CN108128484B - 一种基于线性二次型调节器的双星系统轨道保持方法 - Google Patents

一种基于线性二次型调节器的双星系统轨道保持方法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种双星系统的轨道保持方法，涉及一种采用线性二次型调节器跟踪控制实现双星系统轨道保持的方法，属于航空航天技术领域。本发明实现方法如下：利用简化双体动力学模型设计标称轨道，然后在精确的双体动力学方程下以标称轨道的初值得真实轨道，计算真实轨道与标称轨道的偏差，基于线性二次型调节器设计最优控制律，获得最优加速度，施加连续控制，使真实轨道收敛在标称轨道附近，实现双星系统下的轨道跟踪和保持。本发明适用于存在初始误差和模型误差情况下的双星系统轨道保持，具有收敛性好，保持精度高等特点。

Description

一种基于线性二次型调节器的双星系统轨道保持方法
技术领域
本发明涉及一种双星系统的轨道保持方法，特别涉及一种采用线性二次型调节器跟踪控制实现双星系统轨道保持的方法，属于航空航天技术领域。
背景技术
双小行星系统是特殊的一类小行星,双星系统质心在围绕太阳进行公转的同时，两颗小行星还围绕质心进行圆形或椭圆运动。相比单小行星探测，双小行星系统探测具有更多的科学回报，同时双星系统的形成和演化仍然存在争论，因此对双星系统开展探测是未来小行星探测的热点之一。与单小行星相同，双小行星系统也存在形状不规则，自旋状态不确定等特点，导致双星系统内的动力学环境复杂，而双星之间的相对运动使探测器的运动非线性混沌线性明显，基于简化动力学设计的轨道通常无法稳定运行，给探测轨道带来了困难，需要通过轨道控制实现轨道维持。
目前双星系统的轨道保持方法中，在先技术【1】(参见Loic Chappaz,KathleenC.Howell.Trajectory design for bounded motion near uncertain binary systemscomprised of small irregular bodies exploiting sliding control modes[J].ActaAstronautica,2015,115,226-240)采用高阶滑模制导的方法对有界轨道进行控制，将标称轨道的若干点作为目标点，并将实际轨道分为无控段和受控段，在受控段利用滑模制导使轨道逼近目标的从而实现轨道保持。但该方法由于仅约束末端状态，实际轨道在除目标的附近的区域外可能和标称轨道差异较大，跟踪效果较差。
在先技术【2】(参见Pamela Woo，Arun K.Misra等,Bounded trajectories of aspacecraft near an equilibrium point of a binary asteroid system，2015,110,313-323)通过构建合适的Lyapunov函数，实现探测器在双星系统平衡点附近轨道的反馈控制，但该方法仅能应用与平衡点附近轨道，不适合双星系统内的其他轨道。
发明内容
本发明公开的一种基于线性二次型调节器的双星系统轨道保持方法要解决的技术问题是，提出一种适用于双星系统周期轨道的轨道保持方法，基于线性二次型调节器的控制律施加连续控制，实现真实轨道收敛在标称轨道附近，能够适用于存在初始误差和模型误差情况下的双星系统轨道保持，具有收敛性好，保持精度高等特点。
所述真实轨道指考虑初始误差和精确引力场模型后的轨道。
本发明的目的是通过下述技术方案实现的。
本发明一种基于线性二次型调节器的双星系统轨道保持方法，包括以下步骤：
步骤一：根据确定的目标双星系统参数，通过忽略双体的自旋角速度差别，将小行星简化为三轴椭球体，在质心旋转坐标系下建立建立如公式(1)所示的简化双体动力学模型。所述的双星系统参数包括双星的形状，质量比μ。
Figure BDA0001512754880000021
其中r＝[x,y,z]表示探测器到质心的位置矢量，ω为系统的旋转角速度。U1,2表示双星的引力势能
Figure BDA0001512754880000022
