CN104655153A - 基于矩阵正交性的测绘相机内方位元素标定方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于矩阵正交性的测绘相机内方位元素标定方法，包括下述步骤：将待标定相机固定在转台上，其中转台只是改变拍照角度，其精度对标定结果不产生影响，对通过平行光管、含有不小于3个已知坐标星点的星点板进行成像；转动转台，在待标定相机的视场范围内，让待标定的相机以多个不同的角度对星点板成像；获取星点在各张相片中的坐标值；根据星点板中星点的坐标值及上一步骤的数据，根据旋转矩阵的正交性，求解相机的内方位元素；求解畸变系数。本发明根据旋转矩阵的正交性求解内方位元素，不需要记录拍照时转台的角度值，从而避免了昂贵的高精度转台的制作，同时消除了转台精度对标定结果的影响。

Description

基于矩阵正交性的测绘相机内方位元素标定方法

技术领域

本发明属于航空测绘技术领域，特别是涉及一种基于矩阵正交性的测绘相机内方位元素标定方法。

背景技术

为了使获取图像的信息正确描述空间物点，测绘相机在使用前必须进行精密标定和校正，特别是用于精密测量的相机，光学畸变的大小对测量精度具有决定性的意义，精确标定测绘相机主点、主距等内方位元素是实现高精度测绘的一个必要条件。

目前的测绘相机实验室内内方位元素一般采用精密测角法进行标定，实现这种方法的装置包括标准光源1、光管支架2、平行光管3、测绘相机4、相机支架5、精密转台6、隔振平台7，如图5所示，装置中平行光管3使用具有单个星点孔的星点板，用于模拟单个无穷远目标。该方法对试验条件要求苛刻，需要高精度的两轴或者单轴精密转台，转台的精度直接影响最终的标定结果，同时该标定方法需要较多的测点数目，工作量较大，标定过程相机需要进行多次拍照，每次拍照都要进行一次角度测量和位置坐标读取，工作量较大。

发明内容

本发明要解决现有技术中的技术问题，提供一种基于矩阵正交性的测绘相机内方位元素标定方法。

为了解决上述技术问题，本发明的技术方案具体如下：

一种基于矩阵正交性的测绘相机内方位元素标定方法，包括下述步骤：

1)将待标定相机固定在转台上，其中转台只是改变拍照角度，其精度对标定结果不产生影响，对通过平行光管、含有不小于3个已知坐标星点的星点板进行成像；

2)转动转台，在待标定相机的视场范围内，让待标定的相机以多个不同的角度对星点板成像；

3)获取星点在各张相片中的坐标值；

4)根据星点板中星点的坐标值及步骤3)的数据，根据旋转矩阵的正交性，求解相机的内方位元素；

5)求解畸变系数。

上述技术方案中，所述步骤4)具体为：

令R为关于三个姿态角的3×3旋转变换矩阵，为正交矩阵，记R＝[r₁ r₂ r₃]，则：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_i\·r_j=0\\ r_i\·r_i=r_j\·r_j\end{array}\right.(i\≠j)---\left(1\right)$

根据式(9)，可得：

$\left\{\begin{array}{c}{h}^{\mathrm{it}}\·C^{-T}\·C^{-1}\·h^j=0\\ h^{\mathrm{it}}\·C^{-T}\·C^{-1}\·h^{\mathrm{it}}=h^{\mathrm{jt}}\·C^{-T}\·C^{-1}\·h^{\mathrm{jt}}\end{array}\right.(i\≠j)---\left(2\right)$

式(10)中C^-t表示(C^-1)^t或(C^t)^-1；

令 $C_{{\mathrm{inv}}^2}=C^{-t}\·C^{-1},$ 则：

$C_{{\mathrm{inv}}^2}=\left[\begin{array}{ccc}1/{\mathrm{\α}}^2& 0& -u_0/{\mathrm{\α}}^2\\ 0& 1/{\mathrm{\β}}^2& -v_0/{\mathrm{\β}}^2\\ -u_0/{\mathrm{\α}}^2& -v_0/{\mathrm{\β}}^2& u_0/{\mathrm{\α}}^2+v_0/{\mathrm{\β}}^2+1\end{array}\right]={C_{{\mathrm{inv}}^2}}^t$

