CN108872153B - 基于非均匀傅里叶变换的平行平板光学均匀性的测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于非均匀傅里叶变换的平行平板光学均匀性的测量方法，首先通过在菲索型波长移相干涉仪中，分别移相采样放置待测平行平板和空腔下的干涉图；其次，对干涉图各点的干涉光强数据，采用基于快速高斯网格法(FGG)的非均匀傅里叶变换，转化至频域进行频谱分析；最后，提取不同干涉腔长下对应的频率分量进行逆傅里叶变换获得干涉图的相位信息，将其恢复为波面信息后，计算得到待测平行平板的光学均匀性。本发明采用非均匀傅里叶变换频谱分析法，降低了波长移相时的非线性误差引起的测量误差，操作简单，步骤少，可用于大口径光学材料光学均匀性的高精度测量。

Description

基于非均匀傅里叶变换的平行平板光学均匀性的测量方法

技术领域

本发明涉及光干涉计量测试领域，特别是一种基于非均匀傅里叶变换的平行平板光学均匀性的测量方法。

背景技术

光学透射材料作为光学系统中最常用的光学元件，其光学性能对整个光学系统有着重大影响。光学均匀性是评价光学透射材料光学性能的一项重要指标，它反映了同一块光学材料内部折射率的不一致性。光学透射材料的光学均匀性会直接导致透射波前的变化，改变光学系统的波像差，进而使光学系统的输出产生偏差。因此，高精度的光学均匀性测量具有重要的理论和实际意义。

由于光学均匀性会引起透射光波的变形，因此可以通过干涉测量的方法，测量由于光学均匀性引起的波前改变量，从而得到材料的光学均匀性。干涉测量法包括直接测量法、样品翻转法和绝对测量法等。其中绝对测量法由于将待测材料的前后表面面形误差、干涉仪的系统误差对结果的影响考虑在内，具有很高的检测精度。

基于波长调谐的时域傅里叶变换算法，通过波长移相干涉仪，对透射平行平板干涉腔及空腔进行两次测量，实现待测平板和参考面之间的干涉条纹的分离，从而获得平板前后表面信息和材料均匀性信息，是一种行之有效的绝对测量法。由于快速傅里叶变换(FFT)算法对时域的采样具有严格的要求，其数据分布局限于均匀分布的标准网格上，因此在测量中应保持移相量等于预设值，即在时域的采样点为等间隔均匀变化的，否则将导致波面测量误差。然而，由于波长调谐移相时存在一定的非线性误差，导致移相量非均匀变化，直接使用快速傅里叶变换算法会影响移相精度，需要额外的光学方法对波长改变量和电压之间的关系进行标定，其过程过于复杂、繁琐，使得测量效率下降。

非均匀快速傅里叶变换(NUFFT)是一种针对数据采样分布在非均匀网格上的情形，实现时域傅里叶变换算法的途径。NUFFT概念的首次出现是由Dutt等在《Fast Fouriertransforms for nonequispaced data》(SIAM J Sci Comput,1993,14(6):1368-1393)中提出的，他们对非均匀傅里叶变换的五种不同情况进行了研究与分析，并使用高斯窗函数插值解算其中的一种最常见的情况，给出了计算结果和误差分析，但由于插值过程窗函数插值过程重复性过高，因此计算量大，耗时长。Fessler等在《Nonuniform fast Fouriertransforms using min-max interpolation》(Signal Process,IEEE Trans.2003,51(2):560-574)中提出了基于min-max插值的NUFFT算法，该算法的主要是在最大误差最小的框架下来计算插值因子，使得NUFFT插值误差更小。针对NUFFT算法过采样过程需要大运算量和大物理储存的情况，Kunis在《Nonequispaced fast Fourier transforms withoutoversampling》(Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics,2008)中提出了使用多维Taylor展开方法的不需要过采样的快速算法，节省了过采样方法需要消耗的大量存储空间，但仅仅限于某些点性能较好，其原因在于泰勒展开是自变量的局部领域内展开，只在较小的领域上保持较高的近似精度。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于非均匀傅里叶变换的平行平板光学均匀性的测量方法，用以降低波长移相过程中的非线性误差引起的测量误差，避免繁杂的标定过程，使得测量结果不受参考面面形精度的影响，精度高，易于实现。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于非均匀傅里叶变换的平行平板光学均匀性的测量方法，包括以下步骤：

