CN107992682A - 一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲转移方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开的一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲转移方法，属于航空航天技术领域。首先在日地质心旋转系下建立探测器动力学方程，即高精度动力学模型。根据任务约束选定目标小行星并给出探测器在日地质心旋转坐标系下的初始状态，采用扰动法获得探测器单脉冲小行星飞越轨道；利用优化算法得到飞越距离最小的单脉冲小行星飞越转移轨道；基于主矢量理论，进行多脉冲转移轨道设计，得到满足主矢量条件的最优多脉冲转移轨道；将得到的最优多脉冲转移轨道，带入高精度动力学模型递推，利用多级并行微分修正方法对转移轨道进行修正，实现多天体强扰动非线性环境下小行星探测的精确轨道转移。本发明具有速度增量小、适用性好、收敛性好的优点。

Description

一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲转移方法
技术领域
本发明涉及一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲转移方法，尤其涉及一种适用于非自治系统多约束条件下的日地平动点小行星探测最优多脉冲轨道转移方法，属于航空航天技术领域。
背景技术
从三体系统平动点附近轨道如日地L2点Lissajous轨道向目标天体的转移轨道设计，通常采用搜索平动点轨道不稳定流形管与目标天体轨道的交点来实现。然而在真实条件下，探测器受到多体引力扰动作用和轨道偏心率影响，动力学环境与理想的圆形限制性三体系统(自治系统)差异巨大，非线性强，运动扰动敏感且存在混沌现象。因此基于三体系统不变流形设计的小行星转移轨道在真实环境下发散，无法满足任务要求。
针对此类从日地L2点Lissajous轨道向小天体转移的轨道设计问题，前人进行了如下研究。在已发展的关于日地平动点小行星探测轨道设计方法中在先技术[1](参见WangY M,Qiao D,Cui P Y.Trajectory design for the transfer from the Lissajousorbit of Sun-Earth system to asteroids.ICMAE 2013,July 20-21,2013,Moscow,Russia)提出了一种基于扰动的小行星飞越轨道设计方法。该方法利用平动点附近轨道不稳定的特性，在其不稳定特征矢量方向施加小扰动，通过优化扰动量大小，来获得对目标小行星的最小距离飞越高度。该方法仅采用单次脉冲，无法保证轨道的能量最优性。
在先技术[2](参见Gao Y.Near-Earth asteroid flyby trajectories from theSun-Earth L2for Chang’E-2’s extended flight.Acta Mechanica Sinica,2013,29(1):123-131)结合改进的不变流形与全局优化算法，获得了两脉冲的飞越轨道。该方法同样在探测器初始轨道——日地L2点Lissajous轨道不稳定特征矢量方向施加第一次脉冲，优化施加第一次脉冲的大小，第二次脉冲的时间和飞越小行星的时间。通过求解两点边值问题，获得所给约束条件下的全局最优转移方案。然而通过全局优化方法得到第二次机动可能并不是最优的结果，存在进一步优化的空间。
发明内容