定义参数令值如下：

$c_{{\mathrm{inv}}^2}={\left[\begin{array}{cccccc}{C}_{{\mathrm{inv}}^{2}11}& C_{{\mathrm{inv}}^{2}12}& C_{{\mathrm{inv}}^{2}22}& C_{{\mathrm{inv}}^{2}13}& C_{{\mathrm{inv}}^{2}23}& C_{{\mathrm{inv}}^{2}33}\end{array}\right]}^T$

记h^iT＝[hⁱ¹ hⁱ² hⁱ³](i＝1,2,3)，式(10)可展开为：

$h^{\mathrm{iT}}\·M\·h^{\mathrm{jT}}=\left[\begin{array}{cccccc}{h}^{i1}{h}^{j1}& h^{i1}{h}^{j2}+h^{i2}{h}^{j1}& h^{i2}{h}^{j2}& h^{i3}{h}^{j1}+h^{i1}{h}^{j3}& h^{i3}{h}^{j2}+h^{i2}{h}^{j3}& h^{i3}{h}^{j3}\end{array}\right]\·c_{{\mathrm{inv}}^2}=0---\left(3\right)$

记V_ij＝[hⁱ¹h^j1 hⁱ¹h^j2+hⁱ²h^j1 hⁱ²h^j2 hⁱ³h^j1+hⁱ¹h^j3 hⁱ³h^j2+hⁱ²h^j3 hⁱ³h^j3]，式(11)可以变换为：

$\left[\begin{array}{c}{V}_{12}\\ V_{11}-V_{22}\end{array}\right]\·c_{{\mathrm{inv}}^2}=0---\left(4\right)$

当从N个角度拍摄同一幅标定物，那么可得到2N×6的矩阵V，当n≥2时，可以得到超定方程组，进而求的矩阵的4个内方位元素待求量如下式：

$u_0=-c_{{\mathrm{inv}}^{2}13}/c_{{\mathrm{inv}}^{2}11},v_0=-c_{{\mathrm{inv}}^{2}23}/c_{{\mathrm{inv}}^{2}22},f=\sqrt{\frac{c_{{\mathrm{inv}}^{2}33}+c_{{\mathrm{inv}}^{2}13}+c_{{\mathrm{inv}}^{2}23}}{c_{{\mathrm{inv}}^{2}11}}}\·\mathrm{dx}.$

上述技术方案中，所述步骤5)具体为：

设物点M的像点m在像平面坐标系中理想坐标为(u_x，u_y)，考虑畸变时实际坐标为(u_xd，u_yd)，则：

u_x＝u_xd(1+k₁r²+k₂r⁴)   (5)

u_y＝u_yd(1+k₁r²+k₂r⁴)

式(14)中k₁，k₂为径向畸变系数，r²＝x_d ²+y_d ²，x_d＝(u_xd-u₀)dx，,y_d ²＝(v_xd-v₀)dy；即：

$\left[\begin{array}{cc}(u_{\mathrm{xd}}-u_0)r^2& (u_{\mathrm{xd}}-u_0)r^4\\ (v_{\mathrm{yd}}-v_0)r^2& (v_{\mathrm{yd}}-v_0)r^4\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{u}_x-u_{\mathrm{xd}}\\ v_y-v_{\mathrm{yd}}\end{array}\right]---\left(6\right)$

如果相机对n个标定物拍摄了N幅像片，那么可得N·n个方程，利用最小二乘原理可以求得畸变系数k：

k＝(D^TD)^-1D^Td。

本发明的积极成果：

1、本发明根据旋转矩阵的正交性求解内方位元素，不需要记录拍照时转台的角度值，从而避免了昂贵的高精度转台的制作，同时消除了转台精度对标定结果的影响。

2、理论上两幅张片就可以求解所有内方位元素，工作量较少，标定过程简单。

附图说明

结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细说明。

图1是标定物点噪声与主点标定误差曲线示意图；

图2是标定物点噪声与主距标定误差曲线示意图；

图3是标定物像点噪声与主点标定误差曲线示意图；

图4是标定物像点噪声与主距标定误差曲线示意图；

图5是实现背景技术的测绘相机内方位元素标定方法的装置示意图。

图6是实现本发明的测绘相机内方位元素标定方法的装置示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做以详细说明。

