CN106058863A - 一种基于随机响应面法的随机最优潮流计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于随机响应面法的随机最优潮流计算方法，在优化过程中考虑输入变量随机性的影响，最终得到一组满足一定机会约束的最优解。该方法步骤如下：首先，输入电力系统信息，确定系统中随机输入变量(扰动变量)，将输入变量以期望值代入，利用原对偶内点法进行确定性最优潮流计算，得到一组最优调度方案。然后，利用随机响应面法计算概率潮流，得到该调度方案下的系统状态变量的概率分布，对于存在相关性的随机变量，应用Nataf变换进行处理。最后，利用概率分布函数判断状态变量是否满足机会约束限制，如不满足，调整机会约束的上下界，并重新开始确定性最优潮流计算及检验机会约束步骤，直到得到一组满足机会约束的调度方案为止。

Description

一种基于随机响应面法的随机最优潮流计算方法

技术领域

本发明涉及一种基于随机响应面法的随机最优潮流(stochastic optimal powerflow,SOPF)计算方法，用于计算考虑负荷以及新能源并网随机性的电力系统最优潮流。适用于解决优化过程中考虑负荷和分布式能源接入随机性的影响，最终得到一组满足一定机会约束的最优解，属于随机规划问题。

背景技术

随着全球经济的快速发展，世界各国的环境日益恶化、能源也日渐短缺，这两大问题已成为全球性的问题。这些使得改变传统能源发展结构，不断开发利用新能源更好地促进经济、环境、社会的协调可持续发展显得十分必要。大规模的新能源接入电力系统已经成为趋势。

最优潮流(optimal power flow,OPF)是电力系统网络规划和运行分析的重要工具。负荷的随机性一直影响着电力系统的运行，随着新能源的接入，其随机性和间歇性对电力系统的影响更加不可忽视。传统确定性OPF已无法得出合理的规划结果。当前考虑输入变量随机性的研究主要可分为2类：概率最优潮流(probabilistic optimal power flow,POPF)和随机最优潮流(stochastic optimal power flow,SOPF)。概率最优潮流的主要目标是根据负荷等因素的概率分布获得状态变量的概率分布函数,随机因素一般不影响最优潮流的计算结果。随机最优潮流在建立模型和优化计算中考虑了随机因素的影响，随机因素影响了优化结果。SOPF是一种随机规划模型，将优化过程中状态变量的确定性约束用机会约束代替，利用概率潮流(probabilistic power flow,PPF)计算得到状态变量的概率分布，根据是否满足机会约束决定调整约束上下限，最终得到一组满足全部机会约束的确定性的调度方案。

SOPF计算结果的精确与否很大程度上取决于状态变量的概率密度函数计算结果是否足够精确，而目前已有的概率潮流计算方法中，蒙特卡洛法准确而计算效率低下，半不变量法、点估计法等方法计算速度快但精度不够高。

发明内容

发明目的：基于以上分析，本发明采用随机响应面方法，提出一种新的随机最优潮流方法，以期提高考虑负荷和新能源接入不确定性的随机最优潮流计算的精度。

传统的SOPF算法中所用到的PPF可分为以蒙特卡洛法为代表的模拟法、以点估计法为代表的近似法和以半不变量法为代表解析法。蒙特卡洛法使用大量样本进行确定性潮流计算，然后依据结果统计得到状态变量和控制变量的概率分布，精度虽高但效率极低。点估计法和半不变量法计算速度快但精度略低，而且因为本身只能获得输出变量的各阶矩，需要使用Gram-Charlier级数估计概率分布，可能会产生概率值为负的概率密度分布，违反了概率公理。这些缺点成为SOPF中精度低的主要来源。

基于此，本发明提出一种基于随机响应面法的随机最优潮流计算方法。考虑电力系统中不确定性因素，将电力系统最优潮流模型中状态变量约束用机会约束表示。在某一确定的优化调度方案下进行基于随机响应面法的概率潮流计算，利用混沌多项式逼近输入变量与输出变量的关系，得到状态变量的概率分布，用以检验是否满足机会约束。若不满足则调整约束上下界，重新计算确定性最优潮流并检验，直至得到一组满足全部机会约束的优化调度方案。

