CN108563836B - 一种凸形核-壳结构体排斥体积计算方法 - Google Patents

一种凸形核-壳结构体排斥体积计算方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开一种凸形核‑壳结构体排斥体积计算方法，包括如下步骤：确定核的粒子几何模型，并采用等效直径来定义核的粒子的尺寸；计算核的粒子平均切直径；计算凸形核‑壳结构体的体积；计算凸形核‑壳结构体的表面积；计算凸形核‑壳结构体的平均切直径；计算凸形核‑壳结构体的排斥体积。该方法可以精确的计算核的粒子类型为椭球体、球柱体以及正多面体的凸形核‑壳结构体的排斥体积，摆脱了以往理论方法只针对简单球形颗粒的技术约束，解决了数值模拟方法仅能针对某一特定粒子进行研究且效率低下、模拟精度难以得到保证的问题，使得凸形核‑壳结构体的排斥体积的计算方法更具有普遍性和代表性。

Description

一种凸形核-壳结构体排斥体积计算方法
技术领域
本发明涉及一种凸形核-壳结构体排斥体积计算方法，属于离散介质的微细观理论和数值试验技术领域。
背景技术
排斥体积是指一个硬核粒子当其占据一定空间后，空间中其他粒子不能再占用的空间。这个概念是沃纳·库恩在1934年提出的，他本人也做了许多具有开创性的基础工作。同时，已经有许多的理论工作证实了逾渗阈值、颗粒的堆积密度等诸多材料的物理性能与粒子的排斥体积之间存在着定量关系。当前对于球形粒子的研究和论述已经比较充分，例如，单分散硬球的排斥体积是自身体积的8倍，其堆积密度已在理论上和数值实验上得到确认相当于0.74。此外，随着计算机技术的发展，最近一些研究者通过蒙特卡洛数值模拟获得了球柱体、椭球体等形状各项异性粒子的排斥体积。但是，数值模拟方法仅能针对某一特定粒子进行研究，且效率低下、模拟精度难以得到保证，相比之下理论方法则更加高效和精确。
实验研究发现，混凝土中骨料表面与水泥浆体之间存在由大量的孔隙、少量未水化的水泥粉末和水化硅酸钙凝胶组成的界面过渡区，这是混凝土的薄弱区，其强度一般仅为材料设计强度的40％—50％，科学研究中通常将其简化成一个包裹在骨料颗粒表面的一个等厚度的壳；碳纳米颗粒增强复合材料中，颗粒周围存在着一种导电通道效应，研究的时候也通常将其考虑成一层等厚度的壳，其导电性是基相的几十甚至几百倍；也有一些增强颗粒是通过将一种材料均匀包裹在另一种材料表面这种方法来制备的。我们将这种在一个颗粒表面包裹一层一定厚度壳的结构统称为核-壳结构体，这其中壳的各项性能往往既不同于基体又不同于颗粒，通常会在很大程度上影响复合材料的整体性能。排斥体积是从理论上联系其增强颗粒与材料内部微观结构的有效途径，同时由于这种结构的特殊性，我们迫切的需要获得凸形核-壳结构体的排斥体积。建立一种概念清晰、操作便利、适用范围广的凸形核-壳结构体理论计算方法，对颗粒增强复合材料宏观性能预测以及材料的推广和发展有重要的理论和现实意义。
发明内容
发明目的：针对现有排斥体积计算方法存在的问题，本发明提供一种凸形核-壳结构体排斥体积计算方法，摆脱了之前只能针对简单球形粒子进行理论研究的技术约束以及数值模拟效率低下的问题，使得凸形核-壳结构体排斥体积计算方法更具有普遍性和代表性。
技术方案：本发明所述的一种凸形核-壳结构体排斥体积计算方法，包括下述步骤：
(1)确定核的粒子几何模型，并采用等效直径来定义核的粒子的尺寸；
(2)计算核的粒子平均切直径；
(3)根据核的粒子平均切直径计算凸形核-壳结构体的体积、凸形核-壳结构体的表面积以及凸形核-壳结构体的平均切直径；
(4)计算凸形核-壳结构体的排斥体积。
凸形核-壳结构体中，核的粒子类型可以是旋转体或者多面体，核的粒子类型不同，各步骤的计算方法有所差异。
上述步骤(1)中，当核的粒子类型为多面体时，直接用等效直径定义粒子尺寸；当核的粒子类型为旋转体时，首先用等效直径定义粒子尺寸，其次进一步定义核的长径比；旋转体主要可分为球柱体和旋转椭球体：
对于球柱体，将球柱体中柱体部分的高记为H，球帽的直径记为D，其长径比为记α，α＝H/D；对于旋转椭球体，将旋转椭球体水平方向最大平面记为XOY平面，平面上的半轴长记为a，将通过XOY平面的原点并垂直于平面的轴记作z轴，并将该方向上的半轴长记为b，其长径比κ，κ＝b/a。
步骤(2)中，根据体视学原理和步骤1中所区分出的核的粒子类型，采取不同的公式计算核的粒子平均切直径：
当核为球柱体时，核的粒子平均切直径
Figure GDA0002402052090000021
为：
Figure GDA0002402052090000022
其中，Deq为核的粒子等效直径，Aspcy、Bspcy均为系数，且Aspcy＝1+1.5α，Bspcy＝1+0.5α；
当核为旋转椭球体时，核的粒子平均切直径
Figure GDA0002402052090000025
为：
Figure GDA0002402052090000023
