CN108106634A - 一种直接观星的星敏感器内参数标定方法 - Google Patents

一种直接观星的星敏感器内参数标定方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种直接观星的星敏感器内参数标定方法，采用直接观星方式，不再依赖于精确但又昂贵的室内标定设备，并考虑了星点误差的影响，应用SPGD算法得到最优的内参数估计值，大幅提高了星敏感器内参数标定精度。

Description

一种直接观星的星敏感器内参数标定方法
技术领域
本发明涉及星敏感器标定方法，特别是一种直接观星的星敏感器内参数标定方法。
背景技术
星敏感器作为一种绝对姿态测量敏感器，广泛应用于深空探测、卫星、弹道导弹、飞机、舰船等领域。星敏感器在使用前需对其光学系统的内参数即主点、焦距与畸变系数进行精确标定，一般在实验室内借助于高精度且昂贵的标定设备实现，以满足高精度姿态测量的需求。国军标准《星敏感器标定与精度测试方法GJB8137-2013》中使用精密二维转台、单星模拟器等标定设备在实验室内完成星敏感器内参数的标定，为获得单星模拟器均匀分布的成像星点图像，需控制精密转台转动至少100次；同时，为减少星点提取误差，标准中规定对每个星点重复测量次数一般应大于10次，采集数据量巨大，操作较繁琐，且不能消除非随机性误差的影响。
随机并行梯度下降算法(Stochastic Parallel Gradient Descent,SPGD)在自适应光学、光纤相干合成、图像配准处理等领域应用广泛，其优势在于通过在控制变量上施加并行随机扰动，使性能评价函数快速收敛于全局极值，而且当控制变量增加时，该算法不会显著增加系统复杂度，特别适用于多参数优化问题。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是，针对现有技术不足，提供一种直接观星的星敏感器内参数标定方法，采用直接观星方式，不再依赖于精确但又昂贵的室内标定设备，并考虑星点误差的影响，应用SPGD算法得到最优的内参数估计值，提高星敏感器内参数标定精度。
为解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案是：一种直接观星的星敏感器内参数标定方法，包括以下步骤：
1)建立星敏感器内参数标定系统模型；
2)将星点坐标的提取值作为控制变量，提取值与星点坐标的重投影理论计算值之差的均值作为SPGD算法的性能评价函数F；
3)对星点坐标提取值施加正向扰动(+δxij,+δyij)，得到扰动后的星点坐标值采用所述标定系统模型计算得到标定参数X+；
4)将所述标定参数代入星敏感器姿态方程式，得到星点坐标重投影理论计算值计算与提取值的差异Δx与Δy，及评价函数F+；
5)对星点坐标提取值施加负向扰动(-δxij,-δyij)，得到扰动后的星点坐标值采用所述标定系统模型计算得到标定参数X-；
6)将步骤5)得到的标定参数代入星敏感器姿态方程式，得到星点坐标重投影理论计算值计算与提取值的差异Δx与Δy，及评价函数F-；
7)当(F+-F-)>ε时，利用下式更新控制变量：
其中，γ＝λk/σ2，λk为第k次迭代的搜索步长，σ2为微扰项的方差；
8)重复步骤3)～步骤7)；否则，将步骤3)与步骤5)中星敏感器标定结果的平均值(X++X-)/2输出作为星敏感器内参数标定值而退出循环。
步骤1)中，所述星敏感器内参数标定系统模型表达式如下：
其中，ΔX＝[Δx0,Δy0,Δf,Δq1,Δq2,Δq3,Δp1,Δp2]为估计值的误差；q1，q2，q3为径向畸变系数，p1，p2为切向畸变系数；(x0,y0)为图像敏感器的主点位置，f为星敏感器光学系统的焦距。
采用所述标定系统模型计算得到标定参数的具体过程包括：
1)确定星敏感器的姿态方程：W＝A·V；其中，A为姿态矩阵，W为观测矢量和，V为参考矢量；；(α,δ)为赤经、赤纬，(x,y)为星点坐标位置提取结果，(x0,y0)为图像敏感器的主点位置，f为透镜组的等效焦距长度，(dx,dy)为光学系统畸变；采用3阶径向畸变和2阶切向畸变的畸变模型，q1，q2，q3为径向畸变系数，p1，p2为切向畸变系数：
为星点位置到主点距离在x方向的长度，为星点位置到主点距离在y方向的长度，r为星点位置到主点的距离；
2)设像面上星点i与j所对应的观测矢量分别为Wi和Wj，参考矢量为Vi和Vj，则：
Gij即为待标定参数X＝[x0,y0,f,q1,q2,q3,p1,p2]的函数表达式；
3)设ΔX＝[Δx0,Δy0,Δf,Δq1,Δq2,Δq3,Δp1,Δp2]为估计值的误差，将步骤2)的公式线性化，得到：
令Rij＝Vi TVj-Gij(X)；
4)将Rij＝Vi TVj-Gij(X)拓展为下式：
5)将步骤4)的公式表示为：R＝H·ΔX；将星敏感器内参数的标称值设为X的初始值，用最小二乘法求得ΔX的值，将其补偿X的初始值Xk，并用Xk+1更新表示：Xk+1＝Xk+ΔX；
6)将Xk+1代入步骤2)的公式中，重复步骤3)～步骤5)，当|ΔX|＜ε时，结束，并将最终得到的Xk+1做为标定参数；ε为待标定参数变化的阈值。
与现有技术相比，本发明所具有的有益效果为：本发明采用室外直接观星方式，不再依赖于精确而又昂贵的标定设备并简化了标定过程；本发明考虑了星点误差的影响，将星点坐标作为控制点，对其采用随机并行梯度下降算法得到内参数的最优估计值，提高了标定精度。
附图说明
