CN108803336A - 一种航空发动机自适应lqg/ltr控制器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种航空发动机自适应LQG/LTR控制器设计方法，包括以下步骤：首先基于航空发动机高精度非线性模型，建立稳态点附近的线性数学模型，并根据此线性模型初步设计具有环路传输恢复的线性二次高斯(Linear Quadratic Gaussian with Loop Transfer Recovery,LQG/LTR)控制器；然后定义误差反向传播(Error Back Propagation,BP)算法的误差函数，使其能够反应系统性能的要求；最后利用BP算法在线优化LQG/LTR控制器中卡尔曼滤波器增益矩阵与最优状态反馈增益矩阵，使得误差函数达到极小。本发明针对LQG/LTR控制器设计过程中的权重矩阵选取问题，避免繁琐的手工试凑过程，只要合理地给出任意一组权重矩阵，并解出卡尔曼滤波器增益矩阵与最优状态反馈矩阵，利用本发明内容即可在线优化LQG/LTR控制器，使系统具有良好的动态性能与鲁棒性。

Description

一种航空发动机自适应LQG/LTR控制器设计方法

技术领域

本发明属于航空发动机控制器设计技术，尤其涉及一种航空发动机自适应LQG/LTR(Linear Quadratic Gaussian with Loop Transfer Recovery)控制器设计方法。

背景技术

航空发动机是一个结构极其复杂、工作环境极为恶劣、强非线性的被控对象。为了满足航空发动机性能与可操纵性的要求，多变量控制方法被用于控制发动机的燃油量与若干几何变量^[1]。由于LQG/LTR控制方法具有结构简单、鲁棒性优良等优点，因而具有较高的工程应用价值。例如，涡轴发动机GE T700、Allison T406和涡扇发动机PW F100EMD的控制均采用了LQG/LTR方法^[2]。然而，在使用LQG/LTR控制方法时有两个潜在的问题：一是在控制器设计过程中，权重矩阵的选取十分依赖设计者的经验；二是当由基于某设计点得出的LQG/LTR控制器用于非设计点时，系统的性能与稳定性会变差[3]。

针对这两个问题，目前已开展了大量改进LQG/LTR的研究工作^[4-13]，但研究结果存在要么计算量较大，要么仍需要部分人工调节等问题。文献[4-5]在采用基于李雅普诺夫理论的模型参考自适应控制方法的基础上，分别使用闭环准则以及差分算法来优化LQG/LTR增益矩阵，但这种方法需要精确的发动机参考模型，且其优化过程计算量巨大；另外一些研究利用遗传算法^[6-8]、序列二次规划^[9]、人工蜂群算法^[10]和单纯形优化算法^[11]，通过求解优化问题获得LQG/LTR权重矩阵。然而这些算法的参数选择通常还是基于设计者的经验，同时解决非线性约束的优化问题计算量较大且很难实时用在发动机上。文献[12]利用极点分配的方法获得增益矩阵，该方法可以保证时变系统的稳定性与鲁棒性，但是需要求解高阶二次方程组，且系统性能却决于人为选择的极点。文献[13]利用BP(Error BackPropagation)神经网络实现了LQG/LTR控制器参数的实时调度，但是在设计各稳态点的LQG/LTR控制器时，仍然手动选择权重矩阵。

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[13]郭迎清,吴丹,张华.全飞行包线LQG/LTR多变量控制器设计[J].航空发动机,2002(4):44-47.

发明内容

本发明的目的在于，提供一种航空发动机自适应LQG/LTR控制器设计方法，以解决LQG/LTR控制器设计中权重矩阵选取困难的问题，并增加LQG/LTR控制器的鲁棒性，当被控对象状态变化时，所设计的LQG/LTR控制器可以自行调节卡尔曼滤波器增益矩阵与最优状态反馈增益矩阵，从而适应于控制新的被控对象。

