CN111562088A - 基于采样函数的平行平板光学参数的测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于采样函数的平行平板光学参数的测量方法，首先在菲索型波长移相干涉仪中进行移相采样，分别得到放置待测平行平板和空腔下的干涉图；其次，根据实际目标要求得到移相算法的特征图并写出其特征多项式，然后利用Taylor公式展开得到算法的采样函数，将采集的干涉光强数据带入算法中计算；最后，利用不同的采样函数提取不同目标频率处的相位信息，将其恢复为波面信息后，计算得到待测平行平板的表面面形、光学厚度以及光学均匀性参数。本发明通过设计移相算法的采样函数，降低了由折射率色散以及波长调谐非线性导致的频移从而引起测量误差，所需干涉图少，操作简单，可用于大口径光学材料光学参数的高精度测量。

Description

基于采样函数的平行平板光学参数的测量方法

技术领域

本发明涉及光干涉计量测试领域，特别是一种基于采样函数的平行平板光学参数的测量方法。

背景技术

光学透射材料是光学材料的重要组成部分，其光学性能对整个光学系统具有重要的作用。光学透射材料的光学参数主要有光学均匀性、光学厚度、表面面形等。如果光学参数不一致，当光波透射经过时，将改变光波波面，从而降低了光学系统的性能。当光学参数变化较大并超出了一定的范围时，就会引起透射波面产生严重的变形，使得其无法通过光学冷加工与装校来挽回。因此，实现对平行平板光学参数的高精度测量很有必要。

目前已经发展了一些测量透明平板光学参数的方法：白光干涉测量法、光栅干涉测量法以及波长调谐干涉测量法等。其中，K.Freischlad在《Large flat panel profiler》(SPIE,1996,2862:163-171)中提出的白光干涉测量法的测量精度和观察孔径的大小受到参考镜的机械平移精度的限制，其观察孔径被限制在1cm以内；P.de Groot在《Gratinginterferometer for metrology of transparent flats》(Optical Fabrication andTesting,1996,6:28-30)提出的光栅干涉测量法系统较复杂，其由于光栅运动导轨的存在而导致的直线度误差想要完全消除非常困难。而波长调谐干涉测量法是通过改变波长进行移相可以消除由硬件移相引入的误差，它允许单独检测多光束干涉信号内的每个反射分量的相位，根据相应调制信号的相位偏移来实现对平板光学参数的高精度测量。

对于平行平板光学参数的计算，通常做法是利用快速傅里叶变换(FFT)算法，通过频域将不同的干涉条纹分开。然后运用载波相位解调方法计算得到不同频率对应的相位分布。但是该算法对折射率色散以及波长调谐非线性引起的精确频率失谐或偏移很敏感。当波长调谐移相存在一定的非线性误差时，直接使用快速傅里叶变换算法会影响测量精度，需要额外的光学方法对波长改变量和电压之间的关系进行标定，其过程过于复杂、繁琐，使得测量效率下降。Yangjin Kim在《Measurement of optical thickness variation ofBK7 plate by wavelength tuning interferometry》(Optics Express,2015,23(17):22928-22938)中提出了一种17-样本算法，但是该算法抑制的谐波阶数较低，不适用于光学均匀性的测量。我们之前在《Optical homogeneity measurement of parallel plates bywavelength-tuning interferometry using nonuniform fast Fourier transform》(Optics Express,2019,27(9):13072-13082)中提出了一种基于非均匀傅里叶变换的测量方法，采用非均匀傅里叶变换频谱分析降低波长移相时的非线性误差，但是该方法所需干涉图数目较多，操作时间长，容易受环境扰动影响。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于采样函数的平行平板光学参数的测量方法，该方法对折射率色散以及波长调谐非线性引起的精确频率失谐拥有更大的鲁棒性，可以降低波长移相过程中的非线性误差引起的测量误差，避免繁杂的标定过程，精度高，易于实现，而且所需干涉图数目较少，受环境扰动影响小。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于采样函数的平行平板光学参数的测量方法，包括以下步骤：

