CN108512555B - 一种系统rs码阶数及本原多项式的识别方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种系统RS码阶数及本原多项式的识别方法，该方法是通过对于阶数集合mSet内的一个元素m_s(1≤s≤mLen)，获得以m_s为阶数的所有N_s个本原多项式，令其中第z(1≤z≤N_s)个本原多项式为p_s,z(x)；此时，以m_s为阶数、p_s,z(x)为本原多项式，构造一个(n_s,n_s‑2)系统RS码，其中

进而获得与所述系统RS码对应的二进制系统线性分布码的校验矩阵为H_b1(s,z)；然后，将接收到的比特流按照m_sn_s分为M组，定义校验和为ch(s,z)，通过校验和判断得到阶数及本原多项式的估计式；本发明不涉及高阶有限域运算，计算量非常小。

Description

一种系统RS码阶数及本原多项式的识别方法

技术领域

本发明涉及信道编码分析领域，具体涉及一种系统RS码阶数及本原多项式的识别方法，在码字已同步的前提下，通过校验和识别系统RS码的阶数及本原多项式。

背景技术

RS(Read-Solomon，RS)码是无线通信系统中常用信道编码方式，也是编码分析领域重点研究对象之一。现有的RS码识别方法包括欧几里得分析法、矩阵分析法、伽罗华域傅里叶变换分析法等。欧几里德分析法速度较快，所需数据量较少，但容错性差。矩阵分析法原理简单，但在高阶时所需要的数据量较大，而且同欧几里得算法一样容错性较差。伽罗华域傅里叶变换分析法是目前最常用的分析方法，其优点是容错性相对较好，缺点是在高阶情况下，所需要的数据量较大，而且算法涉及高阶有限域乘法及加法运算，运算量也比较大。

发明内容

本发明针对现有方法存在的缺点，提出一种基于校验和的系统RS码阶数及本原多项式的识别方法，该方法直接利用与系统RS码对应的二进制线性分组码进行识别，只涉及模2加及算数累加运算，计算量较小，而且与现有算法相比，在同等性能下，所需的数据量要少得多。

另外，由于本发明不涉及复杂运算，所以非常适合硬件实现，应用于实时处理系统中。

本发明的技术方案如下：

所述系统RS码的编码参数包括：阶数m、本原多项式p(x)、码长n、消息分组长度k、生成多项式g(x)。在这些参数中阶数m和本原多项式p(x)是最重要的，二者是进一步识别生成多项式的前提。本发明算法限于阶数m和本原多项式p(x)的识别问题。

当最大纠错数t＝1时，可构造多项式g₁(x)，

g₁(x)＝(x-α)(x-α²) (1)

由生成多项式的表示式可知，g₁(x)是g(x)的因式，所以一定能整除码多项式c(x)。以g₁(x)为生成多项式构造一个(n,n-2)系统RS码，其校验矩阵为H₁，则有

其中H₁为GF(2^m)上的2×n阶矩阵，0^1×2表示维数为2的全0行向量。

如果H_b1为与该(n,n-2)系统RS码对应的二进制系统线性分组码的校验多项式，则同样有，

其中H_b1为2m×mn阶二进制矩阵。式(3)即是本发明算法的基本依据。

假设待识别的系统RS码的阶数在集合mSet内，mSet的元素个数为mLen。对于mSet内的一个元素m_s(1≤s≤mLen)，可获得以m_s为阶数的所有N_s个本原多项式，令其中第z(1≤z≤N_s)个本原多项式为p_s,z(x)。此时，以m_s为阶数、p_s,z(x)为本原多项式，可构造一个(n_s,n_s-2)系统RS码，其中

进而获得与该系统RS码对应的二进制系统线性分布码的校验矩阵为H_b1(s,z)；然后，将接收到的比特流按照m_sn_s分为M组，则可定义校验和为，

其中

为第j个分组，h_i(s,z)为H_b1(s,z)中的第i行。在无误码的情况下，如果m_s＝m，且p_s,z(x)＝p(x)，则ch(s,z)＝0；在有误码的情况下，可以预期，此时ch(s,z)取最小，由此得到阶数及本原多项式的估计式为，