当核为多面体时，核的粒子平均切直径
Figure GDA0002402052090000026
为：
Figure GDA0002402052090000024
其中，li为多面体的一条棱的棱长，ψi为该棱所处的二面之夹角；
当核为正多面体时，核的粒子平均切直径可以进一步简化，具有i条棱的正多面体的平均切直径的表达式为：
Figure GDA0002402052090000031
其中，
Figure GDA0002402052090000032
为正多面体时核的粒子平均切直径，l为正多面体核的棱长，ψ为正多面体核的二面夹角。
在求得核的粒子平均切直径的基础上，进一步确定凸形核-壳结构体的体积、表面积及其粒子平均切直径，具体如下：
步骤(3)中，凸形核-壳结构体的体积通过斯坦纳(Steiner)公式得到：
Figure GDA0002402052090000033
其中，Vt为凸形核-壳结构体的体积，t为壳的厚度，V3、S3分别为核的粒子体积和表面积，由于等效直径
Figure GDA0002402052090000034
V3可根据步骤(1)求得的等效直径Deq来计算，即
Figure GDA0002402052090000035
Figure GDA0002402052090000036
为核的粒子平均切直径，根据核的粒子类型，
Figure GDA0002402052090000037
可为
Figure GDA0002402052090000038
或
Figure GDA0002402052090000039
步骤(4)中，凸形核-壳结构体的表面积根据其体积确定，通过凸形核-壳结构体的体积对壳的厚度求一阶导数，得到凸形核-壳结构体的表面积St：
Figure GDA00024020520900000310
步骤(5)中，当核为球柱体时，其对应的凸形核-壳结构体的平均切直径
Figure GDA00024020520900000311
为：
Figure GDA00024020520900000312
当核为旋转椭球体时，其对应的凸形核-壳结构体的平均切直径
Figure GDA00024020520900000313
为：
Figure GDA00024020520900000314
其中，Ae是一个系数，
Figure GDA00024020520900000315
当核为正多面体时，其对应的凸形核-壳结构体的平均切直径
Figure GDA00024020520900000316
为：
Figure GDA0002402052090000041
其中，B为一个常系数，其取值取决于核的粒子类型。
步骤(6)中，最终计算凸形核壳结构体的排斥体积：
将凸形核-壳结构体的平均切直径、表面积体积等几何信息代入排斥体积的计算公式：
Figure GDA0002402052090000042
其中，Vex为凸形核-壳结构体的排斥体积，
Figure GDA0002402052090000043
为凸形核-壳结构体的平均切直径，
Figure GDA0002402052090000044
或
Figure GDA0002402052090000045
当核为球柱体时，其对应的凸形核-壳结构体的排斥体积Vex spcy为：
Figure GDA0002402052090000046
当核为旋转椭球体时，其对应的凸形核-壳结构体的排斥体积Vex spheriod为：
Figure GDA0002402052090000047
当核为正多面体时，其对应的凸形核-壳结构体的排斥体积Vex platonic为：
Figure GDA0002402052090000048
其中，A、B均为常系数。
具体的，核为正多面体时，常系数A、B的值取决于正多面体核的具体类型，取值具体如下表1。
表1正多面体核对应的核-壳结构体的平均切直径、排斥体积计算系数表
Figure GDA0002402052090000049
Figure GDA0002402052090000051
有益效果：与现有技术相比，本发明的优点在于：(1)本发明可以精确的计算核的粒子类型为椭球体、球柱体以及正多面体的凸形核-壳结构体的排斥体积，摆脱了以往理论方法只针对简单球形颗粒的技术约束，解决了数值模拟方法仅能针对某一特定粒子进行研究且效率低下、模拟精度难以得到保证的问题，使得凸形核-壳结构体的排斥体积的计算方法更具有普遍性和代表性；(2)本发明给出可以直接使用的凸形核-壳结构体的排斥体积计算公式，并给出了简单明了的系数表格，概念清晰、操作简便，对于其在颗粒增强复合材料领域的应用推广有重要意义。
附图说明
图1为本发明的凸形核-壳结构体排斥体积的计算方法流程图；
图2为球柱体核对应的凸形核-壳结构体示意图；