本发明公开的一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲转移方法要解决的技术问题是，实现多天体强扰动非线性环境下探测器从日地L2点Lissajous轨道至目标小行星的最优多脉冲轨道转移，并为得到速度增量更小的小行星飞越轨道提供依据。本发明具有如下优点：(1)速度增量小，采用主矢量方法对转移轨道最优性进行判断，能够得到能量最优的多脉冲转移轨道；(2)适用性好，能够针对不同的探测器目标和不同的出发时间进行优化设计，适用于复杂任务约束的轨道转移问题；(3)收敛性好，利用多级并行微分修正对轨道在真实星历下进行修正，保证轨道在强扰动非线性动力学环境下的收敛性。
本发明的目的是通过下述技术方案实现的。
本发明公开的一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲转移方法，首先在日地质心旋转系下建立探测器动力学方程，即高精度动力学模型。根据任务约束选定目标小行星并给出探测器在日地质心旋转坐标系下的初始状态，采用扰动法获得探测器单脉冲小行星飞越轨道。利用优化算法得到飞越距离最小的单脉冲小行星飞越转移轨道。基于主矢量理论，进行多脉冲转移轨道设计，得到满足主矢量条件的最优多脉冲转移轨道。将得到的最优多脉冲转移轨道，带入高精度动力学模型递推，利用多级并行微分修正方法对转移轨道进行修正，实现多天体强扰动非线性环境下小行星探测的精确转移轨道。
本发明公开的一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲轨道转移方法，包括如下步骤：
步骤一：在日地质心旋转系下建立探测器动力学模型。
探测器在日地L2点Lissajous轨道运行所处的动力学环境包括各天体摄动及太阳光压摄动，在日地动力学模型下进行建模，采用日地质心旋转坐标系，探测器的运动方程为：
方程(1)即为高精度动力学模型。
其中：
其中：XYZ和分别表示探测器在日地质心旋转系下的位置坐标和速度坐标；aSRP,aThree分别表示太阳光压和其他天体的摄动加速度，μ表示无量纲化后的天体引力常数，使用参数表示质量较小的天体，如因此两个大天体的质量分别为：
步骤二：根据任务约束选择目标小行星并给出探测器在日地质心旋转坐标系下的初始状态，采用扰动法获得探测器单脉冲小行星飞越轨道。
首先在考虑任务约束的情况下，选择目标小行星。然后探测器在某一选定的初始时刻从日地L2点Lissajous轨道出发，奔向目标小行星，其在该初始时刻相对于日地质心旋转坐标系的初始状态为其中R0＝[X0 Y0 Z0]，分别表示探测器对应初始时刻在日地质心旋转坐标系下的初始位置矢量和初始速度矢量。该日地平动点轨道为真实动力学环境下的实际轨道，具有星历约束。
将初始状态向前递推一个周期，得到另外一个Rn中的向量Φ(T+t0)x0，确定单值矩阵单值矩阵的特征值对应的特征向量记为ν。选择Φ(T)的不稳定特征向量νu方向作为施加扰动量方向，则扰动速度矢量ΔV1写为：
其中表示单位向量，为不稳定特征向量速度分量的矢量方向，λ为速度扰动量大小。
定义从Lissajous轨道的分离变轨时刻为t0，则探测器受到扰动后的轨道状态为x0＝[R0 V0+ΔV1]，在星历模型下积分即得到一条单脉冲小行星飞越转移轨道。
步骤三：利用优化算法得到飞越距离最小的单脉冲小行星飞越转移轨道。
根据步骤二中得到的单脉冲小行星飞越转移轨道结果，首先定义目标函数df，即转移轨道距目标小行星的最小距离定义优化变量λ，即初始扰动量大小；然后求解该优化模型得最优速度扰动量λ*、最小距离以及飞越小行星时刻tf。最后得到飞越距离最小的单脉冲小行星飞越转移轨道。
步骤三所述的优化算法优选微分进化算法。
步骤四：基于主矢量理论，进行多脉冲转移轨道设计，得到满足主矢量条件的最优多脉冲转移轨道。
考虑脉冲推力Γ的情况下，探测器在引力场中的运动方程描述为：
其中：变量Γ是推力加速度，其大小的范围为(0≤Γ≤Γmax)，u是单位推力方向矢量，J是需要最小化的特征速度。方程(5)描述了在引力加速度g(r)和控制变量Γ和u的作用下，探测器的状态矢量x＝[R V J]的变化。对于大脉冲而言，推力近似为无穷大，即Γmax→∞。脉冲推力Γ的求解要求确定脉冲推力的时间、位置和方向。所得的脉冲推力Γ应该满足轨道转移、入轨或交会的条件。
