CN107678411B - 一种不相关并行机混合流水车间调度的建模方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种不相关并行机混合流水车间调度的建模方法，该建模方法以最小化最大完工时间为目标。针对不相关并行机混合流水车间调度自身的特点，基于机床位置关系、同一机器两工件先后关系、同一机器两相邻工件间先后关系、同一加工阶段两工件先后关系、加工阶段位置关系等5种建模思想，提出了多个混合整数线性规划模型。接着，对所提出模型从建模过程、模型尺寸复杂度、计算复杂度等方面进行了详细的对比评估。使用CPLEX求解器对HFSP调度实例进行求解，验证了本文MILP模型的正确性与有效性。试验结果表明基于同一加工阶段先后关系的MILP模型求解效果最好，在今后的应用中可优先选用。
Description
技术领域
本发明属于计算机集成制造领域，更具体地，涉及一种不相关并行机混合流水车间调度的建模方法。
背景技术
混合流水车间调度问题(Hybrid flow shop scheduling problem,HFSP)，又称为柔性流水车间调度问题(Flexible flow shop scheduling problem,FFSP)，应用行业很广，如化工、冶金、纺织、机械、半导体、物流、造纸、建筑等很多领域问题都可归结为HFSP。
HFSP按照并行机类型分为3类:相同并行机HFSP、均匀并行机HFSP以及不相关并行机HFSP。不相关并行机HFSP即不同并行机的加工速度取决于具体的工件，工件在同一阶段不同并行机上的加工时间互不相关。且不相关并行机HFSP是3类HFSP中最为复杂的。
HFSP主要可以通过精确算法和近似算法两大类来求解。其中精确算法包括如数学模型、分支定界等，虽然与遗传算法(GA)、模拟退火(SA)、禁忌搜索(TS)、人工蜂群算法(ABC)、候鸟优化算法(MBO)、优先分配规则(PDR)、精确算法与元启发式的混合算法等启发式近似算法相比，计算速度慢，一般只能解决小规模问题，对于中大规模问题很难求出可行解甚至会使电脑内存溢出，根本没法求解，但是针对小规模问题，精确算法可以求出最优解，而启发式方法是近似方法，解的质量则不能保证，因此研究精确算法的求解效率在解决调度问题上面有重要意义。
因此，降低HFSP模型的规模对于获得精确解十分有必要。至目前，虽然关于HFSP的数学模型很多，但是大部分是非线性的、针对均匀并行机HFSP的，有些甚至是不可行的。
发明内容
针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种不相关并行机混合流水车间调度的建模方法，其目的在于解决现有的建模方法所建立模型规模大而导致无法求出精确解的技术问题。
为实现上述目的，按照本发明的一个方面，提供了一种不相关并行机混合流水车间调度的建模方法，其特征在于，包括如下步骤：
作为本发明的一方面，本发明提供一种不相关并行机混合流水车间调度的建模方法，包括如下步骤：
以最大完工时间变量作为目标函数完成目标函数建立；
根据最大完工时间变量、加工机床占用变量、加工位置占用变量以及加工时间变量集建立约束集；
其中，加工机床占用变量为与工件序号和机床序号相关的二维决策变量，加工位置占用变量为与工件序号和位置序号相关的三维决策变量；
约束集包括如下约束：对任一工件在任一加工阶段只能在一台机床加工的约束，对任何一个机床的任一位置最多安排一个工件的约束，对任一工件的前续加工阶段的结束时间不大于后续加工阶段的开始时间的约束，加工时间变量集中各加工时间变量的关系以及对最大完工时间的约束；
对任一工件在任一加工阶段只能在一台机床加工的约束根据加工机床占用变量获得；对任何一个机床的任一位置最多安排一个工件的约束根据加工位置占用变量获得；对任一工件的前续加工阶段的结束时间不大于后续加工阶段的开始时间的约束以及加工时间变量集中各加工时间变量的关系根据加工时间变量集获得，对最大完工时间的约束根据最大完工时间变量和加工时间变量集获得。
优选地，当加工时间变量集中包括加工位置结束时间和加工位置开始时间且加工位置占用变量还与机床序号相关时；
