CN107844849A - 一种基于经验小波变换与改进高斯过程回归的新能源出力短期预测方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开一种基于经验小波变换EWT与改进高斯过程回归GPR的新能源出力短期预测方法，包括以下步骤：1)采用EWT技术将原始风电功率序列分解为一系列特征互异的经验模式；2)对不同经验模式序列进行零均值化处理；3)对每个经验模式建立GPR模型，并采用和声搜索HS算法求解模型超参数，即建立改进的HS‑GPR预测模型；4)将不同模型预测结果叠加，获得最终短期风电功率预测值。本发明提供的EWT自适应信号处理方法抗噪性强、计算量小。同时，采用HS算法优化求解模型参数，有效避免了人工经验设置的不足，提高了短期风电功率预测精度，能够较好解决电力系统短期风电功率预测问题。
Description
技术领域
本发明属于电力系统能源预测技术领域，特别涉及一种基于经验小波变换与改进高斯过程回归的新能源出力短期预测方法。
背景技术
风力发电在电网中装机比例的逐年提升，有效缓解了能源紧张、环境污染格局，但其间歇性和不确定性又严重影响着电网的安全稳定及经济运行。短期风电功率预测作为自动发电控制和安排电力调度的重要决策依据，能够有效提高电力系统运行可靠性。为此，需要研究新技术与新方法，以提高风电功率预测精度，满足工程应用需求。
目前，国内外学者对短期风电功率预测进行了大量研究，主要有时间序列分析、人工神经网络、支持向量机、相关向量机等模型。在现有研究基础上，又提出了基于优化算法的改进预测模型。另外，为进一步降低风电功率预测误差，相关学者提出了组合预测模型。实践证明：组合模型相对于单一预测方法能够优势互补，在提高预测精度的同时，增强了模型鲁棒性。组合预测按机理策略不同，主要分为两类：1)采用不同原理的预测模型分别进行预测，然后将预测结果按一定方式进行优化组合。2)采用信号处理技术对原始风电功率序列进行分解处理，对不同分解量建立预测模型，最后对各分量预测结果进行组合。应用小波变换进行数据预处理面临着小波基函数选取、分解层数难以确定的问题。采用自适应经验模态分解(empirical mode decomposition,EMD)可以自动的将风电功率序列分解为一系列本征模态函数，接着对模态函数建立预测模型。进一步的，采用集成经验模态分解技术可以有效地缓解EMD方法存在的模态混叠问题，从而提高预测精度。
针对EMD方法易出现模态混叠、计算效率低、缺乏理论基础等缺点，Gilles提出了新型自适应信号处理方法-经验小波变换(empirical wavelet transform,EWT)。该方法结合了EMD方法的自适应特性与小波分析理论框架，通过对信号频谱的自适应分割，在各个频谱构造合适的正交小波滤波器来提取傅里叶频谱的调幅调频(amplitude modulated-frequency modulated,AM-FM)成分，进而采用Hilbert变换对不同的AM-FM模态进行处理，最终获得有意义的瞬时频率和瞬时幅值。该方法计算量小，且具有较强的鲁棒性。因此，本发明将EWT引入短期风电功率预测建模中，对原始风电功率序列进行分解处理。
高斯过程回归(Gaussian process regression,GPR)以贝叶斯理论和统计学习理论为基础，在处理高维数、非线性等复杂回归问题时具有易编程实现、超参数自适应获取以及输出具有概率分布等优点，在时间序列分析、动态系统模型辨识、系统控制等多领域获得了广泛应用。基于以上优点，本发明采用高斯过程回归建立短期风电功率预测模型。常用共轭梯度(conjugate gradient,CG)方法求解高斯过程回归模型超参数，但该方法存在易陷入局部最优解、优化性能受初值选取影响大、迭代次数难以确定等缺点。针对CG方法存在的不足，本发明采用和声搜索(harmony search,HS)智能算法对超参数进行寻优，可以提高GPR模型定参速度和效率。HS相比于遗传、粒子群等优化算法具有更强的全局搜索能力，且该算法原理简单、可控参数少。
综上所述，本发明结合EWT与改进GPR算法的优点，建立了EWT-HS-GPR新能源出力短期预测方法，对风电功率进行预测。首先，采用EWT方法将原始风电功率序列分解为一系列特征互异的经验模式。然后，对每一经验模式建立高斯过程回归预测模型，并利用和声搜索智能优化算法求解模型超参数，避免共轭梯度方法的不足；将不同经验模式预测结果叠加，从而获得最终的短期风电功率预测值。最后，通过算例验证本发明方法的有效性，并为类似工程提供借鉴。
发明内容
