CN108846162B - 一种基于bezier曲线的连续推力机动轨道设计方法 - Google Patents

一种基于bezier曲线的连续推力机动轨道设计方法 Download PDF

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CN108846162B CN201810433526.7A CN201810433526A CN108846162B CN 108846162 B CN108846162 B CN 108846162B CN 201810433526 A CN201810433526 A CN 201810433526A CN 108846162 B CN108846162 B CN 108846162B
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Abstract

本发明公开了一种基于bezier曲线的连续推力机动轨道设计方法，包括以下步骤：1)计算轨道机动问题的起止点约束及推力表达式；2)选用7点bezier曲线进行轨道设计；3)设定复合函数P＝B1H1+B2H2，得复合函数的一阶导数及二阶导数；4)由步骤3)得满足轨道机动任务的复合函数P约束；5)得bezier曲线B1及bezier曲线B2的方程；6)将bezier曲线B1和bezier曲线B2进行复合，得最终的机动轨道，该方法得到的轨道具有普适性。

Description

一种基于bezier曲线的连续推力机动轨道设计方法
技术领域
本发明属于轨道设计领域，涉及一种基于bezier曲线的连续推力机动轨道设计方法。
背景技术
小推力轨道的表达是解决小推力轨道优化问题的一个关键技术，也是对其优化方法分类的准则。目前较为通用的优化方法包括间接法、直接法和标称轨道法。间接法视原问题为最优控制问题，基于庞特里亚金极小值原理，用变分法推导最优控制的一阶必要条件和终端横截条件，最终将问题归结为用数值方法求解的两点边值问题。这种方法通过对协状态变量的直接数值积分来表达小推力轨道。其主要技术瓶颈在于协状态变量初始猜测不易确定，而且结果对初始猜测的依赖性高，收敛域小。直接法是通过离散和参数化，将原问题转换成非线性规划问题。目前较为常见的直接法是配点法和伪谱法，它们都是同时离散控制变量和状态变量，用多项式来拟合小推力轨道。它们能避免轨道数值积分，但离散的状态变量的初值不容易简便地给出，对结果有效性和鲁棒性有影响，因此需要设计出一种具有普适性的连续推力机动轨道设计方法。
发明内容
本发明的目的在于克服上述现有技术的缺点，提供了一种基于 bezier曲线的连续推力机动轨道设计方法，该方法得到的轨道具有普适性。
为达到上述目的，本发明所述的基于bezier曲线的连续推力机动轨道设计方法，其特征在于，包括以下步骤：
1)计算轨道机动问题的起止点约束及机动轨道推力表达式；
2)选用n点bezier曲线进行轨道设计，其中，设Pj为bezier曲线的第j个控制点，t为bezier曲线的比例因子，1≤j≤n；
3)设定复合函数P＝B1H1+B2H2，其中，H表示开普勒轨道方程，B1为第一个bezier曲线，B2为第一个bezier曲线，得复合函数的一阶导数及二阶导数分别为：
P′＝B′1.H1+B1.H′1+B′2.H2+B2.H′2
P″＝B1″.H1+2B1′.H1′+B1.H1″+B2″.H2+2B2′.H2′+B2.H2″；
4)已知满足轨道机动任务的复合函数P约束为：
(P|t＝0)＝H1，(θ|t＝0)＝θ1
(P′|t＝0)＝H′1，(P″|t＝0)＝H1′
(P|t＝1)＝H2，(θ|t＝1)＝θ2
(P′|t＝1)＝H′2，(P″|t＝1)＝H″2
由步骤3)得bezier曲线的两点边值问题约束为：
(B1|t＝0)＝1，(B1|t＝1)＝0
(θ|t＝0)＝θ1，(θ|t＝1)＝θ2
(B1′|t＝0)＝0，(B1′|t＝1)＝0
(B1″|t＝0)＝0，(B1″|t＝1)＝0
(B2|t＝0)＝0，(B2|t＝1)＝1
(θ|t＝0)＝θ1，(θ|t＝1)＝θ2
(B2′|t＝0)＝0，(B2′|t＝1)＝0
(B2″|t＝0)＝0，(B2″|t＝1)＝0；
5)对于bezier曲线B1，当n＝7时，设(ri，θi)表示第i个控制点的坐标参数，在bezier曲线B1的起点处，各阶导与控制点坐标的关系为；
Figure BDA0001654038730000021
Figure 1
在bezier曲线B1的终点处，各阶导与控制点坐标的关系为：
Figure BDA0001654038730000031