技术方案：一种基于随机响应面法的随机最优潮流计算方法，所述方法是在计算机中依次按以下步骤实现的：

(1)输入电力系统信息，确定该系统的优化目标函数以及等值约束、控制变量的不等约束和状态变量的机会约束。

根据系统中负荷的性质和接入的新能源电源性质，确定系统中随机输入变量X(扰动变量)的个数n及其概率分布。并用协方差矩阵描述输入变量间的相关性，则其协方差矩阵为

式中，σ_i为随机变量的标准差，ρ_ij为两个变量间的相关系数。

(2)依据概率变换原理，将所有输入变量标准化，即将输入随机变量用一组标准正态分布随机变量Z的函数关系表示，对其中每一个变量，有

x_i＝F_i ^-1(Φ(z_i))

式中，x_i为某一个输入变量，z_i为与其对应的标准正态分布变量，F_i为x_i的概率分布函数，Φ为z_i的概率分布函数。

考虑随机变量Z之间存在相关性，令其协方差矩阵为C_Z，可根据Nataf变换理论，利用Gauss-Hermite积分方法由C_X计算得出；

(3)使用原对偶内点法进行确定性最优潮流计算，得到一组在当前约束条件下的优化调度方案。

(4)将这组调度方案应用于系统，使用随机响应面法进行概率潮流计算。即构建系统的每个输出变量(某一状态变量或控制变量)的二阶混沌多项式

$Y=a_0+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{a}_i{\mathrm{\ξ}}_i+\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{a}_{ii}({\mathrm{\ξ}}_i^2-1)+\underset{i=1}{\overset{n-1}{\Σ}}\underset{j>i}{\overset{n}{\Σ}}{a}_{ij}{\mathrm{\ξ}}_i{\mathrm{\ξ}}_j$

式中，Y为输出变量，ξ_j为n个不相关的标准正态分布随机变量，对应n个输入变量，a为二阶混沌多项式的各项系数。

使用最优选点方法，按关于原点对称和距离原点最近两个原则，选择出配置点C_pi(i＝1,...,N)；对Z的协方差矩阵进行Cholesky分解C_Z＝LL^T，对配置点进行变换得到考虑相关性的配置点Z_pi＝LC_pi；使用公式x_i＝F_i ^-1(Φ(z_i))得到N个配置点对应的输入变量样本X_pi(i＝1,...,N)，将样本带入系统利用牛顿拉夫逊法进行确定性潮流计算，利用计算出的输出变量Y(某一状态变量或控制变量)数值，组成输出向量Y。使用选出的配置点C_pi按行构成Hermite系数矩阵H，令A为由混沌多项式系数组成的向量。得到线性方程组HA＝Y，求解得到混沌多项式系数。

然后使用核密度估计得到系统各状态变量的概率分布函数。

(5)根据所得概率分布函数，判断状态变量是否满足对应的机会约束，如果满足机会约束限制，则停止计算，输出结果包括该组调度下的发电费用、各发电机的有功和无功出力，各节点电压、支路潮流的数字特征和概率分布函数。

如果不满足机会约束，则调整机会约束的上下界，转到步骤(3)迭代计算，直到找到一组满足所有机会约束的调度方案。

本发明所提出的方法，计算随机最优潮流时，能在保证一定计算速度的情况下，不使用任何级数方法，高精度的估计输出变量的概率分布函数，得到考虑不确定因素影响的最优调度方案。

附图说明

图1为本发明实施例的方法流程图；

图2为随机响应面法的进行不确定分析的步骤图；

图3为新能源接入的IEEE 14节点系统；

图4为实施常规OPF和SOPF优化后的11号节点电压幅值的概率分布曲线；

图5为实施常规OPF和SOPF优化后的各节点电压幅值。

具体实施方式

下面结合具体实施例，进一步阐明本发明，应理解这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。

以下结合图1和实例对本发明的实施作进一步说明。

(1)电力系统随机最优潮流模型

负荷的随机性长久以来影响着电力系统的运行和控制，而新能源的大规模接入已经成为趋势。进行优化时，在原有的确定性电力系统最优潮流(OPF)模型的基础上，考虑新能源发电接入和负荷不确定性对系统运行的影响，将状态变量的约束调整为机会约束。下面以发电成本最小为目标函数为例说明随机最优潮流模型：

目标函数：

$\min f=\underset{i\∈NG}{\Σ}{K}_i\left(P_{Gi}\right)$

式中，NG为全系统发电机的总和；K_i(P_Gi)为发电机组G_i的耗量特性，P_Gi为发电机出力，是随机变量。

等值约束为概率潮流方程：

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{Gi}-P_{Li}+P_{Ni}=V_i\underset{j\∈i}{\Σ}{V}_j(G_{ij}{\mathrm{cos\θ}}_{ij}+B_{ij}{\mathrm{sin\θ}}_{ij})\\ Q_{Gi}-Q_{Li}+Q_{Ni}=V_i\underset{j\∈i}{\Σ}{V}_j(G_{ij}{\mathrm{sin\θ}}_{ij}-B_{ij}{\mathrm{cos\θ}}_{ij})\end{array}\right.$

