CN108616314B - 一种基于ofdm的水声通信系统脉冲噪声抑制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于OFDM的水声通信系统脉冲噪声抑制方法，其构建空子载波矩阵，并利用OFDM符号中的各个子载波之间的正交性，从接收信号中提取出仅包含脉冲噪声和背景噪声的信号，通过这种方式不仅能准确分离出接收信号中的噪声部分，而且计算复杂度低；基于压缩感知理论，通过引入L_1/2范数迭代求解，首先将脉冲噪声估计的NP难问题转化为对脉冲噪声L_1/2范数最小值的正则化问题，然后将问题转化为含两步迭代结果的形式，并利用迭代求解方法进行求解，使得本发明方法在不同空子载波个数和信噪比条件下具有较小的误码率；通过采用阈值函数对迭代结果进行处理，使得本发明方法在未受到脉冲噪声干扰的采样点处具有较小的均方误差。

Description

一种基于OFDM的水声通信系统脉冲噪声抑制方法

技术领域

本发明涉及一种脉冲噪声抑制技术，尤其是涉及一种基于OFDM(OrthogonalFrequency Division Multiplexing，多载波正交频分复用)的水声通信系统脉冲噪声抑制方法。

背景技术

水声通信(Underwater Acoustic Communication，UAC)是一种利用声波将信源信息经过水声信道高速、可靠地传输到信宿的通信方式。水声通信是海洋水下通信的主要手段，其与传统的无线通信相比有很大不同，水声通信的带宽只有几十kHz，与无线通信的几十GHz带宽相比，可用带宽资源十分有限。在远海中，水声通信中的噪声一般可以近似为高斯白噪声；但是在近海区域，除了来自水声通信系统的高斯白噪声外，还有来自周围环境的脉冲噪声，脉冲噪声的自然来源有潮汐、洋流、海面波浪、热噪声、海洋生物活动以及地震等，脉冲噪声的人为来源由航运、航道爆破、石油和天然气勘探与生产以及声纳设备运行等产生。由于脉冲噪声的功率谱密度要远远高于背景噪声的功率谱密度，因此脉冲噪声是影响水声通信系统性能的主要因素，抑制脉冲噪声对于水声通信中信号的可靠传输具有重要意义。

在水声通信系统中，由于受水底水面反射、折射和海洋环境的漫射效应等影响，水声信道的多径效应明显。多径效应会引起频率选择性衰落，造成码间串扰。与陆上的无线通信相比，声速比光速低很多个数量级，因此水声通信中的水声信道的多径效应引起的码间串扰对水声通信系统性能的影响更加严重。为了对抗水声信道的多径效应，多载波正交频分复用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)技术在水声通信中已被广泛采用。OFDM技术能够有效地应对频率选择性衰落信道，因此对脉冲噪声的敏感度要比单载波小很多，但是，实测表明，当脉冲噪声的能量超过某个门限值时，例如比背景噪声高10～20dB左右时，传统的OFDM接收机由于脉冲噪声的出现性能将急剧恶化，信号衰落严重，因此必须采用相应的技术来抑制脉冲噪声。

目前，常见的水声通信系统脉冲噪声抑制方法可以分为两类，一类是参数辅助法，另一类是非参数辅助法。参数辅助法主要有限幅法和消隐法，此类方法针对随机到达、持续时间短、功率高的脉冲噪声，处理时可以采用非线性操作法，通过设定一个门限值来判断接收到的采样信号是否被脉冲噪声干扰，如果被干扰则将该采样信号置为0(blanking)或将该采样信号的幅值限制为门限值(clipping)；此类方法虽然实现简单，但是通常难以选择适当的非线性操作门限值来使其足以抑制脉冲噪声而不会使OFDM信号失真，导致误码率和均方误差较大。非参数辅助法利用脉冲噪声随机到达、持续时间短、在时域上可视为稀疏信号这一特性，将压缩感知(Compressed Sensing，CS)技术用于脉冲噪声抑制，已被证明优于传统的限幅法和消隐法，其中比较常见的非参数辅助法有正交匹配追踪(OrthogonalMatching Pursuit，OMP)法和最小二乘法(Least Squares，LS)，这两种方法可以较为准确地估计出脉冲噪声信号，从而在接收信号中减去脉冲噪声的估计值，完成对脉冲噪声的抑制，但是这两种方法所适用的脉冲噪声模型较为单一，在更加接近实际情况的混合高斯模型下，估计性能较差。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种基于OFDM的水声通信系统脉冲噪声抑制方法，其计算复杂度低，且在更加接近实际情况的混合高斯模型下，具有较小的误码率和均方误差。