Figure BDA0001512754880000023
Figure BDA0001512754880000024
其中α,β,γ为椭球体的三个主轴长度，初状态下星体的最长主轴与X轴重合。
Figure BDA0001512754880000025
r1,r2分别表示探测器到双星系统两颗天体的位置矢量，μ为质量比。
步骤二：基于步骤一简化的双体动力学模型进行标称轨迹设计。
在简化的双体动力学模型下设计标称轨道，选择周期轨道作为标称轨道，利用双体动力学模型的对称性，周期轨道应满足
Figure BDA0001512754880000026
Figure BDA0001512754880000027
面对称轨道满足初状态
Figure BDA0001512754880000028
且半个轨道周期后的状态为
Figure BDA0001512754880000029
轴对称的轨道满足初状态
Figure BDA00015127548800000210
半个轨道周期后的状态满足
Figure BDA00015127548800000211
根据已有的搜索方法对系统内的区域进行搜索得到初值，利用微分修正方法得到精确的周期轨道作为标称轨道Γ0。
步骤二所述的已有的搜索方法包括利用速度庞加莱映射或网格搜索。
步骤三：考虑双星系统的自旋速度Ω和精确引力场模型，建立精确的双体动力学方程。
令双星系统的两个天体自旋速度分别为Ω1,Ω2，初始状态天体固连系与质心旋转系的夹角分别为θ1,θ2，则在质心旋转系下的两个天体的自旋速度分别为ω1′＝Ω1-ω0，ω2′＝Ω2-ω0，自旋角随时间的变化为φ1＝θ1+ω1′t，φ2＝θ2+ω2′t，则动力学方程变为
Figure BDA0001512754880000031
其中u＝[acx,acy,acz]为控制加速度，Rz为绕Z轴的旋转矩阵。
Figure BDA0001512754880000032
步骤四：在精确的双体动力学方程下以标称轨道Γ0的初值作为初始值考虑误差进行动力学积分，得真实轨道Γ。计算真实轨道与标称轨道的偏差，根据线性二次型调节器设计最优控制律。
在精确的双体动力学方程下以标称轨道Γ0的初值作为初始值考虑误差进行动力学积分时间T0，得真实轨道Γ。记真实轨道Γ的状态为
Figure BDA0001512754880000033
标称轨道的状态为
Figure BDA0001512754880000034
记真实轨道和标称轨道的误差为e＝X1-X0。
根据双体动力学方程(1)得
Figure BDA0001512754880000035
其中
Figure BDA0001512754880000036
Figure BDA0001512754880000037
控制问题表述为通过控制使误差e消除为0，考虑在[t0,tf]时间内，使跟踪误差和消耗的燃料最优，将问题转化为最优控制问题，取二次型性能指标函数为
Figure BDA0001512754880000041
式中Q为6×6正定常矩阵，R为3×3正定常矩阵，分别为轨道误差e和控制加速度u的加权系数。Q主要决定控制精度和动态效果，R主要决定控制的能量消耗，对于控制成本较大的情况，选择较大的R和较小的Q；控制成本较低的情况选择较大的Q和较小的R以提高控制精度。由于探测器携带的燃料有限，需考虑控制成本选择Q和R。优选Q＝diag(1,1,1,1,1,1)，R＝diag(1010,1010,1010)。
反馈增益矩阵为
K＝R-1BTP (10)
式中P通过求解黎卡提代数方程得到
PA+ΑTP-PBR-1BTP+Q＝0 (11)
从而得到最优控制律为
u＝-Ke＝-K(X1-X0) (12)
根据最优控制律得到最优控制加速度u代入方程(6)，继续积分。
步骤五选择积分时长T0，重复步骤四，计算真实轨道Γ与标称轨道Γ0的误差并根据线性二次型调节器最优控制律得到新的最优控制加速度u，再次积分直至任务结束，保证真实轨道始终在标称轨道附近，实现双星系统下的轨道跟踪和保持。
