CN111811398B - 一种基于相移特征多项式高精度拟合的多表面测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于相移特征多项式高精度拟合的多表面测量方法，通过多加权多步相移算法中的特征多项式进行计算，得到其自变量的系数分布，为了测量时应用的便捷性，对该系数分布进行不同参数下的拟合，并且给出在不同的腔长系数下的可用相移参数的算法适用范围，实现测量方案的制定与算法设计的统一。此外还能够根据测量人员的实际需求和主观意愿进行测量方案中窗函数的选择，提供更多的测量方案制定的可行性，节约测量成本，能够实现一次性的多表面非接触式测量。本发明方法最大程度减少必须采集帧数，简化测量过程，并且尽可能避免纳入误差，并减少应用和计算成本。

Description

一种基于相移特征多项式高精度拟合的多表面测量方法

技术领域

本发明涉及一种基于相移特征多项式高精度拟合的多表面测量方法，尤其是通过相移算法的特征多项式的自变量系数的高精度拟合实现窗函数的便捷化表示的计算方法，此外本发明还给出了不同相移参数下对应可用腔长系数的通式，有利于在测量时指导算法设计和测量方案的制定，应用于高精度多表面的光学测量领域。

背景技术

具有较高表面质量的高精度平行平板在光学系统的设计和搭建过程中具有重要意义，因此其各表面形貌的精确测量是具有很高的应用价值的。如何通过现代测量方法实现多表面被测件的非接触式同时测量，以及实现算法设计和测量方案的统一，是领域内研究人员所面对的重要问题。

传统的多表面被测件的测量方法是：通过硬件相移干涉仪进行被测件的干涉图的采集，并且在对被测件每一个表面的干涉图采集过程中，需要依次在其表面涂抹凡士林或者消光漆，以抑制多表面的反射信号，然后对依次得到的各表面的干涉图进行处理，通过算法求取其初始相位，从而得到表面形貌。但是该种技术的缺陷非常明显：

1.无法实现非接触式测量，这也意味着在消光材料的涂抹和清洗过程中，容易对被测件的高精度表面造成损伤；

2.测量成本较高，因为需要多次进行消光材料的清洗和涂抹，因此需要耗费较长的测量时间，并且需要多次的算法处理从而依次得到被测件多表面的形貌结果，计算成本也较高；

3.易纳入误差，使用传统的硬件相移干涉仪，在测量过程中的相移精度有限，因此容易纳入硬件误差和迟滞误差；此外，因为需要多次的消光材料涂抹与清洗，需要对被测件多次夹持和取下，因此不能严格保证每一次的夹持位置和夹持倾斜相同，纳入较大的误差；

4.无法实现厚度的测量，因为传统的干涉图采集方式是前后表面每个表面采集一次，因此无法得到被测件的厚度信息，所以通过算法也无法一次性得到厚度变化信号的具体数值。

在近年来，基于波长相移干涉技术的测量方式得到了发展。其主要特点在于：通过波长可调谐激光器进行波长的调谐，从而实现相移，并且基于被测件各表面的相移频率的不同，设计相关的解相算法，从而实现多表面被测件的解相和测量。

目前领域内所用的主流算法主要有两种：

一种是基于最小二乘算法的多表面测量方法，这种方法在误差不大的条件下能够准确的对被测件多表面的相位进行解调。但是这种算法的缺点也非常明显，即：无法实现在误差较大的条件下的测量；相移频率需要被准确评估，否则无法解调出测量结果；初始条件需要被精确给定，否则测量结果误差很大。