根据加工位置结束时间变量、加工位置开始时间变量以及加工位置占用变量获得表示对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；根据最大完工时间变量和加工位置结束时间变量获得对最大完工时间的约束；
获得如下加工时间变量集中各加工时间变量的关系约束：根据加工位置占用变量、加工位置结束时间变量以及加工位置开始时间变量获得对加工位置结束时间变量与加工位置开始时间变量之间关系的约束；
约束集还包括获得对任一机床的位置按照先后顺序安排工件加工的约束、获得对加工机床占用变量和加工位置占用变量之间关系的约束以及根据加工位置结束时间变量和加工位置开始时间变量获得对任何机床加工位置开始时间不小于所述机床紧前位置的结束时间的约束；
当加工时间变量集中包括加工阶段结束时间和加工阶段开始时间且加工位置占用变量还与机床序号相关时；
根据加工阶段结束时间变量和加工阶段开始时间变量获得表示对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；根据最大完工时间变量和加工阶段结束时间变量获得对最大完工时间的约束；
获得如下加工时间变量集中各加工时间变量的关系约束：根据加工阶段结束时间变量、加工阶段开始时间变量以及加工机床占用变量获得对加工阶段开始时间变量与加工阶段结束时间变量之间关系的约束；
约束集还包括获得对任一机床的位置按照先后顺序安排工件加工的约束、获得对加工机床占用变量和加工位置占用变量之间关系的约束以及根据加工阶段结束时间变量、加工阶段开始时间变量以及加工位置占用变量获得对任何机床加工位置开始时间不小于所述机床紧前位置的结束时间的约束；
当加工时间变量集中包括加工阶段结束时间和加工阶段开始时间时且加工位置占用变量还与加工阶段序号相关时；
根据加工阶段结束时间变量和加工阶段开始时间变量获得表示对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；根据最大完工时间变量和加工阶段结束时间变量获得对最大完工时间的约束；
获得如下加工时间变量集中各加工时间变量的关系约束：根据加工阶段结束时间变量、加工阶段开始时间变量以及加工机床占用变量获得对加工阶段开始时间变量与加工阶段结束时间变量之间关系的约束；
约束集还包括如下约束：根据加工阶段结束时间变量、加工阶段开始时间变量、加工位置占用变量获得对任何机床两不同工件先后关系的约束。
优选地，当加工时间变量集中包括加工位置结束时间和加工位置开始时间且加工位置占用变量还与机床序号相关时；
根据公式获得对任一工件在任一阶段只能在一台机床加工的约束；
根据公式获得加工机床占用变量和加工位置占用变量之间关系的约束；
根据公式获得对任何一个机床的任一位置最多安排一个工件的约束；
根据公式获得对任一机床的位置按照先后顺序安排工件加工的约束；
根据公式获得对加工位置结束时间变量与加工位置开始时间变量之间关系的约束；
根据公式获得对任何机床加工位置开始时间不小于所述机床紧前位置的结束时间的约束；
根据获得对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；
根据公式获得对最大完工时间的约束；
当加工时间变量集中包括加工阶段完工时间和加工阶段开始时间且加工位置占用变量还与机床序号相关时；
根据公式获得对任一工件在任一阶段只能在一台机床加工的约束；
根据公式获得加工机床占用变量和加工位置占用变量之间关系的约束；
根据公式获得对任何一个机床的任一位置最多安排一个工件的约束；
根据公式获得对任一机床的位置按照先后顺序安排工件加工的约束；
根据公式获得对加工阶段开始时间变量与加工阶段结束时间变量之间关系的约束；
根据公式获得对任何机床加工位置开始时间不小于所述机床紧前位置的结束时间的约束；
根据公式获得对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；
根据公式获得对最大完工时间的约束；
当加工时间变量集中包括加工阶段完工时间和加工阶段开始时间时且加工位置占用变量还与加工阶段序号相关时；
