Q的转置，d＝[p11,…,pM1,p12,…,pM2,…,p1N,…,pMN]T，符号“[]”为矢量表示符号，[p11,…,pM1,p12,…,pM2,…,p1N,…,pMN]T为[p11,...,pM1,p12,…,pM2,…,p1N,…,pMN]的转置，
Figure BDA00016848277500000313
r11表示第1个未知节点到第1个锚节点的测量距离，
Figure BDA00016848277500000314
rM1表示第1个未知节点到第M个锚节点的测量距离，
Figure BDA00016848277500000315
r12表示第2个未知节点到第1个锚节点的测量距离，c2表示刚体运动前第2个未知节点在局部参考坐标系中的坐标位置，
Figure BDA00016848277500000316
rM2表示第2个未知节点到第M个锚节点的测量距离，
Figure BDA00016848277500000317
r1N表示第N个未知节点到第1个锚节点的测量距离，
Figure BDA00016848277500000318
rMN表示第N个未知节点到第M个锚节点的测量距离，H＝[h11,...,hM1,h12,…,hM2,…,h1N,…,hMN]T，[h11,...,hM1,h12,…,hM2,…,h1N,…,hMN]T为[h11,...,hM1,h12,…,hM2,…,h1N,…,hMN]的转置，
Figure BDA0001684827750000041
为
Figure BDA0001684827750000042
的转置，
Figure BDA0001684827750000043
为c1的转置，
Figure BDA0001684827750000044
为a1的转置，
Figure BDA0001684827750000045
为
Figure BDA0001684827750000046
的转置，
Figure BDA0001684827750000047
为aM的转置，
Figure BDA0001684827750000048
Figure BDA0001684827750000049
为
Figure BDA00016848277500000410
的转置，
Figure BDA00016848277500000411
为c2的转置，
Figure BDA00016848277500000412
为
Figure BDA00016848277500000413
的转置，
Figure BDA00016848277500000414
Figure BDA00016848277500000415
为
Figure BDA00016848277500000424
的转置，
Figure BDA00016848277500000416
为cN的转置，
Figure BDA00016848277500000417
为
Figure BDA00016848277500000418
的转置，f＝[(vec(Q))T,tT,(QTt)T,||t||2]T，[(vec(Q))T,tT,(QTt)T,||t||2]T为[(vec(Q))T,tT,(QTt)T,||t||2]的转置，(vec(Q))T为vec(Q)的转置，tT为t的转置，(QTt)T为QTt的转置，
Figure BDA00016848277500000419
[2r11v11,...,2rM1vM1,2r12v12,…,2rM2vM2,…,2r1Nv1N,…,2rMNvMN]T为[2r11v11,...,2rM1vM1,2r12v12,…,2rM2vM2,…,2r1Nv1N,…,2rMNvMN]的转置，v11表示r11中存在的测量噪声，vM1表示rM1中存在的测量噪声，v12表示r12中存在的测量噪声，vM2表示rM2中存在的测量噪声，v1N表示r1N中存在的测量噪声，vMN表示rMN中存在的测量噪声，min()为取最小值函数，(d-Hf)T为(d-Hf)的转置，
Figure BDA00016848277500000420
为
Figure BDA00016848277500000421
的逆，
Figure BDA00016848277500000422
Figure BDA00016848277500000423
[r11,…,rM1,r12,…,rM2,…,r1N,…,rMN]T为[r11,…,rM1,r12,…,rM2,…,r1N,…,rMN]的转置，
Figure BDA0001684827750000051
diag()为对角线矩阵表示形式，
Figure BDA0001684827750000052
表示v11的功率，
Figure BDA0001684827750000053
表示vM1的功率，
Figure BDA0001684827750000054
表示v12的功率，
Figure BDA0001684827750000055
表示vM2的功率，
Figure BDA0001684827750000056
表示v1N的功率，
Figure BDA0001684827750000057
表示vMN的功率，I为单位矩阵，I的维数为3×3，det(Q)表示求Q的行列式，QTQ＝I和det(Q)＝1为Q需要满足的条件，“s.t.”表示“受约束于……”；
步骤四：令F＝ffT，使刚体定位问题的约束最小二乘表述形式中的约束条件QTQ＝I等价于
Figure BDA0001684827750000058
并使f中的QTt形成约束条件
Figure BDA0001684827750000059
根据(QTt)TQTt＝tTt和||t||2＝tTt，得到约束条件
Figure BDA00016848277500000510
然后舍掉刚体定位问题的约束最小二乘表述形式中的约束条件det(Q)＝1，将刚体定位问题的约束最小二乘表述形式转化为：
Figure BDA0001684827750000061