本发明为实现上述目的采用以下技术方案：

一种航空发动机自适应LQG/LTR控制器设计方法，包括如下步骤：

步骤1：建立航空发动机某个稳态点附近的线性数学模型；

步骤2：根据步骤1所得线性数学模型设计LQG/LTR控制器；

步骤3：利用BP算法在线优化LQG/LTR控制器中卡尔曼滤波器增益矩阵与最优状态反馈增益矩阵，使得BP算法的误差函数满足精度要求。

优选的，所述步骤1中建立航空发动机某个稳态点附近的线性数学模型步骤如下：

步骤1.1：根据气动热力学相关知识和部件特性数据建立航空发动机部件级非线性数学模型；

步骤1.2：基于步骤1.1中的部件级非线性数学模型，任选一稳态点，通过拟合法或扰动法等线性化方法建立航空发动机线性数学模型。

优选的：所述步骤2中设计LQG/LTR控制器步骤如下：

步骤2.1：设计卡尔曼滤波器，使得其回比函数具有良好的性能与鲁棒性；

步骤2.2：设计LQR调节器，使得系统开环主增益曲线足够趋近于卡尔曼滤波器回比函数的主增益曲线。

优选的，所述步骤3中利用BP算法在线优化LQG/LTR控制器中卡尔曼滤波器增益矩阵与最优状态反馈增益矩阵步骤如下：

步骤3.1：将卡尔曼滤波器增益矩阵中的值视为BP算法中信息的正向传递过程中输入数值与输出数值之间的映射规则，将最优状态反馈增益矩阵中的值视为BP算法中误差的反向传播过程中输入数值与输出数值之间的映射规则，初始化BP算法的各变量，包括输入X(t)＝(x₁,x₂,…,x_n)，n为输入向量的维数，t为当前时刻；对应的期望输出m为输出向量维数；

步骤3.2：对于每一个时刻t，计算信息正向传递实际输出Y(t)＝(y₁,y₂,…,y_m)；

步骤3.3：定义BP算法的误差函数，根据误差定义计算误差E；

步骤3.4：信息的正向传递过程的各个映射规则和误差的反向传播过程的各个映射规则分别构成正向映射矩阵和反向映射矩阵，根据步骤3.3定义的误差函数，分别计算正向映射矩阵和反向映射矩阵中每一个映射元素对误差的贡献值，即误差函数对映射元素的偏导数和下标kf，kc分别表示卡尔曼滤波器增益矩阵与最优状态反馈增益矩阵，下标ji表示从第i个输入到第j个输出；

步骤3.5：根据步骤3.4中的计算结果，对正向映射矩阵和反向映射矩阵中的每一个映射元素进行调整；

其中η_kf、η_kc为优化步长，需手动选取；下标i表示输入元素序号，下标j表示输出元素序号，下标ji表示从第i个输入到第j个输出；

步骤3.6：判断误差步骤3.3中计算得出的误差是否足够小：若误差满足要求，则停止优化；否则回跳至步骤3.1。

优选的，步骤3.3中所述误差函数为：

优选的，

其中等式右边第一项为误差对被控对象实际输出的偏导数：

其中等式右边第二项为被控对象实际输出对卡尔曼滤波器增益矩阵输出的偏导数：

其中等式右边第三项为卡尔曼滤波器增益矩阵输出对映射后值的偏导数：

其中等式右边第四项为映射后值对映射元素的偏导数：

的计算方法同上。

优选的，步骤3.5中，优化步长的取值范围为：

其中，E(t)为当前时刻BP算法的误差，为当前时刻误差对被控对象输出的偏导数，被控对象实际输出对增益矩阵输出的偏导数，增益矩阵输出对映射后值的偏导数，映射后值对映射元素的偏导数。

有益效果：为解决航空发动机LQG/LTR控制其设计中最优反馈控制律的权重矩阵选定问题，本发明提出了一种基于BP算法的优化Kalman滤波器增益矩阵与最优状态反馈增益矩阵的方法。该方法将增益矩阵视为以一般的映射矩阵，利用BP算法的基本原理，将每一个时刻的误差回传至增益矩阵的各个元素上，并以此计算下一时刻增益矩阵的值，从而达到自动优化Kalman滤波器增益矩阵与最优状态反馈增益矩阵的效果，省去了航空发动机LQG/LTR控制器设计中繁琐复杂的试凑选取权重矩阵的过程，提高了设计效率。同时本发明理论分析了该方法的收敛性，得出当优化步长小于某值时，算法收敛且优化后的系统稳定的结论。