根据公式获得对任一工件在任一阶段只能在一台机床加工的约束；
根据公式对任一阶段的任一位置安排一个工件的约束；
根据公式获得对加工阶段开始时间变量与加工阶段结束时间变量之间关系的约束；
根据公式获得对任何机床两不同工件先后关系的约束；
根据公式获得对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；
根据公式获得对最大完工时间的约束。
作为本发明提供的另一方面，本发明提供一种不相关并行机混合流水车间调度的建模方法，包括如下步骤：
以最大完工时间变量作为目标函数完成目标函数建立；
根据最大完工时间变量、加工位置占用变量、加工位置开始时间变量以及加工阶段开始时间变量建立约束集；
其中，加工位置占用变量为与工件序号、机床序号以及位置序号相关的三维决策变量；约束集包括对任一工件在任一阶段只能在一个机床一个位置上加工的约束、对任何一个机床的任一位置最多安排一个工件的约束以及对任一机床的位置按照先后顺序安排工件加工的约束、对工件在某个机床某个位置的开始时间与该工件对应加工阶段的开工时间之间关系的约束、对任何机床加工位置开始时间不小于所述机床紧前位置的结束时间的约束、对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后阶段的开始时间的约束以及对最大完工时间的约束，完成模型建立
对任一工件在任一阶段只能在一个机床一个位置上加工的约束、对任何一个机床的任一位置最多安排一个工件的约束以及对任一机床的位置按照先后顺序安排工件加工的约束根据加工位置占用变量获得；对工件在某个机床某个位置的开始时间与该工件对应加工阶段的开工时间之间关系的约束根据加工位置占用变量、加工阶段开始时间变量以及加工位置开始时间变量获得；对任何机床加工位置开始时间不小于所述机床紧前位置的结束时间的约束根据加工位置占用变量和加工位置开始时间变量；对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后阶段的开始时间的约束根据加工位置占用变量和加工阶段开始时间变量获得，对最大完工时间的约束根据最大完工时间变量、加工阶段开始时间变量以及加工位置占用变量获得。
优选地，根据如下公式获得如下约束：
根据公式获得对任一工件在任一阶段只能在一个机床一个位置上加工的约束；
根据公式获得对任何一个机床的任一位置最多安排一个工件的约束；
根据公式获得对任一机床的位置按照先后顺序安排工件加工的约束；
根据公式和公式获得对工件在某个机床某个位置的开始时间与该工件对应加工阶段的开工时间之间关系的约束；
根据公式获得对任何机床加工位置开始时间不小于所述机床紧前位置的结束时间的约束；
根据公式获得对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；
根据公式获得对最大完工时间的约束。
作为本发明的另一方面，本发明提供一种不相关并行机混合流水车间调度的建模方法，包括如下步骤：
以最大完工时间变量作为目标函数完成目标函数建立；
根据加工阶段结束时间变量、加工阶段开始时间变量、最大完工时间变量以及工件前后顺序变量建立约束集，完成模型建立；
约束集包括对任一工件在任一加工阶段只能在一台机床加工的约束、对加工阶段开始时间变量与加工阶段结束时间变量之间关系约束、对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束、对最大完工时间的约束以及对同一机床上加工两个不同工件的先后关系的约束；
对加工阶段开始时间变量与加工阶段结束时间变量之间关系约束和对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束根据加工阶段结束时间变量和加工阶段开始时间变量获得；对最大完工时间的约束根据加工阶段结束时间和最大完工时间变量获得；对同一机床上加工两个不同工件的先后关系的约束根据工件前后顺序变量、加工阶段结束时间变量以及加工阶段开始时间变量获得。
优选地，当决策变量还包括加工机床占用变量，且工件前后顺序变量用于表示一个工件在机床上加工先于另一个工件时，