再根据F＝ffT等价于
Figure BDA0001684827750000062
去掉非凸的关于矩阵F的约束rank(F)＝1，将
Figure BDA0001684827750000063
结合到刚体定位问题的约束最小二乘表述形式的转化形式中，得到刚体定位问题的半正定规划形式，描述为：
Figure BDA0001684827750000064
最后对刚体定位问题的半正定规划形式进行求解，得到Q和t各自的初步值，对应记为Qsdp和tsdp；其中，HT为H的转置，dT为d的转置，F为引入的矩阵，F的维数为16×16，fT为f的转置，tr()表示求一个矩阵中的所有对角元素的值的和，F(1:3,1:3)表示由F的第1行至第3行、第1列至第3列所有元素形成的矩阵，F(4:6,4:6)表示由F的第4行至第6行、第4列至第6列所有元素形成的矩阵，F(7:9,7:9)表示由F的第7行至第9行、第7列至第9列所有元素形成的矩阵，F(1,4)表示F的第1行第4列元素的值，F(2,5)表示F的第2行第5列元素的值，F(3,6)表示F的第3行第6列元素的值，F(1,7)表示F的第1行第7列元素的值，F(2,8)表示F的第2行第8列元素的值，F(3,9)表示F的第3行第9列元素的值，F(4,7)表示F的第4行第7列元素的值，F(5,8)表示F的第5行第8列元素的值，F(6,9)表示F的第6行第9列元素的值，f(13)表示f中的第13个元素的值，f(14)表示f中的第14个元素的值，f(15)表示f中的第15个元素的值，F(1:3,10:12)表示由F的第1行至第3行、第10列至第12列所有元素形成的矩阵，F(4:6,10:12)表示由F的第4行至第6行、第10列至第12列所有元素形成的矩阵，F(7:9,10:12)表示由F的第7行至第9行、第10列至第12列所有元素形成的矩阵，F(10:12,10:12)表示由F的第10行至第12行、第10列至第12列所有元素形成的矩阵，F(13:15,13:15)表示由F的第13行至第15行、第13列至第15列所有元素形成的矩阵，f(16)表示f中的第16个元素的值，符号
Figure BDA0001684827750000071
表示一个矩阵是半正定的，rank()表示求一个矩阵的秩；
步骤五：对Qsdp进行正交化，将正交化后得到的值记为Qort，Qort满足
Figure BDA0001684827750000072
且det(Qort)＝1；然后将Qort作为Q的估计值，将tsdp作为t的估计值；其中，
Figure BDA0001684827750000073
为Qort的转置，det(Qort)表示求Qort的行列式。
所述的步骤五执行完毕后，继续执行以下步骤六，具体如下：
步骤六：对Qort和tsdp进行优化，得到Qort和tsdp各自的优化值，对应记为Qfin和tfin；将Qfin作为Q的最优估计值，将tfin作为t的最优估计值。
与现有技术相比，本发明的优点在于：
1)本发明方法充分利用了测量距离等式平方后估计参数和已知参数的线性关系，减少了半正定规划问题中的优化变量，降低了计算复杂度，缩短了计算时间。
2)本发明方法中的优化变量较少，且优化变量只与旋转矩阵和位置矢量有关，因此估计结果精度较高，且在无线传感器网络中锚节点分布比较差或无线传感器网络中噪声比较大的情况下，也能对刚体的旋转和位置进行精确估计。
3)本发明方法中半正定规划问题中的优化变量个数是固定的，不会随锚节点和刚体内未知节点的个数变化而改变，因此本发明方法的稳健性较高，在不同场景中均有较高的定位精度。
附图说明
图1为本发明方法的总体实现流程框图；
图2a为刚体运动前刚体的内部设置的未知节点在局部参考坐标系中的坐标位置的示意图；
图2b为锚节点在全局参考坐标系中的坐标位置及刚体运动后刚体的内部设置的未知节点在全局参考坐标系中的坐标位置的示意图；
图3为本发明方法与现有的分拆各个击破的方法和现有的半正定规划方法的关于旋转矩阵的估计值与旋转矩阵的真实值的均方根误差随测量噪声标准差增加的变化图
图4为本发明方法与现有的分拆各个击破的方法和现有的半正定规划方法的关于位置矢量的估计值与位置矢量的真实值的均方根误差随测量噪声标准差增加的变化图。
具体实施方式
以下结合附图实施例对本发明作进一步详细描述。
本发明提出的一种基于距离测量的静止刚体定位方法，其总体实现流程框图如图1所示，其包括以下步骤：
步骤一：设定无线传感器网络中存在M个用于接收测量信号的锚节点和一个刚体，并设定刚体的内部放置有N个用于发射测量信号的未知节点；在无线传感器网络中建立一个空间坐标系作为全局参考坐标系，并在刚体的内部设置一个空间坐标系作为局部参考坐标系；将M个锚节点在全局参考坐标系中的坐标位置对应记为a1,...,am,...,aM，将刚体运动前N个未知节点在局部参考坐标系中的坐标位置对应记为c1,...,ci,...,cN；其中，M和N均为正整数，M≥4，如取M＝10，N≥3，如取N＝5，a1表示第1个锚节点在全局参考坐标系中的坐标位置，m为正整数，1≤m≤M，am表示第m个锚节点在全局参考坐标系中的坐标位置，aM表示第M个锚节点在全局参考坐标系中的坐标位置，c1表示刚体运动前第1个未知节点在局部参考坐标系中的坐标位置，i为正整数，1≤i≤N，ci表示刚体运动前第i个未知节点在局部参考坐标系中的坐标位置，cN表示刚体运动前第N个未知节点在局部参考坐标系中的坐标位置，c1,...,ci,...,cN已知，由人为设定，图2a给出了刚体运动前刚体的内部设置的未知节点在局部参考坐标系中的坐标位置，图2b给出了锚节点在全局参考坐标系中的坐标位置，刚体运动为刚体旋转或位移或旋转和位移。