另外一种方法是多步加权相移算法，这种算法可以通过较为简单的加权计算的方式同时得到被测件的各表面的初始相位值。与此同时，该种算法的缺点在于：加权多步相移算法是基于离散傅里叶变换发展起来的，因此对于目标信号的相移频率的分布具有较高的要求，也就是意味着无法实现被测件在任意测量位置下的多表面相位解调。目前的加权多步算法没有给出算法的具体测量范围，换言之，没有一种数值化的可用测量位置作为测量方案的制定的指导，因此在实际的测量过程中没有数值化的被测件位置的分布，容易造成算法失效，无法进行解调。此外，现存的加权多步算法没有数值化地给出算法适用范围及其通式，在实际测量时非常不方便。另外一个缺点在于，该算法是基于特征多项式的各阶变量的系数展开从而确定采样窗函数的具体数值，但是目前的算法对于该步的处理多是使用特征多项式的系数展开后，对其进行分段的多项式拟合，从而得到窗函数的通式。但是分段的多项式拟合的不足在于：分段拟合所需要的计算成本较高，需要进行较多的运算操作；其次，多项式拟合的拟合精度不高，因此先天性地存在测量误差，成为亟待解决的技术问题。

发明内容

为了解决上述技术问题，本发明提供了一种基于相移特征多项式高精度拟合的多表面测量方法，利用多步加权算法进行多表面分离的测量及优化，目的在于解决现有测量方法中的缺陷，特别是提高加权多步相移算法中的窗函数拟合精度，可用被测件位置的通用公式化(通式)进行表示。本发明所针对的被测件是多表面透明平板被测件，所采集的到的干涉图是各表面之间相互干涉，从而形成的混叠的光强分布图，无法直接进行解相和测量。

本发明原理在于：通过多加权多步相移算法中的特征多项式进行计算，得到其自变量的系数分布，为了测量时应用的便捷性，对该系数分布进行不同参数下的拟合，并且给出在不同的测量位置下的算法适用范围，实现测量方案的制定与算法设计的统一。本发明所提出的测量方法能够节约测量成本，能够实现一次性的多表面非接触式测量。为了表述和计算的便捷性，定义腔长系数M为：被测件前表面到参考镜之间的实际距离/(被测件的厚度×被测件材料的折射率)；定义相移参数N为：此参数可以决定移相值为2π/N，同时还与相移算法中同步检测多项式的自变量最高次幂有关，决定干涉图的采集帧数。

为了达到上述目的，本发明所采用如下发明构思：

一种基于相移特征多项式高精度拟合的多表面测量方法，包括以下主要步骤：

1.基于特征多项式，求解其直接的自变量系数表达，此即为理想窗函数数值；通过性能较为优越的高斯拟合、多项式拟合和傅里叶拟合方法，对自变量的系数展开进行拟合，得到在不同算法参数下的最优多步加权相移算法的窗函数的拟合形式；并且同时计算结果，能观察到所选用的拟合方法具有较高的拟合精度；同时将三种拟合形式给出通式，以便在测量时根据不同的测量条件和误差容许要求进行选取。

2.通过数值分析的方法，对算法关键参数进行设计，并且得到不同算法参数时对应的可用的被测件位置的范围，基于算法特性和数值分析结果，将该可用范围数值化，计算出不同相移参数下对应可用的腔长系数的通式表示，以便于测量时直接进行应用，实现实验方案与算法设计的统一。

因此，在已知被测件厚度和折射率的情况下，根据当前的腔长值，即可选用合适的相移参数，通过该系数能确定干涉图所必须的最小采集帧数以及单步相移值。

根据上述发明构思，本发明所采用的技术方案是：

一种基于相移特征多项式高精度拟合的多表面测量方法，其方法包括如下步骤：

(1)通过多加权多步相移算法中的特征多项式进行计算，得到特征多项式的自变量的系数分布，此即理想窗函数分布，来自于多项式的系数展开，因此在工程中无法直接被利用；

(2)为了测量时应用的便捷性，对特征多项式的自变量的系数分布进行不同参数下的拟合，并且分析在不同的腔长系数M下的可用相移参数N的算法求解的残余误差的分布；

(3)通过数值分析的方法，对算法参数进行设置，并且得到在采用不同算法参数时所对应的可用的被测件位置的范围，基于算法特性和数值分析结果，将该被测件位置的范围数值化，计算出在不同相移参数条件下对应可用的腔长系数的通式，以便于测量时直接进行应用，实现测量方案与算法设计的统一；

