CN108566237B - 基于双对角化的低复杂度几何均值分解预编码实现方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于双对角化的低复杂度几何均值分解预编码实现方法，所述方法包括以下步骤：(1)计算信道矩阵的共轭转置以及其自身的乘积；(2)基于给定的Hermitian矩阵双对角化方法，通过Givens旋转使信道矩阵变为双对角矩阵；(3)基于给定的几何均值分解方法，通过Givens旋转使双对角矩阵变为对角线元素全部等于信道矩阵特征值的几何均值的上三角矩阵；(4)构造几何均值分解的预编码矩阵，即所有Givens右旋转矩阵乘积。该技术方案可以确定迭代次数，并且使用Hermitian矩阵进行求解进一步降低了实现复杂度，减少CORDIC(Coordinate Rotation Digital Computer，坐标旋转数字计算)模块的使用。该方法利用Hermitian矩阵的性质，有效降低了基于双对角化几何均值分解预编码的实现复杂度。

Description

基于双对角化的低复杂度几何均值分解预编码实现方法

技术领域

本发明涉及一种基于双对角化的几何均值分解预编码实现方法，属于多用户无线通信技术领域。

背景技术

MIMO系统中，几何均值分解预编码是一种性能比较好的预编码方法，由于其可以将信道分解为对角线元素皆为信道矩阵特征值的上三角矩阵，因此每个空间流上可以拥有相同的信噪比，对于系统性能拥有很大的改善。不仅仅是MIMO系统，对于多用户MIMO 系统，可以利用块对角化预编码消除用户间的干扰之后，再利用几何均值分解对每个用户的等效信道进行优化处理，进一步提高系统性能。因此，几何均值分解预编码应用十分广泛。

关于几何均值分解预编码的实现，传统方法是利用奇异值分解进行的，但是众所周知奇异值分解的实现具有不确定的迭代次数，因此在实现方面复杂度较高。于是基于双对角化的几何均值分解方法应运而生。这种方法具有稳定的迭代次数，但是由于涉及到很多复数矩阵乘法模块以及CORDIC角度计算模块，因此算法复杂度依然很高。因此，在硬件实现中，如何在现有方法基础上降低几何均值分解预编码矩阵依然是一个问题。