如图6所示，实现本发明的测绘相机内方位元素标定方法的装置包括：标准光源1、光管支架2、平行光管3、待标定相机4、转台8以及隔振平台7。装置中平行光管3使用具有多个星点孔的星点板，用于模拟多个无穷远目标；转台8仅用于改变待标定相机4的拍照角度，其自身精度对最终标定结果不产生影响。

本发明的内方位元素高精度标定方法，具体包括如下步骤：

1)确定星点板n个星点的坐标M₁，M₂…M_n…

2)转动转台8，让相机在N个角度对通过平行光管的星点板中星点成像，记录各个角度成像时星点的像点坐标m_i1，m_i2…m_in…，下角标i表示第i次拍照。

3)拍照变换矩阵的求解

对测绘相机而言，星点的像点坐标和星点自身坐标符合如下成像模型：

sm_i＝C[R T]M_i   (7)

式(1)中R为关于三个姿态角的3×3旋转变换矩阵，为正交矩阵，记R＝[r₁ r₂ r₃]，M_i为对应的物方星点在物空间坐标系中坐标，m_i为物方星点的像点像平面坐标系中坐标，C为内方位元素矩阵，s为标量，代表摄影比例系数，式(1)中C可以表示为：

$C=\left[\begin{array}{ccc}f/\mathrm{dx}& 0& u_0\\ 0& f/\mathrm{dy}& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(8\right)$

则式(1)可以表述为sm＝HM，其中H＝C[R t]，由于s为标量，根据矢量积原理，可以得出式(3)成立：

m×(HM)＝0   (9)

当标定点均位于一个平面时，适当的选取物空间坐标系，可以使M_i的Z向坐标为零，此时可得：

$s{m}_i=C\left[\begin{array}{cccc}{r}_1& r_2& r_3& T\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{X}_i\\ Y_i\\ 0\\ 1\end{array}\right)=C\left[\begin{array}{ccc}{r}_1& r_2& T\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{X}_i\\ Y_i\\ 1\end{array}\right)---\left(10\right)$

此时：H＝C[R t]＝C[r1 r2 T]＝[h^1t h^2t h^3t]^t。

可得：

$\mathrm{HM}=\left[\begin{array}{c}{h}^{1T}\·M\\ h^{2T}\·M\\ h^{3T}\·M\end{array}\right]---\left(11\right)$

带入式(3)可得：

$m\×\left(\mathrm{HM}\right)=\left(\begin{array}{c}v{h}^{3T}\·M-h^{2T}\·M\\ h^{1T}\·M-u{h}^{3T}\·M\\ u{h}^{2T}\·M-v{h}^{1T}\·M\end{array}\right)=0---\left(12\right)$

注意到h^jT·M＝M^T·h^j(j＝1,2,3)，则式(6)可转化为：

$\left[\begin{array}{ccc}{0}^T& -M^T& v{M}^T\\ -M^T& 0^T& u{M}^T\\ -v{M}^T& u{M}^T& 0^T\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{h}^1\\ h^2\\ h^3\end{array}\right)=0---\left(13\right)$

定义系数矩阵A

$A=\left[\begin{array}{ccc}{0}^T& -M^T& v{M}^T\\ M^T& 0^T& -u{M}^T\\ -v{M}^T& u{M}^T& 0^T\end{array}\right]$

值得注意的是，系数矩阵A的第三式可由第一式及第二式得到，所以式(7)实际上只有两个独立等式，即：

$\left[\begin{array}{ccc}{0}^T& -M^T& v{M}^T\\ M^T& 0^T& -u{M}^T\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{h}^1\\ h^2\\ h^3\end{array}\right)=0---\left(14\right)$

对于含有n个标定点的像片，系数矩阵A为已知的、且仅含有物点及像点坐标的矩阵。进而可求解出矩阵H。

4)根据旋转矩阵求解内方位元素

R为关于三个姿态角的3×3旋转变换矩阵，为正交矩阵，记R＝[r₁ r₂ r₃]，则：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_i\·r_j=0\\ r_i\·r_i=r_j\·r_j\end{array}\right.(i\≠j)---\left(15\right)$

