CN108416141A - 一种线性时变结构模态振型辨识方法 - Google Patents

一种线性时变结构模态振型辨识方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开的一种线性时变结构模态振型辨识方法，属于结构动力学技术领域。在线性时变结构模态频率和模态阻尼已知的条件下，建立描述线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型；引入时间正交多项式的基函数，将参数化模型基于基函数展开，将时间相关功率谱分解到传统频域内的时不变系统中；基于线性时变结构的时间相关功率谱展开，采用参数估计方法求解线性时变结构的模态振型。本发明要解决的技术问题是：在时频域内提供一种在时间全程中整体估计线性时变结构模态振型的方法，此外，提高模态振型在时间轴上的完整性，通过指定带宽方式提高辨识效果，能进行多次实验并取平均值来减小随机误差，提高低阶模态振型的辨识能力。

Description

一种线性时变结构模态振型辨识方法
技术领域
本发明涉及一种线性时变结构模态振型辨识方法，尤其涉及一种基于时频域的线性时变结构模态振型辨识方法，属于结构动力学技术领域。
背景技术
时变结构通常定义为具有随时间变化特性的结构，其中结构参数，如刚度、阻尼比和质量随时间而变化。
现有的时变结构的模态参数辨识方法，包括模态频率和模态阻尼比的辨识已经得到广泛的研究。例如，Roshan-Ghias等人提出了一种利用时频分布辨识模态参数的方法。Spiridonakos等人通过测量矢量振动响应来辨识模态参数。Zhou等提出了一种时变结构的两步最小二乘(2SLS)模态参数辨识方法和一种通过把频域内的最大似然估计子转换到时频域内得到的时频域最大似然时变结构模态参数估计方法。然而，目前对时变结构动力系统的模态振型辨识的研究较少。
任何结构都可以看作是刚度、质量等物理参数组成的力学系统，如果结构出现损伤，结构必然随之发生改变，从而导致结构的模态参数发生改变。除了模态频率和模态阻尼比外，模态振型在结构设计、振动控制、损伤识别和健康监测等许多场合应用广泛。模态振型在结构设计方面的应用有，Bhalerao通过临界模态振型对结构进行分析，并通过减少装配和节约材料的总重量来优化结构的关键部位。在振动控制方面的应用有，Choi利用模态振型构造状态误差进行控制器设计，进而利用控制器来控制结构振动。HolnickiSzulc采用预应力控制振动模态。在损伤识别方面，Rucevskis描述一个基于模态振型曲率来检测和定位板状结构损伤的方法。Pandey等人通过比较结构损伤前后模态曲率的绝对差异，诊断结构损伤，同时利用形状差异和形状曲率差来诊断结构损伤的位置。在健康监测方面，Guratzsch等人在结构健康监测(SHM)系统不确定的条件下，根据模态振型的变化，发展了传感器阵列最佳布局设计的方法论。Rao提出了一种在结构健康监测以及系统识别中，根据模态振型，优化传感器配置的技术方法。由此看出，模态振型辨识对于众多工程应用领域具有不可替代的作用。
模态振型辨识方法包括以下两种方法：
第一类是时不变方法。对于时不变结构，在系统的极点和模态参与因子已知的条件下，通常通过最小二乘频域(LSFD)方法得到结构的模态振型。LSFD方法的基本方程是关于待求模态振型和留数的线性关系。Roemer等人提出了一种在时域内的模态振型的强化估计算法。该算法是基于Juang和Pappa提出的特征系统实现算法(ERA)发展而来。Phillips等提出的CMIF法通过频响函数的峰值指示了系统的阻尼固有频率，因为共振频率附近的频率响应函数主要由此共振频率对应的模态分式项决定，所以模态振型和由奇异值分解得到的最大奇异值对应的左奇异向量得到，当该方法利用合适比例的增强频响函数和考虑指示函数的变化时，可提高模态振型辨识的灵敏度。近年来，随着工程结构在航天航空领域中得到发展，更加轻便和柔性的材料在航天航空领域中得到广泛应用，特别是无人机、带摄影功能的航天器和重量轻的航天器等。在这些简单的工程结构中，可利用热成像技术辨识模态振型，通过对结构加热，其局部气温上升，内部产生应力，因此结构产生变形，并利用红外摄像机进行检测得到结构的模态振型。但热成像技术的缺点是，结构气温变化很小，所以需要非常高精度的摄像机等工具，成本非常高。
第二类是时变方法。参数化的时变结构时频域两步最小二乘辨识方法能够辨识出时变结构的模态振型，为解决传统的稳定图无法用于时变结构模态参数验证的问题，Zhou提出了基于模糊聚类的模态参数验证和筛选方法，为解决模态振型的模糊聚类中Euclidean距离函数效果不佳的问题提出了四种基于模态置信准则的距离函数。数值算例和实验结果表明：基于模态置信准则的距离函数由于考虑模态分析中模态振型的特殊性，因此能够很好的对模态振型进行聚类，聚类结果好于基于传统的Euclidean距离函数得到的结果。然而，此工作模态振型是在系列的时刻点得到的，不是严格意义上的“时变”。此外，模态振型也可以通过计算基于矢量随时间变化的自回归滑动平均(FS-VTARMA)模型的特征向量得到，例如，Yang等人提出了一种移动Kriging(MK)形函数模型，此模型是基于矢量随时间变化的自回归滑动平均(MK-VTARMA)模型，此模型中，“时间冻结”的模态振型是通过计算AR系数矩阵的特征向量得到。
总之，目前对于时变结构的模态振型辨识方法的研究还比较有限。虽然上述文献中提出了一些时变结构的模态振型辨识方法，但是这些方法是在一系列离散的时刻来辨识模态振型，并非严格的时变模态振型辨识方法。例如基于FS-VTARMA模型的时域辨识方法在实际求解中出现了模态振型在时间轴上不完整，不能指定带宽，不能进行多次实验并取平均值，低阶模态振型的辨识能力较弱等缺点。
发明内容