上述识别原理的实现步骤如下：

输入数据：已实现码同步的二进制比特流r，分组数M，阶数集合mSet，集合元素数mLen；

识别结果：识别出的阶数m_e及本原多项式p_e(x)；

步骤1：初始化s＝1；

步骤2：取m_s＝mSet(s)，求出阶数为m_s时所有N_s个本原多项式，并计算

步骤3：将接收比特流按照m_sn_s分成M个比特数组

步骤4：初始化z＝1；

步骤5：以第z个m_s阶本原多项式p_s,z(x)为本原多项式，构造(n_s,n_s-2)系统RS码，并求出其生成多项式G(s,z)；

步骤6：由G(s,z)进一步求出与之相对应的二进制校验矩阵H_b1(s,z)；

步骤7：计算校验和

并保存；

步骤8：如果z＜N_s，取z＝z+1，转到步骤5，否则转到步骤9；

步骤9：如果s＜mLen，取s＝s+1，转到步骤2，否则转到步骤10；

步骤10：求使校验和最小的m_s及p_s,z(x)，即为识别出的阶数m_e及本原多项式p_e(x)，即

针对上述识别方法中，涉及的基本原理包括：

1、系统RS码

定义在有有限域GF(2^m)(m≥3，本原多项式为p(x))上的(n,k)RS码参数满足如下关系：

a)码长：n＝2^m-1；

b)同位符号数：n-k＝2t；

c)生成多项式：g(x)＝(x-α)(x-α²)…(x-α^2t)；

其中：

m为阶数；

GF(2^m)表示由有限域GF(2)扩展而来的、元素数为2^m的有限域；

本原多项式p(x)为定义在GF(2)上的阶数为m的多项式，不同的p(x)生成不同的GF(2^m)；

n为RS码长；

k为消息分组长度；

t为RS码所能纠正的最大错误符号数，且1≤t≤2^m-1-1；

g(x)为RS码生成多项式；α为GF(2^m)的本原元。

假设c＝[c₀ c₁ … c_n-1]为该RS码的一个码字，则对应的码多项式c(x)可表示为，

c(x)＝c₀+c₁x+…+c_n-1x^n-1 (6)

c(x)与g(x)具有如下关系，

c(x)＝a(x)g(x) (7)

其中a(x)为GF(2^m)上的k-1阶多项式。式(7)表明，码多项式是生成多项式的倍式。

令G、H分别为RS码生成矩阵和校验矩阵，G、H分别为定义在GF(2^m)上的k×n阶及(n-k)×n阶矩阵。系统RS码的生成矩阵G和校验矩阵H具有如下形式，

G＝[I_k P] (8)

H＝[P^T I_n-k] (9)

其中：I_k和I_n-k分别为k阶和(n-k)阶单位阵；P为定义在GF(2^m)上的k×(n-k)阶矩阵，P^T为P的转置。可进一步将P表示为，

生成矩阵G可按如下方法获取：把k阶单位阵I_k作为k组消息输入到编码器，则编码器输出的k组码字构成的矩阵即为生成多项式G。得到G后则可进一步得到H。

码字c与校验矩阵H存在如下关系，

c·H^T＝0^1×(n-k) (11)

其中0^1×(n-k)表示维数为(n-k)的全0行向量。

2、与系统RS码对应二进制系统线性分组码

GF(2^m)上的系统(n,k)RS存在一个GF(2)上的(mn,mk)系统线性分组码与之相对应。该线性分组码的生成矩阵G_b和校验矩阵分别为H_b，具有如下形式，

G_b＝[I_mk P_b] (12)

其中I_mk为mk阶单位阵，I_m(n-k)为m(n-k)阶单位阵；P_b阶数为m(n-k)×mn。假设c_b＝[c_b0 c_b1 … c_b(n-1)]为与码字c对应的二进制码字，其中c_bi为c_i的二进制表示，0≤i≤n-1，则有，

其中0^1×m(n-k)表示维数为m(n-k)的全0行向量。表示P_b为，

其中P_ij(i＝1,2,…,k，j＝1,2,…,n-k)为m阶方阵，可表示为，

其中

为m维行向量，

(i＝1,2,…,k，j＝1,2,…,n-k，q,l＝1,2,…,m)取值为0或1。

假设由本原多项式p(x)可表示为，

p(x)＝p₀+p₁x+…+p_mx^m (17)

其中p₀＝p_m＝1，其他系数取值为0或1。由p(x)的系数可构成一个m+1维行向量

P_b与P及

存在如下关系：

a)当q＝1时，

为p_ij的二进制表示；

b)当1＜q≤m时，

左移一位与

模2相加，结果为全0或

由此可得到P_b的获取方法：

a)当q＝1时，将p_ij转换为长度为m的二进制向量，获得

b)当1＜q≤m时，计算

其中

表示模2加。如果b_m+1＝0，则

否则

得到P_b后则可根据式(13)得到H_b。

本发明的有益效果如下：

1)本发明给出了获取系统(n,k)RS码生成矩阵的方法，以及由该生成矩阵获取与该系统(n,k)RS码对应的(mn,nk)二进制线性分组码校验矩阵的方法，为计算校验和奠定了基础。