本发明公开的一种基于线性二次型调节器的双星系统轨道保持方法，利用简化双体动力学模型设计标称轨道，然后在精确的双体动力学方程下以标称轨道的初值得真实轨道Γ，计算真实轨道与标称轨道的偏差，基于线性二次型调节器设计最优控制律，获得最优加速度，施加连续控制，使真实轨道收敛在标称轨道附近，实现双星系统下的轨道跟踪和保持。本发明能够适用于存在初始误差和模型误差情况下的双星系统轨道设计，具有收敛性好，保持精度高等特点。
所述真实轨道指考虑初始误差和精确引力场模型后的轨道。
有益效果：
1、本发明公开的一种基于线性二次型调节器的双星系统轨道保持方法，以简化的双体动力学模型计算得到的标称轨道，通过计算真实轨道与标称轨道的误差施加控制加速度，实现在考虑初始误差和引力场模型的高精度动力学下实现双体系统轨道保持，计算效率高，适用于考虑初始误差和模型误差的精确动力学模型下的轨道保持。
2、本发明公开的一种基于线性二次型调节器的双星系统轨道保持方法，通过推导合适的线性二次型控制律调节器生成最优控制律，综合考虑轨道误差精度和能量消耗，具有保持精度高，收敛性好，燃料消耗低的优点。
附图说明
图1本发明的一种基于线性二次型调节器的双星系统轨道保持方法流程示意图；
图2本发明的一种基于线性二次型调节器的双星系统轨道保持方法步骤二简化动力学模型下的标称轨道。
图3本发明的一种基于线性二次型调节器的双星系统轨道保持方法步骤四真实动力学模型下的跟踪轨道。
图4本发明的一种基于线性二次型调节器的双星系统轨道保持方法步骤四真实轨道的位置跟踪误差。
图5本发明的一种基于线性二次型调节器的双星系统轨道保持方法步骤四真实轨道的速度跟踪误差。
图6本发明的一种基于线性二次型调节器的双星系统轨道保持方法步骤四真实轨道的控制加速度变化。
具体实施方式
为了更好的说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实例对发明内容做进一步说明。
实施例1：
本实施例的基于线性二次型调节器的双星系统轨道保持方法，包括以下步骤：
步骤一：根据确定的目标双星系统参数，通过忽略双体的自旋角速度差别，将小行星简化为三轴椭球体，在质心旋转坐标系下建立简化双体动力学模型。所述的双星系统参数包括双星的形状，质量比μ。
Figure BDA0001512754880000061
其中r＝[x,y,z]表示探测器到质心的位置矢量，ω为系统的旋转角速度，。U1,2表示双星的引力势能
Figure BDA0001512754880000062
Figure BDA0001512754880000063
Figure BDA0001512754880000064
其中α,β,γ为椭球体的三个主轴长度，假设初状态下星体的最长主轴与X轴重合。
Figure BDA0001512754880000065
r1,r2分别表示探测器到双星系统两颗天体的位置矢量。
以双星系统Hermes为例，简化模型中主星的三轴长分别为0.6124km，0.6km，0.5880km；子星的三轴长分别为0.5530km，0.5364km，0.5300km，系统的质量比μ＝0.4083，轨道周期13.8936h，轨道角速度ω＝1.2562×10-4rad/s。
步骤二：基于步骤一简化的双体动力学模型进行标称轨迹设计。
在简化的双体动力学模型下设计标称轨道，选择周期轨道作为标称轨道，利用双体动力学模型的对称性，周期轨道应满足
Figure BDA0001512754880000066
Figure BDA0001512754880000067
面对称轨道满足初状态
Figure BDA0001512754880000068
且半个轨道周期后的状态为
Figure BDA0001512754880000069
轴对称的轨道满足初状态
Figure BDA00015127548800000610
半个轨道周期后的状态满足
Figure BDA00015127548800000611
根据已有的搜索方法对系统内的区域进行搜索得到初值，利用微分修正方法得到精确的周期轨道作为标称轨道Γ0。
图2给出一组利用网格搜索得到的标称轨道所示，轨道周期为11.0067h。
步骤三：考虑双星系统的自旋速度Ω和精确引力场模型，建立精确的双体动力学方程。