本发明针对现有电力系统新能源出力短期预测技术中存在的问题，如预测方法运行效率低、预测结果可靠性与精确性差、难以处理高维、复杂、非线性回归任务、模型参数估计不准确等困难，本发明提供一种经验小波变换与改进高斯过程回归新能源出力短期预测方法。首先，采用新型EWT自适应信号处理技术将原始风电功率序列分解为一系列特征互异的经验模式，对每一经验模式构建改进高斯过程回归预测模型，将各经验模式预测结果叠加获得最终的短期风电功率预测值。通过算例分析验证本发明方法的有效性。
本发明具体为一种基于经验小波变换与改进高斯过程回归的新能源出力短期预测方法，包括以下步骤：
(1)获取实测风电场功率数据，并对原始序列数据进行异常值检测与修正，避免异常值对模型参数估计造成的不良影响；
(2)采用EWT自适应信号处理技术将原始风电功率序列分解为一系列特征互异的经验模式；
(3)对不同经验模式序列进行零均值化预处理；
(4)针对不同经验模式序列特征，建立改进的高斯过程回归预测模型，并采用和声搜索算法优化求解模型超参数；
(5)获得每个经验模式预测结果，并将各分量预测结果叠加获得最终的短期风电功率预测值。
步骤(2)采用EWT技术将原始风电功率序列分解为一系列特征互异的经验模式，所述EWT方法本质上是根据信号频谱特性选择的一组带通滤波器，从而自适应地从原始信号中筛选出调幅-调频成分。具体计算过程为：
2.1为了确定带通滤波器的频率范围，首先对信号的Fourier谱进行自适应分割。定义Fourier支撑为[0,π]并假定将其分割成N个连续部分，令Λn＝[wn-1,wn]表示各分割片段边界。其中：n＝1,2,L,N，w0＝0,wN＝π，wn选取为信号Fourier谱相邻两个极大值点之间的中点，显见
2.2以每个wn为中心，定义宽度为Tn＝2τn的过渡区域；
2.3在分割区间Λn上，定义经验小波为每个Λn上的带通滤波器，并根据Meyer小波构造方法构造经验小波，通常构造的经验小波函数为
经验尺度函数为
式中：τn＝γwn；在时，保证了为紧框架。函数β(x)定义为β(x)＝x4(35-84x+70x2-20x3)。
2.4从而，原始信号被重构为
式中：*为卷积运算；为逼近系数；为x(t)的经验小波变换。
经验模式xk(t)定义为
步骤(3)对不同经验模式数据分别进行零均值化预处理，所述零均值化处理公式为：
式中：x(t)为原始分量时间序列，为序列x(t)的平均值。
步骤(4)结合不同经验模式序列特征，建立改进的高斯过程回归预测模型，采用和声搜索算法优化求解模型超参数；所述高斯过程回归计算过程为：
4.1假设训练样本集合为D＝{(xi,yi)|i＝1,2,3,…,n}＝(X,y)，其中：xi∈Rm为m维输入向量，m×n维输入矩阵则可表示为X＝[x1,x2,…,xn]，n表示训练样本点数量，yi∈R为对应于xi的输出标量；
4.2定义函数空间f(x)＝Φ(x)Tω，f(x(1))、f(x(2))、…、f(x(n))构成随机变量的一个集合，且服从联合高斯分布，高斯过程模型就可以表示为：
式中：独立高斯白噪声服从均值为0，方差为σ2的高斯分布，记做ε:N(0,σ2)；δij为Kronecker delta函数，当i＝j时，函数δij＝1；m(x)为有限维分布族的均值函数；k(x,x′)为协方差函数；
4.3GPR预测模型在n维训练集D内建立先验分布，在n*维测试集D*＝{(xi,yi)|i＝n+1,L,n+n*}下转变为后验分布，则训练样本观测值y和测试数据的输出向量f*之间构成联合高斯分布
其中，K(X,X)＝Kn表示N×N核矩阵，其元素Kij＝k(xi,xj)；K(X,X*)＝K(X*,X)T为测试数据X*与训练集的输入X之间的协方差矩阵；K(X*,X*)为X*自身的协方差；
4.4由此得出预测值f*后验分布为
其中
均值向量为GPR模型风功率预测均值，对应于点预测输出，为对应于的方差。
4.5选取平方指数协方差函数计算核矩阵元素，其公式为
其中，M＝diag(l-2)，l为方差尺度；为核函数信号方差，为噪声方差，令θ为包含所有超参数的向量，δij为Kronecker delta函数，当i＝j时，函数δij＝1。
4.6在求解超参数时，GPR模型通过极大化似然函数自适应获得协方差函数中的最优超参数，获得超参数最优值后，即可用确定的协方差函数得到预测点的预测均值和方差。
其中，
步骤(4)结合不同经验模式序列特征，建立改进的高斯过程回归预测模型，采用和声搜索算法优化求解模型超参数；所述和声搜索算法计算过程为：
a)初始化HS算法参数：和声库大小(harmony memory size，HMS)、记忆库取值概率(harmony memory considering rate，HMCR)、音调调整率(pitch adjusting rate，PAR)、距离带宽(band wide，BW)和创作的次数N。
b)随机产生和声初始解，并存储于和声记忆库(HM)中，如下式所示：
式中：Xj为第j个解向量；为该解的i分量；n为解的维数，f(x)为目标函数。