Figure BDA0001654038730000032
引入系数ki，i＝2，3，5，6，通过第一个控制点及第七个控制点的参数对第2、3、5、6个控制点的参数进行表述，得
P2＝(θ2，r2)＝(k2+θ1，k2·(r′|t＝0)+r1)
P6＝(θ6，r6)＝(-k6+θ7，-k6·(r′|t＝1)+r7)
Figure BDA0001654038730000033
Figure BDA0001654038730000034
将两点边值问题的边界条件代入上述公式中，得
P2＝(θ2，r2)＝(k2+θ1，1)
P3＝(θ3，r3)＝(k3+(2θ2-θ1)，1)
P5＝(θ5，r5)＝(k5+(2θ6-θ7)，0)
P6＝(θ6，r6)＝(-k6+θ7，0)
同理，得bezier曲线B2的四个控制点为：
P9＝(θ9，r9)＝(k9+θ8，0)
P10＝(θ10，r10)＝(k10+(2θ9-θ8)，0)
P12＝(θ12，r12)＝(k12+(2θ13-θ14)，1)
P13＝(θ13，r13)＝(-k13+θ14，1)
再添加bezier曲线B1中第四个控制点坐标P4＝(θ4，r4)及bezier曲线 B2中第四个控制点坐标P11＝(θ11，r11)作为自由优化变量，然后加上引入的八个系数ki得12个优化变量，最后根据所述12个优化变量的优化结果得bezier曲线B1及bezier曲线B2的方程；
6)将bezier曲线B1和bezier曲线B2进行复合，得最终的机动轨道，完成基于bezier曲线的连续推力机动轨道设计。
步骤6)的具体操作为：bezier曲线B1和bezier曲线B2的比例因子 t从0至1等步长变化过程中，对应的
Figure BDA0001654038730000035
和
Figure BDA0001654038730000036
不同，因此bezier曲线B1和bezier曲线B2不能直接进行叠加，通过等步长
Figure BDA0001654038730000037
获取对应的
Figure BDA0001654038730000038
及
Figure BDA0001654038730000039
进而通过
Figure BDA0001654038730000041
的关系，得
Figure BDA0001654038730000042
再通过反解多项式反解出对应的
Figure BDA0001654038730000043
从而得到
Figure BDA0001654038730000044
然后再将bezier曲线B1与bezier曲线B2进行复合，得最终的机动轨道。
步骤2)中bezier曲线的方程及一阶导数、二阶导数及三阶导数分别为：
Figure BDA0001654038730000045
Figure BDA0001654038730000046
Figure BDA0001654038730000047
Figure BDA0001654038730000048
反解多项式为：
Figure BDA0001654038730000049
a1＝1·θ8-6·θ9+15·θ10-20·θ11+15·θ12-6·θ13+1·θ14
a2＝-6·θ8+30·θ9-60·θ10+60·θ11-30·θ12+6·θ13
a3＝15·θ8-60·θ9+90·θ10-60·θ11+15·θ12
a4＝-20·θ8+60·θ9-60·θ10+20·θ11
a5＝15·θ8-30·θ9+15·θ10
a6＝-6·θ8+6·θ9
a7＝1·θ8。
步骤1)的具体操作为：
由轨道方程可知，初始轨道及目标轨道的椭圆轨道极坐标下的轨道矢径r及其一阶导r′及二阶导r″分别为：
Figure BDA0001654038730000051
Figure BDA0001654038730000052
Figure BDA0001654038730000053
其中，θ为轨道的相位角，a为轨道的半长轴，e为轨道的偏心率；
通过航迹角γ给出轨道速度方向，其中，Vr及Vθ分别代表径向速度及切向速度，其中，
Figure BDA0001654038730000054
Figure BDA0001654038730000055
Figure BDA0001654038730000056
则每一时刻机动轨道推力Ta(θ)为：
Figure BDA0001654038730000057
本发明具有以下有益效果：
本发明所述的基于bezier曲线的连续推力机动轨道设计方法在具体操作时，选用7点bezier曲线进行轨道设计，另外，通过两个bezier 曲线构建复合函数，通过该复合函数在极坐标系下对机动轨道进行有效的描述，并对两个bezier曲线中的各控制点坐标进行优化，从而得到具有普适性的最终机动轨道，即既能表述轨道高度的渐变特性，也能较好的描述椭圆轨道的周期震荡特性。与现有的设计方法相比，本发明能够灵活的解决动轨道设计问题，设计结果推力消耗远小于现有方法。