图3为凸形核-壳结构体的核为正多面体时的五种核的结构示意图，其中，图3a～3e中，核的结构依次为正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体及正二十面体。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的技术方案作进一步说明。
如图1，本发明的一种凸形核-壳结构体排斥体积的计算方法，包括如下步骤：
步骤1：确定核的粒子几何模型，并采用等效直径来定义核的粒子的尺寸；
步骤2：计算核的粒子平均切直径；根据体视学原理和步骤1中所区分出的核的粒子类型，采取不同的公式计算核的粒子平均切直径；
步骤3：根据步骤2求得的核的粒子平均切直径，利用公式计算凸形核-壳结构体的体积；
步骤4：计算凸形核-壳结构体的表面积；通过对步骤3所得到的凸形核-壳结构体的体积对壳的厚度求一阶导数，其结果即为核-壳结构体的表面积，
步骤5：计算凸形核-壳结构体的平均切直径；此时仍需结合步骤2求得的核的粒子平均切直径、根据步骤1中所区分的核的粒子类型采取不同的计算方法；
步骤6：计算凸形核-壳结构体的排斥体积。
下面以核为球柱体和核为正四面体的凸形核-壳结构体为例，说明本发明的凸形核-壳结构体排斥体积的计算方法：
(一)计算图2所示的球柱体核对应的凸形核-壳结构体的排斥体积
步骤1：确定核的粒子几何模型，并采用等效直径来定义核的粒子的尺寸；
由于球柱体核本质上为旋转几何体，规定球柱体中柱体部分的高为H，球帽的直径为D，球柱体的长径比为α，α＝H/D，并根据等效直径Deq的定义计算球柱体核的等效直径Deq：
Figure GDA0002402052090000061
其中，Aspcy＝1+1.5α。
步骤2：计算核的粒子平均切直径；
Figure GDA0002402052090000062
其中，Bspcy＝1+0.5α。
步骤3：计算凸形核-壳结构体的体积；
使用等效直径来计算核的体积V3和表面积S3：
Figure GDA0002402052090000063
Figure GDA0002402052090000064
由于凸形核-壳结构体的体积公式为：
Figure GDA0002402052090000065
其中，Vt为凸形核-壳结构体的体积，t为壳的厚度，ī3为步骤2计算出的核的粒子平均切直径。
根据上述的公式，代入核的体积、表面积以其平均切直径，得到球柱体核对应的凸形核-壳结构体的体积Vt spcy：
Figure GDA0002402052090000066
步骤4：计算凸形核-壳结构体的表面积；
将核的表面积和平均切直径带入公式：
Figure GDA0002402052090000067
可以得到球柱体核对应的凸形核-壳结构体的表面积St spcy：
Figure GDA0002402052090000068
步骤5：计算凸形核-壳结构体的平均切直径
Figure GDA0002402052090000069
Figure GDA0002402052090000071
步骤6：计算凸形核-壳结构体的排斥体积Vex spcy；
Figure GDA0002402052090000072
(二)图3a～3e展示了一系列正多面体核的示意图，下面以核为正四面体(图3a)为例，计算其对应的凸形核-壳结构体的排斥体积。
步骤1：确定核的粒子几何模型，并采用等效直径来定义核的粒子的尺寸；
由于核为正四面体，定义粒子的尺寸：
规定正四面体核的边长为a，并根据等效直径Deq的定义计算Deq。
Figure GDA0002402052090000073
步骤2：计算核的粒子平均切直径
Figure GDA0002402052090000074
Figure GDA0002402052090000075
步骤3：计算凸形核-壳结构体的体积；
首先使用等效直径来计算核的粒子体积V3和表面积S3：
Figure GDA0002402052090000076
将核的体积、表面积及其平均切直径
Figure GDA0002402052090000077
带入步骤3给出的斯坦纳(Steiner)公式，则凸形核-壳结构体的体积Vt为：
Figure GDA0002402052090000078
步骤4：计算凸形核-壳结构体的表面积；将核的表面积和平均切直径带入步骤4给出的公式，则凸形核-壳结构体的表面积St为：
Figure GDA0002402052090000079
步骤5：计算凸形核-壳结构体的平均切直径；
根据凸形核-壳结构体的平均切直径公式，并在表1中选取合适的系数，则正四面体核对应的凸形核-壳结构体的平均切直径
Figure GDA0002402052090000081
为：
Figure GDA0002402052090000082
步骤6：计算凸形核-壳结构体的排斥体积，根据公式：
Figure GDA0002402052090000083
选取对应的系数A、B，则核为正四面体时，核-壳结构体的排斥体积Vex tetra为：