步骤1，在菲索波长移相干涉仪的干涉腔内，于干涉腔透射参考平面T和反射参考平面R之间放置待测平行平板。将菲索干涉仪中参考面和待测面之间的距离和待测平板的光学厚度调整为整数比以保证所有干扰信号的频率大致以谐波频率为中心。在保证不同条纹对应的干涉腔长不等的情况下，设置采集干涉图数目N及移相步长后进行移相采样，得到N幅干涉图的干涉光强数据，转入步骤2；

步骤2，根据实验过程中参考面和待测面的距离与平板的光学厚度之间的比例，确定目标频率。根据不同的目标频率分别得到移相算法的特征图并写出其特征多项式P(x)。将特征多项式P(x)用Taylor公式展开，得到移相算法的采样函数，转入步骤3；

步骤3，通过获取移相算法的傅里叶表达式，将目标设计要求使用频域中的采样函数表示，然后求解傅里叶方程组画出其相对频率的傅里叶幅度图，结合图形直观地了解移相算法的特性，转入步骤4；

步骤4，将干涉光强数据分别带入移相算法进行计算，经过解包、消倾斜处理，得到波面信息W₁，W₂和W₆，转入步骤5；

步骤5，空腔测量，撤去待测平行平板，保持干涉腔透射参考平面T和反射参考平面R的位置固定，进行波长调谐移相测量操作，得到波面信息W₇，转入步骤6；

步骤6，综合步骤4和步骤5的测量结果，计算得到待测平行平板表面面形，光学厚度以及光学均匀性信息。

本发明与现有测量技术相比，其显著优点：(1)采用两步绝对测量法，消除了参考面面形精度的影响，测量精度高；(2)测量过程操作简单，只需平板测量和空腔测量两个步骤；(3)所需干涉图数目较少，受环境扰动影响小；(4)对折射率色散以及波长调谐非线性引起的精确频率失谐拥有更大的鲁棒性，可以降低波长移相过程中的非线性误差引起的测量误差，避免了人为标定移相量所带来的额外工作量。

附图说明

图1为本发明的基于采样函数的平行平板光学参数的测量方法流程示意图。

图2为本发明的波长移相干涉原理示意图。

图3为本发明的特征图示意图。

图4为本发明的采样函数示意图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明做进一步说明。

结合图1，本发明的一种基于采样函数的平行平板光学参数的测量方法，包括以下步骤：

步骤1，在菲索波长移相干涉仪的干涉腔内，于干涉腔透射参考平面T和反射参考平面R之间放置待测平行平板，将菲索干涉仪中参考面和待测面之间的距离和待测平板的光学厚度调整为整数比以保证所有干扰信号的频率大致以谐波频率为中心。设置采集干涉图数目N及移相步长后进行移相采样，得到N幅干涉图的干涉光强数据。固定波长移相的移相步长进行N步移相采样，不考虑多次反射，则所述每幅干涉图的干涉条纹由多表面干涉叠加形成。如图2，TF为透射参考平面，RF为反射参考平面，用T、A、B、R分别表示TF的反射面、待测平行平板的前、后表面、RF的反射面的面形，则共产生T和A、A和B、T和B、T和R、A和R与B和R六组干涉条纹，每组干涉光强可写成：

式中，a_i为背景光强，b_i为光强调制度，

为初始相位，δ_i为移相量，i＝1～6。

式中，h_i为干涉腔长，λ₀为初始波长，Δλ为每次移相时的波长变化量，t为移相次数。

步骤2，实验过程中首先将参考面和待测面的距离与平板的光学厚度调整为整数比以保证所有干涉信号的频率大致以谐波频率为中心。移相算法中计算相位的一般表达式由下式给出：

其中a_k和b_k是采样函数的采样幅度，

为计算的相位，

为实际相位，δ为移相量间隔，k为移相次数，M为干涉图数目。因此要计算目标频率处的相位信息，我们要分别设计不同的采样函数幅度。为了方便计算，我们将相移算法写为：

其中，相位的复数线性组合

复合采样幅度c_k＝a_k+ib_k。而光强

的傅立叶级数扩展为：

其中，α_m为m阶傅里叶系数。将式(6)代入

表达式可得：

其中P(x)是M-1阶多项式：

因为给定相移算法的所有特性都可以从P(x)的根的情况中推导出来，所以我们称P(x)为算法的特征多项式。将特征多项式P(x)利用Taylor级数展开，就可以得到采样函数的采样幅度a_k和b_k进而由公式(4)计算出目标频率处的相位信息。为了设计移相算法的特征多项式，本发明引入了特征图理论。它是复平面的单位圆，数字表示谐波分量，点表示特征多项式的根的位置，该理论将算法对误差的不敏感度转换为特征多项式根的数目和位置并映射到特征图上，过程简洁而且易于理解。