获得对加工阶段开始时间变量与加工阶段结束时间变量之间约束和获得同一机床上加工两个不同工件的先后关系均还需要根据加工机床占用变量；
当决策变量还包括加工机床占用变量，且工件前后顺序变量用于表示一个工件某个加工阶段先于另一个工件时，
获得对加工阶段开始时间变量与加工阶段结束时间变量之间约束和获得同一机床上加工两个不同工件的先后关系均还需要根据加工机床占用变量；
当决策变量还包括加工机床占用变量，且工件前后顺序变量用于表示一个工件在机床上直接先于另一个工件时，
获得对加工阶段开始时间变量与加工阶段结束时间变量之间约束还需要根据加工机床占用变量；还包括获得对工件前后顺序变量和加工机床占用变量之间的关系的约束和根据加工机床占用变量和工件前后顺序变量获得对机床上工件加工的成环约束；
当决策变量中还包括工件前后顺序变量用于表示一个工件在机床上直接先于另一个工件时，
获得对加工阶段开始时间变量与加工阶段结束时间变量之间关系的约束还需根据工件前后顺序变量；还包括根据工件前后顺序变量获得对机床上工件加工的成环约束和对对每个工序最多只有一个紧后工序的约束。
优选地，当决策变量还包括加工机床占用变量，且工件前后顺序变量用于表示一个工件在机床上加工先于另一个工件时；
根据公式获得对任一工件在任一加工阶段只能在一台机床加工的约束；
根据公式获得对加工阶段开始时间与加工阶段结束时间变量之间约束；
根据公式获得对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；
根据公式获得对最大完工时间的约束；
根据公式和获得对同一机床上加工两个不同工件的先后关系的约束；
当决策变量还包括加工机床占用变量，且工件前后顺序变量用于表示一个工件某个加工阶段先于另一个工件时，
根据公式获得对任一工件在任一加工阶段只能在一台机床加工的约束；
根据公式获得对加工阶段开始时间与加工阶段结束时间变量之间约束；
根据公式获得对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；
根据公式获得对最大完工时间的约束；
根据公式和获得同一机床上加工两个不同工件的先后关系；
当决策变量还包括加工机床占用变量，且工件前后顺序变量用于表示一个工件在机床上直接先于另一个工件时，
根据公式获得对任一工件在任一加工阶段只能在一台机床加工的约束；
根据公式获得对加工阶段开始时间与加工阶段结束时间变量之间约束；
根据公式获得对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；
根据公式获得对最大完工时间的约束；
根据公式获得同一机床上加工两个不同工件的先后关系；
根据公式和公式获得机床上工件加工的成环约束；
当决策变量中还包括工件前后顺序变量用于表示一个工件在机床上直接先于另一个工件时，
根据公式获得对任一工件在任一加工阶段只能在一台机床加工的约束；
根据公式获得对加工阶段开始时间与加工阶段结束时间变量之间约束；
根据公式获得对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；
根据公式获得对最大完工时间的约束；
根据公式获得同一机床上加工两个不同工件的先后关系；
根据公式获得机床上工件加工的成环约束；
根据公式获得对每个工序最多只有一个紧后工序的约束。
总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，能够取得下列有益效果：
1、本发明引入加工位置占用变量，考虑到加工机床和加工阶段之间的关系，让加工位置变量为关于工件序号、位置序号以及机床序号或者为关于工件序号、位置序号以及加工阶段序号的三维变量，加工机床占用变量为机床序号和工件序号的二维变量，降低决策变量维数，有效降低所建立模型的规模。