2)本发明取t＝1通过构造与原系统(n,k)RS对应的系统(n,n-2)RS，使本方法适用于t取所有可能值的系统RS码；

3)本发明利用与系统(n,n-2)RS码对应二进制线性分组码的校验矩阵及接收到的比特流计算校验和，算法中只包含模2加及算数累加，而不涉及高阶有限域运算，计算量非常小。

附图说明

图1为本发明的流程图。

具体实施方式

待识别系统RS码为(31，25)RS码，阶数为m＝5，本原多项式p(x)＝1+x+x³+x⁴+x⁵，误比特率为0.001。

具体识别过程如下：

i.实际应用中RS码阶数一般不会大于8，因此取mSet＝[3,4,5,6,7,8]，另外取M＝200；

ii.遍历mSet＝[3,4,5,6,7,8]；

iii.遍历mSet所有阶数，及该阶数下的所有本原多项式，构造相应的二进制校验矩阵，计算校验和，如表1所示；

iiii.从表1中可以看到，当s＝3，z＝5时，校验和取最小值，因此有m_e＝m₃＝5，p_e(x)＝p_3，5(x)＝1+x+x³+x⁴+x⁵。

从而实现了阶数及本原多项式的正确识别。

表1不同阶数及不同本原多项式下的校验和

总结本发明与伽罗华域傅里叶变换法相比：伽罗华域傅里叶变换法涉及高阶有限域乘法及加法，计算量较大，而本发明只涉及模2和及算数累积运算，计算量大幅度降低；在相同的性能下，本发明所需要的数据量要比伽罗华域傅里叶变换法少得多。

Claims (1)

1.一种系统RS码阶数及本原多项式的识别方法，其特征在于识别过程为：

首先输入解调器解调得到的二进制比特流r，所述比特流r已经实现码同步；所述比特流r所采用的RS编码的阶数集合为mSet，集合元素数为mLen；

假设待识别的系统RS码的阶数为m，所采用的本原多项式为p(x)，且m在阶数集合mSet内；对于阶数集合mSet内的一个元素m_s，获得以m_s为阶数的所有N_s个本原多项式，令其中第z个本原多项式为p_s,z(x)，其中1≤s≤mLen，1≤z≤N_s；

此时，以m_s为阶数、p_s,z(x)为本原多项式，构造一个(n_s,n_s-2)系统RS码，其中

进而获得与所述系统RS码对应的二进制系统线性分组码的校验矩阵为H_b1(s,z)；然后，将接收到的比特流r按照m_sn_s分为M组，定义校验和为ch(s,z)；所述校验和

其中

为第j个分组，h_i(s,z)为H_b1(s,z)中的第i行；

在无误码的情况下，如果m_s＝m，且p_s,z(x)＝p(x)，则判断ch(s,z)＝0；

在有误码的情况下，预期判断此时ch(s,z)取最小，由此得到阶数及本原多项式的估计式为，

最后，得到识别结果：识别出的阶数m_e及本原多项式p_e(x)；

所述识别方法的具体实现步骤如下：

(一)输入数据：已实现码同步的二进制比特流r，分组数M，阶数集合mSet，集合元素数mLen；

(二)具体实施过程为：

步骤1：系统初始化s＝1；

步骤2：取m_s＝mSet(s)，求出阶数为m_s时所有N_s个本原多项式，并计算

步骤3：将接收比特流按照m_sn_s分成M个比特数组

步骤4：初始化z＝1；

步骤5：以第z个m_s阶本原多项式p_s,z(x)为本原多项式，构造(n_s,n_s-2)系统RS码，并求出其生成多项式G(s,z)；

步骤6：由G(s,z)进一步求出与之相对应的二进制校验矩阵H_b1(s,z)；

步骤7：计算校验和

并保存；

步骤8：如果z＜N_s，取z＝z+1，转到步骤5，否则转到步骤9；

步骤9：如果s＜mLen，取s＝s+1，转到步骤2，否则转到步骤10；

步骤10：求使校验和最小的m_s及p_s,z(x)，即为识别出的阶数m_e及本原多项式p_e(x)，即

输出：识别出的阶数m_e及本原多项式p_e(x)。

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