下面讨论特征多项式根的数目和位置与误差之间的联系。首先由公式(7)可以定义m阶谐波分量的系数γ_m：

γ_m＝α_mP[exp(imδ)] (9)

其中，α_m为m阶傅里叶系数，δ为移相量间隔，m为整数。

因此若要让(4)式的计算结果等于目标频率处的相位，则除m＝1外的所有系数γ_m都应为零。换句话说，exp(imδ)(m≠1)和exp(-imδ)都要为特征多项式的根，即特征图上谐波分量处应存在单根。其次为了提高算法对移相误差的不敏感性，我们将算法的特征多项式P(x)对移相量δ求k阶导数：

由上式将算法所求得的相位用泰勒公式展开，其完全傅里叶系数γ_m可以写为：

其中ε为移相误差系数。由上式可清晰的得知，不管是γ_m还是γ_-m都可以通过消除ε中增加量的连续项来提高算法对第m阶谐波的不敏感性。因此要提高算法对于移相误差的不敏感性，[x-exp(imδ)]^k、[x-exp(-imδ)]^k要出现在特征多项式的因式分解里面，即算法特征图中要引入重根。

如图3，本发明中将相位划分为12个相等的间隔。根据特征图理论，若要计算基频相位，首先要抑制m(m>1)阶的谐波分量，则单根应该位于特性图上除目标频率外的点m上；要抑制移相误差，m＝-1处应该存在三重根；要抑制移相误差与高阶谐波之间的耦合误差，m＝±2,±3,±4,±5,6处应该存在重根；最后为了满足对称条件，m＝3处也需置为三重根。由特征图我们可以写出该算法的特征多项式：

P(x)＝(x-1)²(x-δ²)²(x-δ³)³(x-δ⁴)²(x-δ⁵)²(x+1)²(x-δ^-1)³(x-δ^-2)²(x-δ^-3)²(x-δ^-4)²(x-δ^-5)² (12)

其中δ＝2π/12。将特征多项式P(x)利用Taylor级数展开，就可以得到采样函数的采样幅度a_k和b_k。若要计算k阶谐波相位，则可以通过将此特征图旋转得出，继而写出移相算法的特征多项式。

步骤3，通过获取移相算法的傅里叶表达式，将目标设计要求使用频域中的采样函数表示。采样函数F₁(v),F₂(v)的一般傅里叶表达式如下：

其中t_r＝2π[r-(M+1)/2]/N，M为干涉图数目，ν为频率，a_r和b_r是采样函数的采样幅度，r为移相次数。若要计算基频相位，算法要对目标频率外的其他谐波分量不敏感，即采样函数在谐波频率处幅度为零：

iF₁(ν)＝F₂(ν)＝0(v＝0,2,...,10) (15)

此外，为了提高算法对非线性移相误差的不敏感程度，需要满足：

抑制移相误差与高阶谐波之间的耦合误差，需要满足：

如图4所示为算法的采样函数示意图，结合图形可以更直观地了解移相算法的特性验证其是否满足要求。我们都知道快速傅里叶变换(FFT)对精确谐波频率的失谐或偏移很敏感，这是因为频率空间中傅立叶分析的采样函数在检测频率与其相邻谐波频率之间的旁瓣中具有相当大的幅度，即使我们增加采样图像的数量，这些分数频率处的采样幅度也不会收敛到零。而本发明的采样函数在相邻谐波附近的分数频率处具有小得多的幅度，因此算法对于由折射率色散或波长调谐非线性导致的频移并不敏感，计算精度高。