2、本发明考虑到加工时间变量集中加工阶段开始时间变量、加工阶段结束时间变量、加工位置开始时间变量以及加工位置结束时间变量之间的关系，去除加工阶段结束时间变量和加工位置结束时间变量或者去除加工位置开始时间变量和加工位置结束时间变量或者去除加工阶段开始时间变量和加工阶段结束时间变量，减少了决策变量数量，通过引入相应约束，得到可行模型。考虑到机床占用变量与机床位置占用变量，加工阶段开始时间与加工阶段结束时间的关系，以及机床位置开始时间与机床位置结束时间的关系，去除机床占用变量、加工阶段结束时间、机床位置结束时间，减少模型决策变量个数以及约束方程数，有效降低了模型的复杂度。
3、本发明通过引入加工阶段位置占用变量、同一机器两工件先后关系、同一机器相邻工件先后关系以及同一加工阶段两工件先后关系决策变量，分别建立了相应的有效模型，并对相应模型进行简化得到了精简模型。
附图说明
图1为本发明提供的不相关并行机混合流水车间调度的建模方法第一实施例的流程图；
图2为本发明提供的不相关并行机混合流水车间调度的建模方法第六实施例的流程图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。
模型1：图1为本发明提供的不相关并行机混合流水车间调度的建模方法第一实施例的流程图，该建模方法包括：
根据决策变量建立目标函数，其中，目标函数为包含最大完工时间的表达式；
符号定义如下：
记i为工件序号，n为工件总数，I为工件集合{1,2,···,n}，且i∈I；j为加工阶段序号，S为加工阶段总数，J为加工阶段集合{1,2,···,S}，且j∈J；k为机床序号，m为机床总数，mj为加工阶段j的并行机数，Kj为加工阶段j的并行机床集合{1,2,···,mj}，K为总机床集合{1,2,···,m}；t为机床位置序号，P为机床位置集合{1,2,···,n}，每个机床位置总数与工件总数相等，且t∈P；pti,k为工件i在机床k上的加工时间，M为一个极大正数。M根据加工时间pti,k、工件总数n以及加工阶段总数S确定。
不相关并行机混合流水车间调度问题可描述为：
n个工件在含有S个加工阶段的流水线上进行加工，各个阶段至少存在一台机床且至少有一个阶段存在2台或多台机床，且同一阶段的多台机床加工同一零件的加工时间是不一样的，每个阶段对应一道工序，所有工件必须按顺序经过S个阶段的加工。
该问题满足以下基本假设：
机床与工件在0时刻均处于可用状态；所有工件在所有机床上的加工时间是已知的；相邻阶段之间缓冲区无限大；同一机床上不同工件间的转换时间、以及同一工件不同阶段间的运输时间忽略不计；工件可在每阶段的任一机床上加工；工件工序一旦开始加工则不可中断；对于每个机床，在同一时刻最多只能加工一个工件；对于每个工件，在同一时刻只能最多只能被一台机床加工；所有工件后一阶段的加工必须在前一阶段加工完工后方可开始；不同工件的工序之间没有先后约束；
引入决策变量：
加工机床占用变量Xi,k，表示第i个工件是否在第k个机床上加工，其中，
加工位置占用变量Yi,k,t，表示第i个工件是否在第k个机床上第t个位置加工，其中，
加工位置结束时间变量Fk,t，表示第k机床上第t个位置的结束时间。
加工位置开始时间变量Sk,t，表示第k机床上第t个位置的开始时间。
最大完工时间变量Cmax，表示n个工件加工完S个加工阶段所需时间。
建立目标函数：
最小化最大完工时间目标：Minimize Cmax
引入约束条件：
Sk,t≥0,k∈K,t∈P (9)
式(1)表示对任一工件在任一阶段只能在一台机床加工的约束；
式(2)表示为对加工机床占用变量和加工位置占用变量之间关系的约束，如果Xi,k＝1即工件i选择在机床k上加工，那么工件i一定得占用机床k的一个位置；
式(3)表示对任何一个机床的任一位置最多安排一个工件的约束，用于约束机床的任一位置最多只能处理一个工件；
式(4)表示对任一机床的位置按照先后顺序安排工件加工的约束，用于约束任一机床的位置按先后顺序安排加工工件；
式(5)表示对加工位置结束时间变量与加工位置开始时间变量之间关系的约束，
式(6)表示对任一机床位置的开始时间必须大于等于其紧前位置的结束时间的约束；
式(7)表示对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；
式(8)表示对最大完工时间的约束；
式(9)表示所有机床位置在0时刻及以后才能开始加工。