c)和声搜索算法核心内容就是新和声的生成，和声库中每一个和声实际就是GPR模型参数的一个组合，其新和声产生机理遵循以下规则
式中：rand1为(0,1)均匀分布的随机数；Xi为第i个解的取值空间。若新和声来自原始和声记忆库，需进一步做微调进化处理
式中：rand2为(-1,1)均匀分布的随机数。
d)利用目标函数对步骤c中产生的新和声进行评估，即对GPR模型参数评估，若参数对应GPR的结构优于记忆库中参数则替换库中最差GPR结构对应的参数否则原始记忆库不做调整。
e)重复步骤c和d直至达到循环终止条件并输出最佳GPR模型参数
附图说明
图1为本发明一种基于经验小波变换与改进高斯过程回归的新能源出力短期预测方法的流程图；
图2为傅里叶频谱分割示意图；
图3为原始风电功率序列及EWT分解结果；
图4为利用HS求解GPR模型超参数适应度迭代曲线。
具体实施方式
下面结合具体实施例，进一步阐明本发明，应理解这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。
如图1所示，本发明首先采用EWT技术将原始风电功率序列分解为一系列特征互异的经验模式，对各经验模式建立高斯过程回归预测模型，并采用和声搜索算法优化求解模型超参数。然后，将不同经验模式预测结果叠加，获得最终的短期风电功率预测值。
经验小波本质上是根据信号频谱特性选择的一组带通滤波器，从而自适应地从原始信号中筛选出调幅-调频成分。为了确定带通滤波器的频率范围，首先对信号的Fourier谱进行自适应分割。
结合图2说明EWT自适应分解过程。依据香农准则，定义Fourier支撑为[0,π]并假定将其分割成N个连续部分，令Λn＝[wn-1,wn]表示各分割片段边界。其中：n＝1,2,L,N，w0＝0,wN＝π，wn选取为信号Fourier谱相邻两个极大值点之间的中点，显见以每个wn为中心，定义宽度为Tn＝2τn的过度区域，如图2中阴影部分所示。在分割区间Λn上，定义经验小波为每个Λn上的带通滤波器，并根据Meyer小波构造方法构造经验小波。Gilles构造的经验小波函数为
经验尺度函数为
式中：τn＝γwn；在时，保证了为紧框架。通常，函数β(x)定义为β(x)＝x4(35-84x+70x2-20x3)。
从而，原始信号可被重构为
式中：*为卷积运算；为逼近系数；为x(t)的经验小波变换。
经验模式xk(t)按下式定义
高斯过程回归(gaussian process regression,GPR)用于短期风电功率预测建模时，假设训练样本集合为D＝{(xi,yi)|i＝1,2,3,…,n}＝(X,y)，其中：xi∈Rm为m维输入向量，m×n维输入矩阵则可表示为X＝[x1,x2,…,xn]，n表示训练样本点数量，yi∈R为对应于xi的输出标量。
用数学语言描述GPR风电功率预测过程为：定义函数空间f(x)＝Φ(x)Tω，f(x(1))、f(x(2))、…、f(x(n))构成随机变量的一个集合，且服从联合高斯分布，高斯过程模型就可以表示为
式中：独立高斯白噪声服从均值为0，方差为的高斯分布，记做ε:δij为Kroneckerdelta函数，当i＝j时，函数δij＝1；m(x)为有限维分布族的均值函数；k(x,x′)为协方差函数。
为简化推导，负荷均值m(x)进行数据预处理使之为0。GPR预测模型在n维训练集D内建立先验分布，在n*维测试集D*＝{(xi,yi)|i＝n+1,L,n+n*}＝(X*,f*)下转变为后验分布，则训练样本观测值y和测试数据的输出向量f*之间构成联合高斯分布
其中，K(X,X)＝Kn表示n×n的核矩阵，其元素Kij＝k(xi,xj)；K(X,X*)＝K(X*,X)T为测试数据X*与训练集的输入X之间的协方差矩阵；K(X*,X*)为X*自身的协方差,I为单位矩阵。
由此得出预测值f*后验分布为
其中
均值向量为GPR模型风电功率预测均值，对应于点预测输出，为对应于的方差，由此可获得具有概率分布意义的风电功率区间不确定性预测结果。
本发明选取平方指数协方差函数(squared exponential covariance function,SE)计算核矩阵元素，其公式为
上式中包含未知超参数：M＝diag(l-2)，l为方差尺度；为核函数信号方差，为噪声方差[21]。令θ为包含所有超参数的向量。训练样本的对数似然函数可表示为
其中：
GPR模型通过极大化似然函数自适应获得协方差函数中的最优超参数，获得超参数最优值后，即可以用确定的协方差函数得到预测点的预测均值和方差。本发明采用和声搜索算法求解超参数，有效避免了共轭梯度方法的缺点。
在音乐演奏中，乐师们凭借自己的记忆，通过反复调整乐队中各乐器的音调，最终达到一个美妙的和声状态。Z.W.Geem等受这一现象启发，提出了和声搜索算法(harmonysearch,HS)。作为一种启发式全局搜索算法，HS在许多组合优化问题中得到了成功应用。在有关问题上展示了较遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索更好的性能。本发明采用HS算法求解GPR模型超参数。