步骤1，在菲索波长移相干涉仪的干涉腔内，于干涉腔透射参考平面T和反射参考平面R之间放置待测平行平板；设置采集干涉图数目N及移相步长后进行移相采样，得到N幅干涉图的干涉光强数据，N＝2ⁿ，n为满足测试精度所需的干涉图数目所取的正整数，所述每幅干涉图的干涉光强数据包括非多表面干涉叠加区域和多表面干涉叠加区域，转入步骤2；。

步骤2，将上述每幅干涉图的非多表面干涉叠加区域，通过相位恢复算法计算其中的移相量，所得结果记为原始非均匀采样序列x_j，转入步骤3；

步骤3，将原始非均匀采样序列x_j进行过采样，得到均匀采样序列x_i，以此预计算高斯核函数用于卷积时的各指数部分值，并使用高斯核函数与步骤1中每幅干涉图中的多表面干涉区域的单个像素点的非均匀干涉数据f_j卷积，得到高斯网格下的均匀离散值f_τ，转入步骤4；

步骤4，对f_τ做一维快速傅里叶变换和退卷积处理，得到频谱数据F_deconv，完成对该像素点的非均匀傅里叶变换，转入步骤5；

步骤5，返回步骤3，直至遍历多表面干涉区域所有像素点，加窗提取频谱数据F_deconv中的峰值并对其做逆傅里叶变换，得到各组干涉条纹对应的相位信息，将其转化为波面信息W₁～W₆，转入步骤6；

步骤6，空腔测量，撤去待测平行平板，保持干涉腔透射参考平面T和反射参考平面R的位置固定，进行波长调谐移相测量操作，得到波面信息W₇，转入步骤7；

步骤7，综合步骤5和步骤6的测量结果，计算得到待测平行平板光学均匀性信息Δn。

本发明与现有测量技术相比，其显著优点：(1)采用两步绝对测量法，消除了参考面面形精度的影响，测量精度高；(2)测量过程操作简单，只需平板测量和空腔测量两个步骤；(3)使用快速高斯网格法的非均匀快速傅里叶变换处理移相采样干涉数据，抑制了波长调谐移相时的非线性误差对测量结果的影响，避免了人为标定移相量所带来的额外工作量。

附图说明

图1为本发明的基于非均匀傅里叶变换的平行平板光学均匀性的测量方法流程示意图。

图2为本发明的波长移相干涉原理示意图。

图3为本发明的波长移相采样所得干涉图。

图4为本发明的波长移相采样过程中存在非线性误差的移相量示意图。

图5为本发明的干涉信号经非均匀傅里叶变换后的频谱图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明做进一步说明。

结合图1，本发明的一种基于非均匀傅里叶变换的平行平板光学均匀性的测量方法，包括以下步骤：

步骤1，在菲索波长移相干涉仪的干涉腔内，于干涉腔透射参考平面T和反射参考平面R之间放置待测平行平板；设置采集干涉图数目N及移相步长后进行移相采样，得到N幅干涉图的干涉光强数据，N＝2ⁿ，n为满足测试精度所需的干涉图数目所取的正整数，所述每幅干涉图的干涉光强数据包括非多表面干涉叠加区域和多表面干涉叠加区域。固定波长移相的移相步长进行N步移相采样，不考虑多次反射，则所述每幅干涉图中间部分的干涉光强数据由多表面干涉叠加形成，即为多表面干涉叠加区域，其余部分为非多表面干涉叠加区域。如图2，TF为透射参考平面，RF为反射参考平面，用T、A、B、R分别表示TF的反射面、待测平行平板的前、后表面、RF的反射面的面形，则共产生T和A、A和B、T和B、T和R、A和R与B和R六组干涉条纹，每组干涉光强可写成：

式中，a_i为背景光强，b_i为光强调制度，

为初始相位，δ_i为移相量，i＝1～6。

式中，h_i为干涉腔长，λ₀为初始波长，Δλ为每次移相时的波长变化量，t为移相次数。

步骤2，将上述每幅干涉图的非多表面干涉叠加区域，通过相位恢复算法计算其中的移相量，所得结果记为原始非均匀采样序列x_j。如图3，干涉腔截面面积大于待测平行平板截面面积，仅有待测平行平板截面区域为多表面干涉叠加区域，使用掩膜将其提取出来，则剩余部分为简单的非多表面(二表面，T与R)干涉叠加区域，即单组干涉条纹数据。使用傅里叶变换相位测量法对该部分干涉数据进行相位重建。傅里叶变换相位测量法又称作附加空间线性载频相位测量法，使同为平行光的两束光波(分别为T与R的反射光)之间产生一个固定的夹角，在条纹图中引入线性变化的相位，为了简化计算，引入的相位一般只沿着x方向变化，因此，第i(i＝1～N)幅干涉图中的单组干涉条纹光强数据为：