针对线性时变结构模态振型辨识方法存在的技术问题，本发明公开的一种线性时变结构模态振型辨识方法要解决的技术问题是：在时频域内提供一种在时间全程中整体估计线性时变结构模态振型的方法，此外，提高模态振型在时间轴上的完整性，通过指定带宽方式提高辨识效果，能进行多次实验并取平均值来减小随机误差，提高低阶模态振型的辨识能力。本发明即使在缺乏专业知识背景的情况下也能进行操作，能够在结构动力学工程应用中广泛用于线性时变结构的模态振型辨识。
本发明的目的是通过下述技术方案实现的。
本发明公开的一种线性时变结构模态振型辨识方法，首先在线性时变结构模态频率和模态阻尼已知的条件下，建立描述线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型；再引入时间正交多项式的基函数，将线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型基于基函数展开，将时间相关功率谱分解到传统频域内的时不变系统中；然后基于线性时变结构的时间相关功率谱展开，采用参数估计方法求解线性时变结构的模态振型，即实现线性时变结构的模态振型辨识。
基于所述的一种线性时变结构模态振型辨识方法，指定特定带宽，提高辨识的精度。对于线性时变结构，不同的模态阶数对应的模态频率不同，在对模态振型进行辨识时，根据不同模态阶数对应的模态频率，指定只包含需要辨识的模态频率的带宽，基于所述的一种线性时变结构模态振型辨识方法辨识模态振型，提高辨识的精度。
根据所述的一种线性时变结构模态振型辨识方法得到的结构模态振型，能为时变结构的结构设计、振动控制、损伤识别和健康监测等方面的应用提供有力的支持，解决实际工程技术问题，具有广泛的应用前景与效益。
本发明公开的一种线性时变结构模态振型辨识方法，包括以下步骤：
步骤1：在线性时变结构模态频率和模态阻尼已知的条件下，建立描述线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型。
步骤1具体实现方法包括如下步骤：
步骤1.1：线性时不变结构的频率响应函数用分部分式模型表示如式(1)所示：
式(1)中(·)*表示取复共轭，上标“^”表示估计值；ωj为频率点，j＝1,2,…Nf为频率采样点，为复数单位，Nf为频率点总数；λr为第r阶系统极点，r＝1,2,…Nr为模态阶数，Nr表示线性时不变结构的模态总阶数；留数矩阵，为频响函数的下剩余项，为频响函数的上剩余项，其中表示复数矩阵集，No与Ni分别为结构输出和输入通道数。
将式(1)中复共轭项忽略，得到线性时不变结构的频率响应函数如式(2)所示：
所述的复共轭项指对应频率为复数的部分。
式(2)中，留数矩阵Ar如式(3)所示：
式(3)中的为第r阶模态振型列向量，为第r阶模态参与因子行向量，上标“T”表示矩阵转置运算。把式(3)带入式(2)，线性时不变结构的频率响应函数如式(4)所示：
步骤1.2：将线性时变结构的时间相关功率谱函数用分部分式模型来描述。
线性时变结构的响应功率谱如式(5)所示：
GXX(jω)＝H(jω)GFF(jω)HH(jω) (5)
式(5)中，GFF(jω)表示作用在结构上的载荷自功率谱矩阵，且为常数矩阵，上标“H”表示Hermite转置运算；H(jω)为线性时变结构真实的频率响应函数矩阵。当输入为高斯白噪声时，即有GFF(jω)∝I，响应功率谱与H(jω)HH(jω)成比例关系，如式(6)所示：
GXX(jω)∝H(jω)HH(jω) (6)
对于线性时变结构，根据式(4)和(6)，线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型采用线性时变结构的时间相关功率谱表示为如式(7)所示：
式(7)中的ti为时间变量，i＝1,2,…Nt为时间采样点，Nt为总时间点数。
式(7)即为线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型。
步骤2：引入时间正交多项式的基函数，将步骤1中如式(7)所示的线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型基于时间正交多项式基函数展开，将时间相关功率谱分解到传统频域内的时不变系统中。
步骤2具体实现方法包括如下步骤：
步骤2.1：引入时间正交多项式的基函数，将步骤1中如式(7)所示的线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型基于基函数展开。
式(7)中的待求参数ψr(ti)，LR(ti)和UR(ti)基于基函数展开分别定义如式(8)所示：
式(8)中，pm(ti)为时间正交多项式，其中m＝0,1,…Nm，Nm为时间正交多项式总阶数；αm，βm和γm为基函数的映射系数向量；下标“m”表示第m阶。
步骤2.2：基于步骤2.1中如式(8)所示线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型的基函数展开，将线性时变结构的时间相关功率谱分解到传统频域内的时不变系统中。
如式(7)所示线性时变结构的时间相关功率谱包含了所有输出响应点k(k＝1,...,No)和参考输入点l(l＝1,...,Ni)之间的传递关系，改写成如式(9)所示的标量形式：
式(9)中，下标“k”和“l”分别表示输出响应点k和参考输入点l之间的传递关系，相应的值对应矩阵形式(7)中的第k行或第l列的元素，例如ψr,k(ti)对应式(7)中向量ψr(ti)的第k个元素，LRk,l(ti)对应式(7)中矩阵LR(ti)第k行第l列的元素。
如式(8)定义的待求参数ψr(ti)，LR(ti)和UR(ti)基于所有输出响应点k(k＝1,...,No)和参考点l(l＝1,...,Ni)，改写为如式(10)所示的形式：
式(10)中，下标“k”和“l”分别表示式(8)中αm，βm和γm的第k行或第l列的元素。
将式(10)代入式(9)，基于时间正交多项式的基函数，式(7)所示的线性时变结构的时间相关功率谱展开如式(11)所示：
即完成线性时变结构时间相关功率谱到传统频域内的时不变系统的分解。