发明内容

本发明基于以上的背景和存在的问题，提出一种基于双对角化的低复杂度几何均值分解预编码硬件实现方法，可以有效地减少CORDIC使用次数，从而降低实现复杂度。

对于空间流数大于等于2的MIMO系统，本发明提出一种在具体实现中基于双对角化的几何均值分解预编码方法，具体实现包括如下步骤：

(1)计算信道矩阵的共轭转置以及其自身的乘积；

(2)基于给定的Hermitian矩阵双对角化方法，通过Givens旋转使信道矩阵变为双对角矩阵；

(3)基于给定的几何均值分解方法，通过Givens旋转使双对角矩阵变为对角线元素全部等于信道矩阵特征值的几何均值的上三角矩阵；

(4)构造出几何均值分解的预编码矩阵，即所有Givens右旋转矩阵乘积。

进一步地，步骤(1)中计算信道矩阵的共轭转置以及其自身的乘积的具体方法为：

假设信道矩阵为

其中N≤M，其共轭转置与其自身相乘结果为

则 A＝H^HH，矩阵A为Hermitian矩阵，其对角线元素为实数，其他元素关于主对角线对称。

进一步地，所述步骤(2)中Hermitian矩阵变为双对角矩阵具体方法为：

对Hermitian矩阵H进行分解：

H＝QRP^H；

其中Q，P为酉矩阵，P是我们所需要的求的矩阵，R为实双对角矩阵，那么对于Hermitian 矩阵A就有：

A＝(QRP^H)^H(QRP^H)＝P(R^HR)^HP^H；

令

为N×N阶实双对角矩阵，则

其中

为实Hermitian矩阵，其除了对角线上的元素以及和对角线相邻的两条对角线上元素不为0，其余元素都为0。具体形式为：

从上式可以看出，我们可以通过对矩阵

中的元素计算还原出矩阵

(已知对角线元素全部是正数)，因此对于矩阵H的双对角化问题可以转换成将矩阵A如何通过Givens 旋转矩阵转换成矩阵R^HR的问题。

进一步地，步骤(2)中通过Givens旋转使信道矩阵变为双对角矩阵具体方法为：

对于矩阵中的一个2×2子矩阵，规定Givens旋转操作如下：

其中φ_m，n＝tan^-1(imag(H_m，n)/real(H_m，n))，θ_{(m，n)，(p，q)}＝tan^-1(H_m，n/H_p，q)。

步骤(2.1)初始化：k＝1，P＝I_M，A＝H^HH。

步骤(2.2)将第k行和第k列复数元素转换成实数：计算第k行复数元素的幅角分别为φ_k+1，k，φ_k+2，k，...，φ_M，k，并且依次进行右乘N×N阶的旋转矩阵 G(0，φ_k，i)，i＝k+1，k+2，...，M以及左乘其共轭矩阵，同样矩阵P需要依次右乘 G(0，φ_i，k)，i＝k，k+1，..，M。

步骤(2.3)将第k行和第k列k+1之后的元素全部变为0：计算Givens旋转角度θ_k，N，θ_k，(N-1)，...，θ_k，(k+2)，并且依次将矩阵进行右乘Givens旋转矩阵 G_right(θ_k，i)，i＝M，M-1，...，k+2以及左乘该矩阵的共轭转置。注意每次计算的角度都是根据更新之后的矩阵进行计算的，同样矩阵P需要依次右乘G_left(θ_k，i)，i＝k，k+1，...，M。

步骤(2.4)令k＝k+1，并且从步骤(2.2)重新开始进行处理，直到k＝N。

步骤(2.5)从上面的步骤我们已经得到满足条件的R^HR，然后对其中的子矩阵

进行算数计算，即

其中k＝1，2，...，N-1。

进一步地，步骤(3)中通过Givens旋转对双对角矩阵进行几何均值分解的具体方法为：

步骤(3.1)计算几何均值，假设矩阵

的对角线元素为σ_i，i＝1，2，...，N，所有对角线元素的乘积为

分为两种情况进行讨论：如果N＝2^p，其中p为正整数，则其矩阵R的对角线元素两两进行平方根计算，然后将平方根计算后的值再进行平方根计算，直到求出几何均值为止。如果N≠2^p，则

其中

步骤(3.2)对于i＝1，对矩阵

中的2×2子矩阵

先进行SVD处理，然后进行平面旋转处理，使R_ii变为我们需要的几何均值。令i＝i+1，重复上述操作，直到N-i＝2^p，p为使等式成立的最大正整数。其中2×2的SVD分解为：

其中

左乘和右乘矩阵分别为

2×2的平面旋转处理为：

其中

步骤(3.3)对于剩余2^p个未处理完的对角线元素，采用分治的方法对其进行处理。首先将这些元素分为两个两个一组，即相邻的两个对角线元素构成一组，通过SVD操作和GMD操作使两个两个对角线元素相等；然后四个四个一组，先将每组中间两个对角线元素进行交换，然后在通过两个两个一组的SVD操作与GMD操作，使每四个对角线元素相同；然后8个对角线元素一组，使8个对角线元素相同，最后一直使2^p个对角线元素相同就完成几何均值分解操作。其中，2×2的GMD操作是对SVD后的对角矩阵进行操作，具体为：

其中

θ₃＝π/2-θ₄。

2×2子矩阵的两个对角线元素交换操作为：

其中θ_d的求解与SVD中相同。

相对于现有技术，本发明的有益效果如下，本发明针对多个空间流的MIMO系统，提出了一种基于双对角化的几何均值预编码实现方法，不同于传统的基于奇异值分解的几何均值分解预编码方法，本发明提出的方法具有确定的迭代次数，并且利用Hermitian 矩阵的性质进行双对角化操作，大大降低了CORDIC模块的使用次数，同时也降低了复数乘法模块的使用次数，从而降低了硬件设计的复杂度，对于硬件实现具有一定的意义。

附图说明

图1为本发明中实施例的具体实现流程图。

图2为本发明提出的基于Hermitian矩阵的双对角化方法与其他较优方法中CORDIC模块使用数目随着方阵阶数N改变的仿真图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式做详细说明。