步骤二：使刚体运动，将刚体运动后N个未知节点在全局参考坐标系中的坐标位置对应记为s1,...,si,...,sN；然后采用现有技术获取每个未知节点到各个锚节点的测量距离，将第i个未知节点到第m个锚节点的测量距离记为rmi(参见图2b)；其中，s1表示刚体运动后第1个未知节点在全局参考坐标系中的坐标位置，si表示刚体运动后第i个未知节点在全局参考坐标系中的坐标位置，sN表示刚体运动后第N个未知节点在全局参考坐标系中的坐标位置，s1,...,si,...,sN未知，图2b同时给出了刚体运动后刚体的内部设置的未知节点在全局参考坐标系中的坐标位置。
步骤三：对刚体运动后每个未知节点在全局参考坐标系中的坐标位置以模型方式进行描述，将si的模型描述为：si＝Qci+t；然后对每个未知节点到各个锚节点的测量距离以模型方式进行描述，将rmi的模型描述为：rmi＝||am-si||+vmi＝||am-Qci-t||+vmi；接着对每个未知节点到各个锚节点的测量距离的模型描述进行形式整理，对于rmi＝||am-si||+vmi＝||am-Qci-t||+vmi，将等式rmi＝||am-Qci-t||+vmi两边同时平方，忽略
Figure BDA0001684827750000101
同时将||am-Qci-t||替换为rmi，整理得到
Figure BDA0001684827750000102
再将
Figure BDA0001684827750000103
Figure BDA0001684827750000104
堆砌成向量的形式，描述为：
Figure BDA0001684827750000105
最后令
Figure BDA0001684827750000106
成立，并确定刚体定位问题的约束最小二乘表述形式，描述为：
Figure BDA0001684827750000107
其中，Q表示旋转矩阵，Q的维数为3×3，t表示位置矢量，t代表刚体运动后局部参考坐标系的原点在全局参考坐标系中的坐标位置，t的维数为3×1，符号“|| ||”为求欧几里德范数符号，vmi表示rmi中存在的测量噪声，vmi服从零均值的高斯分布
Figure BDA0001684827750000108
Figure BDA0001684827750000109
表示vmi的功率，
Figure BDA00016848277500001010
为ci的转置，
Figure BDA00016848277500001011
为am的转置，符号
Figure BDA00016848277500001012
为克罗内克积运算符号，vec(Q)表示对Q进行矩阵矢量化，QT为Q的转置，d＝[p11,...,pM1,p12,…,pM2,…,p1N,…,pMN]T，符号“[]”为矢量表示符号，[p11,...,pM1,p12,…,pM2,…,p1N,…,pMN]T为[p11,…,pM1,p12,…,pM2,…,p1N,…,pMN]的转置，
Figure BDA0001684827750000111
r11表示第1个未知节点到第1个锚节点的测量距离，
Figure BDA0001684827750000112
rM1表示第1个未知节点到第M个锚节点的测量距离，
Figure BDA0001684827750000113
r12表示第2个未知节点到第1个锚节点的测量距离，c2表示刚体运动前第2个未知节点在局部参考坐标系中的坐标位置，
Figure BDA0001684827750000114
rM2表示第2个未知节点到第M个锚节点的测量距离，
Figure BDA0001684827750000115
r1N表示第N个未知节点到第1个锚节点的测量距离，
Figure BDA0001684827750000116
rMN表示第N个未知节点到第M个锚节点的测量距离，H＝[h11,…,hM1,h12,…,hM2,…,h1N,…,hMN]T，[h11,...,hM1,h12,…,hM2,…,h1N,…,hMN]T为[h11,...,hM1,h12,…,hM2,…,h1N,…,hMN]的转置，
Figure BDA0001684827750000117
为
Figure BDA0001684827750000118
的转置，
Figure BDA0001684827750000119
为c1的转置，
Figure BDA00016848277500001110
为a1的转置，
Figure BDA00016848277500001111
为
Figure BDA00016848277500001112
的转置，
Figure BDA00016848277500001113
为aM的转置，
Figure BDA00016848277500001114
Figure BDA00016848277500001115
为
Figure BDA00016848277500001116
的转置，
Figure BDA00016848277500001117
为c2的转置，
Figure BDA00016848277500001118
为
Figure BDA00016848277500001119
的转置，
Figure BDA00016848277500001120
Figure BDA00016848277500001121
为
Figure BDA00016848277500001122
的转置，
Figure BDA00016848277500001123
为cN的转置，
Figure BDA00016848277500001124
为
Figure BDA00016848277500001125
的转置，f＝[(vec(Q))T,tT,(QTt)T,||t||2]T，[(vec(Q))T,tT,(QTt)T,||t||2]T为[(vec(Q))T,tT,(QTt)T,||t||2]的转置，(vec(Q))T为vec(Q)的转置，tT为t的转置，(QTt)T为QTt的转置，
Figure BDA00016848277500001126