取小行星的自旋周期分别为6.9468h和12.0545h，初始的自旋角均为θ1＝0°,θ2＝0°，则在质心旋转系下的自旋速度分别为ω′1＝ω1-ω0＝1.2562rad/s，ω′2＝ω2-ω0＝1.9167×10-5rad/s，自旋角随时间的变化为φ1＝θ1+ω′1t，φ2＝θ2+ω′2t，则动力学方程变为
Figure BDA0001512754880000071
其中u＝[acx,acy,acz]为控制加速度，Rz为绕Z轴的旋转矩阵。
Figure BDA0001512754880000072
步骤四：在精确的双体动力学方程下以标称轨道Γ0的初值作为初始值考虑误差进行动力学积分，得真实轨道Γ。计算真实轨道与标称轨道的偏差，根据线性二次型调节器设计最优控制律。
在真实动力学下以标称轨道Γ0的初值作为初始值，考虑初始位置误差为10m，速度误差为0.001m/s进行动力学积分，积分时间T＝400s，得真实轨道Γ。
令真实轨道的状态为
Figure BDA0001512754880000073
标称轨道的状态为
Figure BDA0001512754880000074
记真实轨道和标称轨道的误差为e＝X1-X0
根据动力学方程(1)可得
Figure BDA0001512754880000075
其中
Figure BDA0001512754880000076
Figure BDA0001512754880000077
u＝[acx,acy,acz]表示控制加速度。
控制问题可以表述为通过控制使误差e消除为0，考虑在[t0,tf]时间内，使跟踪误差和消耗的燃料最优，因此可以考虑为最优控制问题，取二次型性能指标函数为
Figure BDA0001512754880000081
式中Q为6×6正定常矩阵，R为3×3正定常矩阵，分别为轨道误差e和控制加速度u的加权系数。Q主要决定控制精度和动态效果，R主要决定控制的能量消耗，对于控制成本较大的情况，选择较大的R和较小的Q；控制成本较低的情况选择较大的Q和较小的R以提高控制精度。由于探测器携带的燃料有限，需考虑控制成本选择Q和R。优选Q＝diag(1,1,1,1,1,1)，R＝diag(1010,1010,1010)。
反馈增益矩阵为
K＝R-1BTP (10)
式中P通过求解黎卡提代数方程得到
PA+ATP-PBR-1BTP+Q＝0 (11)
从而得到最优控率为
u＝-Ke＝-K(X1-X0) (12)
根据最优控制律得到最优控制加速度u代入方程(6)，继续积分。
步骤五选择积分时长T＝400s，重复步骤四，计算真实轨道Γ与标称轨道Γ0的误差并根据线性二次型调节器最优控制律得到新的最优控制加速度u，再次积分直至任务结束，保证真实轨道始终在标称轨道附近，实现双星系统下的轨道跟踪和保持。
图3给出了真实动力学模型下的跟踪轨道。图4和图5分别给出轨道的位置和速度跟踪误差，图6给出了真实轨道的控制加速度变化。
以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种基于线性二次型调节器的双星系统轨道保持方法，其特征在于：包括以下步骤，
步骤一：根据确定的目标双星系统参数，通过忽略双体的自旋角速度差别，将小行星简化为三轴椭球体，在质心旋转坐标系下建立如公式(1)所示的简化双体动力学模型；所述的双星系统参数包括双星的形状，质量比μ；
Figure FDA0002417161780000011
其中r＝[x，y，z]表示探测器到质心的位置矢量，ω为系统的旋转角速度；U1，2表示双星的引力势能
Figure FDA0002417161780000012
Figure FDA0002417161780000013
Figure FDA0002417161780000014
其中α，β，γ为椭球体的三个主轴长度，初状态下星体的最长主轴与X轴重合；
Figure FDA0002417161780000015
r1，r2分别表示探测器到双星系统两颗天体的位置矢量，μ为质量比；
步骤二：基于步骤一简化的双体动力学模型进行标称轨迹设计；
在简化的双体动力学模型下设计标称轨道，选择周期轨道作为标称轨道，利用双体动力学模型的对称性，周期轨道应满足