式中，G_ij、B_ij为电网络参数，为节点导纳矩阵中的电导和电纳；V_i为节点电压，θ_ij为两节点电压相量的相角差，是系统的状态变量；P_Gi、Q_Gi为发电机的节点注入功率，为控制变量；P_Li、Q_Li分别为负荷节点的有功和无功功率，P_Ni、Q_Ni为新能源的节点注入功率，这些是模型中的扰动变量。

不等约束分为控制变量的不等约束和状态变量的机会约束。其中关于控制变量的不等约束有

$\left\{\begin{array}{c}{P}_{Gi,min}\≤P_{Gi}\≤P_{Gi,max},i\∈S_G\\ V_{i,\min }\≤V_i\≤V_{i,max},i\∈S_G\end{array}\right.$

式中，S_G为发电机节点集合。

关于状态变量的机会约束有

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{Pr}\{Q_{Gi,min}\≤Q_{Gi}\≤Q_{Gi,max}\}\≥p_{Q_{Gi}},i\∈S_G\\ \mathrm{Pr}\{V_{i,\min }\≤V_i\≤V_{i,max}\}\≥p_{V_i},i\∈S_B\[-\]S_G\\ \mathrm{Pr}\{S_{ij,min}\≤S_{ij}\≤S_{ij,max}\}\≥p_{S_{ij}},ij\∈S_L\end{array}\right.$

式中，下标“min”和“max”分别表示模型物理量对应的上界和下界，S_ij表示线路的复功率；Pr{·}表示不等式约束成立的概率； 为对应变量的预设置信水平值；S_B为系统节点集合，S_L为系统线路集合。

(2)确定性最优潮流计算

以上所述的最优潮流模型可简化为以下一般非线性优化模型：

obj.min.f(x)

s.t.h(x)＝0

$\underset{\‾}{g}\≤g\left(x\right)\≤\stackrel{\‾}{g}$

将输入变量(扰动变量)中的随机变量以均值代入，依据设定好的约束为条件(将机会约束转化为不等约束)，对系统利用原对偶内点法进行确定性OPF计算。原对偶内点法的基本思想是引入松弛变量将不等式约束转化为等式约束，引入障碍函数对松弛变量进行约束，由此构造拉格朗日函数如下：

$L=f\left(x\right)-y^{T}h\left(x\right)-z^T\[g\left(x\right)-l-\underset{\‾}{g}\]-w^T\[g\left(x\right)+u-\stackrel{\‾}{g}\]-\mathrm{\μ}\underset{j=1}{\overset{r}{\Σ}}ln\left(l_j\right)-\mathrm{\μ}\underset{j=1}{\overset{r}{\Σ}}ln\left(u_j\right)$

式中，y、z和w为拉格朗日乘子，l、u为松弛变量，μ为障碍函数的罚因子。

该问题的KKT条件可以描述成一组非线性方程组，利用牛顿拉夫逊法求解该非线性方程组，得到状态量和控制量的值。该组控制变量，即为当前约束条件下的一组最优调度方案。接下来就是检验该组调度方案下的运行工况是否满足机会约束。

(3)随机响应面法

随机响应面法是由Isukapalli在研究生物和环境系统随机性问题时提出的一种概率分析方法，其基本原理是在已知输入随机变量概率分布的基础上，将输出响应表达为关于已知系数的混沌多项式，通过少量采样确定多项式中的待定系数，进而得到所估计的输出响应的概率分布。SRSM本质上与MC方法一样，属于模拟类方法，保持着模拟类方法可并行的计算优势，但其所需采样点比MC方法更少。

随机响应面法的主要步骤可概括为：1)输入标准化，将相互独立的输入随机变量用一组标准随机变量的函数关系表示；2)输出标准化，将待求输出响应用标准随机变量为自变量的Hermite混沌多项式表示；3)模型计算，选择适当的采样点，进行样本点的模型计算，确定混沌多项式的待定系数，得到输出响应的概率分布。