Figure GDA0002402052090000084

Claims (2)

1.一种凸形核-壳结构体排斥体积计算方法，其特征在于，包括如下步骤：
(1)确定核的粒子几何模型，并采用等效直径来定义核的粒子的尺寸；
(2)计算核的粒子平均切直径；
当核为多面体时，核的粒子平均切直径
Figure FDA0002402052080000011
其中，li为多面体的一条棱的棱长，ψi为该棱所处的二面之夹角；其中，当核为正多面体时，具有i条棱的正多面体核的平均切直径
Figure FDA0002402052080000012
的表达式为：
Figure FDA0002402052080000013
其中，l为正多面体核的棱长，ψ为正多面体核的二面夹角；
当核为球柱体时，核的粒子平均切直径
Figure FDA0002402052080000014
式中，Deq为核的粒子等效直径，Aspcy、Bspcy均为系数，且Aspcy＝1+1.5α，Bspcy＝1+0.5α，其中，α为球柱体的长径比，α＝H/D，H为球柱体中柱体部分的高，D为球柱体中球帽的直径；
当核为旋转椭球体时，核的粒子平均切直径
Figure FDA0002402052080000015
为：
Figure FDA0002402052080000016
其中，κ为旋转椭球体的长径比，κ＝b/a，a为旋转椭球体水平方向最大平面上的半轴长，b为旋转椭球体竖直方向上最大平面的半轴长；
(3)计算凸形核-壳结构体的体积；
所述凸形核-壳结构体的体积Vt通过下式确定：
Figure FDA0002402052080000017
式中，V3、S3分别为核的粒子体积和表面积，
Figure FDA0002402052080000018
t为壳的厚度，
Figure FDA0002402052080000019
为核的粒子平均切直径，
Figure FDA00024020520800000110
或
Figure FDA00024020520800000111
(4)计算凸形核-壳结构体的表面积；
通过对所述凸形核-壳结构体的体积对壳的厚度求一阶导数，得到凸形核-壳结构体的表面积St：
Figure FDA00024020520800000112
(5)计算凸形核-壳结构体的平均切直径；
当核为球柱体时，其对应的凸形核-壳结构体的平均切直径
Figure FDA0002402052080000021
为：
Figure FDA0002402052080000022
当核为旋转椭球体时，其对应的凸形核-壳结构体的平均切直径
Figure FDA0002402052080000023
为：
Figure FDA0002402052080000024
其中，Ae是一个系数，
Figure FDA0002402052080000025
当核为正多面体时，其对应的凸形核-壳结构体的平均切直径
Figure FDA0002402052080000026
为：
Figure FDA0002402052080000027
其中，B为常系数；
(6)计算凸形核-壳结构体的排斥体积；
所述凸形核-壳结构体的排斥体积的计算公式为：
Figure FDA0002402052080000028
其中，Vex为凸形核-壳结构体的排斥体积，
Figure FDA0002402052080000029
为凸形核-壳结构体的平均切直径，
Figure FDA00024020520800000210
或
Figure FDA00024020520800000211
当核为球柱体时，其对应的凸形核-壳结构体的排斥体积Vex spcy为：
Figure FDA00024020520800000212
当核为旋转椭球体时，其对应的凸形核-壳结构体的排斥体积Vex spheriod为：
Figure FDA00024020520800000213
当核为正多面体时，其对应的凸形核-壳结构体的排斥体积Vex platonic为：
Figure FDA00024020520800000214
其中，A、B均为常系数。
2.根据权利要求1所述的凸形核-壳结构体排斥体积计算方法，其特征在于，所述常系数A、B的取值如下：
当核为正四面体时，
Figure FDA0002402052080000031
当核为正六面体时，A＝6(6/π)-2/3，
Figure FDA0002402052080000032
当核为正八面体时，
Figure FDA0002402052080000033
当核为正十二面体时，
Figure FDA0002402052080000034
当核为正十四面体时，
Figure FDA0002402052080000035
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