本发明解决上述技术问题所采用的技术方案为：一种基于OFDM的水声通信系统脉冲噪声抑制方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一：在基于OFDM的水声通信系统的发送端，将发送端发出的初始二进制数据序列记为d，将d经过编码器编码和正交相移键控映射得到的频域OFDM信号记为D，将D通过离散傅里叶反变换转换得到的对应的离散时域信号记为X，X＝F^HD＝[x₁,x₂,…,x_N]^T；然后在X中的OFDM符号的前面插入长度大于水声信道的最大时延扩展的循环前缀，得到加有循环前缀的离散时域信号；再将加有循环前缀的离散时域信号通过水声信道传输给基于OFDM的水声通信系统的接收端；其中，X的维数为N×1，F表示维数为N×N的离散傅里叶变换范德蒙德矩阵，F^H为F的厄米特变换，D的维数为N×1，符号“[]”为向量表示符号，[x₁,x₂,…,x_N]^T为[x₁,x₂,…,x_N]的转置，x₁,x₂,…,x_N对应表示X中的OFDM符号中的第1个子载波携带的信号元素、第2个子载波携带的信号元素、…、第N个子载波携带的信号元素，N表示X中的OFDM符号中的子载波的总个数；

步骤二：在基于OFDM的水声通信系统的接收端，将接收端接收到的带有脉冲噪声信号的加有循环前缀的离散时域信号中的OFDM符号的前面的循环前缀去掉，得到带有脉冲噪声干扰的离散时域信号，记为r，r＝E(ε)HX+i+n；其中，r的维数为N×1，ε表示基于OFDM的水声通信系统的发送端与接收端相对移动产生的多普勒频移，E(ε)表示维数为N×N的多普勒频移矩阵，E(ε)＝diag(1,e^j2πε,…,e^j2πε(N-1))，diag()为对角矩阵表示，e表示自然基数，j为虚数单位，H表示水声信道，H为一个维数为N×N的信道循环卷积矩阵，i表示服从混合高斯分布的脉冲噪声信号，i的维数为N×1，i的概率密度函数为

1≤s≤S，S表示i的稀疏度，也即表示i中包含的分量的总个数，p_s表示i中的第s个分量出现的概率，且

表示具有均值为0、方差为的高斯分布，

表示i中的第s个分量的方差，n表示均值为0、方差为σ_n ²的高斯白噪声信号，n的维数为N×1；

步骤三：构造一个维数为K×N的空子载波矩阵，记为Φ，Φ由F中的第N-K+1行至第N行构成；然后根据OFDM符号中的各个子载波之间的正交性，利用Φ将r＝E(ε)HX+i+n转换成Φr＝ΦE(ε)HX+Φi+Φn＝Φi+Φn；接着令n_Φ＝Φn，将Φr＝Φi+Φn改写成Φr＝Φi+n_Φ；再令y＝Φr＝Φi+n_Φ，根据y＝Φr＝Φi+n_Φ构造得到求解i的原问题，描述为：

约束条件为||y-Φi||₂≤ζ；其中，K表示r中的OFDM符号中的空子载波的总个数，1＜K＜N，n_Φ表示水声信道的背景噪声，y为引入的中间变量，y的维数为K×1，

表示i的估计值，

的维数为N×1，符号“|| ||₀”为求矩阵的L₀范数符号，表示使||i||₀取最小值时i的值，符号“|| ||₂”为求矩阵的L₂范数符号，ζ为与n的方差σ_n ²相关的一个正数；

