CN107742047B - 一种变相对密度octet点阵结构的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种变相对密度octet点阵结构的设计方法，采用代表性体积单元法提取点阵材料的等效力学性能，并对点阵材料等效力学性能进行归一化处理，获得点阵材料惩罚模型，将该模型直接应用于点阵结构优化的数学模型之中，采用优化准则法对结构最小柔度优化问题进行求解，给出最优的材料分布，并使用“渐进删除操作”对“细”杆件单元进行多级删除，最终在原始均匀点阵结构的基础之上生成具有梯度密度的变相对密度点阵结构。相同材料体积下，同具有最优宏观拓扑的均匀点阵结构相比，通过本发明得到的变相对密度点阵结构具有更佳的力学性能和杆件受力状况。

Description

一种变相对密度octet点阵结构的设计方法

技术领域

本发明涉及octet点阵材料结构静载荷作用下的最小柔度优化问题，具体涉及一种变相对密度octet点阵结构的设计方法，适用于各类拉伸主导型点阵结构的力学性能设计。

背景技术

点阵结构作为一种新型超轻结构，具有优良的比刚度/强度、阻尼减振以及吸声隔热等多功能应用潜力，被越来越多地应用于汽车、船舶、航天航空等工业领域。但是实际工程应用中，受到传统制造工艺的限制，常用的点阵结构往往仅具有单一的相对密度。相较而言，变相对密度点阵结构具有更加多变的结构形式和设计方案，能够适应更加复杂的工作环境的需要，充分展现了点阵结构作为“可编程材料”的应用潜力。而3D打印技术的不断进步使得具有复杂结构形式的变相对密度点阵结构的制造成为可能。因此针对点阵结构的相关特点，在原始单一相对密度点阵结构(下称“均匀点阵结构”)的基础之上对点阵结构进行优化，给出具有更加合理的材料分布的变相对密度点阵结构的设计具有重要意义。

目前已经提出的相关设计方法主要以二维材料/结构层级拓扑优化方法、多尺度有限元方法、二维材料/结构并行优化设计方法以及多尺度各向同性几何拓扑优化设计方法等为代表。二维材料/结构层级拓扑优化方法主要基于均匀化理论，在已知微观胞元结构形式的情况下求均匀化弹性张量，用于求解宏观结构拓扑优化问题，但是均匀化弹性张量和结构响应函数敏度的求解非常复杂，且微单元的最佳形状和方向难以确定，导致均匀化拓扑优化的实现和求解过程复杂。多尺度有限元方法和二维材料/结构并行优化设计方法虽然能够给出最佳的胞元构型和宏观拓扑，但是胞元的相对密度仍然是单一的。多尺度各向同性几何拓扑优化设计方法(IPO)能够在给定胞元构型的基础之上设计出具有最优宏观构型和材料分布的变相对密度二维点阵结构，但是对于解决三维点阵结构优化设计问题仍然有待进一步研究。其他相关文献中的方法或模型也大都限制于二维尺度或者单一相对密度，目前国内外对于变相对密度三维点阵结构的应用潜力还没有得到充分的认识，相关的优化设计方法的研究较少。本发明正是基于上述背景提出的。

发明内容

本发明要解决的技术问题为：克服现有技术的不足，提供一种变相对密度octet点阵结构的设计方法，可以对已知的均匀octet点阵结构进行优化，给出具有最佳材料分布和最优宏观拓扑的变相对密度点阵结构，适用于各类拉伸主导型点阵结构的力学性能设计。

本发明解决上述技术问题采用的技术方案为：一种变相对密度octet点阵结构的设计方法，实现步骤如下：

步骤A，提取octet点阵结构的代表性体积单元，得到其杨氏模量E_i、剪切模量G_ij(i,j＝1,2,3)、等效杨氏模量E_x以及单元刚度矩阵[Q]_octet关于点阵相对密度的显式关系；

步骤B，确定“基点阵材料”的等效杨氏模量和相对密度对步骤A中得到的等效杨氏模量E_x和点阵相对密度进行归一化处理，得到点阵结构等效杨氏模量E_x关于伪密度x的设计公式(即材料惩罚模型)；