附图说明
图1为四点bezier曲线示意图；
图2为极坐标系轨道图；
图3为直角坐标系轨道图；
图4为推力曲线图；
图5为优化结果的两条bezier曲线示意图；
图6表示总推力消耗随优化过程变化的趋势图；
图7为机动轨道各阶导数与初始轨道和目标轨道匹配情况图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明做进一步详细描述：
本发明所述的基于bezier曲线的连续推力机动轨道设计方法包括以下步骤：
1)计算轨道机动问题的起止点约束及机动轨道推力表达式，其中，
由轨道方程可知，初始轨道及目标轨道的椭圆轨道极坐标下的轨道矢径r及其一阶导r′及二阶导r″″分别为：
Figure BDA0001654038730000071
Figure BDA0001654038730000072
Figure BDA0001654038730000073
其中，θ为轨道的相位角，a为轨道的半长轴，e为轨道的偏心率，需要说明，本发明中所有的
Figure BDA0001654038730000078
和A′分别代表A对比例因子t和轨道相位角θ求导；
通过航迹角γ给出轨道速度方向，其中，Vr及Vθ分别代表径向速度及切向速度，其中，
Figure BDA0001654038730000074
Figure BDA0001654038730000075
Figure BDA0001654038730000076
则每一时刻机动轨道推力Ta(θ)为：
Figure BDA0001654038730000077
由步骤1)可知，对于给定θ和r，若r′相同，则速度方向相同；对于给定θ和r，若r′相同，r″″相同，则速度大小方向均相同；
因此，现在问题就转化成对表述函数的设计和对设计的函数进行优化，使函数满足两点边值问题的边界约束条件，即优化变量使函数在起点及终点的函数值、一阶导、二阶导与初始轨道和目标轨道分别匹配，即可解决连续推力机动轨道设计问题。
2)根据起止点约束可知，基本的6点bezier曲线由于所有控制点都被边界条件进行了约束，因此形式相对较为固定，自由度较差，而适当增加控制点个数则会使bezier曲线更为灵活，可参数化设计性更强。本发明用7点bezier曲线进行轨道设计，其中，设Pj为bezier曲线的第j个控制点，t为bezier曲线的比例因子，1≤j≤7，则bezier曲线的方程及一阶导数、二阶导数及三阶导数分别为：
Figure BDA0001654038730000081
Figure BDA0001654038730000082
Figure BDA0001654038730000083
Figure BDA0001654038730000084
3)由于设计的函数既要受bezier曲线的调整灵活可变，又要包含椭圆轨道极坐标系下曲线的周期振荡趋势，因此单纯的bezier曲线不足以对轨道特性进行合理的描述，设定复合函数P＝B1H1+B2H2，其中，H 表示开普勒轨道方程，B1为第一个bezier曲线，B2为第一个bezier曲线，得复合函数的一阶导数及二阶导数分别为：
P′＝B1′.H1+B1.H1′+B2′.H2+B2.H2′
P″＝B1″.H1+2B1′.H1′+B1.H1″+B2″.H2+2B2＇.H2′+B2.H2″
4)已知轨道机动任务的复合函数P约束为：
(P|t＝0)＝H1，(θ|t＝0)＝θ1
(P′|t＝0)＝H′1，(P″|t＝0)＝H1′
(P|t＝1)＝H2，(θ|t＝1)＝θ2
(P′|t＝1)＝H′2，(P″|t＝1)＝H2′
由步骤3)可知，bezier曲线的两点边值问题约束为：
(B1|t＝0)＝1，(B1|t＝1)＝0
(θ|t＝0)＝θ1，(θ|t＝1)＝θ2
(B1′|t＝0)＝0，(B1′|t＝1)＝0
(B1″|t＝0)＝0，(B1″|t＝1)＝0
(B2|t＝0)＝0，(B2|t＝1)＝1
(θ|t＝0)＝θ1，(θ|t＝1)＝θ2
(B2′|t＝0)＝0，(B2′|t＝1)＝0
(B2″|t＝0)＝0，(B2″|t＝1)＝0
5)对于bezier曲线B1，设(ri，θi)表示第i个控制点的坐标参数，在bezier曲线B1的起点处，各阶导与控制点坐标的关系为；
Figure BDA0001654038730000091
Figure 2
在bezier曲线B1的终点处，各阶导与控制点坐标的关系为：
Figure BDA0001654038730000093