附图说明

图1是LQG/LTR控制器结构图。

图2是将增益矩阵视为映射的示意图。

图3是考虑加性摄动LQG/LTR控制系统结构图

图4是广义系统结构图

图5是广义控制器结构图

图6是考虑加性摄动的广义系统结构图

图7是考虑加性摄动的广义系统结构问题转换图

图8是本发明具体实施的流程图。

图9是系统对转速阶跃指令信号响应图。

图10是系统对转速阶跃干扰信号控制效果图。

图11是验证发明鲁棒性仿真结果图。

图12是控制系统的开环奇异值曲线对比图。

具体实施方式

本发明为实现上述目的采用以下技术方案：

一种航空发动机自适应LQG/LTR控制器设计方法，包括如下步骤：

1)建立航空发动机某个稳态点附近的线性数学模型

步骤1.1：根据气动热力学相关知识和部件特性数据建立航空发动机部件级非线性数学模型；

式中，x为n维状态矢量，y为m维输出矢量，u为r维控制矢量。

步骤1.2：基于步骤1.1中的部件级非线性数学模型，任选一稳态点，采用拟合法或扰动法等线性化方法建立航空发动机线性数学模型。若考虑干扰、噪声等的影响，航空发动机线性数学模型可表示为：

其中A，B，C，D，Γ矩阵为发动机线性数学模型的状态矩阵，w(t)与v(t)为系统噪声，且互不相关：

E{w}＝0,E{v}＝0

E{ww^T}＝W≥0

E{vv^T}＝V≥0

E{wv}＝0

2)初步设计LQG/LTR控制器

LQG/LTR控制器结构如图1所示。LQG/LTR控制分为两个部分，即LQG与LTR两部分。LQG控制是结合LQR(Linear Quadratic Regulator线性二次型调节器)控制和Kalman滤波器的最优控制，应用奇异值理论，设计好全状态反馈回路(或Kalman滤波器回路)的奇异值曲线形状，使其具有良好的性能与一定的鲁棒性。LQG控制能够有效处理附加噪声或无法直接测量得到状态量的控制问题。LTR设计方法是基于已经设计好、性能优良的LQG控制回路，通过设计状态反馈增益或滤波器增益，使得整个控制系统的开环回路传递函数逼近目标回路传递函数。

LQG控制设计的目的是设计一个反馈律使得下述性能指标函数极小：

式中，Q＝Q^T≥0，R＝R^T≥0，均为对称半正定权重矩阵。

为了解决状态量不易测得的被控对象最优状态反馈控制器设计问题，可以利用状态观测器，即通过状态估计得出估计状态量，并利用其进行状态反馈控制器设计，使得目标函数J极小。状态观测器通常采用Kalman滤波器。

根据最优控制理论，在LQG/LTR控制系统中，Kalman滤波器增益矩阵与最优状态反馈增益矩阵分别为：

K_f＝P_fC^TV^-1 (4)

K_c＝R^-1B^TP_c (5)

其中，P_f与P_c分别为黎卡提代数方程的正定解：

P_fA^T+AP_f-P_fC^TV^-1CP_f+ΓWΓ^T＝0 (6)

A^TP_c+P_cA-P_cBR^-1B^TP_c＝0 (7)

然而，尽管全状态反馈控制器与Kalman滤波器均有良好的鲁棒性，它们组合成的LQG控制并不因此具有良好的鲁棒性。LQG控制的稳定裕度可能很小，因此引入LTR方法，通过选择全状态反馈控制器的权重矩阵Q与R，从而改变K_f或K_c，使得整个控制系统的开环回路传递函数逼近目标回路传递函数。

综上，LQG/LTR控制器设计的步骤包括：

步骤2.1：设计卡尔曼滤波器，使得其回比函数C(sI-A)^-1K_f具有良好的性能与鲁棒性，为此需要通过适当选择可调参数矩阵Γ,W,V，从而改变卡尔曼滤波器增益矩阵K_f，使得回比函数的主增益曲线满足要求；

步骤2.2：设计LQR调节器，令Q＝Q₀+qI,R＝I，通过不断调整q值，从而改变最优状态反馈增益矩阵K_c，使得系统开环主增益曲线足够趋近于卡尔曼滤波器回比函数的主增益曲线。