[2r11v11,...,2rM1vM1,2r12v12,…,2rM2vM2,…,2r1Nv1N,…,2rMNvMN]T为[2r11v11,...,2rM1vM1,2r12v12,…,2rM2vM2,…,2r1Nv1N,…,2rMNvMN]的转置，v11表示r11中存在的测量噪声，vM1表示rM1中存在的测量噪声，v12表示r12中存在的测量噪声，vM2表示rM2中存在的测量噪声，v1N表示r1N中存在的测量噪声，vMN表示rMN中存在的测量噪声，min()为取最小值函数，(d-Hf)T为(d-Hf)的转置，
Figure BDA0001684827750000121
为
Figure BDA0001684827750000122
的逆，
Figure BDA0001684827750000123
Figure BDA0001684827750000124
[r11,...,rM1,r12,…,rM2,…,r1N,…,rMN]T为[r11,...,rM1,r12,…,rM2,…,r1N,…,rMN]的转置，
Figure BDA0001684827750000125
diag()为对角线矩阵表示形式，
Figure BDA0001684827750000126
表示v11的功率，
Figure BDA0001684827750000127
表示vM1的功率，
Figure BDA0001684827750000128
表示v12的功率，
Figure BDA0001684827750000129
表示vM2的功率，
Figure BDA00016848277500001210
表示v1N的功率，
Figure BDA00016848277500001211
表示vMN的功率，I为单位矩阵，I的维数为3×3，det(Q)表示求Q的行列式，QTQ＝I和det(Q)＝1为Q需要满足的条件，“s.t.”表示“受约束于……”。
步骤四：令F＝ffT，使刚体定位问题的约束最小二乘表述形式中的约束条件QTQ＝I等价于
Figure BDA00016848277500001212
并使f中的QTt形成约束条件
Figure BDA00016848277500001213
根据(QTt)TQTt＝tTt和||t||2＝tTt，得到约束条件
Figure BDA00016848277500001214
然后舍掉刚体定位问题的约束最小二乘表述形式中的约束条件det(Q)＝1，将刚体定位问题的约束最小二乘表述形式转化为：
Figure BDA0001684827750000131
再根据F＝ffT等价于
Figure BDA0001684827750000132
去掉非凸的关于矩阵F的约束rank(F)＝1，将
Figure BDA0001684827750000133
结合到刚体定位问题的约束最小二乘表述形式的转化形式中，得到刚体定位问题的半正定规划形式，描述为：
Figure BDA0001684827750000134
最后对刚体定位问题的半正定规划形式进行求解，得到Q和t各自的初步值，对应记为Qsdp和tsdp；其中，HT为H的转置，dT为d的转置，F为引入的矩阵，F的维数为16×16，fT为f的转置，tr()表示求一个矩阵中的所有对角元素的值的和，F(1:3,1:3)表示由F的第1行至第3行、第1列至第3列所有元素形成的矩阵，F(4:6,4:6)表示由F的第4行至第6行、第4列至第6列所有元素形成的矩阵，F(7:9,7:9)表示由F的第7行至第9行、第7列至第9列所有元素形成的矩阵，F(1,4)表示F的第1行第4列元素的值，F(2,5)表示F的第2行第5列元素的值，F(3,6)表示F的第3行第6列元素的值，F(1,7)表示F的第1行第7列元素的值，F(2,8)表示F的第2行第8列元素的值，F(3,9)表示F的第3行第9列元素的值，F(4,7)表示F的第4行第7列元素的值，F(5,8)表示F的第5行第8列元素的值，F(6,9)表示F的第6行第9列元素的值，f(13)表示f中的第13个元素的值，f(14)表示f中的第14个元素的值，f(15)表示f中的第15个元素的值，F(1:3,10:12)表示由F的第1行至第3行、第10列至第12列所有元素形成的矩阵，F(4:6,10:12)表示由F的第4行至第6行、第10列至第12列所有元素形成的矩阵，F(7:9,10:12)表示由F的第7行至第9行、第10列至第12列所有元素形成的矩阵，F(10:12,10:12)表示由F的第10行至第12行、第10列至第12列所有元素形成的矩阵，F(13:15,13:15)表示由F的第13行至第15行、第13列至第15列所有元素形成的矩阵，f(16)表示f中的第16个元素的值，符号
Figure BDA0001684827750000141
表示一个矩阵是半正定的，rank()表示求一个矩阵的秩。
步骤五：由于在步骤四中忽略了约束条件det(Q)＝1，因此刚体定位问题的半正定规划形式关于Q的求解结果Qsdp并不准确，甚至不能满足旋转矩阵的性质，即可能出现
Figure BDA0001684827750000142
或者det(Qsdp)＜0的情况，
Figure BDA0001684827750000143
为Qsdp的转置，故在本步骤中采用现有技术对Qsdp进行正交化，将正交化后得到的值记为Qort，Qort满足
Figure BDA0001684827750000144
且det(Qort)＝1；然后将Qort作为Q的估计值，将tsdp作为t的估计值；其中，
Figure BDA0001684827750000145
为Qort的转置，det(Qort)表示求Qort的行列式。
在此，对Qsdp进行正交化所采用的双重迭代算法为：
Figure BDA0001684827750000151
当abs(det(Xn+1)-1)＜10-4或者迭代次数达到设定上限时，迭代终止，其中，X0表示迭代初始值，Xn表示第n迭代得到的值，Xn+1表示第n+1迭代得到的值，abs()为求绝对值函数。