根据式(9)，可得：

$\left\{\begin{array}{c}{h}^{\mathrm{it}}\·C^{-T}\·C^{-1}\·h^j=0\\ h^{\mathrm{it}}\·C^{-T}\·C^{-1}\·h^{\mathrm{it}}=h^{\mathrm{jt}}\·C^{-T}\·C^{-1}\·h^{\mathrm{jt}}\end{array}\right.(i\≠j)---\left(16\right)$

式(10)中C^-t表示(C^-1)^t或(C^t)^-1。

令 $C_{{\mathrm{inv}}^2}=C^{-t}\·C^{-1},$ 则：

$C_{{\mathrm{inv}}^2}=\left[\begin{array}{ccc}1/{\mathrm{\α}}^2& 0& -u_0/{\mathrm{\α}}^2\\ 0& 1/{\mathrm{\β}}^2& -v_0/{\mathrm{\β}}^2\\ -u_0/{\mathrm{\α}}^2& -v_0/{\mathrm{\β}}^2& u_0/{\mathrm{\α}}^2+v_0/{\mathrm{\β}}^2+1\end{array}\right]={C_{{\mathrm{inv}}^2}}^t$

即是对称矩阵，定义参数令值如下：

$c_{{\mathrm{inv}}^2}={\left[\begin{array}{cccccc}{C}_{{\mathrm{inv}}^{2}11}& C_{{\mathrm{inv}}^{2}12}& C_{{\mathrm{inv}}^{2}22}& C_{{\mathrm{inv}}^{2}13}& C_{{\mathrm{inv}}^{2}23}& C_{{\mathrm{inv}}^{2}33}\end{array}\right]}^T$

记h^iT＝[hⁱ¹ hⁱ² hⁱ³](i＝1,2,3)，式(10)可展开为：

$h^{\mathrm{iT}}\·M\·h^{\mathrm{jT}}=\left[\begin{array}{cccccc}{h}^{i1}{h}^{j1}& h^{i1}{h}^{j2}+h^{i2}{h}^{j1}& h^{i2}{h}^{j2}& h^{i3}{h}^{j1}+h^{i1}{h}^{j3}& h^{i3}{h}^{j2}+h^{i2}{h}^{j3}& h^{i3}{h}^{j3}\end{array}\right]\·c_{{\mathrm{inv}}^2}=0---\left(17\right)$

记V_ij＝[hⁱ¹h^j1 hⁱ¹h^j2+hⁱ²h^j1 hⁱ²h^j2 hⁱ³h^j1+hⁱ¹h^j3 hⁱ³h^j2+hⁱ²h^j3 hⁱ³h^j3]，式(11)可以变换为：

$\left[\begin{array}{c}{V}_{12}\\ V_{11}-V_{22}\end{array}\right]\·c_{{\mathrm{inv}}^2}=0---\left(18\right)$

简写为当从N个角度拍摄同一幅标定物，那么可得到2N×6的矩阵V，当n≥2时，可以得到超定方程组，进而求的矩阵的4个内方位元素待求量如下：

$u_0=-c_{{\mathrm{inv}}^{2}13}/c_{{\mathrm{inv}}^{2}11},v_0=-c_{{\mathrm{inv}}^{2}23}/c_{{\mathrm{inv}}^{2}22},f=\sqrt{\frac{c_{{\mathrm{inv}}^{2}33}+c_{{\mathrm{inv}}^{2}13}+c_{{\mathrm{inv}}^{2}23}}{c_{{\mathrm{inv}}^{2}11}}}\·\mathrm{dx}---\left(19\right)$

3畸变系数的求解

相机镜头的畸变有径向畸变、偏心畸变、薄棱镜畸变等，其中径向畸变占据主要因素，研究文献表明，考虑到过多的因素的畸变模型不但对于提高精度没有帮助，而且还可能导致求解的不稳定性，这里只考虑径向畸变。

设物点M的像点m在像平面坐标系中理想坐标为(u_x，u_y)，考虑畸变时实际坐标为(u_xd，u_yd)，则：

u_x＝u_xd(1+k₁r²+k₂r⁴)   (20)

u_y＝u_yd(1+k₁r²+k₂r⁴)