步骤四：引入i的L_q范数，将求解i的原问题转化为正则化问题，描述为：

然后对

使用一阶最优性条件，得到

其中，q＝1/2，符号“|| ||_1/2”为求矩阵的L_1/2范数符号，λ为正则化参数，表示取使得

的值最小时的i的值，I是维数为N×N的单位矩阵，

表示惩罚因子

的梯度算子，

为

的逆，Φ^T为Φ的转置；

步骤五：利用迭代法对

进行求解，得到

的最优值，具体过程为：

1)、令p表示迭代的次数，p的初始值为1；令θ_p表示第p次迭代的判决残差；令

表示设定的判决阈值；

2)、在第p次迭代时，将

改写成

其中，表示第p次迭代后得到的

的值，

的维数为N×1，当p≠1时表示第p-1次迭代后得到的

的值，当p＝1时

为Φ的伪逆矩阵，

的维数为N×1，当p≠1时λ_p-1表示第p-1次迭代的正则化参数，当p＝1时λ_p-1的值由

决定；

3)、根据阈值函数g()、第p-1次迭代时的仿射函数及

得到求解

的值的表达式，描述为：其中，

符号“||”为取绝对值符号，cos()为求余弦函数，arccos()为求反余弦函数，当p≠1时

表示第p-1次迭代时的门限值，当p＝1时的值由λ_p-1决定，

表示

中的所有元素进行降序排列后的第S+1个元素；

4)、根据求解

的值的表达式，求解得到

的值；

5)、令

然后判断θ_p是否小于

如果是，则将求解得到的

的值作为

的最优值，记为

再执行步骤六；否则，令p＝p+1，然后返回步骤3)继续执行；其中，p＝p+1中的“＝”为赋值符号；

步骤六：将r减去完成脉冲噪声抑制。

与现有技术相比，本发明的优点在于：

1)本发明方法利用OFDM符号中的空子载波构建空子载波矩阵，并利用OFDM符号中的各个子载波之间的正交性，从包含有数据信号、脉冲噪声和背景噪声的接收信号中提取出仅包含脉冲噪声和背景噪声的信号，即将噪声信号和数据信号分离开来，通过这种方式不仅能够准确分离出接收信号中的噪声部分，而且计算复杂度低。

2)本发明方法基于压缩感知理论，通过引入L_1/2范数迭代求解，首先将脉冲噪声估计的NP难问题转化为求脉冲噪声L_1/2范数最小值的正则化问题，然后将问题转化为含两步迭代结果的形式，并利用迭代求解方法进行求解，相较于现有的限幅法、正交匹配追踪法和最小二乘法，本发明方法在不同空子载波个数和信噪比条件下具有较小的误码率。

3)本发明方法通过采用阈值函数对迭代结果进行处理，相较于现有的限幅法、正交匹配追踪法和最小二乘法，本发明方法在未受到脉冲噪声干扰的采样点处具有较小的均方误差。

4)本发明方法能够更加准确地估计出基于OFDM的水声通信系统中的脉冲噪声，从而完成对脉冲噪声的抑制，提升了水声通信系统的性能，与现有的限幅法相比，本发明方法在空子载波的总个数为60个时：在误码率为10^-1时，信噪比提升了4dB；在均方误差为10^-2时，信噪比提升了10dB。

附图说明

图1为本发明方法的总体实现框图；

图2为本发明方法、现有的限幅法、现有的正交匹配追踪法和现有的最小二乘法在空子载波的总个数为30个时，不同信噪比SNR条件下误码率BER的变化情况图；

图3为本发明方法、现有的限幅法、现有的正交匹配追踪法和现有的最小二乘法在空子载波的总个数为60个时，不同信噪比SNR条件下误码率BER的变化情况图；

图4为本发明方法、现有的限幅法、现有的正交匹配追踪法和现有的最小二乘法在空子载波的总个数为30个时，不同信噪比SNR条件下均方误差MSE的变化情况图；

图5为本发明方法、现有的限幅法、现有的正交匹配追踪法和现有的最小二乘法在空子载波的总个数为60个时，不同信噪比SNR条件下均方误差MSE的变化情况图。

具体实施方式

以下结合附图实施例对本发明作进一步详细描述。

本发明提出了一种基于OFDM的水声通信系统脉冲噪声抑制方法，其总体实现框图如图1所示，其包括以下步骤：

步骤一：在基于OFDM的水声通信系统的发送端，将发送端发出的初始二进制数据序列记为d，将d经过编码器编码和正交相移键控(Quadrature Phase Shift Keying，QPSK)映射得到的频域OFDM信号记为D，将D通过离散傅里叶反变换(Inverse Discrete FourierTransform，IDFT)转换得到的对应的离散时域信号记为X，X＝F^HD＝[x₁,x₂,…,x_N]^T；然后在X中的OFDM符号的前面插入长度大于水声信道的最大时延扩展的循环前缀(Cyclic Prefix，CP)，得到加有循环前缀的离散时域信号，在此加入循环前缀是为了避免水声信道中的码间串扰；再将加有循环前缀的离散时域信号通过水声信道传输给基于OFDM的水声通信系统的接收端；其中，X的维数为N×1，F表示维数为N×N的离散傅里叶变换(Discrete FourierTransform，DFT)范德蒙德矩阵，F^H为F的厄米特变换，D的维数为N×1，符号“[]”为向量表示符号，[x₁,x₂,…,x_N]^T为[x₁,x₂,…,x_N]的转置，x₁,x₂,…,x_N对应表示X中的OFDM符号中的第1个子载波携带的信号元素、第2个子载波携带的信号元素、…、第N个子载波携带的信号元素，N表示X中的OFDM符号中的子载波的总个数，在本实施例中取N＝128。