(4)根据测量人员的实际需求和主观意愿，进行测量方案中窗函数的选择，提供更多的测量方案制定的可行性，节约测量成本，从而定制化且完成一次性的多表面非接触式测量。

优选地，在所述步骤(2)中，通过特征多项式的自变量系数的分布，对其进行高斯拟合、傅里叶拟合和多项式拟合，并且提供了三种拟合式的数值化结果，以供选用。

优选地，在所述步骤(2)中，所述三种拟合后的窗函数经过其拟合计算，通式表达为：

式中，k是相移序数，也就是干涉图的帧序数，

为采用多项式拟合方法的采样窗函数，

为采用傅里叶拟合方法的采样窗函数，

为采用高斯拟合方法的采样窗函数。

优选地，在所述步骤(2)中，在进行多项式拟合时，将相移序数k，也即自变量系数分布序数，作为拟合值的变量，以其对应的当前多项式分布系数作为拟合目标值；基于多项式拟合的采样窗函数

的表达式表示为：

其中a₀～a₅是待求解参数；求取其平方误差的最小值Q，表示为：

其中Z是干涉图的总采集帧数；利用最小二乘原理，对上式求取平方值，并且使之趋向于0，即可得到各系数分布；具体而言，对各系数值求取其偏导数，使之为0，从而得到极值的最优解：

使用上式进行求解，就可分别得到每一个系数的最小二乘求解的方程表达，通过求解方程即可得到其最小二乘解，完成参数拟合。

优选地，在所述步骤(2)中，进行傅里叶拟合时，同样将特征多项式的自变量系数分布作为拟合理想值，基于傅里叶拟合法的采样窗函数

可表示为：

其中b₀,b₁,b₂,

ω是待求解参数；此种系数的求解可以通过最小二乘法完成，但是本专利为了保证求解精度，采用牛顿迭代法进行求解；构造迭代函数

当次迭代点为x_k(是包括上述待求解参数的向量)，下次迭代点为x_k+1，其中x_k+1与迭代函数的导数有关，具体写为：

其中

是对当次迭代点而言的；因此，下次迭代点的方向与当次迭代点的函数值及导数值有关；选择初始迭代点位0～1之间的随机数组成的向量，迭代误差选择为0.0001，最大迭代次数选择为1000步，当满足迭代误差或者最大迭代次数后即停止迭代，输出当前值作为拟合的求解的系数。

优选地，在所述步骤(2)中，进行高斯拟合时通过对目标窗函数分布进行分析，构造其高斯拟合形式

其表达式如下：

其中c_m,

(m＝1,2)是待求解的拟合参数；其中高斯拟合式中的各参数需要被精确求解，以保证拟合精度。因此本发明利用非线性最小二乘法的逐次迭代算法构造误差函数，以误差函数最小为迭代目标，采用信赖域算法，通过二次逼近函数下降率确定区域半径，然后在半径范围内求出目标函数的二阶近似最小值。如果最小值使目标函数得到足够的下降，则进入下一次迭代，并展开信赖域的半径。如果最小值不能使目标函数得到足够的下降，说明当前信赖域的二阶近似是不可靠的，因此需要减小信赖域的半径，重新计算最小值。此迭代将继续，直到满足收敛所需的条件。首先，将平方误差定义为目标函数f(k)(为完整表示函数形式，其自变量k被表示在函数体的括号中，其含义不变，如w_k＝w_k(k))：

在每一步迭代点附近的圆上，用当前点近似求解目标函数的二阶近似函数

其中

和

是目标函数的一阶和二阶梯度。H()表示获取对象的Hessian矩阵。

J^T(k)是目标函数雅可比矩阵的换位。首先，考虑使

为最小的求解方法，ρ_k的固定方向是梯度下降方向，沿着这个方向寻找到信任域中的最小值。从初始点开始，迭代矢量可以表示为：

其中Δ_k是信赖域半径，可通过二次逼近函数的下降值与目标函数的下降之比进行调整。如果比值接近1，则增大半径；如果比值等于1，则半径保持不变；如果比值小于1，则减小半径。τ_k由下列各项决定：