式(14)中k₁，k₂为径向畸变系数，r²＝x_d ²+y_d ²，x_d＝(u_xd-u₀)dx，,y_d ²＝(v_xd-v₀)dy。即：

$\left[\begin{array}{cc}(u_{\mathrm{xd}}-u_0)r^2& (u_{\mathrm{xd}}-u_0)r^4\\ (v_{\mathrm{yd}}-v_0)r^2& (v_{\mathrm{yd}}-v_0)r^4\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{u}_x-u_{\mathrm{xd}}\\ v_y-v_{\mathrm{yd}}\end{array}\right]---\left(21\right)$

简写为：D·k＝d

如果相机对n个标定物拍摄了N幅像片，那么可得N·n个方程，利用最小二乘原理可以求得：

k＝(D^TD)^-1D^Td   (22)

4算法精度分析

应用Monte Carlo算法计算算法精度。影响算法精度的因素主要包括物点坐标量测误差、像点坐标提取误差两个部分，根据实验室内标定设备条件，分别确定上述两种误差的分布情况和参数特征值，生成随机数列，如表1所示。然后根据实验条件及测绘相机的设计特征，确定一组工作参数名义值，包括主点、主距、畸变、拍照方位、标定点坐标等，然后将上述数据带入标定模型，计算实际的算法精度。

仿真过程中工作参数名义值如下：标定物设定为12个标定点，拍照方位设定为等间隔10个角度，内方位元素参数值根据测绘相机设计特征确定，共获取10张仿真相片。为了考察物点坐标量测误差与标定精度的关系，12个标定点分别加入从0.001mm至0.005mm的高斯噪声，每个噪声值均进行100次独立试验，得到标定精度如图1、图2所示。

由图1、图2可以看出，主点、主距的标定精度大致与标定物点精度成线性关系，提高标定物的测量精度可以提高内方位元素的标定精度。

采用相同的方法，120个像点坐标加入噪声，得到像点坐标提取误差与标定精度的关系如图2所示。

根据文献，采用灰度内插细分算法，像点坐标的提取精度可以达到二十分之一像元，相机探测器尺寸为7μm，时，像点坐标提取精度为0.35μm，根据图3、图4，此时主点、主距标定精度分别可为2.2μm和3.82μm。

综合考虑物点、像点提出噪声对算法精度的影响，根据现有实验设备条件，对上述12个标定点数据及120个像点数据加入表1所示的噪声，应用MonteCarlo算法进行100次独立仿真试验，统计计算结果如表2所示。

表1算法精度的影响因素及参数特征值

Tab.1Definitions and values of error items

表2精度仿真结果

The simulation Result

显然，上述实施例仅仅是为清楚地说明所作的举例，而并非对实施方式的限定。对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。这里无需也无法对所有的实施方式予以穷举。而由此所引伸出的显而易见的变化或变动仍处于本发明创造的保护范围之中。

Claims (3)

1.一种基于矩阵正交性的测绘相机内方位元素标定方法，其特征在于，包括下述步骤：

1)将待标定相机固定在转台上，其中转台只是改变拍照角度，其精度对标定结果不产生影响，对通过平行光管、含有不小于3个已知坐标星点的星点板进行成像；

2)转动转台，在待标定相机的视场范围内，让待标定的相机以多个不同的角度对星点板成像；

3)获取星点在各张相片中的坐标值；

4)根据星点板中星点的坐标值及步骤3)的数据，根据旋转矩阵的正交性，求解相机的内方位元素；

5)求解畸变系数。

2.根据权利要求1所述的基于矩阵正交性的测绘相机内方位元素标定方法，其特征在于，所述步骤4)具体为：

令R为关于三个姿态角的3×3旋转变换矩阵，为正交矩阵，记 $R=\left[\begin{array}{ccc}{r}_1& r_2& r_3\end{array}\right],$ 则：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_i\·r_j=0\\ r_i\·r_i=r_j\·r_j\end{array}\right.,(i\≠j)---\left(1\right)$

根据式(9)，可得：

$\left\{\begin{array}{c}{h}^{\mathrm{it}}\·C^{-T}\·C^{-1}\·h^j=0\\ h^{\mathrm{it}}\·C^{-T}\·C^{-1}\·h^{\mathrm{it}}=h^{\mathrm{jt}}\·C^{-T}\·C^{-1}\·h^{\mathrm{jt}}\end{array}\right.,(i\≠j)---\left(2\right)$