Figure BDA0001654038730000094
引入系数ki，i＝2，3，5，6，通过第一个控制点及第七个控制点的参数对第2、3、5及6个控制点的参数进行表述，得
P2＝(θ2，r2)＝(k2+θ1，k2·(r′|t＝0)+r1)
P6＝(θ6，r6)＝(-k6+θ7，-k6·(r′|t＝1)+r7)
Figure BDA0001654038730000101
Figure BDA0001654038730000102
然后将两点边值问题的边界条件代入上述公式中，得
P2＝(θ2，r2)＝(k2+θ1，1)
P3＝(θ3，r3)＝(k3+(2θ2-θ1)，1)
P5＝(θ5，r5)＝(k5+(2θ6-θ7)，0)
P6＝(θ6，r6)＝(-k6+θ7，0)
同理，得bezier曲线B2的四个控制点为：
P9＝(θ9，r9)＝(k9+θ8，0)
P10＝(θ10，r10)＝(k10+(2θ9-θ8)，0)
P12＝(θ12，r12)＝(k12+(2θ13-θ14)，1)
P13＝(θ13，r13)＝(-k13+θ14，1)
再添加bezier曲线B1中第四个控制点坐标P4＝(θ4，r4)及bezier曲线 B2中第四个控制点坐标P11＝(θ11，r11)作为自由优化变量，然后加上引入的八个系数ki得12个优化变量，最后根据所述12个优化变量的优化结果得bezier曲线B1及bezier曲线B2的方程；
6)bezier曲线B1和bezi er曲线B2的比例因子t从0至1等步长变化过程中，对应的
Figure BDA0001654038730000103
和
Figure BDA0001654038730000104
不同，因此bezier曲线B1和bezier曲线B2不能直接进行叠加，通过等步长
Figure BDA0001654038730000105
获取对应的
Figure BDA0001654038730000106
及
Figure BDA0001654038730000107
进而通过
Figure BDA0001654038730000108
的关系，得
Figure BDA0001654038730000109
再通过反解多项式反解出对应的
Figure BDA00016540387300001010
从而得到
Figure BDA00016540387300001011
然后再将bezier曲线B1与bezier曲线B2进行复合，得最终的机动轨道，其中，反解多项式为：
Figure BDA00016540387300001012
a1＝1·θ8-6·θ9+15·θ10-20·θ11+15·θ12-6·θ13+1·θ14
a2＝-6·θ8+30·θ9-60·θ10+60·θ11-30·θ12+6·θ13
a3＝15·θ8-60·θ9+90·θ10-60·θ11+15·θ12
a4＝-20·θ8+60·θ9-60·θ10+20·θ11
a5＝15·θ8-30·θ9+15·θ10
a6＝-6·θ8+6·θ9
a7＝1·θ8。
实施例一
本发明对某一轨道机动问题实例实施的结果为：优化结果累计推力为0.2044VU，与现有方法的设计结果(0.3231VU)对比如下：VU为无量纲推力单位，单位对照表如表1所示，仿真案例的具体参数如表2所示，设计结果的beizer曲线各控制点坐标和比例系数如表3所示。
图2及图3分别表示在极坐标系及直角坐标系下的初始轨道、目标轨道及机动轨道，图4为推力曲线图，图5为优化结果的两条bezier 曲线示意图，图6表示总推力消耗随优化过程变化的趋势图，图7为机动轨道各阶导数与初始轨道和目标轨道匹配情况图。
表1
单位 符号 数值
距离单位 DU 6378km
时间单位 TU 806s
速度单位 VU 7.9km/s
表2
初始轨道 目标轨道
半长轴 2DU 6DU
偏心率 0.3 0.6
轨道倾角 0 0
升交点赤经 0 0
近地点幅角 10° 30°
真近点角 -30° 120°
表3bezier曲线控制点参数表
Figure BDA0001654038730000111
Figure BDA0001654038730000121

Claims (3)

1.一种基于bezier曲线的连续推力机动轨道设计方法，其特征在于，包括以下步骤：
1)计算轨道机动问题的起止点约束及机动轨道推力表达式；
2)选用n点bezier曲线进行轨道设计，其中，设Pj为bezier曲线的第j个控制点，t为bezier曲线的比例因子，1≤j≤n；
3)设定复合函数P＝B1H1+B2H2，其中，H表示开普勒轨道方程，B1为第一个bezier曲线，B2为第一个bezier曲线，得复合函数的一阶导数及二阶导数分别为：