步骤六：对Qort和tsdp进行优化，得到Qort和tsdp各自的优化值，对应记为Qfin和tfin；将Qfin作为Q的最优估计值，将tfin作为t的最优估计值。
在本实施例中，步骤六中对Qort和tsdp进行优化采用的优化方法为论文“J.Jiang,G.Wang,and K.C.Ho,``Accurate localization of a rigid body via semidefiniterelaxation,”IEEE Signal Process.Lett.,vol.25,no.3,pp,378-382,Mar.2018.”(蒋坚，王刚，K.C.Ho，“基于半正定规划的精确刚体定位，”IEEE Signal Process.Lett，第25卷，第3期，页码，378-382，三月，2018年)中公开的优化方法，步骤六的具体过程为：
1)令Qfin表示Q的最优估计值，令tfin表示t的最优估计值；令Qfin＝QortQδ，tfin＝tsdp+Δt；如果Qδ满足旋转矩阵的性质，则Qfin也满足，因此在合理的假设Qδ中的欧拉角都接近于0的前提下，使用近似等式cosx≈1,sinx≈x，x为欧拉角，则得到Qδ的近似表达式为：
Figure BDA0001684827750000152
然后对Qδ的近似表达式进行线性化，得到vec(Qδ)＝γ+Lβ；并将Qfin＝QortQδ和tfin＝tsdp+Δt代入rmi＝||am-Qci-t||+vmi中，得到rmi＝||am-Qfinci-tfin||+vmi＝||am-QortQδci-tsdp-Δt||+vmi；接着将vec(Qδ)＝γ+Lβ代入rmi＝||am-Qfinci-tfin||+vmi＝||am-QortQδci-tsdp-Δt||+vmi中，得到rmi＝||emi-Uig||+vmi；之后对rmi＝||emi-Uig||+vmi的等式右边进行一阶泰勒展开，得到
Figure BDA0001684827750000161
对
Figure BDA0001684827750000162
的两边同乘以||emi||，得到
Figure BDA0001684827750000163
令qmi＝(rmi-||emi||)||emi||，则有
Figure BDA0001684827750000164
再将
Figure BDA0001684827750000165
Figure BDA0001684827750000166
堆砌成向量的形式，描述为：
Figure BDA0001684827750000167
最后令
Figure BDA0001684827750000168
成立，求解
Figure BDA0001684827750000169
中的g的线性加权最小二乘解，记为
Figure BDA00016848277500001610
Figure BDA00016848277500001611
其中，Qδ表示Q的修正矩阵，Δt表示t的修正矢量，θ、ψ和φ均为Qδ中的欧拉角，
Figure BDA00016848277500001612
Figure BDA00016848277500001613
kθ＝sinθ，kψ＝sinψ，kφ＝sinφ，cos为求余弦函数，sin为求正弦函数，vec(Qδ)表示对Qδ进行矩阵矢量化，γ＝[1 0 0 0 1 0 0 0 1]T，[1 0 0 0 1 0 0 0 1]T为[1 0 0 0 1 0 0 0 1]的转置，
Figure BDA00016848277500001614
为
Figure BDA00016848277500001615
的转置，β＝[φ θ ψ]T，[φ θ ψ]T为[φ θ ψ]的转置，
Figure BDA00016848277500001616
Figure BDA00016848277500001617
为ci的转置，
Figure BDA00016848277500001618
g＝[βT,ΔtT]T，βT为β的转置，ΔtT为Δt的转置，[βT,ΔtT]T为[βT,ΔtT]的转置，
Figure BDA00016848277500001619
为emi的转置，qmi为引入的变量，
Figure BDA00016848277500001620
[q11,...,qM1,q12,…,qM2,…,q1N,…,qMN]T为[q11,...,qM1,q12,…,qM2,…,q1N,…,qMN]的转置，q11＝(r11-||e11||)||e11||，qM1＝(rM1-||eM1||)||eM1||，q12＝(r12-||e12||)||e12||，qM2＝(rM2-||eM2||)||eM2||，q1N＝(r1N-||e1N||)||e1N||，qMN＝(rMN-||eMN||)||eMN||，
Figure BDA0001684827750000171
Figure BDA0001684827750000172
为
Figure BDA0001684827750000173
的转置，
Figure BDA0001684827750000174
为U1的转置，
Figure BDA0001684827750000175
Figure BDA0001684827750000176
为U2的转置，
Figure BDA0001684827750000177
Figure BDA0001684827750000178
为UN的转置，
Figure BDA0001684827750000179
Figure BDA00016848277500001710
[||e11||v11，...，||eM1||vM1，||e12||v12，…，||eM2||vM2，…，||e1N||v1N，…，||eMN||vMN]T为
[||e11||v11，...，||eM1||vM1，||e12||v12，…，||eM2||vM2，…，||e1N||v1N，…，||eMN||vMN]的转置，
Figure BDA00016848277500001711