步骤3：基于步骤2中提出的线性时变结构的时间相关功率谱展开，采用参数估计方法求解线性时变结构的模态振型，即实现线性时变结构的模态振型辨识。
步骤3具体实现方法包括如下步骤：
步骤3.1：采用参数估计方法求解线性时变结构的模态振型优选最小二乘时频域法(LSTFD)或最大似然法。
步骤3.1.1：当采用最小二乘时频域法(LSTFD)求解线性时变结构的模态振型，具体实现方法包括如下步骤：
步骤3.1.1.1：基于步骤2中提出的线性时变结构的时间相关功率谱展开，推导线性时变结构的时间相关功率谱展开系数估计的最小二乘估计费用函数
式(7)定义的线性时变结构时间相关功率谱为被估计的时间相关功率谱，G(ti,ωj)表示测量的时间相关功率谱。两者之间的误差εLS(ti,ωj,θ)如式(12)所示：
式(12)中，θ为待求参数向量，上标“LS”表示线性误差。结合式(10)与式(11)，待求参数向量θ如式(13)所示：
θ＝[α β γ]T (13)
式(13)中，α、β和γ分别定义如式(14)、(15)和(16)所示：
根据式(12)中得到的线性误差εLS(ti,ωj,θ)，线性时变结构的时间相关功率谱展开系数估计的最小二乘估计费用函数如式(17)所示：
结合式(12)，式(17)改写成如式(18)所示：
步骤3.1.1.2：基于步骤3.1.1.1中的线性时变结构的时间相关功率谱展开系数估计的最小二乘估计费用函数采用最小二乘时频域法(LSTFD)求解线性时变结构的时间相关功率谱的展开系数，即待求参数向量θ。
当式(18)中的最小二乘估计费用函数取极小值时，对应的待求参数向量θ即为所求得时间相关功率谱的展开系数。利用最小二乘法，式(18)的导数应等于零，如式(19)所示：
由于是一个常向量，对应输出响应点k(k＝1,...,No)和参考点l(l＝1,...,Ni)，式(18)改写成如式(20)所示标量形式：
式(20)表达成如式(21)所示矩阵形式：
式(21)中，Θ是一个行数为NoNiNtNf，列数为NmNo(Nr+2Ni)的矩阵，通过求解式(21)，得到待求参数θ，如式(22)所示：
θ＝(ΘTΘ)-1ΘTG (22)
矩阵Θ可以表述为分块矩阵的形式，如式(23)所示：
式(23)中，分块矩阵A(ti,ωj)、B(ti,ωj)和C(ti,ωj)分别如式(24)、(25)和(26)所示：
式(24)、(25)和(26)矩阵元素分别如式(27)、(28)、(29)所示：
矩阵A(ti,ωj)，B(ti,ωj)，C(ti,ωj)，al,k(ti,ωj)，bl,k(ti,ωj)和cl,k(ti,ωj)都是与时间正交多项式相关的矩阵。式(22)中的向量G如式(30)所示：
G为一个维度为NoNiNtNf的列向量。
步骤3.1.2：当采用最大似然估计方法求解线性时变结构的模态振型时，与步骤3.1.1最小二乘时频域估计方法相同，式(7)定义的线性时变结构时间相关功率谱为被估计的时间相关功率谱，G(ti,ωj)表示测量的时间相关功率谱。当如式(12)的与G(ti,ωj)之间的误差εLS(ti,ωj,θ)满足高斯分布时，如式(31)所示：
式(31)中，vec(·)为矩阵拉直运算，ε为维度No×Ni的矩阵，0为维度No×Ni的矩阵，Σ为维度Ni×Ni的对称正定矩阵，为维度No×No的单位矩阵，表示kronecker积，为vec(ε)的方差矩阵。
最大似然法对应的费用函数如式(32)所示：
式(32)中tr(·)表示矩阵的迹，|·|表示矩阵的行列式。
由于误差εLS(ti,ωj,θ)满足高斯分布，最大似然法求解如式所示的费用函数得到的待求参数θ与最小二乘时频域方法得到的待求参数θ结果相同，如步骤3.1.1.2式(22)所示。
因此，最小二乘时频域法和最大似然估计法两种参数估计方法均可进行参数估计，本发明公开的一种线性时变结构模态振型辨识方法优选最小二乘时频域法。
步骤3.2：根据步骤3.1.1求出的线性时变结构线性时变结构的时间相关功率谱的展开系数，即待求参数向量θ，求解线性时变结构的模态振型，即实现线性时变结构的模态振型辨识。
获得待求参数向量θ后，根据式(10)，求得线性时变结构的向量形式的模态振型ψ，如式(33)所示：
ψ＝ΩαT (33)
式(33)中的α如式(14)所示；Ω是一个矩阵，形式如式(34)所示：
式(34)中，矩阵D(ti)如式(35)、式(36)所示：
D(ti)和dr,k(ti)都是与时间正交多项式相关的矩阵。
求得的线性时变结构的向量形式的模态振型ψ如式(37)所示：
即实现线性时变结构的模态振型辨识。
作为优选的参数估计方法，为进一步提高步骤1至步骤3所述的一种线性时变结构模态振型辨识方法的辨识精度，还包括步骤4：基于步骤1至步骤3所述的一种线性时变结构模态振型辨识方法，指定特定带宽，提高辨识的精度。
对于线性时变结构，不同的模态阶数对应的模态频率不同，在对模态振型进行辨识时，根据不同模态阶数对应的模态频率，指定只包含需辨识的模态频率的带宽，基于步骤1至步骤3所述的一种线性时变结构模态振型辨识方法辨识模态振型，提高辨识的精度。
步骤4具体实现方法包括如下步骤：
步骤4.1：将线性时变结构的响应信号中的频率信息进行分段，对每一段进行时频分析，获得式(12)中测量的时间相关功率谱G(ti,ωj)。
线性时变结构的响应信号中的频率分段总数记为Ns。在进行线性时变结构的模态振型辨识时，Ns取值范围为大于等于M/2，且小于等于M，其中M为需要辨识的模态振型总阶数。
指定带宽操作通过对线性时变结构的响应信号滤波实现，对每个滤波后的信号进行时频分析，获得线性时变结构的时间相关功率谱G(ti,ωj)。重复多次测量，对所有实验测量获得的相关功率谱G(ti,ωj)进行平均，从而减小随机误差，使获得的线性时变结构的时间相关功率谱G(ti,ωj)更光滑。
步骤4.2：基于步骤4.1获得的线性时变结构的时间相关功率谱G(ti,ωj)，根据时间相关功率谱图中的脊线数量，确定式(7)表示的线性时变结构时间相关分部分式形式的参数化模型的阶数Nr。从步骤4.1获得线性时变结构的时间相关功率谱G(ti,ωj)后，将时间相关功率谱G(ti,ωj)幅值绘制在时间相关功率谱图上，线性时变结构时间相关分部分式形式的参数化模型的阶数Nr与图中的脊线数量相同。