初始点可以基于经验或设置为0-1之间的随机数。为保证在最大迭代步长下的迭代精度和结果可靠性，迭代参数设置如下：有限差分梯度系数的最大和最小变化分别设置为0.1和10^-8；迭代模型的最大求值次数和允许的迭代次数分别为600和400；最小迭代误差为10^-6。如果满足最大迭代次数或最小迭代误差，则停止迭代并输出当前值。

因此，三种拟合后的窗函数可以表达为：

优选地，在所述步骤(3)中，采用数值分析的方法，根据误差分布结果的综合分析，总结出在不同的相移参数N下的可用腔长系数的条件下的量化分析结果，并且使用通式进行表示：

综合考虑被测件的腔长位置与波长最小调谐范围，取N＝8-14的整数，r取0,1,2,3……的非负整数；当在腔长系数M进行可用的N值的寻址时，r值从0开始增加，N从8开始增加，逐步进行寻址。

优选地，当不同N对于单个腔长系数M发生重叠时，选取较小值的N，进N值的优化选取。当本发明方法进行寻址时，为了最大程度减少算法和测量实现的成本，当不同N对于单个腔长系数M发生重叠时，应当选取较小值的N，此种处理可以减少干涉图所必须的采集帧数，并且减少纳入误差的可能性，实现了N值的最优化选取。

优选地，所述干涉图的采集通过选用INF600-LP干涉仪进行采集。

优选地，在特征多项式的系数表达的求取过程中，其同步检测多项式的最高次幂n_max能抑制最高为n_max-2阶的相移误差，此参数可被定制化的设定。

优选地，所述被测件的夹具选用大型自定心调整架FPSTA-4SCML-12型号的调整架夹具。

优选地，在求解出多项式系数的具体数值以后，对该数值进行拟合，以方便在测量时的使用，拟合方法选择：

a.整体多项式拟合；

b.傅里叶拟合；

c.高斯拟合；

并且兼顾计算量和拟合精度，分别通过对应求解方法求解出最优的拟合表达式，以备选取。

优选地，在求解出各拟合表达式后，基于误差分布，通过数值化进行表达，给出各算法参数对应下的可用测量位置的值；特别注意地是，在不同的算法参数对应的重叠的可用测量位置时，应选取当前测量位置所对应最小的算法参数，即选用最小必须干涉图采集帧数所对应的算法参数作为最优参数。

本发明与现有技术相比较，具有如下显而易见的突出实质性特点和显著技术进步：

1.本发明通过特征多项式的自变量系数分布的拟合提供三种拟合后的采样窗函数，以供选取，并且保证较高的拟合精度；

2.本发明对不同腔长系数下的算法关键参数-相移参数进行可视化地误差分析，并且得到不同的相移参数下的可用腔长系数的数值化分布范围的通式表示，减少应用和计算成本；

3.本发明通过所设计的最优相移参数判定方法，能得到在当前腔长系数下的最优相移参数的选取结果，最大程度减少必须采集帧数，简化测量过程，并且尽可能避免纳入误差；

4.本发明能够根据测量人员的实际需求和主观意愿进行测量方案中窗函数的选择，提供更多的测量方案制定的可行性，节约测量成本，能够实现一次性的多表面非接触式测量。

附图说明

图1是三种拟合方式的RMSE示意图。

图2是三种拟合方式的SSE示意图。

图3是不同的腔长系数和相移参数下的前表面误差分布图。

图4是不同的腔长系数和相移参数下的后表面误差分布图。

图5是不同的腔长系数和相移参数下的厚度变化误差分布图。

图6是解相结果图。

具体实施方式

下面结合附图和优选实施例对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

实施例一：

在本实施例中，一种基于相移特征多项式高精度拟合的多表面测量方法，其方法包括如下步骤：

(1)通过多加权多步相移算法中的特征多项式进行计算，得到特征多项式的自变量的系数分布，此即理想窗函数分布，来自于多项式的系数展开，因此在工程中无法直接被利用；

(2)为了测量时应用的便捷性，对特征多项式的自变量的系数分布进行不同参数下的拟合，并且分析在不同的腔长系数M下的可用相移参数N的算法求解的残余误差的分布；

(3)通过数值分析的方法，对算法参数进行设置，并且得到在采用不同算法参数时所对应的可用的被测件位置的范围，基于算法特性和数值分析结果，将该被测件位置的范围数值化，计算出在不同相移参数条件下对应可用的腔长系数的通式，以便于测量时直接进行应用，实现测量方案与算法设计的统一；