步骤C，以伪密度x为设计变量，以结构体积作为约束条件，结合材料惩罚模型，建立点阵结构柔度最小问题的优化模型，采用优化准则法更新设计变量，对问题进行迭代求解；

步骤D，对伪密度x小于删除阈值δ_m的“细”杆件单元进行“渐进删除操作”，再对迭代结果进行收敛性判断，若满足收敛性条件，将δ_m+1作为删除阈值，进行下一轮优化设计循环，直至δ_m大于等于伪密度x的下限δ时终止“渐进删除操作”；

步骤E，根据步骤D所得伪密度x分布生成变相对密度点阵结构。

所述步骤A中杨氏模量E_i、剪切模量G_ij(i,j＝1,2,3)、等效杨氏模量E_x以及单元刚度矩阵[Q]_octet同点阵相对密度的显式关系的实现过程为：

(A1)提取代表性体积单元(如图2所示)，参照欧拉-伯努利梁理论，得到代表性体积单元的杨氏模量和剪切模量分别为：

式中，ν为等效泊松比；是点阵结构相对密度；E_s是所用材料杨氏模量；ν_ij、E_i和G_ij分别是点阵材料的三个泊松比、杨氏模量和剪切模量，i,j＝1,2,3；E_x为点阵材料等效杨氏模量。

(A2)生成octet点阵单元刚度矩阵为：

所述步骤B中点阵材料等效杨氏模量E_x和相对密度归一化处理的实现过程如下：

(B1)确定“基点阵材料”的相对密度和等效杨氏模量，过程如下：

式中，为基点阵材料的等效杨氏模量；为基点阵材料的相对密度，其数值等于点阵材料相对密度的上限若点阵材料相对密度超过这一数值则认为点阵杆件不能作为“欧拉-伯努利梁”进行研究，上述计算公式将存在较大误差。

(B2)点阵材料等效杨氏模量E_x和点阵相对密度关于和进行归一化处理的过程如下：

(B3)以点阵材料相对密度同基点阵材料相对密度的比值作为设计变量x(又称“伪密度”)。等效杨氏模量E_x关于伪密度x的设计公式(材料惩罚模型)为，

式中，伪密度x值域为Λ＝{x:0＜δ≤x≤1}。若某个单元的伪密度x低于δ，则认为对应单元刚度过小、不再具备承载能力，予以删除。

所述步骤C中的点阵材料优化准则的计算过程和“渐进删除操作”的实现过程如下：

(C1)本发明提出的点阵结构优化准则是结合Kuhn-Tucker条件和材料惩罚模型得到的。具体建立过程为：

(C11)引入拉格朗日系数，建立目标函数的拉格朗日方程为：

式中，x_i为第i个单元的伪密度。根据Kuhn-Tucker条件，得到优化方程的极值x^*满足以下条件：

(C12)代入材料惩罚模型有：

式中，B_i为优化准则；c_i为第i个单元的柔度；v_sp为单个点阵胞元所占空间的体积，当单元大小一致时v_sp是常量；λ为拉格朗日乘子。

(C2)本发明提出的“渐进删除操作”是对采用优化准则法计算得到的伪密度x进行甄别和筛选，删除“细”杆件点阵单元，具体实现过程如下：

(C21)定义一个删除阈值的n维递增等差数列，

{δ_m|0＜δ_m≤δ_n＝δ,m＝1,2,…,n}

式中，删除阈值δ_m的上确界为伪密度x下限δ。

(C22)在删除阈值δ_m之下，对单元伪密度x_i进行“分类”如下：

式中，表示第k次优化设计循环过程中第i个单元的伪密度；D_d为删除单元集合；D_r为保留单元集合。

(C23)对集合D_d中单元的等效杨氏模量进行删除操作如下：

(C24)优化设计循环的收敛性判断如下：

式中，ε为收敛精度。若结构总柔度满足收敛性要求，则停止优化设计循环，将删除阈值δ_m替换为δ_m+1进行下一轮优化设计循环。直至删除阈值大于或者等于δ，整个结构优化过程结束。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)本发明采用代表性体积单元法提取点阵材料的等效力学性能，并对点阵材料等效力学性能进行归一化处理，获得点阵的材料惩罚模型，该过程可以用于提取其他构型的空间类桁架点阵材料的材料惩罚模型；