步骤4，每幅干涉图的干涉光强数据由6组干涉条纹叠加而成，分别对应波面信息W₁～W₆。W₁～W₆与干涉腔长的关系如下表所示：

表1各组条纹的光程差以及干涉腔长

表中，n₀为待测平行平板折射率，t₀为待测平行平板厚度。

将干涉图像数据分别带入对应频率的三组移相算法中进行计算，经过解包、消倾斜处理，可以得到波面信息W₁，W₂和W₆。

步骤5，空腔测量，撤去待测平行平板，保持干涉腔透射参考平面T和反射参考平面R的位置固定，进行波长调谐移相测量操作，得到波面信息W₇。易知此时干涉表面为T与R，干涉腔长为h₇，则：

W₇＝2R-2T (19)

h₇＝2(L₁+L₂+t) (20)

步骤6，综合步骤4、5的测量结果，得到待测平行平板表面面形W₁，光学厚度W₂以及光学均匀性信息Δn。由表1与(16)式可得：

Claims (5)

1.一种基于采样函数的平行平板光学参数的测量方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，在菲索波长移相干涉仪的干涉腔内，于干涉腔透射参考平面T和反射参考平面R之间放置待测平行平板；将菲索干涉仪中参考面和待测面之间的距离和待测平板的光学厚度调整为整数比以保证所有干扰信号的频率大致以谐波频率为中心，在保证不同干涉条纹对应的干涉腔长不等的情况下，设置采集干涉图数目N及移相步长后进行移相采样，得到N幅干涉图的干涉光强数据，转入步骤2；

步骤2，根据实验过程中参考面和待测面的距离与平板的光学厚度之间的比例，确定目标频率，根据不同的目标频率分别得到移相算法的特征图并写出其特征多项式P(x)；将特征多项式用Taylor公式展开，得到移相算法的采样函数，转入步骤3；

步骤3，通过获取移相算法的傅里叶表达式，将目标设计要求使用频域中的采样函数表示，然后求解傅里叶方程组画出其相对频率的傅里叶幅度图，结合图形直观地了解移相算法的特性，转入步骤4；

步骤4，将干涉光强数据分别带入移相算法进行计算，经过解包、消倾斜处理，得到波面信息W₁，W₂和W₆，转入步骤5；

步骤5，空腔测量，撤去待测平行平板，保持干涉腔透射参考平面T和反射参考平面R的位置固定，进行波长调谐移相测量操作，得到波面信息W₇，转入步骤6；

步骤6，综合步骤4和步骤5的测量结果，计算得到待测平行平板表面面形、光学厚度以及光学均匀性信息。

2.根据权利要求1所述的基于采样函数的平行平板光学参数的测量方法，其特征在于：步骤1所述放置待测平行平板时移相采样得到的干涉光强数据，其干涉条纹应为6组干涉条纹的光强之和，每组干涉光强可写成：

式中，a_i为背景光强，b_i为光强调制度，

为初始相位，δ_i为移相量，i＝1～6；

式中，h_i为干涉腔长，λ₀为初始波长，Δλ为每次移相时的波长变化量，t为移相次数。

3.根据权利要求1所述的基于采样函数的平行平板光学参数的测量方法，其特征在于：步骤2所述中根据不同的目标频率分别得到移相算法的特征图并写出其特征多项式P(x)，给定相移算法的所有特性都可以从P(x)的根的情况中得到；移相算法的一般表达式如下：

其中a_k和b_k是采样函数的采样幅度，

为计算的相位，

为实际相位，δ为移相量间隔，k为移相次数；

特征多项式P(x)是M-1阶的多项式：

其中复合采样幅度c_k＝a_k+ib_k，M为干涉图数目。

4.根据权利要求1所述的基于采样函数的平行平板光学参数的测量方法，其特征在于：步骤3所述采样函数F₁(v),F₂(v)的傅里叶表达式如下：

其中t_r＝2π[r-(M+1)/2]/N，M为干涉图数目，ν为频率，a_r和b_r是采样函数的采样幅度，r为移相次数。

5.根据权利要求1所述的基于采样函数的平行平板光学参数的测量方法，其特征在于：所述步骤6中计算待测平行平板光学均匀性信息Δn，公式如下：

式中，W为对应不同干涉腔长下的波面信息，n₀为待测平行平板折射率，t₀为待测平行平板厚度。

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