(4)根据测量人员的实际需求和主观意愿，进行测量方案中窗函数的选择，提供更多的测量方案制定的可行性，节约测量成本，从而定制化且完成一次性的多表面非接触式测量。

本实施例基于相移特征多项式高精度拟合的多表面测量方法，通过多加权多步相移算法中的特征多项式进行计算，得到其自变量的系数分布，为了测量时应用的便捷性，对该系数分布进行不同参数下的拟合，并且给出在不同的腔长系数M下的可用相移参数N的算法适用范围，实现测量方案的制定与算法设计的统一。此外本实施例方法还能够根据测量人员的实际需求和主观意愿进行测量方案中窗函数的选择，提供更多的测量方案制定的可行性，节约测量成本，能够实现一次性的多表面非接触式测量。

实施例二：

在本实施例中，基于相移特征多项式高精度拟合的多表面测量方法，能实现算法适应性与测量方案的统一；定义腔长系数M为被测件前表面到参考镜之间的距离与被测件的光学厚度之比，被测件的光学厚度是被测件厚度与其材料折射率之积，即激光在被测件内的光程。根据算法相移参数N的求解和设置，求解出在当前腔长系数M下的最优相移参数N，该相移参数N可以确定特征多项式的自变量系数分布的个数，也即所必须的干涉图采集帧数，同时能确定在相移时的单步步距为2π/N；因此在实际适用时，被测件由夹具进行夹紧后通过干涉仪进行干涉图的采集，所采集的帧数应当与相移算法的特征多项式的个数相同，具体而言，根据算法的分析，所必须的采集帧数Z为7N-6；而后根据当前腔长系数M，被测件的光学厚度是被测件厚度与其材料折射率之积，即激光在被测件内侧光程，选用合适的相移参数N，从而指导测量方案的制定和算法的设计，进而完成解相，得到被测件各表面的初始相位分布，参见图6；其中算法设计和制定部分如下：

加权多步相移算法的采样窗函数是基于特征多项式的系数分布经过拟合得到的，以适应不同的相移参数，并且有利于算法设计时的应用；其中特征多项式的表达式为：

式中x＝exp(jnσ_k)，j是虚数单位，w_k是多项式展开以后，对应的自变量x的系数分布，此即理论加权多步采样窗函数；P_S(x)是同步检测多项式；k是相移序数，Z是总采集帧数；n_max是同步检测多项式的最高次幂；本实施例方法以可以抑制最高为5次的相移误差的算法作为案例，进行后续的拟合，即n_max＝7。

多项式拟合：

在进行拟合时，将相移序数，也即自变量系数分布序数，作为拟合值的变量，以其对应的当前多项式分布系数作为拟合目标值；基于多项式拟合的采样窗函数

的表达式表示为：

求取其平方误差的最小值，表示为：

利用最小二乘原理，对上式求取平方值，并且使之趋向于0，即可得到各系数分布；具体而言，对各系数值求取其偏导数，使之为0，从而得到极值的最优解：

使用上式进行求解，就可分别得到每一个系数的最小二乘求解的方程表达，通过求解方程即可得到其最小二乘解，完成参数拟合。

傅里叶拟合：

进行傅里叶拟合时，同样将特征多项式的自变量系数分布作为拟合理想值，其拟合的采样窗函数

可表示为：

其中b₀,b₁,b₂,

ω是待求解参数。此种系数的求解可以通过最小二乘法完成，但是专利为了保证求解精度，采用牛顿迭代法进行求解。构造迭代函数

当次迭代点为x_k(是包括上述待求解参数的向量)，下次迭代点为x_k+1，其中x_k+1与迭代函数的导数有关，具体写为：

其中

是对当次迭代点而言的。因此，下次迭代点的方向与当次迭代点的函数值及导数值有关。选择初始迭代点位0～1之间的随机数组成的向量，迭代误差选择为0.0001，最大迭代次数选择为1000步，当满足迭代误差或者最大迭代次数后即停止迭代，输出当前值作为拟合的求解的系数。