Figure FDA0002417161780000016
Figure FDA0002417161780000017
面对称轨道满足初状态
Figure FDA0002417161780000018
且半个轨道周期后的状态为
Figure FDA0002417161780000019
轴对称的轨道满足初状态
Figure FDA00024171617800000110
半个轨道周期后的状态满足
Figure FDA00024171617800000111
根据已有的搜索方法对系统内的区域进行搜索得到初值，利用微分修正方法得到精确的周期轨道作为标称轨道Γ0；
步骤三：考虑双星系统的自旋速度Ω和精确引力场模型，建立精确的双体动力学方程；
令双星系统的两个天体自旋速度分别为Ω1，Ω2，初始状态天体固连系与质心旋转坐标系的夹角分别为θ1，θ2，则在质心旋转坐标系下的两个天体的自旋速度分别为ω′1＝Ω1-ω0，ω′2＝Ω2-ω0，自旋角随时间的变化为φ1＝θ1+ω′1t，φ2＝θ2+ω′2t，则动力学方程变为
Figure FDA0002417161780000021
其中u＝[acx，acy，acz]为控制加速度，Rz为绕Z轴的旋转矩阵；
Figure FDA0002417161780000022
步骤四：在精确的双体动力学方程下以标称轨道Γ0的初值作为初始值考虑误差进行动力学积分，得真实轨道Γ；计算真实轨道与标称轨道的偏差，根据线性二次型调节器设计最优控制律；
在精确的双体动力学方程下以标称轨道Γ0的初值作为初始值考虑误差进行动力学积分时间T0，得真实轨道Γ；记真实轨道Γ的状态为
Figure FDA0002417161780000027
标称轨道的状态为
Figure FDA0002417161780000028
记真实轨道和标称轨道的误差为e＝X1-X0；
根据双体动力学方程(1)得
Figure FDA0002417161780000023
其中
Figure FDA0002417161780000024
K＝Urr+C，
Figure FDA0002417161780000025
控制问题表述为通过控制使误差e消除为0，考虑在[t0，tf]时间内，使跟踪误差和消耗的燃料最优，将问题转化为最优控制问题，取二次型性能指标函数为
Figure FDA0002417161780000026
式中Q为6×6正定常矩阵，R为3×3正定常矩阵，分别为轨道误差e和控制加速度u的加权系数；Q主要决定控制精度和动态效果，R主要决定控制的能量消耗，对于控制成本较大的情况，选择较大的R和较小的Q；控制成本较低的情况选择较大的Q和较小的R以提高控制精度；由于探测器携带的燃料有限，需考虑控制成本选择Q和R；
反馈增益矩阵为
K＝R-1BTP (10)
式中P通过求解黎卡提代数方程得到
PA+ATP-PBR-1BTP+Q＝0 (11)
从而得到最优控制律为
u＝-Ke＝-K(X1-X0) (12)
根据最优控制律得到最优控制加速度u代入方程(6)，继续积分；
步骤五选择积分时长T0，重复步骤四，计算真实轨道Γ与标称轨道Γ0的误差并根据线性二次型调节器最优控制律得到新的最优控制加速度u，再次积分直至任务结束，保证真实轨道始终在标称轨道附近，实现双星系统下的轨道跟踪和保持。
2.如权利要求1所述的一种基于线性二次型调节器的双星系统轨道保持方法，其特征在于：步骤二所述的已有的搜索方法包括利用速度庞加莱映射或网格搜索。
3.如权利要求1或2所述的一种基于线性二次型调节器的双星系统轨道保持方法，其特征在于：步骤四中选Q＝diag(1，1，1，1，1，1)，R＝diag(1010，1010，1010)。
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Title
基于改进线性二次型调节器的近地轨道编队卫星鲁棒控制;杏建军等;《国防科技大学学报》;20160630;第38卷(第3期);全文 *

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