约束条件以及每个约束方程的约束数量见表1：
表1模型1每个约束方程的约束数目
模型1-1：本发明提供的不相关并行机混合流水车间调度的建模方法第二实施例与第一实施例存在如下区别：
决策变量不同，本实施例中将加工位置结束时间变量和加工位置开始时间变量替换为加工阶段结束时间变量Ei,j和加工阶段开始时间变量Bi,j。加工阶段结束时间变量Ei,j用于表示工序Oi,j的结束时间。加工阶段开始时间变量Bi,j用于表示工序Oi,j的开始时间。
约束存在如下不同：
用式(10)替换(6)，用于表示对任一机床位置的开始时间必须大于等于其紧前位置的结束时间的约束；
用式(11)替换(7)，用于表示对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；
用式(12)替换(8)，用于表示对最大完工时间的约束；
新增(13)，用于表示所有工件在0时刻及以后才能开始加工；
新增约束(14)用于表示对加工阶段结束时间变量与加工阶段开始时间变量之间关系的约束，用于约束任一机床位置的结束时间等于开始时间加上安排在其上工件的加工时间；
约束条件以及每个约束方程的约束数量见表2：
表2模型1-1每个约束方程的约束数目
| 约束方程 | 约束数量 | 约束方程方程 | 约束数量 |
| (1) | nS | (11) | n(S-1) |
| (2) | nm | (12) | n |
| (3) | nm | (13) | nS |
| (4) | (n-1)m | (14) | nS |
| (10) | n2(n-1)m |
模型1-2：本发明提供的不相关并行机混合流水车间调度的建模方法第三实施例与第一实施例存在如下区别：
决策变量不同，本实施例中将加工位置结束时间变量和加工位置开始时间变量替换为加工阶段结束时间变量和加工阶段开始时间变量。同时将表示第i个工件是否在第k个机床上第t个位置加工的加工位置占用变量Yi,k,t替换成表示第i个工件在第j个加工阶段是否在第t个位置加工的加工位置占用变量Yi,j,t，
约束存在如下不同：
用式(11)替换(7)，对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束
用式(12)替换(8)，用于表示对最大完工时间的约束；
新增(13)，用于表示所有工件在时刻0及以后才能开始加工；
新增约束(14)用于表示对加工阶段结束时间变量与加工阶段开始时间变量之间关系的约束；
新增式(15)用于表示对任何机床两不同工件先后关系的约束；即用来约束在同一加工阶段中，如果工件i在加工阶段j的位置t比工件ii的位置tt靠前，且工件i与工件ii安排在同一台机床上加工，那么工件ii的开始时间不小于工件i的结束时间：
用式(16)用于表示获得对任一阶段的任一位置安排一个工件的约束：
约束条件以及每个约束方程的约束数量见表3：
表3模型1-2每个约束方程的约束数目
| 约束方程 | 约束数量 | 约束方程方程 | 约束数量 |
| (1) | nS | (14) | nS |
| (11) | n(S-1) | (15) | n3(n-1)m/2 |
| (12) | n | (16) | nS |
| (13) | nS |
模型1-3：本发明提供的不相关并行机混合流水车间调度的建模方法第四实施例与第一实施例存在如下区别：
决策变量不同，本实施例中减少了加工机床占用变量Xi,k。
约束存在如下不同：
用(17)来替换(1)，用来约束任一工件在任一阶段只能在一个机床一个位置上加工；
用(18)替换(6)，用来表示对任一机床位置的开始时间必须大于等于其紧前位置的结束时间的约束；
用(19)替换(7)，用对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；
用(20)替换(8)，用来表示对最大完工时间的约束；
新增约束式(21)和式(22)，式(21)和式(22)为对工件在某个机床某个位置的开始时间与该工件对应加工阶段的开工时间之间关系的约束，表示机床位置的开始时间等于其所加工工件对应加工阶段的开工时间，结合式(5)与(14)，同时约束了机床位置的结束时间等于其所加工工件对应加工阶段的结束时间；