高斯拟合：

通过对目标窗函数分布进行分析，构造其高斯拟合形式

其表达式如下：

其中c_m,

(m＝1,2)是待求解的拟合参数。其中高斯拟合式中的各参数需要被精确求解，以保证拟合精度。因此本发明利用非线性最小二乘法的逐次迭代算法构造误差函数，以误差函数最小为迭代目标，采用信赖域算法，通过二次逼近函数下降率确定区域半径，然后在半径范围内求出目标函数的二阶近似最小值。如果最小值使目标函数得到足够的下降，则进入下一次迭代，并展开信赖域的半径。如果最小值不能使目标函数得到足够的下降，说明当前信赖域的二阶近似是不可靠的，因此需要减小信赖域的半径，重新计算最小值。此迭代将继续，直到满足收敛所需的条件。首先，将平方误差定义为目标函数f(k)(为完整表示函数形式，其自变量k被表示在函数体的括号中，其含义不变，如w_k＝w_k(k))：

在每一步迭代点附近的圆上，用当前点近似求解目标函数的二阶近似函数

其中

和

是目标函数的一阶和二阶梯度。H()表示获取对象的Hessian矩阵。

J^T(k)是目标函数雅可比矩阵的换位。首先，考虑使

为最小的求解方法，ρ_k是固定方向，即其梯度下降方向，沿着这个方向寻找到信任域中的最小值。从初始点开始，迭代矢量，即迭代方向可以表示为：

|| ||表示求模操作。其中Δ_k是信赖域半径，可通过二次逼近函数的下降值与目标函数的下降之比进行调整。如果比值接近1，则增大半径；如果比值等于1，则半径保持不变；如果比值小于1，则减小半径。τ_k由下列各项决定：

min表示求取最小值。初始点可以基于经验或设置为0-1之间的随机数。为保证在最大迭代步长下的迭代精度和结果可靠性，迭代参数设置如下：有限差分梯度系数的最大和最小变化分别设置为0.1和10^-8；迭代模型的最大求值次数和允许的迭代次数分别为600和400；最小迭代误差为10^-6。如果满足最大迭代次数或最小迭代误差，则停止迭代并输出当前值。

因此，三种拟合后的窗函数可以表达为：

为更直观地评价各种拟合方式的拟合精度，引入均方根误差RMSE以及和方差SSE对拟合精度进行评价；均方根误差RMSE以及和方差SSE由下式计算：

Z为干涉图的总采样帧数，p分别取0,a,b,c其中p取0时即代表对特征多项式直接展开得到的自变量的系数分布，即w_k，此处并非次幂计算，即w_k。p取a,b,c时即分别对应多项式拟合、傅里叶拟合和高斯拟合得到的拟合窗采样函数结果。

并且通过上述计算公式，得到绘图曲线如图1和图2所示。加权采样相移算法是基于

离散傅里叶算法发展而来，因此有以下性质：

其中a_n(k),b_n(k),

分别代表余弦采样幅值、正弦采样幅值和干涉图上(x,y)像素点的第n次谐波倍频信号的频次。A是信号的调制度，在计算时可以被约去，n为倍频序数。对于本实施例方法所针对的测量问题而言，此处厚度变化信号、前表面信号、后表面信号分别对应的n值为：1、M、M+1。因此，可以利用下列式子对目标信息进行求解，再通过反正切运算即可得到目标信号的初始相位值。

N为相移参数，本实施例方法所针对的可抑制最高阶次为5阶的特征多项式所发展的算法，n_max＝7，其必须采集帧数Z为7N-6，与多项式系数展开的项目数相同。并且N值决定相移值，单步相移为2π/N。