随机响应面法进行不确定分析的详细步骤如图2所示。

本发明采用了随机响应面法以精确得到各状态变量的概率分布函数，用来检验是否满足状态变量的机会约束。

(4)随机输入变量的概率分布与表示为正态分布变量的函数

将随机响应面法应用SOPF的求解中。到按照随机响应面法的步骤，首先将其表示为正态分布变量的函数。

对于负荷的概率特性，通过大量的理论实践验证，可认为其概率分布特性满足正态分布，即式中 分别为有功负荷的标准差和均值。且认为负荷的功率因数恒定，即 为功率因数角。

用ξ表示标准正态分布变量，则负荷功率变量可用标准正态分布变量表示为：

对于新能源接入造成的随机性，比如风电功率变量，处理方式如下：

风力发电机与风速的关系一般可表示为：

$P_w=\left\{\begin{array}{cc}0& v\&le;v_{c1}\\ k_{1}v+k_2& v_{c1}<v\&le;v_r\\ P_r& v_r<v\&le;v_{co}\\ 0& v>v_{co}\end{array}\right.$

$k_1=\frac{P_r}{v_r-v_{c1}}$

式中，k₂＝-k₁v_c1，v_c1为切入风速，v_r为额定风速，v_co为切出风速。

威布尔(Weibull)分布双参数曲线被普遍认为是最适合用于风速统计描述的概率密度函数，其概率密度函数可表达为：

$f\left(v\right)=\frac{k}{c}{\left(\frac{v}{c}\right)}^{k-1}\exp \&lsqb;-{\left(\frac{v}{c}\right)}^k\&rsqb;$

式中，v是风速变量，k和c为Weibull分布的两个参数，k称为形状参数，c称为尺度参数，可有平均风速和标准差近似得到：

经统计，大部分时间内风速维持在v_c1与v_r之间，故P_w与v近似成一次函数关系，因此可以求得风力发电有功功率概率密度如下：

$f\left(P_w\right)=\frac{k}{k_{1}c}{\left(\frac{P_w-k_2}{k_{1}c}\right)}^{k-1}\exp \&lsqb;-{\left(\frac{P_w-k_2}{k_{1}c}\right)}^k\&rsqb;$

风力发电机可以简化处理为PQ节点，假定通过风电机组中电容器的自动投切，可使功率因数恒定不变。这样，无功功率可以这样计算：

风电有功功率变量可认为是三参数的Weibull分布，则可用标准正态分布变量表示为：

$P_w=k_{1}c{\{-log\&lsqb;\frac{1}{2}+\frac{1}{2}erf\left(\frac{\mathrm{\&xi;}}{\sqrt{2}}\right)\&rsqb;\}}^k+k_2$

对于太阳能光伏发电系统，一个太阳能电池方阵，其总的输出有功为

P_p＝rAη

式中，r为光照强度，A为方阵的总面积，η为方阵的总的光电转换效率。

据统计，一段时间内光照强度可以近似看作Beta分布，其概率密度函数如下：

$f\left(r\right)=\frac{\mathrm{\&Gamma;}(\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;})}{\mathrm{\&Gamma;}\left(\mathrm{\&alpha;}\right)\mathrm{\&Gamma;}\left(\mathrm{\&beta;}\right)}{\left(\frac{r}{r_{max}}\right)}^{\mathrm{\&alpha;}-1}{(1-\frac{r}{r_{max}})}^{\mathrm{\&beta;}-1}$

式中，r_max为这段时间的最大光强，α，β为Beta分布的形状参数。

可以得到光伏电池方阵输出功率的概率密度函数也呈Beta分布：

$f\left(P_p\right)=\frac{\mathrm{\&Gamma;}(\mathrm{\&alpha;}+\mathrm{\&beta;})}{\mathrm{\&Gamma;}\left(\mathrm{\&alpha;}\right)\mathrm{\&Gamma;}\left(\mathrm{\&beta;}\right)}{\left(\frac{P_p}{P_{pmax}}\right)}^{\mathrm{\&alpha;}-1}{(1-\frac{P_p}{P_{pmax}})}^{\mathrm{\&beta;}-1}$

式中，P_pmax＝r_maxAη为方阵最大输出功率。

与风力发电类似，光伏发电系统也由电容器组来保证功率因数基本为一常数，因此在潮流计算中也处理为PQ节点，表示为

光伏的有功功率变量可用标准正态分布变量表示为：

$P_p=f^{-1}\&lsqb;\frac{1}{2}+\frac{1}{2}erf\left(\frac{\mathrm{\&xi;}}{\sqrt{2}}\right)\&rsqb;$