I_i(x)＝a_i+b_i cos(φ_i+2πf_xx) (4)

式中，φ_i为初始相位与移相量之和。f_x表示单组干涉条纹光强数据的空间频率。运用欧拉公式对(4)式进行变形得：

对(5)式两边同时进行傅里叶变换，得到：

式中，a_iδ(0)为直流项，干涉图的相位φ_i被锁定在幅度谱的峰值位置f＝±f_x中。选取合适的滤波器，取出频谱分布的正一级(或负一级)谱，令其为C(f)，即：

对(7)式做逆傅里叶变换，得到：

对(8)式取实部与虚部进行运算，有：

对N幅干涉图进行同样的操作，可以将单组干涉条纹光强数据转化为相位数据φ_i，由此可以得到每幅干涉图之间的移相量为：

式中，

为每次波长移相的非均匀移相量，i＝2～N。所有非均匀移相量的集合记为原始非均匀采样序列x_j，即：

得到的原始非均匀采样序列如图4。

步骤3，将原始非均匀采样序列x_j进行过采样，得到均匀采样序列x_i，以此预计算高斯核函数用于卷积时的各指数部分值，并使用高斯核函数与步骤1中每幅干涉图中的多表面干涉区域的单个像素点的非均匀干涉数据f_j卷积，得到高斯网格下的均匀离散值f_τ。设置过采样率R、过采样点数M_τ、过采样间隔等参数，建立高斯均匀网格点。对原始非均匀采样序列x_j中的各点，离x_j最近的高斯均匀网格点(x_j≤x_i)的集合即为所求均匀采样序列x_i。设置高斯核函数对非均匀干涉数据f_j进行卷积平滑处理，高斯核函数可表示为：

g_τ(x)＝exp(-x²/4τ) (12)

式中，τ为高斯核函数参数，它决定了核函数的指数衰减速率。τ由下式决定：

式中，M为非均匀干涉数据长度，其值与N相同，M_SP为高斯核函数单边可覆盖的均匀网格点数，其取值由所需的计算精度确定。利用高斯核函数衰减速度快的特点，计算高斯均匀采样点数据值时只需考虑该点附近2M_SP个点的干涉强度的影响，因此需要预计算高斯核函数在卷积过程中的指数部分用以下一步骤的计算，公式如下：

E1_j＝exp[-(x_j-x_i)²/4τ] (14)

E2_j＝exp[(x_j-x_i)π/M_ττ] (15)

E3_m′＝exp[-(πm′/M_τ)²/τ],-M_SP＜m′≤M_SP (16)

卷积过程公式如下：

其中，i＝1～M_τ。遍历整个x_j序列后将f_τ各点的值累加，获得高斯网格下的均匀离散值f_τ。

步骤4，对高斯网格值f_τ做一维快速傅里叶变换和退卷积处理，得到频谱数据F_deconv，完成对该点的非均匀傅里叶变换。高斯网格下的均匀离散值f_τ，对f_τ进行均匀快速傅里叶变换(FFT)得到F_τ，再对F_τ做退卷积处理消除高斯核函数的平滑影响，公式如下：

式中，k为退卷积区间内的坐标值。

步骤5，返回步骤3，直至遍历多表面干涉区域所有像素点，加窗提取频谱数据F_deconv中的峰值并对其做逆傅里叶变换，得到各组干涉条纹对应的相位信息，将其转化为波面信息W₁～W₆。如图5，每个像素点的频谱数据F_deconv中的峰值对应各组干涉条纹的腔长值，不同的频率峰值加窗提取的复值包含干涉图的相位信息，通过逆傅里叶变换从中解调，对所有像素点的F_deconv中的每个频率峰值进行上述操作，得到整个多表面干涉区域分别在六个不同条纹频率下的相位信息。再经过相位解包、消倾斜处理，获得对应的波面信息W₁～W₆。W₁～W₆与干涉腔长的关系如下表所示：