P′＝B1′.H1+B1.H1′+B2′.H2+B2.H2′
P″＝B1″.H1+2B1′.H1′+B1.H1″+B2″.H2+2B2′.H2′+B2.H2″；
4)已知满足轨道机动任务的复合函数P约束为：
(P|t＝0)＝H1，(θ|t＝0)＝θ1
(P′|t＝0)＝H′1，(P″|t＝0)＝H″1
(P|t＝1)＝H2，(θ|t＝1)＝θ2
(P′|t＝1)＝H′2，(P″|t＝1)＝H″2
由步骤3)得bezier曲线的两点边值问题约束为：
(B1|t＝0)＝1，(B1|t＝1)＝0
(θ|t＝0)＝θ1，(θ|t＝1)＝θ2
(B1′|t＝0)＝0，(B1′|t＝1)＝0
(B1″|t＝0)＝0，(B1″|t＝1)＝0
(B2|t＝0)＝0，(B2|t＝1)＝1
(θ|t＝0)＝θ1，(θ|t＝1)＝θ2
(B2′|t＝0)＝0，(B2′|t＝1)＝0
(B2″|t＝0)＝0，(B2″|t＝1)＝0；
5)对于bezier曲线B1，当n等于7时，设(ri，θi)表示第i个控制点的坐标参数，r为初始轨道的椭圆轨道极坐标下的轨道矢径，θ为轨道的相位角，在bezier曲线B1的起点处，各阶导与控制点坐标的关系为；
Figure FDA0003798201730000011
Figure FDA0003798201730000012
在bezier曲线B1的终点处，各阶导与控制点坐标的关系为：
Figure FDA0003798201730000021
Figure FDA0003798201730000022
引入系数ki，i＝2，3，5，6，通过第一个控制点及第七个控制点的参数对第2、3、5、6个控制点的参数进行表述，得
P2＝(θ2，r2)＝(k2+θ1，k2·(r′|t＝0)+r1)
P6＝(θ6，r6)＝(-k6+θ7，-k6·(r′|t＝1)+r7)
Figure FDA0003798201730000023
Figure FDA0003798201730000024
将两点边值问题的边界条件代入上述公式中，得
P2＝(θ2，r2)＝(k2+θ1，1)
P3＝(θ3，r3)＝(k3+(2θ2-θ1)，1)
P5＝(θ5，r5)＝(k5+(2θ6-θ7)，0)
P6＝(θ6，r6)＝(-k6+θ7，0)
同理，得bezier曲线B2的四个控制点为：
P9＝(θ9，r9)＝(k9+θ8，0)
P10＝(θ10，r10)＝(k10+(2θ9-θ8)，0)
P12＝(θ12，r12)＝(k12+(2θ13-θ14)，1)
P13＝(θ13，r13)＝(-k13+θ14，1)
再添加bezier曲线B1中第四个控制点坐标P4＝(θ4，r4)及bezier曲线B2中第四个控制点坐标P11＝(θ11，r11)作为自由优化变量，然后加上引入的八个系数ki得12个优化变量，然后根据所述12个优化变量的优化结果得bezier曲线B1及bezier曲线B2的方程；
6)将bezier曲线B1和bezier曲线B2进行复合，得最终的机动轨道，并计算相应的推力消耗，完成基于bezier曲线的连续推力机动轨道设计。
2.根据权利要求1所述的基于bezier曲线的连续推力机动轨道设计方法，其特征在于，步骤2)中bezier曲线的方程及一阶导数、二阶导数及三阶导数分别为：
Figure FDA0003798201730000031
Figure FDA0003798201730000032
Figure FDA0003798201730000033
Figure FDA0003798201730000034
3.根据权利要求1所述的基于bezier曲线的连续推力机动轨道设计方法，其特征在于，步骤1)的具体操作为：
由轨道方程可知，初始轨道及目标轨道的椭圆轨道极坐标下的轨道矢径r及其一阶导r′及二阶导r″分别为：
Figure FDA0003798201730000035
Figure FDA0003798201730000036
Figure FDA0003798201730000037
其中，θ为轨道的相位角，a为轨道的半长轴，e为轨道的偏心率；
通过航迹角γ给出轨道速度方向，其中，Vr及Vθ分别代表径向速度及切向速度，其中，
Figure FDA0003798201730000041
Figure FDA0003798201730000042
Figure FDA0003798201730000043
则每一时刻机动轨道推力Ta(θ)为：
Figure FDA0003798201730000044
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