HS算法实现步骤为：
1)初始化HS算法参数：和声库大小(harmony memory size，HMS)、记忆库取值概率(harmony memory considering rate，HMCR)、音调调整率(pitch adjusting rate，PAR)、距离带宽(band wide，BW)和创作的次数N。
2)随机产生和声初始解，并存储于和声记忆库(HM)中，如下式所示：
式中：Xj为第j个解向量；为该解的i分量；n为解的维数；f(x)为目标函数，本发明目标函数取为负的训练样本对数似然函数。
3)和声搜索算法核心内容就是新和声的生成，和声库中每一个和声实际就是GPR模型参数的一个组合，其新和声产生机理遵循以下规则：
式中：rand1为(0,1)均匀分布的随机数；Xi为第i个解的取值空间。若新和声来自原始和声记忆库，需进一步做微调进化处理：
式中：rand2为(-1,1)均匀分布的随机数。
4)利用目标函数对3)中产生的新和声进行评估，即对GPR模型参数评估，若参数对应GPR的结构优于记忆库中参数则替换库中最差GPR结构对应的参数否则原始记忆库不做调整。
5)重复步骤3)和4)，直至达到循环终止条件并输出最佳GPR模型参数
采用江苏某风电场实测风电功率数据作为研究对象，数据采样时间间隔为30min。采用EWT对原始风电功率时间序列进行分解，选取部分结果如图3所示。利用HS求解GPR模型超参数目标函数迭代曲线如图4所示。对实测风电功率进行提前30min预测，并验证本发明模型性能。为验证本发明方法的有效性，同时建立了BP、SVM、GPR、HS-GPR、EWT-BP、EWT-SVM、EWT-GPR和EWT-HS-GPR共八种预测模型，各模型定量评价指标如表1所示。其中：MAPE及RMSE物理意义及计算公式如下所示：
平均绝对百分比误差(mean absolute percentage error,MAPE)：
均方根误差(root mean square error,RMSE)：
式中：n为预测点个数；yi、分别为第i个预测点功率真实值和预测值。
从表中可以看出，采用单一的BP、SVM、GPR预测模型时，风电功率预测误差较大，而采用HS算法优化GPR模型参数时，组合预测模型精度有了一定程度的提高。进一步地，采用EWT分解技术首先对原始风电功率进行预处理，然后对每一经验模态建立分量，混合模型有效的提高了预测精度，具有更好的性能表现，满足一定工程应用精度要求。此外，GPR模型相较BP和SVM模型，其风电功率预测误差也有进一步降低，验证了GPR理论与实践的有效性。采用HS优化算法求解GPR模型超参数后，有效增强了GPR预测结果可靠性，可以为电网安全稳定运行提供指导，为安排风电大规模并网提供一定的技术保障。
表1不同模型风电功率预测结果比较
综上所述，本发明建立基于经验小波变换和改进高斯过程回归的短期风电功率预测方法，具有如下优势：1)采用EWT新型自适应信号处理技术对原始风电功率序列进行预处理，将其分解为一系列特征互异的经验模式。通过算例分析验证了EWT方法能够有效提高短期风电功率预测精度；2)建立高斯过程回归预测模型。相对于BP和SVM模型，高斯过程回归具有超参数自适应获取、易编程实现的优点，同时还具有较好的预测精度；3)针对共轭梯度求解高斯过程回归模型超参数易陷入局部最优、初始参数及迭代次数难以确定的问题，本发明采用和声搜索算法优化求解超参数，具有控制参数少、全局优化优点，有效的提高了高斯过程回归模型的预测精度，增强了预测结果的可靠性。
本发明方法对电力系统安排风电功率发电计划及保证电网安全稳定运行具有一定的参考价值。
Claims (5)
1.一种基于经验小波变换与改进高斯过程回归的新能源出力短期预测方法，其特征在于：包括以下步骤：
(1)获取实测风电场功率数据，并对原始序列数据进行异常值检测与修正，避免异常值对模型参数估计造成的不良影响；
(2)采用EWT自适应信号处理技术将原始风电功率序列分解为一系列特征互异的经验模式；
(3)对不同经验模式序列进行零均值化预处理；
(4)针对不同经验模式序列特征，建立改进的高斯过程回归预测模型，并采用和声搜索算法优化求解模型超参数；
(5)获得每个经验模式预测结果，并将各分量预测结果叠加获得最终的短期风电功率预测值。
2.根据权利要求1所述的一种基于经验小波变换与改进高斯过程回归的新能源出力短期预测方法，其特征在于，所述步骤(2)中的EWT方法本质上是根据信号频谱特性选择的一组带通滤波器，从而自适应地从原始信号中筛选出调幅-调频成分，其具体计算过程为：