为
Figure BDA00016848277500001712
的转置，
Figure BDA00016848277500001713
为
Figure BDA00016848277500001714
的逆，
Figure BDA00016848277500001715
Figure BDA00016848277500001716
[||e11||，...，||eM1||，||e12||，…，||eM2||，…，||e1N||，…，||eMN||]T为[||e11||，...，||eM1||，||e12||，…，||eM2||，…，||e1N||，…，||eMN||]的转置，
Figure BDA00016848277500001717
Figure BDA00016848277500001718
Figure BDA00016848277500001719
Figure BDA00016848277500001720
为
Figure BDA00016848277500001721
的逆。
2)将
Figure BDA00016848277500001722
代入g＝[βT，ΔtT]T中，得到
Figure BDA00016848277500001723
进而根据
Figure BDA00016848277500001724
得到β和Δt的估计值，对应记为
Figure BDA00016848277500001725
和
Figure BDA00016848277500001726
然后将
Figure BDA00016848277500001727
代入β＝[φ θ ψ]T中，得到
Figure BDA00016848277500001728
进而根据
Figure BDA00016848277500001729
得到φ、θ和ψ各自的值；接着将φ、θ和ψ各自的值代入
Figure BDA00016848277500001730
中，得到Qδ的估计值，记为
Figure BDA00016848277500001731
最后将
Figure BDA00016848277500001732
代入Qfin＝QortQδ中，得到
Figure BDA00016848277500001733
即得到Qfin的值；并将
Figure BDA00016848277500001734
代入tfin＝tsdp+Δt中，得到
Figure BDA0001684827750000181
即得到tfin的值。
上述步骤六的过程是为了进一步提高定位精度，对已求得的Qort和tsdp进行优化。
为了验证本发明方法的可行性和有效性，对本发明方法进行仿真试验。
假设刚体的内部放置了N＝5个未知节点，其相对于刚体的内部设置的局部参考坐标系的坐标位置分别为矩阵
Figure BDA0001684827750000182
的各列。无线传感器网络中放置了M＝6个锚节点，其位置均随机分布在长、宽、高对应为200米、100米、30米的长方体内(锚节点分布比较差)，该长方体的中心位置的坐标位置在全局参考坐标系中为[0,-50,-85]T，[0,-50,-85]T为[0,-50,-85]的转置。刚体的旋转和位移设置如下：假设初始状态下局部参考坐标系和全局参考坐标系重合，即在全局参考坐标系中刚体的内部的未知节点的初始位置的坐标就是其在局部参考坐标系下的坐标位置；刚体相对于X,Y,Z轴的旋转角度分别为20度、-25度和10度；位置矢量为t＝[50,50,20]T，[50,50,20]T为[50,50,20]的转置。假设同一个锚节点到所有未知节点的测量距离中存在的测量噪声的功率一致，不同的锚节点到未知节点的测量距离中存在的测量噪声的功率不同。设定未知节点到不同锚节点的测量噪声标准差分别为
Figure BDA0001684827750000183
σ表示仿真时参考的测量噪声标准差，σ∈[0.01,10]。
测试本发明方法的性能随测量噪声标准差增加的变化情况。图3给出了本发明方法与现有的分拆各个击破的方法和现有的半正定规划方法的关于旋转矩阵Q的估计值与旋转矩阵Q的真实值的均方根误差随测量噪声标准差增加的变化图；图4给出了本发明方法与现有的分拆各个击破的方法和现有的半正定规划方法的关于位置矢量t的估计值与位置矢量t的真实值的均方根误差随测量噪声标准差增加的变化图。从图3和图4中可以看出，在无线传感器网络中锚节点分布比较差和无线传感器网络中噪声比较大的情况下，无论是关于Q，还是关于t的估计，本发明方法明显优于现有的分拆各个击破的方法，当测量噪声的功率在中等到较大的水平时，本发明方法对t的估计也优于现有的半正定规划方法，对Q的估计与现有的半正定规划方法性能接近，同时本发明方法的复杂度比现有的半正定规划方法低，足以说明本发明方法在刚体定位的精度方面有足够的优势。

Claims (2)

1.一种基于距离测量的静止刚体定位方法，其特征在于包括以下步骤：
步骤一：设定无线传感器网络中存在M个用于接收测量信号的锚节点和一个刚体，并设定刚体的内部放置有N个用于发射测量信号的未知节点；在无线传感器网络中建立一个空间坐标系作为全局参考坐标系，并在刚体的内部设置一个空间坐标系作为局部参考坐标系；将M个锚节点在全局参考坐标系中的坐标位置对应记为a1,...,am,...,aM，将刚体运动前N个未知节点在局部参考坐标系中的坐标位置对应记为c1,...,ci,...,cN；其中，M和N均为正整数，M≥4，N≥3，a1表示第1个锚节点在全局参考坐标系中的坐标位置，m为正整数，1≤m≤M，am表示第m个锚节点在全局参考坐标系中的坐标位置，aM表示第M个锚节点在全局参考坐标系中的坐标位置，c1表示刚体运动前第1个未知节点在局部参考坐标系中的坐标位置，i为正整数，1≤i≤N，ci表示刚体运动前第i个未知节点在局部参考坐标系中的坐标位置，cN表示刚体运动前第N个未知节点在局部参考坐标系中的坐标位置；