在给定时间段t0＜t＜tf内，求解燃料最省轨道转移问题，即寻找使得性能指标函数J最小，并且满足运动方程和边界条件的解。
由方程(5)可得到相应的哈密尔顿函数：
H＝λrv+λv(g+Γu)+λJΓ (6)
相应的协状态方程为：
其中：G(r)是引力梯度矩阵。λr和λν的边界条件取决于终端状态的约束r(tf)和v(tf)，但因为特征速度v是无约束的，所以特征速度v的协状态变量为常数。
λJ(t)＝-1 (8)
要使哈密尔顿函数最大，则要求λvu最大，即推力矢量方向应该和速度的协状态λv方向一致。将速度的协状态定义为主矢量。主矢量表示为p，与最优脉冲方向一致。考虑协状态方程(9)，则哈密尔顿函数(6)表示为：
根据主矢量理论，最优脉冲转移的必要条件为在转移过程中|p|≤1，在施加脉冲时|p|＝1；
主矢量的递推满足状态转移矩阵，即：
在任何两脉冲轨道中，主矢量满足如下的边界条件：
p(t0)＝p0＝Δv0/|Δv0|,p(tf)＝pf＝Δvf/|Δvf| (12)
其中：Δv0和Δvf是初始和末端的脉冲速度。主矢量偏导数的初值可以式(11)推导得出，即
根据步骤三得到的最优单脉冲小行星飞越转移轨道，由式(11)～(13)得到主矢量的变化历程，即
判断转移轨道的主矢量的历程，如果在初始时刻和末端时刻之间的|p(t)|大于单位1，则该单脉冲转移轨道不是最优的解，在|p(t)|最大时对应的时刻tm增加额外脉冲矢量，此时有：
δrm＝cA-1pm/|pm| (15)
求解两个兰伯特问题：a)从初始位置到rm+δrm，所用转移时间为tm-t0；b)从rm+δrm到给定的末端点，所用转移时间为tf-tm。通过多次迭代调整中间脉冲的位置rm和时间tm使得总的速度增量最小。优化的梯度函数为：
其中：+和-分别表示增加脉冲的前后。
检查所收敛轨道的主矢量的历程，如果满足必要条件，则迭代结束；如果不满足则需要增加脉冲推力Γ并且再次迭代计算。最终得到满足主矢量条件的最优多脉冲转移轨道。
步骤五：将步骤四得到的最优多脉冲转移轨道，带入步骤一所示的高精度探测器动力学模型递推，利用多级并行微分修正方法对转移轨道进行修正，实现多天体强扰动非线性环境下小行星探测的精确轨道转移。
将由步骤四得到的最优多脉冲转移轨道分成若干段，固定初始点和末端点以及各脉冲机动点，带入公式(1)所示的高精度动力学模型递推，利用多级并行微分修正方法对轨道进行修正，实现多天体强扰动非线性环境下小行星探测的精确轨道转移。
有益效果：
1、本发明公开的一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲转移方法，采用主矢量方法对转移轨道最优性进行判断，转移轨道速度增量小，能够得到能量最优的多脉冲转移轨道。
2、本发明公开的一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲转移方法，由于采用优化算法以及主矢量理论，能够针对不同的探测器目标和不同的出发时间进行优化，适用于复杂任务约束的轨道转移问题，适用范围广。
3、本发明公开的一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲转移方法，利用多级并行微分修正对轨道在真实星历下进行修正，保证轨道在强扰动非线性动力学环境下的收敛性，收敛性好。
4、本发明公开的一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲转移方法，以单脉冲飞越轨道为初值并基于主矢量理论，对最优多脉冲转移轨道进行设计，利用多级并行微分修正在真实星历下对最优轨道进行修正，适用于非自治系统下的日地平动点小行星探测最优多脉冲轨道转移问题，能够实现非一致和强耦合约束的满足和匹配，实现多天体强扰动非线性环境下小行星探测的精确轨道转移。