式中，f^-1为光伏电池方阵输出功率的概率密度函数的反函数。

(5)计及相关性的基于随机响应法的概率潮流计算

为了进行是否满足机会约束的检验，本发明使用基于随机响应面法的概率潮流方法求取状态变量概率分布函数，同时考虑了输入变量(扰动变量)间的相关性。

在应用随机响应面法进行概率潮流计算时，为了求取多项式系数，要将选择出来的最优配置点转换为原输入变量的样本点，然后带入模型中进行计算。即根据关系x_i＝F_i ^-1(Φ(ξ_i))，由ξ的配置点求X的样本点。

若输入变量X之间存在相关性，则需要将从不相关变量上获取的样本进行变换，使得到的样本点含有相关性，从而能正确的代表系统的真实特性。本发明采取的处理相关性问题的方法是：选取一组相互相关的标准正态分布变量Z，与ξ数目相同。若已知输入变量X的协方差矩阵C_X，可根据Nataf变换理论，先将C_X变换为Z的协方差矩阵C_Z，矩阵中元素的关系为

式中，为相关系数为ρ_z(i,j)的标准二维标准正态分布联合概率密度函数，表达式为：式中ρ＝ρ_z(i,j)。

可以利用Gauss-Hermite积分方法求解上式。

然后对Z的协方差矩阵进行Cholesky分解C_Z＝LL^T，对配置点进行变换得到考虑相关性的配置点Z_pi＝LC_pi。使用公式x_i＝F_i ^-1(Φ(z_i))得到N个配置点对应的输入变量样本X_pi(i＝1,...,N)。

将得到的进行过相关性处理的样本点利用牛顿拉夫逊法进行确定性潮流计算，利用输出变量Y_i(某一状态变量或控制变量)数值，组成输出向量Y。使用选出的配置点C_pi按行构成Hermite系数矩阵H。令A为由混沌多项式系数组成的向量。得到线性方程组HA＝Y，求解方程组得到混沌多项式系数，从而得到该变量的混沌多项式即用一组n个标准正态分布随机变量表示了该变量。

可得到该变量的数字特征，应用核密度估计方法，即可估算出该变量的概率密度函数和概率分布函数。

(6)机会约束的检验和调整

机会约束可用统一的形式表示：

Pr{x_min≤x≤x_max}≥p_rob

式中，p_rob为设定的置信水平，其中x的概率分布函数为F(x)，可以将机会约束表示为

F(x_max)-F(x_min)≥p_rob

如果上式成立，则x满足机会约束限制；否则，x不满足机会约束。当x不满足机会约束时，有以下2种情况：

$1)---\left\{\begin{array}{c}F\left(x_{min}\right)\&ap;0\\ F\left(x_{max}\right)\&le;p_{rob}\end{array}\right.$

$2)---\left\{\begin{array}{c}F\left(x_{min}\right)\&GreaterEqual;1-p_{rob}\\ F\left(x_{max}\right)\&ap;1\end{array}\right.$

值得注意的是，由于电力系统中状态变量在稳态情况下不会出现大范围的波动，即状态变量不会同时以较大的概率违背上下界约束，因而违背机会约束的情

况可以用1)或2)表示。然而，对于一般机会约束而言，这并不总是成立的。针对以上2种不满足机会约束的情况，调整机会约束的上下界，如下式所示：

1)当x满足第1种情况，则

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{min2}=x_{min}\\ x_{\max 2}=x_{max}\&CenterDot;max\{1-\frac{F^{-1}\left(p_{rob}\right)-x_{max}}{x_{max}},1-\mathrm{\&alpha;}\}\end{array}\right.$

2)当x满足第2种情况，则

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{min2}=x_{\min }\&CenterDot;min\{1+\frac{x_{min}-F^{-1}(1-p_{rob})}{x_{min}},1+\mathrm{\&alpha;}\}\\ x_{max2}=x_{\max }\end{array}\right.$

式中，x_min2和x_max2分别为调整后的状态变量上下界；F^-1(·)为x的概率分布的反函数；α为调整系数，作用是防止机会约束上下界的不合理调整。

根据之前步骤所得状态变量的概率分布函数，判断状态变量是否满足对应的机会约束，如果满足机会约束限制，则停止计算，输出结果，包括该组调度下的发电费用、各发电机的有功和无功出力，各节点电压、支路潮流的数字特征和概率分布函数。如果不满足机会约束，则根据公式调整机会约束的上下界，重新进行确定性最优潮流迭代计算并检验，直到找到一组满足所有机会约束的调度方案为止。