3)本发明通过将BP算法引入LQG/LTR控制设计中，以达到自动优化K_f和K_c矩阵的效果。

将卡尔曼滤波器增益矩阵中的值视为BP算法中信息的正向传递过程中输入数值与输出数值之间的映射规则，将最优状态反馈增益矩阵中的值视为BP算法中误差的反向传播过程中输入数值与输出数值之间的映射规则，如图2所示。图2中，X表示输入信息，W表示映射矩阵中元素，NET表示输入信息经映射后的值，O表示输出信息，下标kf，kc分别表示卡尔曼滤波器增益矩阵与最优状态反馈增益矩阵，下标i表示输入元素序号，下标j表示输出元素序号，下标ji表示从第i个输入到第j个输出。

利用BP算法在线优化LQG/LTR控制器中卡尔曼滤波器增益矩阵与最优状态反馈增益矩阵步骤如下：

步骤3.1：初始化各变量，包括输入X(t)＝(x₁,x₂,…,x_n)，n为输入向量的维数，t为当前时刻；对应的期望输出m为输出向量维数。

步骤3.2：对于每一个时刻，计算信息正向传递实际输出Y(t)＝(y₁,y₂,…,y_m)。

步骤3.3：根据误差定义计算误差，本文针对实际问题，使用常用的均方误差：

步骤3.4：根据步骤3.3定义的误差函数，计算映射中每一个映射元素对误差的贡献值，即误差函数对映射元素的偏导数，以卡尔曼滤波器增益矩阵为例，即根据链式求导法则可得：

其中等式右边第一项为步骤3.3定义的误差对被控对象实际输出的偏导数：

其中第二项为被控对象实际输出对卡尔曼滤波器增益矩阵输出的偏导数：

当O_kf,j(t)-O_kf,j(t-1)相差较小或相等时，可能会趋于无穷，在计算中是不合理的。但是考虑到值的大小影响映射矩阵元素收敛变化的速度，值的正负影响映射矩阵元素收敛变化的方向。在调节映射矩阵的元素时收敛的速度可由优化步长调节，所以考虑被控对象输出对卡尔曼滤波器增益矩阵的输出偏导数时，确定收敛方向是首要任务。故本文采用相对变换量的符号函数近似代替式来代替

其中第三项为卡尔曼滤波器增益矩阵输出对映射后值的偏导数，由于本方法没有采用激活函数，所以：

其中第四项为映射后值对映射元素的偏导数：

步骤3.5：根据步骤3.4中的计算结果，对每一个映射矩阵的每个元素进行调整。

其中η_kf、η_kc为优化步长，需手动选取，可以证明当优化步长选取偏大时，优化速率会加快，但是系统稳定裕度会降低；当优化步长选取偏小时，优化速率会减慢，但是系统稳定裕度会提高。

步骤3.6：根据调整后的映射矩阵计算信息正向传递实际输出，然后计算误差，判断误差是否足够小，若误差满足要求，则停止优化；否则回跳至步骤3.1。

4)对航空发动机自适应LQG/LTR控制器设计方法收敛性分析如下：

首先定义李雅普诺夫方程：

其中，

为t时刻第i个输出的期望值，y_i(t)为t时刻第i个输出的实际值，E(t)为t时刻定义误差的值，具体详见式(8)。n₀为调整次数。由于：

而：

变化量为：

其中，Δw为增益矩阵中各元素每次的调整值。

其中：

将式(20)～(22)代入式(19)，可求出：

因此，当

时，ΔL(n₀)<0，可以保证系统的收敛性。由不等式，并考虑到η＞0，得：

将式(23)带入式(26)，可得：

通过上述分析可得，当利用本发明航空发动机自适应LQG/LTR控制器设计方法时，如果优化步长η满足一定条件时，优化算法可以收敛。因此可以保证系统收敛性的前提下，可以适当变化优化步长，以达到较快优化速度。

5)对航空发动机自适应LQG/LTR控制器设计方法稳定性分析如下：

根据式(15)、式(16)可知，优化过程实际上为在K_f与K_c的基础上加入加性摄动，且所加摄动大小与优化步长有关。加性摄动如图3所示。

图3中，Δ₁与Δ₂分别为通过BP算法对卡尔曼滤波器增益矩阵与最优状态反馈增益矩阵做出的加性摄动。

由于卡尔曼滤波器增益矩阵分析与最优状态反馈增益矩阵稳定性分析相似，所以在此仅分析卡尔曼滤波器增益矩阵。将其视为广义被控对象，其输入输出视为广义输入输出，回路中其他部分视为广义控制器，同时分析卡尔曼滤波器增益矩阵时，暂不考虑最优状态反馈矩阵的摄动Δ₂。则广义系统如图4所示。