步骤二：在基于OFDM的水声通信系统的接收端，将接收端接收到的带有脉冲噪声信号的加有循环前缀的离散时域信号中的OFDM符号的前面的循环前缀去掉，得到带有脉冲噪声干扰的离散时域信号，记为r，r＝E(ε)HX+i+n；其中，r的维数为N×1，ε表示基于OFDM的水声通信系统的发送端与接收端相对移动产生的多普勒频移，E(ε)表示维数为N×N的多普勒频移矩阵，E(ε)＝diag(1,e^j2πε,…,e^j2πε(N-1))，diag()为对角矩阵表示，e表示自然基数，e＝2.718281828459，j为虚数单位，H表示水声信道，H为一个维数为N×N的信道循环卷积矩阵，i表示服从混合高斯(Gaussian Mixture，GM)分布的脉冲噪声信号，i的维数为N×1，i的概率密度函数为

S表示i的稀疏度，也即表示i中包含的分量的总个数，在本实施例中取S＝3，p_s表示i中的第s个分量出现的概率，且

在本实施例中p_s∈(0.8,0.12,0.08)，

表示具有均值为0、方差为

的高斯分布，

表示i中的第s个分量的方差，在本实施例中

n表示均值为0、方差为σ_n ²的高斯白噪声信号，n的维数为N×1。

步骤三：构造一个维数为K×N的空子载波矩阵，记为Φ，Φ由F中的第N-K+1行至第N行构成；然后根据OFDM符号中的各个子载波之间的正交性，利用Φ将r＝E(ε)HX+i+n转换成Φr＝ΦE(ε)HX+Φi+Φn＝Φi+Φn；接着令n_Φ＝Φn，将Φr＝Φi+Φn改写成Φr＝Φi+n_Φ；再令y＝Φr＝Φi+n_Φ，由于i在时域上是稀疏的，因此可根据y＝Φr＝Φi+n_Φ构造得到求解i的原问题，描述为：约束条件为||y-Φi||₂≤ζ；其中，K表示r中的OFDM符号中的空子载波的总个数，1＜K＜N，n_Φ表示水声信道的背景噪声，由于n_Φ不改变n的均值和方差，因此n_Φ仍服从相同的高斯分布，信号–背景噪声的信噪比

y为引入的中间变量，y的维数为K×1，

表示i的估计值，的维数为N×1，符号“|| ||₀”为求矩阵的L₀范数符号，

表示使||i||₀取最小值时i的值，符号“|| ||₂”为求矩阵的L₂范数符号，ζ为与n的方差σ_n ²相关的一个正数，在本实施例中取

步骤四：考虑到在求解i的原问题中直接求解i的L₀范数是NP(NondeterministicPolynomial time Problem)难的，该问题是非凸的，无法直接求解，因此本发明引入i的L_q范数，q∈(0,1)，当q∈[1/2,1)时，q值越小，所求得的i的估计值越精确，当q∈(0,1/2)时，所求得的i的估计值