图1为本发明的实施流程图；
图2为不同光轴指向下星点图像的分布；
图3为主点X坐标的标定结果；
图4为主点Y坐标的标定结果；
图5为焦距的标定结果。
具体实施方式
1、星敏感器内参数标定系统建模。
星敏感器的姿态方程：
W＝A·V (1)
其中，A为姿态矩阵，观测矢量和参考矢量W、V可分别写为：
和
其中，(α,δ)为赤经、赤纬，(x,y)为星点坐标位置提取结果，(x0,y0)为图像敏感器的主点位置，f为透镜组的等效焦距长度，(dx,dy)为光学系统畸变，采用3阶径向畸变和2阶切向畸变的畸变模型，q1，q2，q3为径向畸变系数，p1，p2为切向畸变系数：
其中，因此，X＝[x0,y0,f,q1,q2,q3,p1,p2]为星敏感器待标定的内参数。
依据姿态方程式(1)，假设像面上星点i与j所对应的观测矢量分别为Wi和Wj，参考矢量为Vi和Vj，根据式(1)及姿态矩阵A的正交性可得：
Wi TWj＝(AVi)T·AVj＝Vi TVj (5)
将观测矢量表达式(2)代入式(5)，则可得：
因此，Gij即为待标定参数X＝[x0,y0,f,q1,q2,q3,p1,p2]的函数表达式，将畸变表达式(4)代入式(6)，并设ΔX＝[Δx0,Δy0,Δf,Δq1,Δq2,Δq3,Δp1,Δp2]为估计值的误差，将式(6)线性化可得：
令
Rij＝Vi TVj-Gij(X) (8)
考虑多颗星之间星对角距关系，则上述方程可拓展为：
式(9)可简写为：
R＝H·ΔX (10)
将星敏感器内参数的标称值设为Xk的初始值，用最小二乘法即可求得ΔX的值，将其补偿初始值Xk，并用Xk+1更新表示：
Xk+1＝Xk+ΔX (11)
将更新后的Xk+1代入式(6)，重复式(7)～式(11)，直到|ΔX|＜ε时，ε为待标定参数变化的阈值，根据标定精度的要求确定阈值ε的大小，如焦距f的变化阈值可选为f/1000，将最后得到的Xk+1作为参数标定的最终结果。
2、星点标定数据的获取与预处理
选择晴朗无云的夜晚开展标定实验，星敏感器采集多个不同光轴指向下的星点图像数据，使得星点图像在星图帧中的星点总数达到100颗且分布均匀；分别经预处理、星点提取和识别后得到星点坐标提取值与对应的赤经赤纬信息，并记录采集时间、实验地点的经纬度与气温、气压信息，再对赤经赤纬作蒙气差修正，根据式(3)可得到修正后的参考矢量V。
3、计算内参数标定初始值
对步骤2中得到的标定星点图像数据，采用步骤1中的标定模型计算得到内参数标定值。
4、内参数标定
考虑星点坐标提取误差的影响，将星点坐标提取值作为控制变量，在控制变量上施加随机扰动，并将步骤3中得到的内参数标定值作为参数初值，采用步骤1中的标定模型，应用SPGD算法计算星敏感器的内参数，具体步骤为：
4.1选取控制变量和系统评价函数。
将星点坐标的提取值作为控制变量，提取值与星点坐标的重投影理论计算值之差的均值作为SPGD算法的性能评价函数F；
4.2对星点坐标提取值施加正向扰动(+δxij,+δyij)，得到扰动后的星点坐标值
4.3将4.2中扰动后星点坐标值代入步骤1中的式(6)，采用步骤1中标定模型式(7)～式(11)计算得到标定参数X+；
4.4将步骤4.3中得到的标定参数结果代入星敏感器姿态方程式(1)，得到星点坐标重投影理论计算值计算其与提取值的差异Δx与Δy，及评价函数F+；
4.5对星点坐标提取值施加负向扰动(-δxij,-δyij)，得到扰动后的星点坐标值
4.6将4.5中扰动后星点坐标值代入步骤1中的式(6)，采用步骤1中标定模型式(7)～式(11)计算得到标定参数X-；
4.7将步骤4.6中得到的标定参数结果代入星敏感器姿态方程式(1)，得到星点坐标重投影理论计算值计算其与提取值的差异Δx与Δy，及评价函数F-；
4.8当(F+-F-)>ε时，利用式(12)更新控制变量：
γ＝λk/σ2，λk为第k次迭代的搜索步长，σ2为微扰项的方差，并继续重复步骤4.2～步骤4.8；否则，将步骤3)与步骤5)中星敏感器标定结果的平均值(X++X-)/2输出作为星敏感器内参数标定值而退出循环。
仿真实验结果与分析
仿真时星敏感器内参数及其初值设置如下表：
其中，给星点坐标提取值添加高斯噪声，噪声均值为0，标准差为0.1像素；SPGD算法中的随机扰动服从伯努利分布，扰动幅度为0.02像素，搜索步长为0.005像素，增益系数为0.25。首先根据标定模型得到参数的标定值，依该标定值作为初值，再利用本发明的方法对其施加扰动，得到参数的最终标定值。图2-图5为仿真结果，从图3-图5可看出，经过多次迭代后，参数标定值逐渐收敛于仿真真值，当迭代次数继续增加时，标定结果在较小范围内波动而趋于稳定状态。相比于现有模型标定得到的初值，本发明得到的标定结果趋近于真值，标定精度得到大幅提高。

Claims (3)

1.一种直接观星的星敏感器内参数标定方法，其特征在于，包括以下步骤：
1)建立星敏感器内参数标定系统模型；
2)将星点坐标的提取值作为控制变量，提取值与星点坐标的重投影理论计算值之差的均值作为SPGD算法的性能评价函数F；
3)对星点坐标提取值施加正向扰动(+δxij,+δyij)，得到扰动后的星点坐标值采用所述标定系统模型计算得到标定参数X+；
4)将所述标定参数代入星敏感器姿态方程式，得到星点坐标重投影理论计算值计算与提取值的差异Δx与Δy，及评价函数F+；
5)对星点坐标提取值施加负向扰动(-δxij,-δyij)，得到扰动后的星点坐标值采用所述标定系统模型计算得到标定参数X-；