步骤4.3：基于步骤4.1获得的线性时变结构的时间相关功率谱G(ti,ωj)，及步骤4.2确定的线性时变结构时间相关分部分式形式的参数化模型的阶数Nr，针对每一频率分段，重复执行步骤1至步骤3，获得线性时变结构的模态振型，即实现提高步骤1至步骤3所述的一种线性时变结构模态振型辨识方法的辨识精度。
即完成线性时变结构的模态振型辨识。
通过指定带宽，将时间相关功率谱G(ti,ωj)划分成多个频带进行建模，则每次建模的对象信息更少，模型能更好地模拟小区域内的信号。与全带宽的建模方法相比，能更好地反映时间相关功率谱G(ti,ωj)的局部特性，达到提高精度的目的。
还包括步骤5：应用步骤1到步骤4辨识的结构模态振型指导结构动力学领域的结构分析与设计，解决实际工程技术问题。
根据步骤1到步骤4得到工程结构的模态振型，能为时变结构的结构设计、振动控制、损伤识别和健康监测等方面的应用提供有力的支持，解决实际工程技术问题，具有广泛的应用前景与效益。
有益效果：
1.本发明公开的一种线性时变结构模态振型辨识方法，采用时间正交多项式的基函数，将时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型基于基函数展开，把时频域内的时间相关系统分解到传统频域内的时不变系统中，使得复杂的时变结构模态振型辨识问题变成可解决的时不变问题。
2.本发明公开的一种线性时变结构模态振型辨识方法，在线性时变结构模态频率和模态阻尼已知的条件下，通过建立描述线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型，提高模态振型在时间轴上的完整性。
3.本发明公开的一种线性时变结构模态振型辨识方法，针对线性时变结构，不同的模态阶数对应的模态频率不同的情况，通过对模态振型进行辨识时，根据不同模态阶数对应的模态频率，指定只包含某阶模态频率的带宽的方式提高辨识效果，提高低阶模态振型的辨识能力。
4.本发明公开的一种线性时变结构模态振型辨识方法，在获得线性时变结构的时间相关功率谱G(ti,ωj)时，通过重复多次试验，对所有试验获得的相关功率谱G(ti,ωj)进行平均，从而减小随机误差。
附图说明
图1为本发明公开的一种线性时变结构模态振型辨识方法的流程图；
图2为具体实施方式中的有限元简支梁系统；
图3为具体实施方式中时变有限元简支梁的y轴加速度响应(0-60Hz)：(a)第5自由度，(b)第10自由度，(c)第13自由度和(d)第17自由度；
图4为具体实施方式中时变有限元简支梁的y轴加速度响应(0-120Hz)：(a)第5自由度，(b)第10自由度，(c)第13自由度和(d)第17自由度；
图5为具体实施方式中时变有限元简支梁的y轴加速度响应(0-13Hz)：(a)第5自由度，(b)第10自由度，(c)第13自由度和(d)第17自由度；
图6为具体实施方式中时变有限元简支梁在0-60Hz激励信号下通过SPWVD得到的时间相关功率谱：(a)G2,4和(b)G2,10；
图7为具体实施方式中时变有限元简支梁在0-120Hz激励信号下通过SPWVD得到的时间相关功率谱：(a)G2,4和(b)G2,10；
图8为具体实施方式中时变有限元简支梁在0-130Hz激励信号下通过SPWVD得到的时间相关功率谱：(a)G2,4和(b)G2,10；
图9为具体实施方式中时变有限元简支梁的第一阶模态振型的相对幅值(方框：理论模态振型；实心圆：辨识模态振型)；
图10为具体实施方式中时变有限元简支梁的第二阶模态振型的相对幅值(方框：理论模态振型；实心圆：辨识模态振型)；
图11为具体实施方式中时变有限元简支梁的第三阶模态振型的相对幅值(方框：理论模态振型；实心圆：辨识模态振型)；
图12为理论模态振型与具体实施方式辨识出的模态振型的MAC矩阵：(a)t＝0.0156s，(b)t＝0.8906s，(c)t＝1.7656s和(d)t＝3.3906s。
图13为现有的采用FS-VTARMA数学模型的模态辨识方法的时变有限元简支梁的第一阶模态振型的相对幅值(方框：理论模态振型；实心圆：辨识模态振型)；
图14为现有的采用FS-VTARMA数学模型的模态辨识方法的时变有限元简支梁的第二阶模态振型的相对幅值(方框：理论模态振型；实心圆：辨识模态振型)；
图15为现有的采用FS-VTARMA数学模型的模态辨识方法的时变有限元简支梁的第三阶模态振型的相对幅值(方框：理论模态振型；实心圆：辨识模态振型)；
图16为理论模态振型与采用现有的采用FS-VTARMA数学模型的模态辨识方法辨识出的模态振型的MAC矩阵：(a)t＝0.0156s，(b)t＝0.8906s，(c)t＝1.7656s和(d)t＝3.3906s。
具体实施方式
为了更好地说明本发明的目的和优点，下面通过对一个高斯白噪声激励下的均匀分布18个单元的有限元简支梁模型进行模态分析，对本发明做出详细解释。
实施例1：
本实施例的均匀分布18个单元的有限元简支梁模型，如图2所示。梁的长度为l＝1m，横截面是直径为d＝0.0065m的圆形，梁密度为d＝0.0065kg/m3，弹性模量为E＝2.1×1011。梁均匀分为18个单元。第9和17个单元的弹性模量随时间t变化规律为E(t)＝E·X(t)，X(t)如式(36)所示。假设激励F为大小为100dBw的Gauss白噪声，并作用于梁的第9个自由度上。
X(t)＝-0.9sin(πt/(2tend))+1 (38)
仿真简支梁的理论模态振型可通过计算结构动力学方程得到，求得的理论振型经过最大值归一化。响应通过Newmark-β算法计算得到，采样时间为4s，采样频率根据步骤4中指定带宽的要求确定。响应信号时间相关的功率谱函数通过非参数化的平滑伪Wigner–Ville分布(SPWVD)辨识得到。