得到初始相位值以后，通过其波面特性和初始调谐波长，即可得到被测面的具体面形分布信息。

上式中，λ₀为初始调谐波长，n₁为被测件折射率，左侧由上至下分别表示被测件前表面形貌分布h_f(x,y)、被测件后表面形貌分布h_r(x,y)、被测件厚度变化分布T_w(x,y)，n₁是被测件的折射率。

在不同的N值下，对应的可用的腔长系数M是不同的。根据研究其不同的误差分布，可以得到如图3、图4、图5所示的误差分布结果。综合各误差分布，选取最大容许误差为5nm作为可用条件，可以得到在不同的N值下可用的M值的分布，进而可以通过该范围反算出对应被测件的测量距离。本实施例方法对其进行综合分析，得到如下公式：

综合考虑被测件的腔长位置与波长最小调谐范围，取N＝8-14的整数，r取0,1,2,3……的非负整数，在腔长系数M进行可用的N值的寻址时，r值应当从0开始增加，N应当从8开始增加，逐步进行寻址。特别要注意，为了最大程度减少算法和测量实现的成本，当不同N对于单个腔长系数M发生重叠时，应当选取较小值的N，此种处理可以减少干涉图所必须的采集帧数，并且减少纳入误差的可能性，实现了N值的最优化选取。在实际适用时，首先计算出当前的腔长系数M的值，然后根据所给出的腔长系数M的通式，反向匹配当前可用的N值，然后就可以确定所必须的采集帧数Z以及单步采样步距。

基于上述描述和分析，本发明实现了任意腔长位置下的多表面分离测量，并且数值化地将不同关键参数下对应的可用腔长位置进行表述。

上面对本发明实施例结合附图进行了说明，但本发明不限于上述实施例，还可以根据本发明的发明创造的目的做出多种变化，凡依据本发明技术方案的精神实质和原理下做的改变、修饰、替代、组合或简化，均应为等效的置换方式，只要符合本发明的发明目的，只要不背离本发明的技术原理和发明构思，都属于本发明的保护范围。

Claims (7)

1.一种基于相移特征多项式高精度拟合的多表面测量方法，其特征在于，其方法包括如下步骤：

(1)通过多加权多步相移算法中的特征多项式进行计算，得到特征多项式的自变量的系数分布，此即理想窗函数分布，来自于多项式的系数展开，因此在工程中无法直接被利用；

(2)为了测量时应用的便捷性，对特征多项式的自变量的系数分布进行不同参数下的拟合，并且分析在不同的腔长系数M下的可用相移参数N的算法求解的残余误差的分布；

(3)通过数值分析的方法，对算法参数进行设置，并且得到在采用不同算法参数时所对应的可用的被测件位置的范围，基于算法特性和数值分析结果，将该被测件位置的范围数值化，计算出在不同相移参数条件下对应可用的腔长系数的通式，以便于测量时直接进行应用，实现测量方案与算法设计的统一；

(4)根据测量人员的实际需求和主观意愿，进行测量方案中窗函数的选择，提供更多的测量方案制定的可行性，节约测量成本，从而定制化且完成一次性的多表面非接触式测量。

2.根据权利要求1所述基于相移特征多项式高精度拟合的多表面测量方法，其特征在于：在所述步骤(2)中，通过特征多项式的自变量系数的分布，对其进行高斯拟合、傅里叶拟合和多项式拟合，并且提供了三种拟合式的数值化结果，以供选用。

3.根据权利要求2所述基于相移特征多项式高精度拟合的多表面测量方法，其特征在于：在所述步骤(2)中，所述三种拟合后的窗函数经过其拟合计算，通式表达为：

式中，k是相移序数，

为采用多项式拟合方法的采样窗函数，

为采用傅里叶拟合方法的采样窗函数，

为采用高斯拟合方法的采样窗函数。

4.根据权利要求2所述基于相移特征多项式高精度拟合的多表面测量方法，其特征在于：在所述步骤(2)中，在进行多项式拟合时，将相移序数，也即自变量系数分布序数，作为拟合值的变量，以其对应的当前多项式分布系数作为拟合目标值；