6)将步骤5)得到的标定参数代入星敏感器姿态方程式，得到星点坐标重投影理论计算值计算与提取值的差异Δx与Δy，及评价函数F-；
7)当(F+-F-)>ε时，利用下式更新控制变量：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mi>m</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mi>m</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>F</mi> <mo>+</mo> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>F</mi> <mo>-</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;delta;x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mi>m</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mi>m</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>F</mi> <mo>+</mo> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>F</mi> <mo>-</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&amp;delta;y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> </mrow>
其中，γ＝λk/σ2，λk为第k次迭代的搜索步长，σ2为微扰项的方差；
8)重复步骤3)～步骤7)；否则，将步骤3)与步骤5)中星敏感器标定结果的平均值(X++X-)/2输出作为星敏感器内参数标定值而退出循环。
2.根据权利要求1所述的直接观星的星敏感器内参数标定方法，其特征在于，步骤1)中，所述星敏感器内参数标定系统模型表达式如下：
<mrow> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>R</mi> <mn>12</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>R</mi> <mn>13</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>G</mi> <mn>12</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>G</mi> <mn>12</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>G</mi> <mn>12</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>f</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> 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其中，ΔX＝[Δx0,Δy0,Δf,Δq1,Δq2,Δq3,Δp1,Δp2]为估计值的误差；q1，q2，q3为径向畸变系数，p1，p2为切向畸变系数；(x0,y0)为图像敏感器的主点位置，f为星敏感器光学系统的焦距。
3.根据权利要求1所述的直接观星的星敏感器内参数标定方法，其特征在于，采用所述标定系统模型计算得到标定参数的具体过程包括：
1)确定星敏感器的姿态方程：W＝A·V；其中，A为姿态矩阵，W为观测矢量和，V为参考矢量；；(α,δ)为赤经、赤纬，(x,y)为星点坐标位置提取结果，(x0,y0)为图像敏感器的主点位置，f为透镜组的等效焦距长度，(dx,dy)为光学系统畸变；采用3阶径向畸变和2阶切向畸变的畸变模型，q1，q2，q3为径向畸变系数，p1，p2为切向畸变系数：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mi>r</mi> <mn>4</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mi>r</mi> <mn>6</mn> </msup> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msup> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>d</mi> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mi>r</mi> <mn>4</mn> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>3</mn> </msub> <msup> <mi>r</mi> <mn>6</mn> </msup> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>(</mo> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msup> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> </mrow>