采用本实施例公开的方法辨识模态振型时采用的时间正交多项式为3阶Chebyshev时间正交多项式，即式(8)中的pm(ti)为3阶Chebyshev时间正交多项式。式(7)描述的分部分式模型的已知参数包括系统极点和模态参与因子通过计算结构动力学方程的齐次方程得到。
为了避免频率的过低估计或过高估计，通过指定不同带宽，在不同的频带内辨识不同阶数的模态振型。对于第一阶模态振型，采样频率为512Hz；对于第二阶模态振型，采样频率为1024Hz；对于第三阶模态振型，采样频率为2048Hz。
具体步骤如下：
步骤1：在线性时变结构模态频率和模态阻尼已知的条件下，建立描述线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型。
在此实施方式中，该有限元简支梁模型有18个自由度，大小为100dBw的Gauss白噪声激励作用于梁的第9个节点上，因此，输入通道Ni＝1，输出通道No＝17，即图(2)中的节点2至18为输出通道。线性时不变模态总阶数Nr在步骤4中确定。
因此，线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型采用线性时变结构的时间相关功率谱如式(39)所示：
式(39)中的ti为时间变量，i＝1,2,...Nt为时间采样点，Nt为总时间点，同样在步骤4中确定。
步骤2：引入时间正交多项式的基函数，将步骤1中如式(39)所示的线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型基于基函数展开，将时间相关功率谱分解到传统频域内的时不变系统中，具体步骤如下：
步骤2.1：引入时间正交多项式的基函数，将步骤1中如式(39)所示的线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型基于基函数展开。
本实施方式中，时间正交多项式pm(ti)取3阶Chebyshev多项式，时间正交多项式总阶数Nm取3，因此，式(39)中的待求参数ψr(ti)，LR(ti)和UR(ti)基于基函数展开分别定义如式(40)所示：
式(40)中，αm，βm和γm为基函数的映射系数向量；下标“m”表示第m阶。
步骤2.2：基于步骤2.1中式(40)所示线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型的基函数展开，将线性时变结构的时间相关功率谱分解到传统频域内的时不变系统中。
将式(39)改写成如式(41)所示的标量形式：
式(41)中，下标“k”和“l”分别表示输出响应点k和参考输入点l之间的传递关系，相应的值对应矩阵形式(39)中的第k行或第l列的元素。
式(40)定义的待求参数ψr(ti)，LR(ti)和UR(ti)基于所有输出响应点k(k＝1,...,No)和参考点l(l＝1,...,Ni)，改写为如式(42)所示的形式：
式(42)中，下标“k”和“l”分别表示式(40)中αm，βm和γm的第k行或第l列的元素。
将式(42)代入式(41)，完成本具体实施方式中的线性时变结构的时间相关功率谱的展开，如式(43)所示：
步骤3：基于步骤2中提出的线性时变结构的时间相关功率谱展开，采用参数估计方法求解线性时变结构的模态振型，即实现线性时变结构的模态振型辨识。具体步骤如下：
步骤3.1：采用参数估计方法求解线性时变结构的模态振型优选最小二乘时频域法(LSTFD)或最大似然法。
步骤3.1.1：当采用最小二乘时频域法(LSTFD)求解线性时变结构的模态振型，具体实现方法包括如下步骤：
步骤3.1.1.1：基于步骤2中提出的线性时变结构的时间相关功率谱展开，推导线性时变结构的时间相关功率谱展开系数估计的最小二乘估计费用函数。
本具体实施方式中，频率点总数Nf和总时间点数Nt在步骤4中确定。式(39)定义的线性时变结构时间相关功率谱为被估计的时间相关功率谱，G(ti,ωj)表示测量的时间相关功率谱。两者之间的误差εLS(ti,ωj,θ)如式(44)所示：
结合式(44)，线性时变结构的时间相关功率谱展开系数估计的最小二乘估计费用函数如式所示：
步骤3.1.1.2：基于步骤3.1.1.1中的线性时变结构的时间相关功率谱展开系数估计的最小二乘估计费用函数采用最小二乘时频域法(LSTFD)求解线性时变结构线性时变结构的时间相关功率谱的展开系数，即待求参数向量θ。
根据最小二乘估计费用函数采用最小二乘时频域法得到待求参数θ如式(46)所示：
θ＝(ΘTΘ)-1ΘTG (46)
Θ是一个行数为NoNiNtNf即17×1×NtNf，列数为NmNo(Nr+2Ni)即3×17×(Nr+2×1)的矩阵，其中Nr、Nt、Nf在步骤4中确定。
式(46)矩阵Θ可以表述为分块矩阵的形式：
式(47)中，分块矩阵A(ti,ωj)、B(ti,ωj)和C(ti,ωj)分别如式(24)、(25)和(26)所示。式(46)中的向量G如式(48)所示：
G为一个维度为NoNiNtNf即17×1×NtNf的列向量。
步骤3.1.2：当采用最大似然估计方法求解线性时变结构的模态振型时，与步骤3.1.1最小二乘时频域估计方法相同，式(39)定义的线性时变结构时间相关功率谱为被估计的时间相关功率谱，G(ti,ωj)表示测量的时间相关功率谱。当如式(44)的与G(ti,ωj)之间的误差εLS(ti,ωj,θ)满足高斯分布时，如式(49)所示：
式(49)中，vec(·)为矩阵拉直运算，ε为维度No×Ni的矩阵，0为维度No×Ni的矩阵，Σ为维度Ni×Ni的对称正定矩阵，为维度No×No的单位矩阵，表示kronecker积，为vec(ε)的方差矩阵。
最大似然法对应的费用函数如式(50)所示：
式(50)中tr(·)表示矩阵的迹，|·|表示矩阵的行列式。
由于误差εLS(ti,ωj,θ)满足高斯分布，最大似然法求解如式所示的费用函数得到的待求参数θ与最小二乘时频域方法得到的待求参数θ结果相同，如步骤3.1.1.2式(46)所示。
因此，最小二乘时频域法和最大似然估计法两种参数估计方法均可进行参数估计，本具体实施方案优选最小二乘时频域法。