表1 各组条纹的光程差以及干涉腔长

表中，n₀为待测平行平板折射率，t₀为待测平行平板厚度。

步骤6，空腔测量，撤去待测平行平板，保持干涉腔透射参考平面T和反射参考平面R的位置固定，进行波长调谐移相测量操作，得到波面信息W₇。易知此时干涉表面为T与R，干涉腔长为h₆，则：

W₇＝2R-2T (19)

h₆＝2(L₁+L₂+t) (20)

步骤7，综合步骤5、6所得的测量结果，计算得到待测平行平板光学均匀性信息Δn。由表1与(19)式可得：

Claims (5)

1.一种基于非均匀傅里叶变换的平行平板光学均匀性的测量方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，在菲索波长移相干涉仪的干涉腔内，于干涉腔透射参考平面T和反射参考平面R之间放置待测平行平板；设置采集干涉图数目N及移相步长后进行移相采样，得到N幅干涉图的干涉光强数据，N＝2ⁿ，n为满足测试精度所需的干涉图数目所取的正整数，所述每幅干涉图的干涉光强数据包括非多表面干涉叠加区域和多表面干涉叠加区域，转入步骤2；

步骤2，将上述每幅干涉图的非多表面干涉叠加区域，通过相位恢复算法计算其中的移相量，所得结果记为原始非均匀采样序列x_j，转入步骤3；

步骤3，将原始非均匀采样序列x_j进行过采样，得到均匀采样序列x_i，以此预计算高斯核函数用于卷积时的各指数部分值，并使用高斯核函数与步骤1中每幅干涉图中的多表面干涉区域的单个像素点的非均匀干涉数据f_j卷积，得到高斯网格下的均匀离散值f_τ，公式如下：

式中，i＝1～M_τ，M_τ为过采样点数，M_SP为高斯核函数单边可覆盖的均匀网格点数，E1、E2、E3为高斯核函数用于卷积时预计算的指数部分值；

转入步骤4；

步骤4，对f_τ做一维快速傅里叶变换和退卷积处理，得到频谱数据F_deconv，完成对该像素点的非均匀傅里叶变换，转入步骤5；

步骤5，返回步骤3，直至遍历多表面干涉区域所有像素点，加窗提取频谱数据F_deconv中的峰值并对其做逆傅里叶变换，得到各组干涉条纹对应的相位信息，将其转化为波面信息W₁～W₆，转入步骤6；

步骤6，空腔测量，撤去待测平行平板，保持干涉腔透射参考平面T和反射参考平面R的位置固定，进行波长调谐移相测量操作，得到波面信息W₇，转入步骤7；

步骤7，综合步骤5和步骤6的测量结果，计算得到待测平行平板光学均匀性信息Δn。

2.根据权利要求1所述的基于非均匀傅里叶变换的平行平板光学均匀性的测量方法，其特征在于：所述步骤1所述放置待测平行平板时移相采样得到的干涉光强数据，其多表面干涉叠加区域由六组不同腔长下的多表面干涉叠加，各组光强表达式如下：

式中，a_i为背景光强，b_i为光强调制度，

为初始相位，δ_i为移相量，i＝1～6；

式中，h_i为干涉腔长，λ₀为初始波长，Δλ为每次移相时的波长变化量，t为移相次数。

3.根据权利要求1所述的基于非均匀傅里叶变换的平行平板光学均匀性的测量方法，其特征在于：所述步骤2所述原始非均匀采样序列x_j为每次波长移相的非均匀移相量的集合，即：

式中，φ_i为用傅里叶变换相位测量法解算的第i幅干涉图的初始相位与移相量之和。

4.根据权利要求1所述的基于非均匀傅里叶变换的平行平板光学均匀性的测量方法，其特征在于，所述步骤4所述频谱数据F_deconv，计算公式如下：

式中，τ为高斯核参数，F_τ为f_τ的一维快速傅里叶变换，M为非均匀干涉数据长度，其值与N相同，k为退卷积区间内的坐标值。

5.根据权利要求1所述的基于非均匀傅里叶变换的平行平板光学均匀性的测量方法，其特征在于：所述步骤7中，计算待测平行平板光学均匀性信息Δn，公式如下：

式中，W为对应干涉腔长下的波面信息，n₀为待测平行平板折射率，t₀为待测平行平板厚度。

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