步骤二：使刚体运动，将刚体运动后N个未知节点在全局参考坐标系中的坐标位置对应记为s1,...,si,...,sN；然后获取每个未知节点到各个锚节点的测量距离，将第i个未知节点到第m个锚节点的测量距离记为rmi；其中，s1表示刚体运动后第1个未知节点在全局参考坐标系中的坐标位置，si表示刚体运动后第i个未知节点在全局参考坐标系中的坐标位置，sN表示刚体运动后第N个未知节点在全局参考坐标系中的坐标位置；
步骤三：对刚体运动后每个未知节点在全局参考坐标系中的坐标位置以模型方式进行描述，将si的模型描述为：si＝Qci+t；然后对每个未知节点到各个锚节点的测量距离以模型方式进行描述，将rmi的模型描述为：rmi＝||am-si||+vmi＝||am-Qci-t||+vmi；接着对每个未知节点到各个锚节点的测量距离的模型描述进行形式整理，对于rmi＝||am-si||+vmi＝||am-Qci-t||+vmi，将等式rmi＝||am-Qci-t||+vmi两边同时平方，忽略
Figure FDA0001684827740000021
同时将||am-Qci-t||替换为rmi，整理得到
Figure FDA0001684827740000022
再将
Figure FDA0001684827740000023
Figure FDA0001684827740000024
堆砌成向量的形式，描述为：
Figure FDA0001684827740000025
最后令
Figure FDA0001684827740000026
成立，并确定刚体定位问题的约束最小二乘表述形式，描述为：
Figure FDA0001684827740000027
其中，Q表示旋转矩阵，Q的维数为3×3，t表示位置矢量，t代表刚体运动后局部参考坐标系的原点在全局参考坐标系中的坐标位置，t的维数为3×1，符号“|| ||”为求欧几里德范数符号，vmi表示rmi中存在的测量噪声，vmi服从零均值的高斯分布
Figure FDA0001684827740000028
Figure FDA0001684827740000029
表示vmi的功率，
Figure FDA00016848277400000210
为ci的转置，
Figure FDA00016848277400000211
为am的转置，符号
Figure FDA00016848277400000212
为克罗内克积运算符号，vec(Q)表示对Q进行矩阵矢量化，QT为Q的转置，d＝[p11,...,pM1,p12,…,pM2,…,p1N,…,pMN]T，符号“[ ]”为矢量表示符号，[p11,...,pM1,p12,…,pM2,…,p1N,…,pMN]T为[p11,...,pM1,p12,…,pM2,…,p1N,…,pMN]的转置，
Figure FDA00016848277400000213
r11表示第1个未知节点到第1个锚节点的测量距离，
Figure FDA00016848277400000214
rM1表示第1个未知节点到第M个锚节点的测量距离，
Figure FDA00016848277400000215
r12表示第2个未知节点到第1个锚节点的测量距离，c2表示刚体运动前第2个未知节点在局部参考坐标系中的坐标位置，
Figure FDA00016848277400000216
rM2表示第2个未知节点到第M个锚节点的测量距离，
Figure FDA00016848277400000217
r1N表示第N个未知节点到第1个锚节点的测量距离，
Figure FDA00016848277400000218
rMN表示第N个未知节点到第M个锚节点的测量距离，H＝[h11,…,hM1,h12,…,hM2,…,h1N,…,hMN]T，[h11,…,hM1,h12,…,hM2,…,h1N,…,hMN]T为[h11,...,hM1,h12,…,hM2,…,h1N,…,hMN]的转置，
Figure FDA0001684827740000031
Figure FDA0001684827740000032
为
Figure FDA0001684827740000033
的转置，
Figure FDA0001684827740000034
为c1的转置，
Figure FDA0001684827740000035
为a1的转置，
Figure FDA0001684827740000036
Figure FDA0001684827740000037
为
Figure FDA0001684827740000038
的转置，
Figure FDA0001684827740000039
为aM的转置，
Figure FDA00016848277400000310
Figure FDA00016848277400000311
为
Figure FDA00016848277400000312
的转置，
Figure FDA00016848277400000313
为c2的转置，
Figure FDA00016848277400000314
Figure FDA00016848277400000315
为
Figure FDA00016848277400000316
的转置，
Figure FDA00016848277400000317
Figure FDA00016848277400000318
为
Figure FDA00016848277400000319
的转置，
Figure FDA00016848277400000320
为cN的转置，
Figure FDA00016848277400000321
Figure FDA00016848277400000322
为
Figure FDA00016848277400000323
的转置，f＝[(vec(Q))T,tT,(QTt)T,||t|||2]T，[(vec(Q))T,tT,(QTt)T,||t||2]T为[(vec(Q))T,tT,(QTt)T,||t||2]的转置，(vec(Q))T为vec(Q)的转置，tT为t的转置，(QTt)T为QTt的转置，