步骤3.2：根据步骤3.1.1求出的线性时变结构线性时变结构的时间相关功率谱的展开系数，即待求参数向量θ，求解线性时变结构的模态振型。
获得待求参数向量θ后，根据式(42)，求得线性时变结构的向量形式的模态振型ψ，如式(51)所示：
ψ＝ΩαT (51)
步骤4：基于步骤3中提出的线性时变结构的模态振型辨识方法，指定特定带宽，提高辨识的精度。
对于线性时变结构，不同的模态阶数对应的模态频率不同，因此，在本具体实施方式中在对模态振型进行辨识时，根据不同模态阶数对应的模态频率，指定只包含某阶模态频率的带宽，基于步骤3中提出的线性时变结构的模态振型辨识方法辨识模态振型，提高辨识的精度。具体步骤如下：
步骤4.1：将线性时变结构的响应信号中的频率信息进行分段，对每一段进行时频分析，获得式(44)中测量的时间相关功率谱G(ti,ωj)。
线性时变结构的响应信号中的频率分段总数记为Ns，在进行线性时变结构的模态振型辨识时，Ns取值范围为大于等于M/2，且小于等于M，其中M为需要辨识的模态振型总阶数。本具体实施方式中需要辨识三阶模态振型，即M＝3，Ns在这里取值为3。
指定带宽操作通过对线性时变结构的响应信号滤波实现，对每个滤波后的信号进行时频分析，获得线性时变结构的时间相关功率谱G(ti,ωj)。
在本具体实施方式中，对于第一阶模态振型，通过过滤激励信号的高频部分，只保留包含0-60Hz频率的激励信号。一次典型实验中的第5、10、13和17个自由度的加速度响应信号如图3所示。时间相关功率谱(无平均)的带宽为0-32Hz，第二与第四自由度的互功率谱G2,4和第二与第十自由度的互功率谱G2,10分别如图6(a)和(b)所示。时间相关功率谱的采样数为Nf＝32和Nt＝32。
对于第二阶模态振型，在0-120Hz的激励信号下，一次典型实验中的第5、10、13和17个自由度的加速度响应如图4所示。时间相关功率谱(无平均)的带宽为0-64Hz，第二与第四自由度的互功率谱G2,4和第二与第十自由度的互功率谱G2,10分别如图7(a)和(b)所示。时间相关功率谱的采样数为Nf＝64和Nt＝32。
对于第三阶模态振型，在0-120Hz的激励信号下，不同自由度的加速度响应如图5所示。时间相关功率谱(无平均)的带宽为0-128Hz，功率谱G2,4和G2,10如图8(a)和(b)所示。时间相关功率谱的采样数为Nf＝128和Nt＝32。
步骤4.2：基于步骤4.1获得的线性时变结构的时间相关功率谱G(ti,ωj)，根据时间相关功率谱图中的脊线数量，确定式(39)表示的线性时变结构时间相关分部分式形式的参数化模型的阶数Nr
从图6(a)和(b)、图7(a)和(b)、图8(a)和(b)看出本具体实施方式中时变有限元简支梁三阶模态振型的时间相关功率谱在指定带宽后图中脊线数量均为1，因此，式(39)表示的线性时变结构时间相关分部分式形式的参数化模型的阶数Nr均取为1。
步骤4.3：基于步骤4.1获得的线性时变结构的时间相关功率谱G(ti,ωj)，及步骤4.2确定的线性时变结构时间相关分部分式形式的参数化模型的阶数Nr＝1，针对每一频率分段，重复执行步骤3，获得线性时变结构的三阶模态振型，分别如图9、图10、图11所示。
根据步骤3最小二乘时频域法(LSTFD)求解出的线性时变结构的模态振型，得到三阶理论模态振型与辨识模态振型的MAC矩阵，如图12所示。MAC矩阵是检验模态正交性的指标，对角线元素越接近1、非对角线元素越接近0表示辨识出的模态振型正交性越好。
为了更好的说明本发明公开的一种线性时变结构模态振型辨识方法的有益效果，将已有技术中的FS-VTARMA方法的辨识结果与本方法辨识结果做对比。
已有技术中的FS-VTARMA方法，基函数采用五阶Chebyshev时间多项式，AR与MA部分阶数均取为2。辨识出的三阶模态振型结果分别如图(13)、图(14)和图(15)所示，三阶理论模态振型与辨识模态振型的MAC矩阵如图(16)所示。图(13)、图(14)、图(15)表示FS-VTARMA方法辨识出的三阶模态振型随时间的变化情况；图(16)为理论模态振型与FS-VTARMA方法辨识出的模态振型的MAC矩阵。
比较本发明公开的方法辨识出的图(9)、图(10)、图(11)和已有技术中的FS-VTARMA辨识出的图(13)、图(14)、图(15)可以看出，本发明公开的一种线性时变结构模态振型辨识方法辨识出的模态振型更完整，FS-VTARMA方法模型辨识出的第一阶和第二阶模态振型在时间上不完整，有一部分未辨识出来。比较图(12)与图(16)可以看出，FS-VTARMA方法的MAC矩阵中出现没有值的情况，表示该时刻没有值的阶数模态振型未辨识出来，而本发明公开的一种线性时变结构模态振型辨识方法的MAC矩阵更加完整，辨识效果更好。
还包括步骤5：应用步骤1到步骤4辨识的结构模态振型指导结构动力学领域的结构分析与设计。
根据步骤1到步骤4得到工程结构的模态振型，能为时变结构的结构设计、振动控制、损伤识别和健康监测等方面的应用提供有力的支持，具有广泛的应用前景与效益。
以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例，用于解释本发明，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (9)

1.一种线性时变结构模态振型辨识方法，其特征在于：包括以下步骤：
步骤1：在线性时变结构模态频率和模态阻尼已知的条件下，建立描述线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型；
步骤1具体实现方法包括如下步骤：
步骤1.1：线性时不变结构的频率响应函数用分部分式模型表示如式(1)所示：
式(1)中(·)*表示取复共轭，上标“^”表示估计值；ωj为频率点，j＝1,2,…Nf为频率采样点，为复数单位，Nf为频率点总数；λr为第r阶系统极点，r＝1,2,…Nr为模态阶数，Nr表示线性时不变结构的模态总阶数；留数矩阵，为频响函数的下剩余项，为频响函数的上剩余项，其中表示复数矩阵集，No与Ni分别为结构输出和输入通道数；