附图说明
图1是本发明的一种行星际多体系统小行星探测最优多脉转移方法方案流程示意图。
图2是本发明的一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲转移方法日地质心旋转坐标系的示意图。
图3是本发明的一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲转移方法实施例1中单脉冲转移与转移时间的对应关系图。
图4是本发明的一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲转移方法实施例1中最优多脉冲优化主矢量历程。
图5是本发明的一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲转移方法实施例1中精确多脉冲小行星飞越轨道示意图。
具体实施方式
为了更好地说明本发明的目的和优点，下面通过对一个日地平动点小行星探测多脉冲轨道优化设计问题进行仿真分析，对本发明做出详细解释。
实施例1：
如图1所示，本实施例公开的一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲转移方法，具体实现步骤如下：
步骤一：在日地质心旋转系下建立探测器动力学模型。
探测器在日地L2点Lissajous轨道运行所处的动力学环境包括各天体摄动及太阳光压摄动，在日地动力学模型下进行建模，采用日地质心旋转坐标系，如图2所示，探测器的运动方程为：
方程(1)即为高精度动力学模型。
其中：
其中：XYZ和分别表示探测器在日地质心旋转系下的位置坐标和速度坐标；aSRP,aThree分别表示太阳光压和其他天体的摄动加速度，μ表示无量纲化后的天体引力常数，使用参数表示质量较小的天体，如因此两个大天体的质量分别为：
步骤二：根据任务约束选择目标小行星并给出探测器在日地质心旋转坐标系下的初始状态，采用扰动法获得探测器单脉冲小行星飞越轨道。
首先在考虑任务约束的情况下，选择目标小行星。然后探测器在某一选定的初始时刻从日地L2点Lissajous轨道出发，奔向目标小行星，其在该初始时刻相对于日地质心旋转坐标系的初始状态为其中R0＝[X0 Y0 Z0]，分别表示探测器对应初始时刻在日地质心旋转坐标系下的初始位置矢量和初始速度矢量。该日地平动点轨道为真实动力学环境下的实际轨道，具有星历约束。
将初始状态向前递推一个周期，得到另外一个Rn中的向量Φ(T+t0)x0，确定单值矩阵单值矩阵的特征值对应的特征向量记为ν。选择Φ(T)的不稳定特征向量νu方向作为施加扰动量方向，则扰动速度矢量ΔV1写为：
其中表示单位向量，为不稳定特征向量速度分量的矢量方向，λ为速度扰动量大小。
定义从Lissajous轨道的分离变轨时刻为t0，则探测器受到扰动后的轨道状态为x0＝[R0 V0+ΔV1]，在星历模型下积分即得到一条单脉冲小行星飞越转移轨道。
选择目标小行星为Toutatis(4179)小行星。选择探测器在初始时刻t0(2012年3月31日4时)，相对于日地质心旋转坐标系下的初始位置和初始速度分别为R0＝[14.4237 -4.5103 -2.5407]×105km和V0＝[-0.110097 0.138622 -0.040048]km/s。转移日期从2012年5月起，选择不同的转移时间，优化最优速度增量，单脉冲转移与转移时间的对应关系如图3所示。在2012年5～9月之间，存在两个连续的转移机会，按转移轨道所需飞行时间的长短可以划分为两个部分：飞行时间介于165～211天的慢转移轨道；飞行时间介于110～131天的快转移轨道。慢转移轨道的转移日期范围为2012年5月15日～2012年6月30日，转移所需脉冲大小的范围为91.8～193.7m/s；快转移轨道的转移日期范围为2012年8月4日～2012年9月3日，转移所需速度脉冲大小的范围为167.8～230.5m/s。