没有显著差异，因此，取q＝1/2，将q＝1/2代入求解i的原问题中，将求解i的原问题转化为正则化问题，描述为：

然后对

使用一阶最优性条件，得到

其中，q＝1/2，符号“|| ||_1/2”为求矩阵的L_1/2范数符号，λ为正则化参数，

表示取使得

的值最小时的i的值，I是维数为N×N的单位矩阵，

表示惩罚因子

的梯度算子，为

的逆，Φ^T为Φ的转置。

步骤五：利用迭代法对

进行求解，得到

的最优值，具体过程为：

1)、令p表示迭代的次数，p的初始值为1；令θ_p表示第p次迭代的判决残差；令

表示设定的判决阈值，在本实施例中取

2)、在第p次迭代时，将

改写成

其中，

表示第p次迭代后得到的

的值，

的维数为N×1，当p≠1时

表示第p-1次迭代后得到的的值，当p＝1时

为Φ的伪逆矩阵，

Φ^H为Φ的厄米特变换，(ΦΦ^H)-¹为ΦΦ^H的逆，

的维数为N×1，当p≠1时λ_p-1表示第p-1次迭代的正则化参数，当p＝1时λ_p-1的值由

决定。

3)、根据阈值函数g()、第p-1次迭代时的仿射函数

及

得到求解

的值的表达式，描述为：其中，

符号“||”为取绝对值符号，cos()为求余弦函数，arccos()为求反余弦函数，当p≠1时

表示第p-1次迭代时的门限值，当p＝1时

的值由λ_p-1决定，

表示

中的所有元素进行降序排列后的第S+1个元素。

4)、根据求解

的值的表达式，求解得到

的值。

5)、令

然后判断θ_p是否小于如果是，则将求解得到的

的值作为

的最优值，记为

再执行步骤六；否则，令p＝p+1，然后返回步骤3)继续执行；其中，p＝p+1中的“＝”为赋值符号。

步骤六：将r减去

完成脉冲噪声抑制。

为了进一步说明本发明方法的有效性和可行性，对本发明方法进行计算机模拟。

计算机模拟是在基于OFDM的水声通信系统的复杂基带上进行的。在计算机模拟中，为了能呈现出典型噪声场景，将混合高斯模型中的信号–背景噪声的信噪比SNR设定为5dB或25dB。设置蒙特卡洛仿真次数为2000次。详细模拟参数列于表1。

表1模拟参数列表

为了比较不同脉冲噪声抑制方法之间的性能，分别定义误码率BER和均方误差MSE为：

其中，N_f为错误码元的个数，N_all为传输总码元数。

在相同的模拟环境下，比较本发明方法及现有的限幅法、现有的正交匹配追踪法和现有的最小二乘法在误码率BER和均方误差MSE两方面的性能。

图2给出了本发明方法、现有的限幅法、现有的正交匹配追踪法和现有的最小二乘法在空子载波的总个数为30个时，不同信噪比SNR条件下误码率BER的变化情况图。从图2中可以看出，四种方法的误码率BER随着信噪比SNR的增加均呈下降趋势，当信噪比SNR较小时，本发明方法的误码率BER性能与其他三种方法相近，但随着信噪比SNR的增加，本发明方法相应的曲线和另外三种方法相应的曲线差距越大，误码率BER性能要明显优于其他三种方法。

图3给出了本发明方法、现有的限幅法、现有的正交匹配追踪法和现有的最小二乘法在空子载波的总个数为60个时，不同信噪比SNR条件下误码率BER的变化情况图。从图3中可以看出，随着一个OFDM符号中的空子载波的总个数的增加，空子载波的总个数由30个变为60个，与图2相比，四种方法的误码率BER性能均有所提升，这是因为空子载波的总个数越多，空子载波矩阵能更加准确地提取出接收信号的信息，从而能更准确地估计脉冲噪声；且在各种信噪比SNR条件下，本发明方法均具有最佳的误码率BER性能。

图4给出了本发明方法、现有的限幅法、现有的正交匹配追踪法和现有的最小二乘法在空子载波的总个数为30个时，不同信噪比SNR条件下均方误差MSE的变化情况图。从图4中可以看出，四种方法的均方误差MSE随着信噪比SNR的增加均呈下降趋势，这是由于信噪比SNR增加，脉冲噪声对水声信道系统的干扰就越小，均方误差MSE就会变小；相较于现有的三种方法，本发明方法在不同的信噪比SNR下均具有较低的均方误差MSE。

图5给出了本发明方法、现有的限幅法、现有的正交匹配追踪法和现有的最小二乘法在空子载波的总个数为60个时，不同信噪比SNR条件下均方误差MSE的变化情况图。从图5中可以看出，随着一个OFDM符号中的空子载波的总个数的增加，空子载波的总个数由30个变为60个，与图4相比，四种方法的均方误差MSE性能都有所提升，相较现有的三种方法，本发明方法在不同的信噪比SNR下均具有最佳的均方误差MSE性能。

Claims (1)

1.一种基于OFDM的水声通信系统脉冲噪声抑制方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一：在基于OFDM的水声通信系统的发送端，将发送端发出的初始二进制数据序列记为d，将d经过编码器编码和正交相移键控映射得到的频域OFDM信号记为D，将D通过离散傅里叶反变换转换得到的对应的离散时域信号记为X，X＝F^HD＝[x₁,x₂,…,x_N]^T；然后在X中的OFDM符号的前面插入长度大于水声信道的最大时延扩展的循环前缀，得到加有循环前缀的离散时域信号；再将加有循环前缀的离散时域信号通过水声信道传输给基于OFDM的水声通信系统的接收端；其中，X的维数为N×1，F表示维数为N×N的离散傅里叶变换范德蒙德矩阵，F^H为F的厄米特变换，D的维数为N×1，符号“[]”为向量表示符号，[x₁,x₂,…,x_N]^T为[x₁,x₂,…,x_N]的转置，x₁,x₂,…,x_N对应表示X中的OFDM符号中的第1个子载波携带的信号元素、第2个子载波携带的信号元素、…、第N个子载波携带的信号元素，N表示X中的OFDM符号中的子载波的总个数；