步骤(2.1)：为了确定带通滤波器的频率范围，首先对信号的Fourier谱进行自适应分割，定义Fourier支撑为[0,π]并假定将其分割成N个连续部分，令Λn＝[wn-1,wn]表示各分割片段边界，其中：n＝1,2,L,N，w0＝0,wN＝π，wn选取为信号Fourier谱相邻两个极大值点之间的中点，显见
步骤(2.2)：以每个wn为中心，定义宽度为Tn＝2τn的过渡区域；
步骤(2.3)：在分割区间Λn上，定义经验小波为每个Λn上的带通滤波器，并根据Meyer小波构造方法构造经验小波，构造的经验小波函数为
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</mtd>
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</mtable>
</mfenced>
</mrow>
式中：τn＝γwn；在时，保证了为紧框架，函数β(x)定义为β(x)＝x4(35-84x+70x2-20x3)；
步骤(2.4)：原始信号被重构为
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<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中：*为卷积运算，为逼近系数，为x(t)的经验小波变换，经验模式xk(t)定义为
3.根据权利要求2所述的一种基于经验小波变换与改进高斯过程回归的新能源出力短期预测方法，其特征在于，所述步骤(3)中的所述零均值化预处理公式为：
<mrow>
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式中：x(t)为原始分量时间序列，为序列x(t)的平均值。
4.根据权利要求3所述的一种基于经验小波变换与改进高斯过程回归的新能源出力短期预测方法，其特征在于，所述步骤(4)中的所述高斯过程回归计算过程为：
步骤(4.1)：假设训练样本集合为D＝{(xi,yi)|i＝1,2,3,…,n}＝(X,y)，其中：xi∈Rm为m维输入向量，m×n维输入矩阵则可表示为X＝[x1,x2,…,xn]，n表示训练样本点数量，yi∈R为对应于xi的输出标量；
步骤(4.2)：定义函数空间f(x)＝Φ(x)Tω，f(x(1))、f(x(2))、…、f(x(n))构成随机变量的一个集合，且服从联合高斯分布，高斯过程模型就可以表示为：
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式中：独立高斯白噪声服从均值为0，方差为σ2的高斯分布，记做ε:N(0,σ2)；δij为Kronecker delta函数，当i＝j时，函数δij＝1；m(x)为有限维分布族的均值函数；k(x,x′)为协方差函数；
步骤(4.3)：GPR预测模型在n维训练集D内建立先验分布，在n*维测试集D*＝{(xi,yi)|i＝n+1,L,n+n*}下转变为后验分布，则训练样本观测值y和测试数据的输出向量f*之间构成联合高斯分布
<mrow>
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</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，K(X,X)＝Kn表示N×N核矩阵，其元素Kij＝k(xi,xj)；K(X,X*)＝K(X*,X)T为测试数据X*与训练集的输入X之间的协方差矩阵；K(X*,X*)为X*自身的协方差；
步骤(4.4)：由此得出预测值f*后验分布为
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</mrow>
其中均值向量为GPR模型风功率预测均值，对应于点预测输出，为对应于的方差。
步骤(4.5)：选取平方指数协方差函数计算核矩阵元素，其公式为
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</mrow>
其中，M＝diag(l-2)，l为方差尺度；为核函数信号方差，为噪声方差，令θ为包含所有超参数的向量，δij为Kroneckerdelta函数，当i＝j时，函数δij＝1；
步骤(4.6)：在求解超参数时，GPR模型通过极大化似然函数自适应获得协方差函数中的最优超参数，获得超参数最优值后，用确定的协方差函数得到预测点的预测均值和方差，
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其中，
5.根据权利要求4所述的一种基于经验小波变换与改进高斯过程回归的新能源出力短期预测方法，其特征在于，所述步骤(4)中的所述和声搜索算法计算过程为：
步骤(a)：初始化HS算法参数：和声库大小HMS、记忆库取值概率HMCR、音调调整率PAR、距离带宽BW和创作的次数N；