步骤三：利用优化算法得到飞越距离最小的单脉冲小行星飞越转移轨道。
根据步骤二中得到的单脉冲小行星飞越转移轨道结果，首先定义目标函数df，即转移轨道距目标小行星的最小距离；定义优化变量λ，即初始扰动量大小；然后求解该优化模型得最优速度扰动量λ*，最小距离以及飞越小行星时刻tf。最后得到飞越距离最小的单脉冲小行星飞越转移轨道，如图5中实线所示。
步骤三所述的优化算法选用微分进化算法。
步骤四：基于主矢量理论，进行多脉冲转移轨道设计，得到满足主矢量条件的最优多脉冲转移轨道。
考虑脉冲推力Γ的情况下，探测器在引力场中的运动方程描述为：
其中：变量Γ是推力加速度，其大小的范围为(0≤Γ≤Γmax)，u是单位推力方向矢量，J是需要最小化的特征速度。方程(5)描述了在引力加速度g(r)和控制变量Γ和u的作用下，探测器的状态矢量x＝[R V J]的变化。对于大脉冲而言，推力近似为无穷大，即Γmax→∞。脉冲推力Γ的求解要求确定脉冲推力的时间、位置和方向。所得的脉冲推力Γ应该满足轨道转移、入轨或交会的条件。
在给定时间段t0＜t＜tf内，求解燃料最省轨道转移问题，即寻找使得性能指标函数J最小，并且满足运动方程和边界条件的解。
由方程(5)可得到相应的哈密尔顿函数：
H＝λrv+λv(g+Γu)+λJΓ (6)
相应的协状态方程为：
其中：G(r)是引力梯度矩阵。λr和λν的边界条件取决于终端状态的约束r(tf)和v(tf)，但因为特征速度v是无约束的，所以特征速度v的协状态变量为常数。
λJ(t)＝-1 (8)
要使哈密尔顿函数最大，则要求λvu最大，即推力矢量方向应该和速度的协状态λv方向一致。将速度的协状态定义为主矢量。主矢量表示为p，与最优脉冲方向一致。考虑协状态方程(9)，则哈密尔顿函数(6)表示为：
根据主矢量理论，最优脉冲转移的必要条件为在转移过程中|p|≤1，在施加脉冲时|p|＝1；
主矢量的递推满足状态转移矩阵，即：
在任何两脉冲轨道中，主矢量满足如下的边界条件：
p(t0)＝p0＝Δv0/|Δv0|,p(tf)＝pf＝Δvf/|Δvf| (12)
其中：Δv0和Δvf是初始和末端的脉冲速度。主矢量偏导数的初值可以式(11)推导得出，即
根据步骤三得到的最优单脉冲小行星飞越转移轨道，由式(11)～(13)得到主矢量的变化历程，即
判断转移轨道的主矢量的历程，如果在初始时刻和末端时刻之间的|p(t)|大于单位1，则该单脉冲转移轨道不是最优的解，在|p(t)|最大时对应的时刻tm增加额外脉冲矢量，此时有：
δrm＝cA-1pm/|pm| (15)
求解两个兰伯特问题：a)从初始位置到rm+δrm，所用转移时间为tm-t0；b)从rm+δrm到给定的末端点，所用转移时间为tf-tm。通过多次迭代调整中间脉冲的位置rm和时间tm使得总的速度增量最小。优化的梯度函数为：
其中：+和-分别表示增加脉冲的前后。
检查所收敛轨道的主矢量的历程，如果满足必要条件，则迭代结束；如果不满足则需要增加脉冲推力Γ并且再次迭代计算。最终得到满足主矢量条件的最优多脉冲转移轨道。
根据步骤三中得到的转移机会，利用主矢量原理，对转移轨道进行多脉冲转移轨道设计。
以转移时间较长的慢转移轨道为例最优多脉冲转移轨道优化设计，从各转移轨道的主矢量历程变化趋势来看，慢转移的所有单脉冲飞越轨道并非最优的脉冲轨道。
基于主矢量理论设计最小单脉冲方案的多脉冲飞越轨道。在主矢量历程的最大值处施加脉冲机动，经迭代收敛获得最小单脉冲方案的最优两冲最优解。最优多脉冲转移方案为：dv1＝14.1m/s，dv2＝59.3m/s，总的速度消耗为73.4m/s，相比单脉冲转移的91.8m/s节省速度增量20.04％。其主矢量历程分别如图4。可见增加一次脉冲后轨道的主矢量大小在整个转移阶段均小于1，因此最优多脉冲转移轨道为两脉冲转移轨道。