为星点位置到主点距离在x方向的长度，为星点位置到主点距离在y方向的长度，r为星点位置到主点的距离；
2)设像面上星点i与j所对应的观测矢量分别为Wi和Wj，参考矢量为Vi和Vj，则：
<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>W</mi> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>W</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>dx</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>dx</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>dy</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>dy</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mrow> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>dx</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>dx</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>dx</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>dy</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>f</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>
Gij即为待标定参数X＝[x0,y0,f,q1,q2,q3,p1,p2]的函数表达式；
3)设ΔX＝[Δx0,Δy0,Δf,Δq1,Δq2,Δq3,Δp1,Δp2]为估计值的误差，将步骤2)的公式线性化，得到：
<mrow> <msubsup> <mi>V</mi> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>V</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>W</mi> <mi>i</mi> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mi>W</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>f</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>q</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>G</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>X</mi> </mrow>
令Rij＝Vi TVj-Gij(X)；
4)将Rij＝Vi TVj-Gij(X)拓展为下式：
<mrow> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>R</mi> <mn>12</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>R</mi> <mn>13</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>G</mi> <mn>12</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>G</mi> <mn>12</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>G</mi> <mn>12</mn> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>f</mi> </mrow> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> 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5)将步骤4)的公式表示为：R＝H·ΔX；将星敏感器内参数的标称值设为X的初始值，用最小二乘法求得ΔX的值，将其补偿X的初始值Xk，并用Xk+1更新表示：Xk+1＝Xk+ΔX；
6)将Xk+1代入步骤2)的公式中，重复步骤3)～步骤5)，当|ΔX|＜ε时，结束，并将最终得到的Xk+1做为标定参数；ε为待标定参数变化的阈值。
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