Figure FDA00016848277400000328
[2r11v11,...,2rM1vM1,2r12v12,...,2rM2vM2,...,2r1Nv1N,...,2rMNvMN]T为[2r11v11,…,2rM1vM1,2r12v12,…,2rM2vM2,…,2r1Nv1N,…,2rMNvMN]的转置，v11表示r11中存在的测量噪声，vM1表示rM1中存在的测量噪声，v12表示r12中存在的测量噪声，vM2表示rM2中存在的测量噪声，v1N表示r1N中存在的测量噪声，vMN表示rMN中存在的测量噪声，min()为取最小值函数，(d-Hf)T为(d-Hf)的转置，
Figure FDA00016848277400000324
为
Figure FDA00016848277400000325
的逆，
Figure FDA00016848277400000326
Figure FDA00016848277400000327
[r11,…,rM1,r12,…,rM2,…,r1N,...,rMN]T为[r11,...,rM1,r12,…,rM2,…,r1N,…,rMN]的转置，
Figure FDA0001684827740000041
diag()为对角线矩阵表示形式，
Figure FDA0001684827740000042
表示v11的功率，
Figure FDA0001684827740000043
表示vM1的功率，
Figure FDA0001684827740000044
表示v12的功率，
Figure FDA0001684827740000045
表示vM2的功率，
Figure FDA0001684827740000046
表示v1N的功率，
Figure FDA0001684827740000047
表示vMN的功率，I为单位矩阵，I的维数为3×3，det(Q)表示求Q的行列式，QTQ＝I和det(Q)＝1为Q需要满足的条件，“s.t.”表示“受约束于……”；
步骤四：令F＝ffT，使刚体定位问题的约束最小二乘表述形式中的约束条件QTQ＝I等价于
Figure FDA0001684827740000048
并使f中的QTt形成约束条件
Figure FDA0001684827740000049
根据(QTt)TQTt＝tTt和||t||2＝tTt，得到约束条件
Figure FDA00016848277400000410
然后舍掉刚体定位问题的约束最小二乘表述形式中的约束条件det(Q)＝1，将刚体定位问题的约束最小二乘表述形式转化为：
Figure FDA00016848277400000411
再根据F＝ffT等价于
Figure FDA0001684827740000051
去掉非凸的关于矩阵F的约束rank(F)＝1，将
Figure FDA0001684827740000052
结合到刚体定位问题的约束最小二乘表述形式的转化形式中，得到刚体定位问题的半正定规划形式，描述为：
Figure FDA0001684827740000053
最后对刚体定位问题的半正定规划形式进行求解，得到Q和t各自的初步值，对应记为Qsdp和tsdp；其中，HT为H的转置，dT为d的转置，F为引入的矩阵，F的维数为16×16，fT为f的转置，tr()表示求一个矩阵中的所有对角元素的值的和，F(1:3,1:3)表示由F的第1行至第3行、第1列至第3列所有元素形成的矩阵，F(4:6,4:6)表示由F的第4行至第6行、第4列至第6列所有元素形成的矩阵，F(7:9,7:9)表示由F的第7行至第9行、第7列至第9列所有元素形成的矩阵，F(1,4)表示F的第1行第4列元素的值，F(2,5)表示F的第2行第5列元素的值，F(3,6)表示F的第3行第6列元素的值，F(1,7)表示F的第1行第7列元素的值，F(2,8)表示F的第2行第8列元素的值，F(3,9)表示F的第3行第9列元素的值，F(4,7)表示F的第4行第7列元素的值，F(5,8)表示F的第5行第8列元素的值，F(6,9)表示F的第6行第9列元素的值，f(13)表示f中的第13个元素的值，f(14)表示f中的第14个元素的值，f(15)表示f中的第15个元素的值，F(1:3,10:12)表示由F的第1行至第3行、第10列至第12列所有元素形成的矩阵，F(4:6,10:12)表示由F的第4行至第6行、第10列至第12列所有元素形成的矩阵，F(7:9,10:12)表示由F的第7行至第9行、第10列至第12列所有元素形成的矩阵，F(10:12,10:12)表示由F的第10行至第12行、第10列至第12列所有元素形成的矩阵，F(13:15,13:15)表示由F的第13行至第15行、第13列至第15列所有元素形成的矩阵，f(16)表示f中的第16个元素的值，符号
Figure FDA0001684827740000063
表示一个矩阵是半正定的，rank()表示求一个矩阵的秩；
步骤五：对Qsdp进行正交化，将正交化后得到的值记为Qort，Qort满足
Figure FDA0001684827740000061
且det(Qort)＝1；然后将Qort作为Q的估计值，将tsdp作为t的估计值；其中，
Figure FDA0001684827740000062
为Qort的转置，det(Qort)表示求Qort的行列式。
2.根据权利要求1所述的一种基于距离测量的静止刚体定位方法，其特征在于所述的步骤五执行完毕后，继续执行以下步骤六，具体如下：
步骤六：对Qort和tsdp进行优化，得到Qort和tsdp各自的优化值，对应记为Qfin和tfin；将Qfin作为Q的最优估计值，将tfin作为t的最优估计值。
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