图4中，w为参考输入信号，z为参考输出信号，e为参考输入与广义控制之间的误差，为广义测量输出信号，为广义控制输入信号；为广义控制器，其具体结构如图5所示。

若系统状态量选取如图5中所示，则有：

则可表达为：

考虑图4中所示的系统，w至e的传递函数可表示为：

若在图4中考虑加入加性摄动，如图6所示：

首先考虑图6系统稳定性，假设存在W₂(s)，W₂∈RH_∞，且满足：

若W₂(s)同时满足则令广义被控对象则问题转换为如图7所示结构。

图7中，为广义参考输入，为广义参考输出；此时，从至的传递函数为：

根据参考文献[14]中引理7-1，由于所以系统稳定。

综上所述，对于卡尔曼滤波器增益矩阵，若存在W₂(s)满足且通过本文方法进行优化，加入的加性摄动满足时，系统鲁棒稳定。

下面分析稳定裕度与摄动最大值之间的关系。

根据摄动系统内稳定条件：

其中，‖Δ‖_∞≤1，则可得：

假定加入加性摄动后的在集合中，且不确定性满足：

对于摄动系统均内稳定。

考虑稳定裕度β，则：

对比式(35)与式(36)，可得：

其中：

由摄动系统内稳定条件可得：

故可取稳定裕度为：

式(40)给出了稳定裕度与摄动最大值之间的关系，其中可由式(30)得出。可以看出稳定裕度与摄动最大值成反比，然而在具体实施过程中，获得两者之间具体数学关系的难度较大；考虑到摄动大小与优化步长有关，所以具体实施过程中可以通过减小优化步长来获取较大的稳定裕度。

[14]胡寿松.最优控制理论与系统[M].北京:科学出版社,2005.

本发明的具体实施流程如图8所示。

本发明具体实施方式以某型涡轴发动机为例，其线性模型可表示如下：

其中A为8×8矩阵，

B为8×2矩阵，

状态量有8个，输入量有2个，分别为：

x(t)＝[N_g N_p Q_MR N_MR Q_TR N_TR V_g T_4.5]^T

u(t)＝[W_f V_gc]^T

选取该发动机90％最大转速作为稳态点，得到该稳态点发动机线性化数学模型状态方程矩阵参数如下：

D＝0

仿真结果如图9-12所示。

图9为当给系统转速阶跃指令信号时，LQG/LTR控制器通过本发明优化前后的控制效果对比。从图9中可以看出，通过本发明优化后的控制器，在面对转速阶跃指令信号时，可以使被控对象的超调量较小、调节时间较快，涡轮前温度能更快收敛在平衡位置，而不产生较大的波动。

图10为当给系统转速阶跃干扰信号时，LQG/LTR控制器通过本发明优化前后的控制效果对比。从图10中可以看出，通过本发明优化后的控制器，在面对转速阶跃干扰信号时，可以使被控对象较快的回到平衡位置，具有良好性能。

图11为验证本发明鲁棒性的仿真结果图。其内容为分别使用通过本发明优化前后、基于该发动机90％最大转速的线性数学模型设计出的LQG/LTR控制器，控制选取该发动机83％最大转速作为稳态点的线性数学模型的控制效果。从图11中可以看出，若不经优化，直接使用基于该发动机90％最大转速的线性数学模型设计出的LQG/LTR控制器控制该发动机83％最大转速的线性数学模型，系统超调较大，调节时间较长；而使用通过本发明优化后的LQG/LTR控制器时，系统性能有明显提升。所以本发明可显著提升LQG/LTR控制器鲁棒性。

图12为控制系统的开环奇异值曲线对比图。其内容为分别使用通过本发明优化前后、基于该发动机90％最大转速的线性数学模型设计出的LQG/LTR控制器，控制选取该发动机95％最大转速作为稳态点的线性数学模型的控制系统开环奇异值曲线。从图12中可以看出，通过本发明优化后的LQG/LTR控制器与优化前的LQG/LTR控制器的奇异值曲线在高频附近较为接近；但是在低频段，通过本发明优化后的LQG/LTR控制器奇异值比优化前的高，这有利于被控对象跟踪低频指令信号、消除低频扰动。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下还可以作出若干改进，这些改进也应视为本发明的保护范围。