(2)本发明在变密度固体各向同性材料惩罚模型(SIMP)的基础之上，提出了点阵结构柔度最小问题的优化模型，该模型不依赖于点阵结构的具体形式和受载情况，对空间类桁架点阵结构柔度优化问题均适用。

(3)本发明在采用优化准则法求解结构优化问题的基础之上，考虑点阵材料相对密度的下限，提出了“渐进删除操作”，通过多级删除的方式获得点阵结构的最优宏观拓扑。

(4)本发明能够对均匀三维octet点阵结构进行宏观和微观两个尺度的并行优化设计，优化后的力学性能优于同等材料用量下的具有最优宏观拓扑的均匀点阵结构。

附图说明

图1是本发明提出的octet点阵结构优化设计方法的流程图；

图2是octet点阵结构代表性体积单元的CAD示意图；

图3是数值算例中原始点阵结构的CAD模型示意图，其中，图3(a)为原始点阵结构边界条件和加载方式的示意图，图3(b)为原始点阵结构的CAD示意图；

图4是具有宏观最优拓扑的均匀点阵结构和变相对密度点阵结构的CAD示意图，其中，图4(a)为具有宏观最优拓扑的均匀点阵结构的CAD示意图，图4(b)为变相对密度点阵结构的CAD示意图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施例进一步说明本发明。

本发明采用代表性体积单元法提取点阵材料的等效力学性能，并对点阵材料等效力学性能进行归一化处理，获得点阵材料惩罚模型，将该模型直接应用于点阵结构优化的数学模型之中，采用优化准则法对结构最小柔度优化问题进行求解，给出最优的材料分布，并使用“渐进删除操作”对“细”杆件单元进行多级删除，最终在原始均匀点阵结构的基础之上生成具有梯度密度的变相对密度点阵结构。

如图1所示，本发明包含变相对密度octet点阵结构的优化设计方法的具体实现步骤为：

1、采用代表性体积单元法得到杨氏模量E_i、剪切模量G_ij(i,j＝1,2,3)、等效杨氏模量E_x以及单元刚度矩阵[Q]_octet关于点阵相对密度的显式表达。提取代表性体积单元(如图2所示)参照欧拉-伯努利梁理论，得到代表性体积单元的杨氏模量和剪切模量分别为：

式中，ν为等效泊松比；是点阵结构相对密度，r和l分别是杆件半径和杆件长度；E_s是所用材料杨氏模量；ν_ij、E_i和G_ij分别是点阵材料的三个泊松比、杨氏模量和剪切模量，i,j＝1,2,3；E_x为点阵材料等效杨氏模量。在此基础之上生成octet点阵单元刚度矩阵为：

以[Q]_octet作为“虚拟”正交各向异性材料的单元刚度矩阵输入到有限元模型之中。

2、给定点阵材料相对密度上限设定“基点阵材料”的相对密度为：

对步骤1中得到的单元等效杨氏模量和点阵相对密度进行归一化处理如下：

式中，为基点阵材料的等效杨氏模量。选取点阵材料相对密度同基点阵材料相对密度的比值作为设计变量x(又称“伪密度”)。故得到等效杨氏模量E_x关于伪密度x的设计公式为，

给定点阵材料相对密度下限有单元伪密度x下限

3、以伪密度x为设计变量，以结构体积作为约束条件，建立点阵结构柔度最小问题的优化模型为：

Find:X＝{x₁,x₂,…,x_n}^T∈R

min:C(X)＝U^TKU

s.t.KU＝F

0＜x_i≤1

(i＝1,2,3,……,n)