将式(1)中复共轭项忽略，得到线性时不变结构的频率响应函数如式(2)所示：
所述的复共轭项指对应频率为复数的部分；
式(2)中，留数矩阵Ar如式(3)所示：
式(3)中的为第r阶模态振型列向量，为第r阶模态参与因子行向量，上标“T”表示矩阵转置运算；把式(3)带入式(2)，线性时不变结构的频率响应函数如式(4)所示：
步骤1.2：将线性时变结构的时间相关功率谱函数用分部分式模型来描述；
线性时变结构的响应功率谱如式(5)所示：
GXX(jω)＝H(jω)GFF(jω)HH(jω) (5)
式(5)中，GFF(jω)表示作用在结构上的载荷自功率谱矩阵，且为常数矩阵，上标“H”表示Hermite转置运算；H(jω)为线性时变结构真实的频率响应函数矩阵；当输入为高斯白噪声时，即有GFF(jω)∝I，响应功率谱与H(jω)HH(jω)成比例关系，如式(6)所示：
GXX(jω)∝H(jω)HH(jω) (6)
对于线性时变结构，根据式(4)和(6)，线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型采用线性时变结构的时间相关功率谱表示为如式(7)所示：
式(7)中的ti为时间变量，i＝1,2,…Nt为时间采样点，Nt为总时间点数；
式(7)即为线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型；
步骤2：引入时间正交多项式的基函数，将步骤1中如式(7)所示的线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型基于时间正交多项式基函数展开，将时间相关功率谱分解到传统频域内的时不变系统中；
步骤2具体实现方法包括如下步骤：
步骤2.1：引入时间正交多项式的基函数，将步骤1中如式(7)所示的线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型基于基函数展开；
式(7)中的待求参数ψr(ti)，LR(ti)和UR(ti)基于基函数展开分别定义如式(8)所示：
式(8)中，pm(ti)为时间正交多项式，其中m＝0,1,…Nm，Nm为时间正交多项式总阶数；αm，βm和γm为基函数的映射系数向量；下标“m”表示第m阶；
步骤2.2：基于步骤2.1中如式(8)所示线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型的基函数展开，将线性时变结构的时间相关功率谱分解到传统频域内的时不变系统中；
如式(7)所示线性时变结构的时间相关功率谱包含了所有输出响应点k(k＝1,...,No)和参考输入点l(l＝1,...,Ni)之间的传递关系，改写成如式(9)所示的标量形式：
式(9)中，下标“k”和“l”分别表示输出响应点k和参考输入点l之间的传递关系，相应的值对应矩阵形式(7)中的第k行或第l列的元素，例如ψr,k(ti)对应式(7)中向量ψr(ti)的第k个元素，LRk,l(ti)对应式(7)中矩阵LR(ti)第k行第l列的元素；
如式(8)定义的待求参数ψr(ti)，LR(ti)和UR(ti)基于所有输出响应点k(k＝1,...,No)和参考点l(l＝1,...,Ni)，改写为如式(10)所示的形式：
式(10)中，下标“k”和“l”分别表示式(8)中αm，βm和γm的第k行或第l列的元素；
将式(10)代入式(9)，基于时间正交多项式的基函数，式(7)所示的线性时变结构的时间相关功率谱展开如式(11)所示：
即完成线性时变结构时间相关功率谱到传统频域内的时不变系统的分解；
步骤3：基于步骤2中提出的线性时变结构的时间相关功率谱展开，采用参数估计方法求解线性时变结构的模态振型，即实现线性时变结构的模态振型辨识。
2.如权利要求1所述的一种线性时变结构模态振型辨识方法，其特征在于：
步骤3具体实现方法包括如下步骤，
步骤3.1：采用参数估计方法求解线性时变结构的模态振型选最小二乘时频域法(LSTFD)或最大似然法；
步骤3.1.1：当采用最小二乘时频域法(LSTFD)求解线性时变结构的模态振型，具体实现方法包括如下步骤：
步骤3.1.1.1：基于步骤2中提出的线性时变结构的时间相关功率谱展开，推导线性时变结构的时间相关功率谱展开系数估计的最小二乘估计费用函数
式(7)定义的线性时变结构时间相关功率谱为被估计的时间相关功率谱，G(ti,ωj)表示测量的时间相关功率谱；两者之间的误差εLS(ti,ωj,θ)如式(12)所示：
式(12)中，θ为待求参数向量，上标“LS”表示线性误差；结合式(10)与式(11)，待求参数向量θ如式(13)所示：
θ＝[α β γ]T (13)
式(13)中，α、β和γ分别定义如式(14)、(15)和(16)所示：
根据式(12)中得到的线性误差εLS(ti,ωj,θ)，线性时变结构的时间相关功率谱展开系数估计的最小二乘估计费用函数如式(17)所示：
结合式(12)，式(17)改写成如式(18)所示：
步骤3.1.1.2：基于步骤3.1.1.1中的线性时变结构的时间相关功率谱展开系数估计的最小二乘估计费用函数采用最小二乘时频域法(LSTFD)求解线性时变结构的时间相关功率谱的展开系数，即待求参数向量θ；
当式(18)中的最小二乘估计费用函数取极小值时，对应的待求参数向量θ即为所求得时间相关功率谱的展开系数；利用最小二乘法，式(18)的导数应等于零，如式(19)所示：
由于是一个常向量，对应输出响应点k(k＝1,...,No)和参考点l(l＝1,...,Ni)，式(18)改写成如式(20)所示标量形式：
式(20)表达成如式(21)所示矩阵形式：
式(21)中，Θ是一个行数为NoNiNtNf，列数为NmNo(Nr+2Ni)的矩阵，通过求解式(21)，得到待求参数θ，如式(22)所示：
θ＝(ΘTΘ)-1ΘTG (22)