Claims (7)

1.一种航空发动机自适应LQG/LTR控制器设计方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤1：建立航空发动机某个稳态点附近的线性数学模型；

步骤2：根据步骤1所得线性数学模型设计LQG/LTR控制器；

步骤3：利用BP算法在线优化LQG/LTR控制器中卡尔曼滤波器增益矩阵与最优状态反馈增益矩阵，使得BP算法的误差函数满足精度要求。

2.如权利要求1所述的一种航空发动机自适应LQG/LTR控制器设计方法，其特征在于：所述步骤1中建立航空发动机某个稳态点附近的线性数学模型步骤如下：

步骤1.1：根据气动热力学相关知识和部件特性数据建立航空发动机部件级非线性数学模型；

步骤1.2：基于步骤1.1中的部件级非线性数学模型，任选一稳态点，通过拟合法或扰动法等线性化方法建立航空发动机线性数学模型。

3.如权利要求1所述的一种航空发动机自适应LQG/LTR控制器设计方法，其特征在于：所述步骤2中设计LQG/LTR控制器步骤如下：

步骤2.1：设计卡尔曼滤波器，使得其回比函数具有良好的性能与鲁棒性；

步骤2.2：设计LQR调节器，使得系统开环主增益曲线足够趋近于卡尔曼滤波器回比函数的主增益曲线。

4.如权利要求1所述的一种航空发动机自适应LQG/LTR控制器设计方法，其特征在于：所述步骤3中利用BP算法在线优化LQG/LTR控制器中卡尔曼滤波器增益矩阵与最优状态反馈增益矩阵步骤如下：

步骤3.1：将卡尔曼滤波器增益矩阵中的值视为BP算法中信息的正向传递过程中输入数值与输出数值之间的映射规则，将最优状态反馈增益矩阵中的值视为BP算法中误差的反向传播过程中输入数值与输出数值之间的映射规则，初始化BP算法的各变量，包括输入X(t)＝(x₁,x₂,…,x_n)，n为输入向量的维数，t为当前时刻；对应的期望输出m为输出向量维数；

步骤3.2：对于每一个时刻t，计算信息正向传递实际输出Y(t)＝(y₁,y₂,…,y_m)；

步骤3.3：定义BP算法的误差函数，根据误差定义计算误差E；

步骤3.4：信息的正向传递过程的各个映射规则和误差的反向传播过程的各个映射规则分别构成正向映射矩阵和反向映射矩阵，根据步骤3.3定义的误差函数，分别计算正向映射矩阵和反向映射矩阵中每一个映射元素对误差的贡献值，即误差函数对映射元素的偏导数和下标kf，kc分别表示卡尔曼滤波器增益矩阵与最优状态反馈增益矩阵，下标ji表示从第i个输入到第j个输出；

步骤3.5：根据步骤3.4中的计算结果，对正向映射矩阵和反向映射矩阵中的每一个映射元素进行调整；

其中η_kf、η_kc为优化步长，需手动选取；下标i表示输入元素序号，下标j表示输出元素序号；

步骤3.6：判断误差步骤3.3中计算得出的误差是否足够小：若误差满足要求，则停止优化；否则回跳至步骤3.1。

5.如权利要求4所述的一种航空发动机自适应LQG/LTR控制器设计方法，其特征在于，步骤3.3中所述误差函数为：

6.如权利要求4所述的一种航空发动机自适应LQG/LTR控制器设计方法，其特征在于，

其中等式右边第一项为误差对被控对象实际输出的偏导数：

其中等式右边第二项为被控对象实际输出对卡尔曼滤波器增益矩阵输出的偏导数：

其中等式右边第三项为卡尔曼滤波器增益矩阵输出对映射后值的偏导数：

其中等式右边第四项为映射后值对映射元素的偏导数：

的计算方法同上。

7.如权利要求4所述的一种航空发动机自适应LQG/LTR控制器设计方法，其特征在于，步骤3.5中，优化步长的取值范围为：

其中，E(t)为当前时刻BP算法的误差，为当前时刻误差对被控对象输出的偏导数，被控对象实际输出对增益矩阵输出的偏导数，增益矩阵输出对映射后值的偏导数，映射后值对映射元素的偏导数。