步骤五：将步骤四得到的最优多脉冲转移轨道，带入公式(1)所示的高精度动力学模型递推，利用多级并行微分修正方法对转移轨道进行修正，实现多天体强扰动非线性环境下小行星探测的精确轨道转移。
将由步骤四得到的最优多脉冲转移轨道分成若干段，固定初始点和末端点以及各脉冲机动点，采用多级并行微分修正方法对轨道进行修正，实现多天体强扰动非线性环境下小行星探测的精确轨道转移。精确转移轨道如图5虚线所示。由图5可以看出本发明公开的一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲转移方法获得的两脉冲转移轨道相比于单脉冲转移轨道，其所需速度增量小，能够得到最优的多脉冲转移轨道。此外还可以看出利用多级并行微分修正对轨道在真实星历下进行修正得到的精确两脉冲转移轨道，其收敛性好，能够保证轨道在强扰动非线性动力学环境下的收敛性。
以上所述的具体描述，对发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例，用于解释本发明，并不用于限定本发明的保护范围，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲轨道转移方法，其特征在于：包括如下步骤，
步骤一：在日地质心旋转系下建立探测器高精度动力学模型；
步骤二：根据任务约束选择目标小行星并给出探测器在日地质心旋转坐标系下的初始状态，采用扰动法获得探测器单脉冲小行星飞越轨道；
步骤三：利用优化算法得到飞越距离最小的单脉冲小行星飞越转移轨道；
步骤四：基于主矢量理论，进行多脉冲转移轨道设计，得到满足主矢量条件的最优多脉冲转移轨道；
步骤五：将步骤四得到的最优多脉冲转移轨道，带入步骤一所述的探测器高精度动力学模型递推，利用多级并行微分修正方法对转移轨道进行修正，实现多天体强扰动非线性环境下小行星探测的精确轨道转移。
2.如权利要求1所述的一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲轨道转移方法，其特征在于：步骤一具体实现方法为，
探测器在日地L2点Lissajous轨道运行所处的动力学环境包括各天体摄动及太阳光压摄动，在日地动力学模型下进行建模，采用日地质心旋转坐标系，探测器的运动方程为：
方程(1)即为探测器高精度动力学模型；
其中：
其中：XYZ和分别表示探测器在日地质心旋转系下的位置坐标和速度坐标；aSRP,aThree分别表示太阳光压和其他天体的摄动加速度，μ表示无量纲化后的天体引力常数，使用参数表示质量较小的天体，如因此两个大天体的质量分别为：
3.如权利要求2所述的一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲轨道转移方法，其特征在于：步骤二具体实现方法为，
首先在考虑任务约束的情况下，选择目标小行星；然后探测器在某一选定的初始时刻从日地L2点Lissajous轨道出发，奔向目标小行星，其在该初始时刻相对于日地质心旋转坐标系的初始状态为其中分别表示探测器对应初始时刻在日地质心旋转坐标系下的初始位置矢量和初始速度矢量；该日地平动点轨道为真实动力学环境下的实际轨道，具有星历约束；
将初始状态向前递推一个周期，得到另外一个Rn中的向量Φ(T+t0)x0，确定单值矩阵单值矩阵的特征值对应的特征向量记为ν；选择Φ(T)的不稳定特征向量νu方向作为施加扰动量方向，则扰动速度矢量ΔV1写为：
其中表示单位向量，为不稳定特征向量速度分量的矢量方向，λ为速度扰动量大小；
定义从Lissajous轨道的分离变轨时刻为t0，则探测器受到扰动后的轨道状态为x0＝[R0 V0+ΔV1]，在星历模型下积分即得到一条单脉冲小行星飞越转移轨道。