矩阵Θ可以表述为分块矩阵的形式，如式(23)所示：
式(23)中，分块矩阵A(ti,ωj)、B(ti,ωj)和C(ti,ωj)分别如式(24)、(25)和(26)所示：
式(24)、(25)和(26)矩阵元素分别如式(27)、(28)、(29)所示：
矩阵A(ti,ωj)，B(ti,ωj)，C(ti,ωj)，al,k(ti,ωj)，bl,k(ti,ωj)和cl,k(ti,ωj)都是与时间正交多项式相关的矩阵；式(22)中的向量G如式(30)所示：
G为一个维度为NoNiNtNf的列向量；
步骤3.1.2：当采用最大似然估计方法求解线性时变结构的模态振型时，与步骤3.1.1最小二乘时频域估计方法相同，式(7)定义的线性时变结构时间相关功率谱为被估计的时间相关功率谱，G(ti,ωj)表示测量的时间相关功率谱；当如式(12)的与G(ti,ωj)之间的误差εLS(ti,ωj,θ)满足高斯分布时，如式(31)所示：
式(31)中，vec(·)为矩阵拉直运算，ε为维度No×Ni的矩阵，0为维度No×Ni的矩阵，Σ为维度Ni×Ni的对称正定矩阵，为维度No×No的单位矩阵，表示kronecker积，为vec(ε)的方差矩阵；
最大似然法对应的费用函数如式(32)所示：
式(32)中tr(·)表示矩阵的迹，|·|表示矩阵的行列式；
由于误差εLS(ti,ωj,θ)满足高斯分布，最大似然法求解如式所示的费用函数得到的待求参数θ与最小二乘时频域方法得到的待求参数θ结果相同，如步骤3.1.1.2式(22)所示；
步骤3.2：根据步骤3.1.1求出的线性时变结构线性时变结构的时间相关功率谱的展开系数，即待求参数向量θ，求解线性时变结构的模态振型，即实现线性时变结构的模态振型辨识；
获得待求参数向量θ后，根据式(10)，求得线性时变结构的向量形式的模态振型ψ，如式(33)所示：
ψ＝ΩαT (33)
式(33)中的α如式(14)所示；Ω是一个矩阵，形式如式(34)所示：
式(34)中，矩阵D(ti)如式(35)、式(36)所示：
D(ti)和dr,k(ti)都是与时间正交多项式相关的矩阵；
求得的线性时变结构的向量形式的模态振型ψ如式(37)所示：
即实现线性时变结构的模态振型辨识。
3.如权利要求2所述的一种线性时变结构模态振型辨识方法，其特征在于：还包括步骤4：基于步骤1至步骤3所述的一种线性时变结构模态振型辨识方法，指定特定带宽，提高辨识的精度；
对于线性时变结构，不同的模态阶数对应的模态频率不同，在对模态振型进行辨识时，根据不同模态阶数对应的模态频率，指定只包含需辨识的模态频率的带宽，基于步骤1至步骤3所述的一种线性时变结构模态振型辨识方法辨识模态振型，提高辨识的精度。
4.如权利要求3所述的一种线性时变结构模态振型辨识方法，其特征在于：步骤4具体实现方法包括如下步骤，
步骤4.1：将线性时变结构的响应信号中的频率信息进行分段，对每一段进行时频分析，获得式(12)中测量的时间相关功率谱G(ti,ωj)；
线性时变结构的响应信号中的频率分段总数记为Ns；在进行线性时变结构的模态振型辨识时，Ns取值范围为大于等于M/2，且小于等于M，其中M为需要辨识的模态振型总阶数；
指定带宽操作通过对线性时变结构的响应信号滤波实现，对每个滤波后的信号进行时频分析，获得线性时变结构的时间相关功率谱G(ti,ωj)；重复多次测量，对所有实验测量获得的相关功率谱G(ti,ωj)进行平均，从而减小随机误差，使获得的线性时变结构的时间相关功率谱G(ti,ωj)更光滑；
步骤4.2：基于步骤4.1获得的线性时变结构的时间相关功率谱G(ti,ωj)，根据时间相关功率谱图中的脊线数量，确定式(7)表示的线性时变结构时间相关分部分式形式的参数化模型的阶数Nr；从步骤4.1获得线性时变结构的时间相关功率谱G(ti,ωj)后，将时间相关功率谱G(ti,ωj)幅值绘制在时间相关功率谱图上，线性时变结构时间相关分部分式形式的参数化模型的阶数Nr与图中的脊线数量相同；
步骤4.3：基于步骤4.1获得的线性时变结构的时间相关功率谱G(ti,ωj)，及步骤4.2确定的线性时变结构时间相关分部分式形式的参数化模型的阶数Nr，针对每一频率分段，重复执行步骤1至步骤3，获得线性时变结构的模态振型，即实现提高步骤1至步骤3所述的一种线性时变结构模态振型辨识方法的辨识精度；
即完成线性时变结构的模态振型辨识。
5.如权利要求4所述的一种线性时变结构模态振型辨识方法，其特征在于：还包括步骤5：应用步骤1到步骤4辨识的结构模态振型指导结构动力学领域的结构分析与设计，解决实际工程技术问题。
6.如权利要求5所述的一种线性时变结构模态振型辨识方法，其特征在于：根据步骤1到步骤4得到工程结构的模态振型，为时变结构的结构设计、振动控制、损伤识别和健康监测等方面的应用提供有力的支持，解决实际工程技术问题。
7.一种线性时变结构模态振型辨识方法，其特征在于：首先在线性时变结构模态频率和模态阻尼已知的条件下，建立描述线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型；再引入时间正交多项式的基函数，将线性时变结构的时间相关分部分式形式的参数化模型基于基函数展开，将时间相关功率谱分解到传统频域内的时不变系统中；然后基于线性时变结构的时间相关功率谱展开，采用参数估计方法求解线性时变结构的模态振型，即实现线性时变结构的模态振型辨识。
8.如权利要求7所述的一种线性时变结构模态振型辨识方法，其特征在于：对于线性时变结构，不同的模态阶数对应的模态频率不同，在对模态振型进行辨识时，根据不同模态阶数对应的模态频率，指定只包含需要辨识的模态频率的带宽，基于所述的一种线性时变结构模态振型辨识方法辨识模态振型，提高辨识的精度。
9.如权利要求8所述的一种线性时变结构模态振型辨识方法，其特征在于：能为时变结构的结构设计、振动控制、损伤识别和健康监测等方面的应用提供有力的支持，解决实际工程技术问题。
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