式(10)中C^-t表示(C^-1)^t或(C^t)^-1；

令 $C_{{\mathrm{inv}}^2}=C^{-t}\·C^{-1},$ 则：

$C_{{\mathrm{inv}}^2}=\left[\begin{array}{ccc}1/{\mathrm{\α}}^2& 0& -u_0/{\mathrm{\α}}^2\\ 0& 1/{\mathrm{\β}}^2& -v_0/{\mathrm{\β}}^2\\ -u_0/{\mathrm{\α}}^2& -v_0/{\mathrm{\β}}^2& u_0/{\mathrm{\α}}^2+v_0/{\mathrm{\β}}^2+1\end{array}\right]={C_{{\mathrm{inv}}^2}}^t$

定义参数令值如下：

$c_{{\mathrm{inv}}^2}={\left[\begin{array}{cccccc}{C}_{{\mathrm{inv}}^{2_{11}}}& C_{{\mathrm{inv}}^{2_{12}}}& C_{{\mathrm{inv}}^{2_{22}}}& C_{{\mathrm{inv}}^{2_{13}}}& C_{{\mathrm{inv}}^{2_{23}}}& C_{{\mathrm{inv}}^{2_{33}}}\end{array}\right]}^T$

记h^iT＝[hⁱ¹ hⁱ² hⁱ³](i＝1,2,3)，式(10)可展开为：

$h^{\mathrm{iT}}\·M\·h^{\mathrm{jT}}=\left[\begin{array}{cccccc}{h}^{i1}{h}^{j1}& h^{i1}{h}^{j2}+h^{i2}{h}^{j1}& h^{i2}{h}^{j2}& h^{i3}{h}^{j1}+h^{i1}{h}^{j3}& h^{i3}{h}^{j2}+h^{i2}{h}^{j3}& h^{i3}{h}^{j3}\end{array}\right]\·c_{{\mathrm{inv}}^2}=0---\left(3\right)$

记V_ij＝[hⁱ¹h^j1 hⁱ¹h^j2+hⁱ²h^j1 hⁱ²h^j2 hⁱ³h^j1+hⁱ¹h^j3 hⁱ³h^j2+hⁱ²h^j3 hⁱ³h^j3]，式(11)可以变换为：

$\left[\begin{array}{c}{V}_{12}\\ V_{11}-V_{22}\end{array}\right]\·c_{{\mathrm{inv}}^2}=0---\left(4\right)$

当从N个角度拍摄同一幅标定物，那么可得到2N×6的矩阵V，当n≥2时，可以得到超定方程组，进而求的矩阵的4个内方位元素待求量如下式：

$u_0=-c_{{\mathrm{inv}}^{2_{13}}}/c_{{\mathrm{inv}}^{2_{11}}},v_0=-c_{{\mathrm{inv}}^{2_{23}}}/c_{{\mathrm{inv}}^{2_{22}}},f=\sqrt{\frac{c_{{\mathrm{inv}}^{2_{33}}}+c_{{\mathrm{inv}}^{2_{13}}}+c_{{\mathrm{inv}}^{2_{23}}}}{c_{{\mathrm{inv}}^{2_{11}}}}}\·\mathrm{dx}.$

3.根据权利要求1所述的基于矩阵正交性的测绘相机内方位元素标定方法，其特征在于，所述步骤5)具体为：

设物点M的像点m在像平面坐标系中理想坐标为(u_x，u_y)，考虑畸变时实际坐标为(u_xd，u_yd)，则：

u_x＝u_xd(1+k₁r²+k₂r⁴)               (5)

u_y＝u_yd(1+k₁r²+k₂r⁴)

式(14)中k₁，k₂为径向畸变系数，r²＝x_d ²+y_d ²，x_d＝(u_xd-u₀)dx，,y_d ²＝(v_xd-v₀)dy；即：

$\left[\begin{array}{cc}(u_{\mathrm{xd}}-u_0)r^2& (u_{\mathrm{xd}}-u_0)r^4\\ (v_{\mathrm{yd}}-v_0)r^2& (v_{\mathrm{yd}}-v_0)r^4\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{u}_x-u_{\mathrm{xd}}\\ v_y-v_{\mathrm{yd}}\end{array}\right]---\left(6\right)$

如果相机对n个标定物拍摄了N幅像片，那么可得N·n个方程，利用最小二乘原理可以求得畸变系数k：

k＝(D^TD)^-1D^Td。