步骤二：在基于OFDM的水声通信系统的接收端，将接收端接收到的带有脉冲噪声信号的加有循环前缀的离散时域信号中的OFDM符号的前面的循环前缀去掉，得到带有脉冲噪声干扰的离散时域信号，记为r，r＝E(ε)HX+i+n；其中，r的维数为N×1，ε表示基于OFDM的水声通信系统的发送端与接收端相对移动产生的多普勒频移，E(ε)表示维数为N×N的多普勒频移矩阵，E(ε)＝diag(1,e^j2πε,…,e^j2πε(N-1))，diag()为对角矩阵表示，e表示自然基数，j为虚数单位，H表示水声信道，H为一个维数为N×N的信道循环卷积矩阵，i表示服从混合高斯分布的脉冲噪声信号，i的维数为N×1，i的概率密度函数为

1≤s≤S，S表示i的稀疏度，也即表示i中包含的分量的总个数，p_s表示i中的第s个分量出现的概率，且

表示具有均值为0、方差为的高斯分布，

表示i中的第s个分量的方差，n表示均值为0、方差为σ_n ²的高斯白噪声信号，n的维数为N×1；

步骤三：构造一个维数为K×N的空子载波矩阵，记为Φ，Φ由F中的第N-K+1行至第N行构成；然后根据OFDM符号中的各个子载波之间的正交性，利用Φ将r＝E(ε)HX+i+n转换成Φr＝ΦE(ε)HX+Φi+Φn＝Φi+Φn；接着令n_Φ＝Φn，将Φr＝Φi+Φn改写成Φr＝Φi+n_Φ；再令y＝Φr＝Φi+n_Φ，根据y＝Φr＝Φi+n_Φ构造得到求解i的原问题，描述为：

约束条件为||y-Φi||₂≤ζ；其中，K表示r中的OFDM符号中的空子载波的总个数，1＜K＜N，n_Φ表示水声信道的背景噪声，y为引入的中间变量，y的维数为K×1，

表示i的估计值，

的维数为N×1，符号“|| ||₀”为求矩阵的L₀范数符号，

表示使||i||₀取最小值时i的值，符号“|| ||₂”为求矩阵的L₂范数符号，ζ为与n的方差σ_n ²相关的一个正数；

步骤四：引入i的L_q范数，将求解i的原问题转化为正则化问题，描述为：然后对

使用一阶最优性条件，得到

其中，q＝1/2，符号“|| ||_1/2”为求矩阵的L_1/2范数符号，λ为正则化参数，

表示取使得

的值最小时的i的值，I是维数为N×N的单位矩阵，表示惩罚因子

的梯度算子，

为

的逆，Φ^T为Φ的转置；

步骤五：利用迭代法对

进行求解，得到

的最优值，具体过程为：

1)、令p表示迭代的次数，p的初始值为1；令θ_p表示第p次迭代的判决残差；令

表示设定的判决阈值；

2)、在第p次迭代时，将

改写成

其中，

表示第p次迭代后得到的的值，的维数为N×1，当p≠1时表示第p-1次迭代后得到的的值，当p＝1时

为Φ的伪逆矩阵，

的维数为N×1，当p≠1时λ_p-1表示第p-1次迭代的正则化参数，当p＝1时λ_p-1的值由

决定；

3)、根据阈值函数g()、第p-1次迭代时的仿射函数

及得到求解

的值的表达式，描述为：其中，

符号“| |”为取绝对值符号，cos()为求余弦函数，arccos()为求反余弦函数，当p≠1时表示第p-1次迭代时的门限值，当p＝1时

的值由λ_p-1决定，

表示

中的所有元素进行降序排列后的第S+1个元素；

4)、根据求解

的值的表达式，求解得到的值；

5)、令然后判断θ_p是否小于

如果是，则将求解得到的

的值作为

的最优值，记为

再执行步骤六；否则，令p＝p+1，然后返回步骤3)继续执行；其中，p＝p+1中的“＝”为赋值符号；

步骤六：将r减去

完成脉冲噪声抑制。

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