4.如权利要求3所述的一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲轨道转移方法，其特征在于：步骤三具体实现方法为，
根据步骤二中得到的单脉冲小行星飞越转移轨道结果，首先定义目标函数df，即转移轨道距目标小行星的最小距离定义优化变量λ，即初始扰动量大小；然后求解该优化模型得最优速度扰动量λ*、最小距离以及飞越小行星时刻tf；最后得到飞越距离最小的单脉冲小行星飞越转移轨道。
5.如权利要求4所述的一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲轨道转移方法，其特征在于：步骤四具体实现方法为，
考虑脉冲推力Γ的情况下，探测器在引力场中的运动方程描述为：
其中：变量Γ是推力加速度，其大小的范围为(0≤Γ≤Γmax)，u是单位推力方向矢量，J是需要最小化的特征速度；方程(5)描述了在引力加速度g(r)和控制变量Γ和u的作用下，探测器的状态矢量x=[R V J]的变化；对于大脉冲而言，推力近似为无穷大，即Γmax→∞；脉冲推力Γ的求解要求确定脉冲推力的时间、位置和方向；所得的脉冲推力Γ应该满足轨道转移、入轨或交会的条件；
在给定时间段t0＜t＜tf内，求解燃料最省轨道转移问题，即寻找使得性能指标函数J最小，并且满足运动方程和边界条件的解；
由方程(5)可得到相应的哈密尔顿函数：
H＝λrv+λv(g+Γu)+λJΓ (6)
相应的协状态方程为：
其中：G(r)是引力梯度矩阵；λr和λν的边界条件取决于终端状态的约束r(tf)和v(tf)，但因为特征速度v是无约束的，所以特征速度v的协状态变量为常数；
λJ(t)＝-1 (8)
要使哈密尔顿函数最大，则要求λvu最大，即推力矢量方向应该和速度的协状态λv方向一致；将速度的协状态定义为主矢量；主矢量表示为p，与最优脉冲方向一致；考虑协状态方程(9)，则哈密尔顿函数(6)表示为：
根据主矢量理论，最优脉冲转移的必要条件为在转移过程中|p|≤1，在施加脉冲时|p|＝1；
主矢量的递推满足状态转移矩阵，即：
在任何两脉冲轨道中，主矢量满足如下的边界条件：
p(t0)＝p0＝Δv0/|Δv0|,p(tf)＝pf＝Δvf/|Δvf| (12)
其中：Δv0和Δvf是初始和末端的脉冲速度；主矢量偏导数的初值可以式(11)推导得出，即：
根据步骤三得到的最优单脉冲小行星飞越转移轨道，由式(11)～(13)得到主矢量的变化历程，即：
判断转移轨道的主矢量的历程，如果在初始时刻和末端时刻之间的|p(t)|大于单位1，则该单脉冲转移轨道不是最优的解，在|p(t)|最大时对应的时刻tm增加额外脉冲矢量，此时有：
δrm＝cA-1pm/|pm| (15)
求解两个兰伯特问题：a)从初始位置到rm+δrm，所用转移时间为tm-t0；b)从rm+δrm到给定的末端点，所用转移时间为tf-tm；通过多次迭代调整中间脉冲的位置rm和时间tm使得总的速度增量最小；优化的梯度函数为：
其中：+和-分别表示增加脉冲的前后；
检查所收敛轨道的主矢量的历程，如果满足必要条件，则迭代结束；如果不满足则需要增加脉冲推力Γ并且再次迭代计算；最终得到满足主矢量条件的最优多脉冲转移轨道。
6.如权利要求5所述的一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲轨道转移方法，其特征在于：步骤五具体实现方法为，
将由步骤四得到的最优多脉冲转移轨道分成若干段，固定初始点和末端点以及各脉冲机动点，带入公式(1)所示的探测器高精度动力学模型递推，利用多级并行微分修正方法对轨道进行修正，实现多天体强扰动非线性环境下小行星探测的精确轨道转移。
7.如权利要求6所述的一种行星际多体系统小行星探测最优多脉冲轨道转移方法，其特征在于：步骤三所述的优化算法选微分进化算法。
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