式中，X为设计变量向量，即伪密度向量；x_i为第i个单元的伪密度；C是结构总柔度，K是全局刚度矩阵，U和F分别是全局位移和外载荷向量，V(X)和VR分别是点阵结构所用材料总体积和材料体积分数；v_sp是各个点阵胞元所占空间的体积构成的向量，是初始设计区域所占空间的体积。

采用优化准则法更新设计变量，对问题进行迭代求解。点阵材料优化准则如下：

式中，B_i为优化准则；c_i为第i个单元的柔度；v_sp为单个点阵胞元所占空间的体积，当单元大小一致时v_sp是常量；λ为拉格朗日乘子。计算优化准则之后采用下式更新设计变量。

式中，move为一个正值的常数。

4、对伪密度x小于删除阈值δ_m的“细”杆件单元进行“渐进删除操作”。先定义一个删除阈值的n维递增等差数列，

{δ_m|0＜δ_m≤δ_n＝δ,m＝1,2,…,n}

式中，删除阈值δ_m的最大值为伪密度下限δ。

在删除阈值δ_m之下，对单元伪密度x_i进行“分类”如下：

式中，D_d为删除单元集合；D_r为保留单元集合；k为优化设计循环数。对集合D_d中单元的等效杨氏模量进行删除操作如下：

对结构进行收敛性判断如下：

式中，ε为收敛精度。若结构总柔度满足收敛性要求，则停止优化设计循环，删除阈值δ_m替换为δ_m+1进行下一轮优化设计循环。直至δ_m大于等于δ，渐进删除操作结束。

5、根据步骤D所得伪密度x分布的生成变相对密度点阵结构。

在上述变相对密度octet点阵结构的设计方法中，octet点阵材料的相对密度的取值范围为对应有“基点阵材料”的相对密度为0.600；伪密度x下限δ为0.04。

实施例1：四角固支的长方体octet点阵结构的优化

图3为四角固支的长方体octet点阵结构尺寸和加载方式示意图，各条边上单元数量分别为20×20×10。材料杨氏模量E_s为1000Pa，泊松比υ为0.33。原始均匀点阵结构的相对密度为0.2666(对应杆件细长比为0.1)，材料体积分数VR为0.0933。

1.本实例分别在底部四角10×10mm²的范围内约束位移，在顶部中央10×10mm²的范围内施加垂直向下的面载荷P＝1MPa。

2.基于有限元软件ANSYS建立点阵结构有限元分析模型并进行有限元分析。本实例计算过程中采用正交各向异性单元代替点阵单元进行仿真分析，将点阵材料的单元刚度矩阵[Q]_octet输入有限元软件作为正交各向异性单元的单元刚度矩阵。

3.将“基点阵材料”的相对密度伪密度x的下限δ、材料体积分数VR以及有限元计算模型输入本发明所提出的变相对密度octet点阵结构的优化设计程序中，获得具有宏观最优拓扑和微观材料分布的变相对密度点阵结构；将材料体积分数VR、原始均匀点阵结构的相对密度以及有限元计算模型输入变密度固体各向同性材料惩罚模型(SIMP)，获得具有最优宏观拓扑的均匀点阵结构。

4.分别比较优化得到的变相对密度点阵结构与具有最优宏观拓扑的均匀相对密度点阵结构的柔度。如表1所示，变相对密度点阵结构的柔度均小于原始点阵和均匀点阵，即变相对密度点阵结构具有更大的结构刚度。

5.分别将优化得到的变相对密度点阵结构与具有最优宏观拓扑的均匀相对密度点阵结构的杆件受力状况进行比较。如表1所示(表1中C和T分别代表压缩和拉伸)，变相对密度点阵结构的最大杆件拉伸和压缩应力的数值小于原始点阵结构和均匀点阵，说明变相对密度点阵结构具有更佳的杆件受力状态；变相对密度点阵结构的杆件平均应力要高于原始点阵结构，即结构承载效率有了显著提升。

表1点阵结构优化设计结果对比

本发明未详细公开的部分属于本领域的公知技术。

尽管上面对本发明说明性的具体实施方式进行了描述，以便于本技术领域的技术人员理解本发明，但应该清楚，本发明不限于具体实施方式的范围，对本技术领域的普通技术人员来讲，只要各种变化在所附的权利要求限定和确定的本发明的精神和范围内，这些变化是显而易见的，一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。