基于多项式拟合的采样窗函数

的表达式表示为：

其中a₀～a₅是待求解参数；求取其平方误差的最小值Q，表示为：

其中Z是干涉图的总采集帧数；利用最小二乘原理，对上式求取平方值，并且使之趋向于0，即可得到各系数分布；具体而言，对各系数值求取其偏导数，使之为0，从而得到极值的最优解：

使用上式进行求解，就可分别得到每一个系数的最小二乘求解的方程表达，通过求解方程即可得到其最小二乘解，完成参数拟合。

5.根据权利要求2所述基于相移特征多项式高精度拟合的多表面测量方法，其特征在于：在所述步骤(2)中，进行傅里叶拟合时，同样将特征多项式的自变量系数分布作为拟合理想值，基于傅里叶拟合法的采样窗函数

可表示为：

其中b₀,b₁,b₂,

ω是待求解参数；采用牛顿迭代法进行求解；构造迭代函数

当次迭代点为x_k，是包括上述待求解参数的向量，下次迭代点为x_k+1，其中x_k+1与迭代函数的导数有关，具体写为：

其中

是对当次迭代点而言的；因此，下次迭代点的方向与当次迭代点的函数值及导数值有关；选择初始迭代点位0～1之间的随机数组成的向量，迭代误差选择为0.0001，最大迭代次数选择为1000步，当满足迭代误差或者最大迭代次数后即停止迭代，输出当前值作为拟合的求解的系数。

6.根据权利要求2所述基于相移特征多项式高精度拟合的多表面测量方法，其特征在于：在所述步骤(2)中，进行高斯拟合时通过对目标窗函数分布进行分析，构造其高斯拟合形式

其表达式如下：

其中

是待求解的拟合参数，其中m＝1,2；其中高斯拟合式中的各参数需要被精确求解，以保证拟合精度；因此利用非线性最小二乘法的逐次迭代算法构造误差函数，以误差函数最小为迭代目标，采用信赖域算法，通过二次逼近函数下降率确定区域半径，然后在半径范围内求出目标函数的二阶近似最小值；如果最小值使目标函数得到足够的下降，则进入下一次迭代，并展开信赖域的半径；如果最小值不能使目标函数得到足够的下降，说明当前信赖域的二阶近似是不可靠的，因此需要减小信赖域的半径，重新计算最小值；此迭代将继续，直到满足收敛所需的条件；首先，将平方误差定义为目标函数f(k)，为完整表示函数形式，其自变量k被表示在函数体的括号中，其含义不变，如w_k＝w_k(k)：

在每一步迭代点附近的圆上，用当前点近似求解目标函数的二阶近似函数

其中

和

是目标函数的一阶和二阶梯度；H()表示获取对象的Hessian矩阵；

J^T(k)是目标函数雅可比矩阵的换位；首先，考虑使

为最小的求解方法，ρ_k的固定方向是梯度下降方向，沿着这个方向寻找到信任域中的最小值；从初始点开始，迭代矢量表示为：

其中Δ_k是信赖域半径，可通过二次逼近函数的下降值与目标函数的下降之比进行调整；如果比值接近1，则增大半径；如果比值等于1，则半径保持不变；如果比值小于1，则减小半径；τ_k由下列各项决定：

初始点基于经验或设置为0-1之间的随机数；为保证在最大迭代步长下的迭代精度和结果可靠性，迭代参数设置如下：有限差分梯度系数的最大和最小变化分别设置为0.1和10^-8；迭代模型的最大求值次数和允许的迭代次数分别为600和400；最小迭代误差为10^-6；如果满足最大迭代次数或最小迭代误差，则停止迭代并输出当前值。

7.根据权利要求1所述基于相移特征多项式高精度拟合的多表面测量方法，其特征在于：在所述步骤(3)中，采用数值分析的方法，根据误差分布结果的综合分析，总结出在不同的相移参数N下的可用腔长系数的条件下的量化分析结果，并且使用通式进行表示：

综合考虑被测件的腔长位置与波长最小调谐范围，取N＝8-14的整数，r取0,1,2,3……的非负整数；当在腔长系数M进行可用的N值的寻址时，r值从0开始增加，N从8开始增加，逐步进行寻址。

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