实施例1：

本发明针对MIMO系统中几何均值分解预编码实现复杂度高的问题，提出一种基于双对角化矩阵的几何均值分解预编码实现方法。首先，对信道矩阵求解其共轭转置与自身矩阵乘积的Hermitian矩阵，然后利用Hermitian矩阵的性质对信道矩阵进行双对角化操作，然后对求解出的双对角矩阵进行几何均值分解得到需要的预编码矩阵。根据本发明的较优实施例，一种适用于具体实现的几何均值分解预编码算法，基本流程如图1所示，具体步骤为：

步骤1：计算信道矩阵的共轭转置以及其自身的乘积，信道矩阵为

其共轭转置与其自身相乘结果为

则A＝H^HH，矩阵A为Hermitian矩阵，其对角线元素为实数，其他元素关于主对角线对称。

步骤2：对于矩阵中的一个2×2子矩阵，规定Givens旋转操作如下：

其中φ_m，n＝tan^-1(imag(H_m，n)/real(H_m，n))，θ_{(m，n)，(p，q)}＝tan^-1(H_m，n/H_p，q)。通过Givens旋转矩阵使信道矩阵变为双对角矩阵具体步骤为：

步骤2.1：初始化k＝1，P＝I₄，A＝H^HH。

步骤2.2：将第k行和第k列复数元素转换成实数：计算第k行复数元素的幅角分别为φ_k+1，k，φ_k+2，k，...，φ_4，k，并且依次进行右乘4×4阶的旋转矩阵G(0，φ_k，i)，i＝k+1，k+2，...，4以及左乘其共轭矩阵，同样矩阵P需要依次右乘G(0，φ_i，k)，i＝k，k+1，...，4。

步骤2.3：将第k行和第k列k+1之后的元素全部变为0：计算Givens旋转角度θ_k，N，θ_k，(N-1)，...，θ_k，(k+2)，并且依次将矩阵进行右乘Givens旋转矩阵G_right(θ_k，i)，i＝4，3，...，k+2 以及左乘该矩阵的共轭转置。注意每次计算的角度都是根据更新之后的矩阵进行计算的，同样矩阵P需要依次右乘G_left(θ_k，i)，i＝k，k+1，...，4。

步骤(2.4)令k＝k+1，并且从步骤(2.2)重新开始进行处理，直到k＝4。

步骤(2.5)从上面的步骤我们已经得到满足条件的R^HR，然后对其进行算数计算，求解双对角矩阵R，即

其中k＝1，2，...，3。求出的双对角矩阵R为：

步骤3：通过Givens旋转对双对角矩阵进行几何均值分解，由于我们对四阶双对角矩阵进行求解，因此不需要计算几何均值，也不需要对矩阵进行平面旋转操作，可以直接进行分治的几何均值分解，具体实现步骤为：

步骤3.1：对第一行和第二行的两个对角线元素组成的2×2矩阵进行SVD和GMD操作，然后对第三行和第四行的两个对角线元素组成的2×2矩阵进行SVD和GMD操作。对于步骤2中的矩阵P继续右乘相应的Givens右旋转矩阵。

其中2×2子矩阵的SVD操作为：

其中

左乘和右乘矩阵分别为

2×2的GMD操作是对SVD后的对角矩阵进行操作，具体为：

其中

步骤3.2：对第二行和第三行的对角线元素组成的2×2矩阵进行对角线元素交换操作，具体操作为：

其中θ_d的求解与SVD中相同。矩阵P继续右乘相应的Givens右旋转矩阵。

步骤3.3：对第一行和第二行的两个对角线元素组成的2×2矩阵进行SVD和GMD操作，然后对第三行和第四行的两个对角线元素组成的2×2矩阵进行SVD和GMD操作。矩阵P继续右乘相应的Givens右旋转矩阵。

步骤4：最后我们得到几何均值分解的预编码矩阵P。

图2给出了本发明的双对角化方法中使用的CORDIC模块随方阵阶数变化的仿真图，同时比较了其他双对角化方法，可见本发明提出的方法大大减少了CORDIC模块的使用，从而降低了复杂度，并且随着矩阵阶数的增加效果越显著。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非是对本发明作任何其他形式的限制，而依据本发明的技术实质所作的任何修改或等同变化，仍属于本发明所要求保护的范围。

Claims (2)