步骤(b)：随机产生和声初始解，并存储于和声记忆库HM中，如下式所示：
<mrow>
<mi>H</mi>
<mi>M</mi>
<mo>=</mo>
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</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
</mrow>
式中：Xj为第j个解向量；为该解的i分量；n为解的维数，f(x)为目标函数；
步骤(c)：和声搜索算法核心内容就是新和声的生成，和声库中每一个和声实际就是GPR模型参数的一个组合，其新和声产生机理遵循以下规则
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<mi>x</mi>
<mi>i</mi>
<mrow>
<mi>n</mi>
<mi>e</mi>
<mi>w</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mo>&Element;</mo>
<msub>
<mi>X</mi>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>,</mo>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mi>o</mi>
<mi>t</mi>
<mi>h</mi>
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<mi>r</mi>
<mi>w</mi>
<mi>i</mi>
<mi>s</mi>
<mi>e</mi>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
</mrow>
式中：rand1为(0,1)均匀分布的随机数；Xi为第i个解的取值空间，若新和声来自原始和声记忆库，需进一步做微调进化处理
<mrow>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mi>i</mi>
<mrow>
<mi>n</mi>
<mi>e</mi>
<mi>w</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mo>=</mo>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mi>i</mi>
<mrow>
<mi>n</mi>
<mi>e</mi>
<mi>w</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>rand</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>*</mo>
<mi>b</mi>
<mi>w</mi>
<mo>,</mo>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>rand</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo><</mo>
<mi>P</mi>
<mi>A</mi>
<mi>R</mi>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msubsup>
<mi>x</mi>
<mi>i</mi>
<mrow>
<mi>n</mi>
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</mrow>
</msubsup>
<mo>,</mo>
</mrow>
</mtd>
<mtd>
<mrow>
<mi>o</mi>
<mi>t</mi>
<mi>h</mi>
<mi>e</mi>
<mi>r</mi>
<mi>w</mi>
<mi>i</mi>
<mi>s</mi>
<mi>e</mi>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
</mrow>
式中：rand2为(-1,1)均匀分布的随机数；
步骤(d)：利用目标函数对步骤(c)中产生的新和声进行评估，即对GPR模型参数评估，若参数对应GPR的结构优于记忆库中参数则替换库中最差GPR结构对应的参数否则原始记忆库不做调整；
步骤(e)：重复步骤(c)和步骤(d)直至达到循环终止条件并输出最佳GPR模型参数
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