Claims (1)

1.一种变相对密度octet点阵结构的设计方法，其特征在于：包括以下几个步骤：

步骤A，提取octet点阵结构的代表性体积单元，得到其杨氏模量E_i、剪切模量G_ij，i＝1,2,3，j＝1,2,3、等效杨氏模量E_x以及单元刚度矩阵[Q]_octet同点阵相对密度的显式关系；

步骤B，确定基点阵材料的等效杨氏模量和相对密度以及点阵材料的相对密度范围对步骤A中得到的等效杨氏模量E_x和点阵相对密度进行归一化处理，得到点阵结构等效杨氏模量E_x关于伪密度x的设计公式，即材料惩罚模型；

步骤C，以伪密度x为设计变量，以结构体积作为约束条件，结合材料惩罚模型，建立点阵结构柔度最小问题的优化模型，采用优化准则法更新设计变量，对问题进行迭代求解；

步骤D，对伪密度x小于删除阈值δ_m的“细”杆件单元进行“渐进删除操作”，再对迭代结果进行收敛性判断，若满足收敛性条件，将δ_m+1作为删除阈值，进行下一轮优化设计循环，直至δ_m大于等于伪密度x的下限δ时终止“渐进删除操作”；

步骤E，根据步骤D所得伪密度x分布生成变相对密度点阵结构；

所述步骤A中得到的杨氏模量E_i、剪切模量G_ij以及单元刚度矩阵[Q]_octet同点阵相对密度的显式关系表达式如下：

式中，ν为等效泊松比；是点阵结构相对密度；E_s是所用材料杨氏模量；ν_ij、E_i和G_ij分别是点阵材料的三个泊松比、杨氏模量和剪切模量，i＝1,2,3，j＝1,2,3；E_x为点阵材料等效杨氏模量；

所述步骤B中的点阵材料惩罚模型为：

式中为基点阵材料的等效杨氏模量；x为伪密度，其表达式为：

其中x的值域Λ＝{x:0＜δ≤x≤1}， 是基点阵材料的相对密度，其值等于点阵材料相对密度的上限

所述步骤C中的点阵结构柔度最小问题的优化模型为：

Find:X＝{x₁,x₂,…,x_n}^T∈R

min:C(X)＝U^TKU

s.t.KU＝F

0＜x_q≤1

q＝1,2,3,……,n

式中，X为设计变量向量，即伪密度向量；x_q为第q个单元的伪密度；C是结构总柔度，K是全局刚度矩阵，U和F分别是全局位移和外载荷向量，V(X)和VR分别是点阵结构所用材料总体积和材料体积分数；v_sp是各个点阵胞元所占空间的体积构成的向量，是初始设计区域所占空间的体积；

所述步骤D中的点阵材料优化准则如下：

式中，B_q为优化准则；c_q为第q个单元的柔度；v_sp为单个点阵胞元所占空间的体积，当单元大小一致时v_sp是常量；λ为拉格朗日乘子；

所述步骤C中的“渐进删除操作”如下：

(1)定义一个删除阈值的W维递增等差数列，

{δ_m|0＜δ_m≤δ_n＝δ,m＝1,2,…,W}

式中，删除阈值δ_m的最大值为伪密度x下限δ；

(2)在删除阈值为δ_m之下，对第q个单元伪密度x_q进行“分类”如下：

式中，D_d为删除单元集合；D_r为保留单元集合；k为优化设计循环数，对集合D_d中单元的等效杨氏模量进行删除操作如下：

对结构进行收敛性判断如下：

式中，ε为收敛精度，若结构总柔度满足收敛性要求，则停止优化设计循环，删除阈值δ_m替换为δ_m+1进行下一轮优化设计循环，直至δ_m大于等于δ，渐进删除操作结束；

在上述变相对密度octet点阵结构的设计方法中，octet点阵材料的相对密度的取值范围为对应有基点阵材料的相对密度为0.600；伪密度x下限δ为0.04。