1.一种基于双对角化的低复杂度几何均值分解预编码实现方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

(1)计算信道矩阵的共轭转置以及其自身的乘积；

(2)基于给定的Hermitian矩阵双对角化方法，通过Givens旋转使信道矩阵变为双对角矩阵；

(3)基于给定的几何均值分解方法，通过Givens旋转使双对角矩阵变为对角线元素全部等于信道矩阵特征值的几何均值的上三角矩阵；

(4)构造几何均值分解的预编码矩阵，即所有Givens右旋转矩阵乘积；

所述步骤(1)中计算信道矩阵的共轭转置以及其自身的乘积的具体方法为：假设信道矩阵为

其中N≤M，其共轭转置与其自身相乘结果为

则

A＝H^HH；

矩阵A为Hermitian矩阵，其对角线元素为实数，其他元素关于主对角线对称，所述步骤(2)中Hermitian矩阵变为双对角矩阵具体方法为：

对Hermitian矩阵H进行分解：

H＝QRP^H；

其中Q,P为酉矩阵，P是所需要求的矩阵，R为实双对角矩阵，对于Hermitian矩阵A就有：

A＝(QRP^H)^H(QRP^H)＝P(R^HR)^HP^H；

令

为N×N阶实双对角矩阵，则

其中

为实Hermitian矩阵，其除了对角线上的元素以及和对角线相邻的两条对角线上元素不为0，其余元素都为0，具体形式为：

，

所述步骤(2)中通过Givens旋转使信道矩阵变为双对角矩阵具体方法为：对于矩阵中的一个2×2子矩阵，规定Givens旋转操作如下：

其中φ_m,n＝tan^-1(imag(H_m,n)/real(H_m,n))，θ_(m,n),(p,q)＝tan^-1(H_m,n/H_p,q)；

步骤(2.1)初始化：k＝1，P＝I_M，A＝H^HH；

步骤(2.2)将第k行和第k列复数元素转换成实数：计算第k行复数元素的幅角分别为φ_k+1,k,φ_k+2,k,...,φ_M,k，并且依次进行右乘N×N阶的旋转矩阵G(0,φ_k,i),i＝k+1,k+2,...,M以及左乘其共轭矩阵，同样矩阵P需要依次右乘G(0,φ_i,k),i＝k,k+1,...,M；

步骤(2.3)将第k行和第k列k+1之后的元素全部变为0：计算Givens旋转角度θ_k,N,

并且依次将矩阵进行右乘Givens旋转矩阵

以及左乘该矩阵的共轭转置；

步骤(2.4)令k＝k+1，并且从步骤(2.2)重新开始进行处理，直到k＝N；

步骤(2.5)从上面的步骤已经得到满足条件的R^HR，然后对其中的子矩阵

进行算数计算，即

其中k＝1,2,...,N-1。

2.根据权利要求1所述的基于双对角化的低复杂度几何均值分解预编码实现方法，其特征在于，所述步骤(3)中通过Givens旋转对双对角矩阵进行几何均值分解的具体方法为：

步骤(3.1)计算几何均值，假设矩阵

的对角线元素为σ_i,i＝1,2,...,N，所有对角线元素的乘积为

分为两种情况进行讨论：如果N＝2^p，其中p为正整数，则其矩阵R的对角线元素两两进行平方根计算，然后将平方根计算后的值再进行平方根计算，直到求出几何均值为止；如果N≠2^p，则

其中

步骤(3.2)对于i＝1，对矩阵

中的2×2子矩阵

先进行SVD处理，然后进行平面旋转处理，使R_ii变为我们需要的几何均值；令i＝i+1，重复上述操作，直到N-i＝2^p，p为使等式成立的最大正整数；其中2×2的SVD分解为：

其中

左乘和右乘矩阵分别为

2×2的平面旋转处理为：

其中

步骤(3.3)对于剩余2^p个未处理完的对角线元素，采用分治的方法对其进行处理，首先将这些元素分为两个两个一组，即相邻的两个对角线元素构成一组，通过SVD操作和GMD操作使两个两个对角线元素相等；然后四个四个一组，先将每组中间两个对角线元素进行交换，然后在通过两个两个一组的SVD操作与GMD操作，使每四个对角线元素相同；然后8个对角线元素一组，使8个对角线元素相同，最后一直使2^p个对角线元素相同就完成几何均值分解操作，其中，2×2的GMD操作是对SVD后的对角矩阵进行操作，具体为：

其中

θ₃＝π/2-θ₄；

2×2子矩阵的两个对角线元素交换操作为：

其中θ_d的求解与SVD中相同。

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