(7)下面介绍本发明的一个实施例：

如图所示为修改过的IEEE14节点系统。负荷功率的均值为原值，标准差为原值的10％。在10、11号节点(负荷节点)上各并上一个风电场，根据实测数据得到该风电场的风速满足Weibull(8,2.25)的概率分布，风电场的切入风速为2，额定风速为12，切出风速为22，风电场的额定功率15MW，功率因数为0.95，两个风电场风速之间相关系数为0.7；13、14号节点上各并上一个光伏电站，额定功率20MW，功率因数为0.95，光伏电站出力满足Beta(2.06,12.5)的概率分布，之间的相关系数为0.7。对系统使用本发明所提出的方法，以发电成本最低为目标函数，各节点电压约束为0.94到1.06，机会约束的置信水平为0.95，将确定性OPF和本发明所述SOPF方法应用于系统进行优化。

确定性OPF所得结果应用于系统进行概率潮流分析，同时应用本发明所述SOPF方法，可得到11节点概率分布函数，如图4所示。可看出确定OPF情况下，从概率分析的角度上11节点仍有很大可能性电压越限，而本发明所述SOPF有效地针对此进行了优化。

应用确定性OPF和本发明SOPF，得到的系统各节点电压为图5所示。各节点电压都得到了很好的控制。

确定性OPF调度方案下发电机总出力218.20MW，总发电费用为6115.7；本发明所述SOPF调度方案下发电机总出力218.47MW，总发电费用为6128.4。

Claims (1)

1.一种基于随机响应面法的随机最优潮流计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)输入电力系统信息，确定该系统的优化目标函数以及等值约束、控制变量的不等约束和状态变量的机会约束；

根据系统中负荷的性质和接入的新能源电源性质，确定系统中随机输入变量X(扰动变量)的个数n及其概率分布；并用协方差矩阵描述输入变量间的相关性，则其协方差矩阵为

式中，σ_i为随机变量的标准差，ρ_ij为两个变量间的相关系数。

(2)依据概率变换原理，将所有输入变量标准化，即将输入随机变量用一组标准正态分布随机变量Z的函数关系表示，对其中每一个变量，有

x_i＝F_i ^-1(Φ(z_i))

式中，x_i为某一个输入变量，z_i为与其对应的标准正态分布变量，F_i为x_i的概率分布函数，Φ为z_i的概率分布函数；

考虑随机变量Z之间存在相关性，令其协方差矩阵为C_Z，可根据Nataf变换理论，利用Gauss-Hermite积分方法由C_X计算得出；

(3)使用原对偶内点法进行确定性最优潮流计算，得到一组在当前约束条件下的优化调度方案；

(4)将这组调度方案应用于系统，使用随机响应面法进行概率潮流计算。即构建系统的每个输出变量(某一状态变量或控制变量)的二阶混沌多项式

$Y=a_0+\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_i{\mathrm{\&xi;}}_i+\underset{i=1}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_{ii}({\mathrm{\&xi;}}_i^2-1)+\underset{i=1}{\overset{n-1}{\&Sigma;}}\underset{j>i}{\overset{n}{\&Sigma;}}{a}_{ij}{\mathrm{\&xi;}}_i{\mathrm{\&xi;}}_j$

式中，Y为输出变量，ξ_j为n个不相关的标准正态分布随机变量，对应n个输入变量，a为二阶混沌多项式的各项系数；

使用最优选点方法，按关于原点对称和距离原点最近两个原则，选择出配置点C_pi(i＝1,...,N)；对Z的协方差矩阵进行Cholesky分解C_Z＝LL^T，对配置点进行变换得到考虑相关性的配置点Z_pi＝LC_pi；使用公式x_i＝F_i ^-1(Φ(z_i))得到N个配置点对应的输入变量样本X_pi(i＝1,...,N)，将样本带入系统利用牛顿拉夫逊法进行确定性潮流计算，利用计算出的输出变量Y(某一状态变量或控制变量)数值，组成输出向量Y。使用选出的配置点C_pi按行构成Hermite系数矩阵H，令A为由混沌多项式系数组成的向量。得到线性方程组HA＝Y，求解得到混沌多项式系数。

然后使用核密度估计得到系统各状态变量的概率分布函数；

(5)根据所得概率分布函数，判断状态变量是否满足对应的机会约束，如果满足机会约束限制，则停止计算，输出结果包括该组调度下的发电费用、各发电机的有功和无功出力，各节点电压、支路潮流的数字特征和概率分布函数；

如果不满足机会约束，则调整机会约束的上下界，转到步骤(3)迭代计算，直到找到一组满足所有机会约束的调度方案。