新增(13)，用于表示所有工件在0时刻及以后才能开始加工；
约束条件以及每个约束方程的约束数量见表4：
表4模型1-3每个约束方程的约束数目
| 约束方程 | 约束数量 | 约束方程 | 约束数量 |
| (3) | nm | (18) | (n-1)m |
| (4) | (n-1)m | (19) | n(S-1) |
| (9) | nm | (20) | n |
| (13) | nS | (21) | n2m |
| (17) | nS | (22) | n2m |
由约束(2)可知，决策变量Yi,k,t与Xi,k存在对应关系，因此可以省去决策变量Xi,k。同时由模型1与模型1-1可知，当分别去掉Bi,j、Ei,j与Sk,t、Fk,t后，分别需要添加约束(7)与(10)，约束(7)与(10)约束数目巨大，因此保留决策变量Bi,j、Ei,j与Sk,t、Fk,t。由约束(5)、(14)可知，决策变量Bi,j与Ei,j、Sk,t与Fk,t存在对应关系，可以省去决策变量Ei,j、Fk,t。
模型2：图2为本发明提供的不相关并行机混合流水车间调度的建模方法第五实施例的流程图，该建模方法包括如下步骤：
引入决策变量：
加工机床占用变量Xi,k，表示第i个工件是否在第k个机床上加工，其中，
工件前后顺序变量Yi,iii,k，表示第i个工件在第k个机床上是否直接或间接先于第iii工件加工，即第i个工件在第k个机床上加工顺序是否紧邻第iii工件加工顺序之前，或者其中第i个工件在第k个机床上加工顺序是否在第iii工件加工顺序之前，且i＜iii，决策变量Yi,iii,k它用于理顺一台机床上各个工序的先后顺序避免出现“重叠”的现象发生。
加工阶段结束时间变量Ei,j，表示工序Oi,j的结束时间，Oi,j表示工件i的第j道工序。
加工阶段开始时间变量Bi,j，表示工序Oi,j的开始时间。
最大完工时间变量Cmax，表示n个工件加工完S个加工阶段所需最大时间。
建立目标函数：
最小化最大完工时间目标：Minimize Cmax
引入约束条件：
式(1)表示对任一工件的任一加工阶段只能在一台机床加工的约束；
式(11)表示对对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；
式(12)表示对最大完工时间的约束；
式(13)表示所有机床位置、工件在0时刻及以后才能开始加工。
式(14)表示对加工阶段结束时间与加工阶段开始时间变量之间约束。
式(23)与式(24)用于表示对同一机床上加工两个不同工件的先后关系的约束，约束(23)与(24)成对出现，用于确保同一机床上两不同工件的先后关系，若在机床k上两个工件i先于iii开始，则后开始工件iii的开始时间Biii,j不小于先开工件i的结束时间Ei,j，若工件iii先于i开始则正好相反。在任何情况下约束集(22)与(23)中至少有一个被松弛掉。这两个约束集保证了任一时刻任一机床上最多只能有一个工件在加工。
表5模型2每个约束方程的约束数目
| 约束方程 | 约束数量 | 约束方程方程 | 约束数量 |
| (1) | nS | (14) | nS |
| (11) | n(S-1) | (23) | n(n-1)m/2 |
| (12) | n | (24) | n(n-1)m/2 |
| (13) | nS |
模型2-1：本发明提供的不相关并行机混合流水车间调度的建模方法第六实施例与第五实施例存在如下区别：
决策变量存在如下不同：工件前后顺序变量含义不同，工件前后顺序变量Yi,iii,j，表示第i个工件在加工阶段j是否直接或间接先于第iii工件加工，且i＜iii，即
约束存在如下不同：
用式(25)和式(26)替换式(23)和式(24)，对同一机床上加工两个不同工件的先后关系的约束。
此模型，同样存在成对约束(25)与(26)，与模型2相比，除了决策变量Y下标的不同，其它的都一样。正是利用HFSP特有的特点，如果工件i与工件iii都在机床k上加工，那么它们肯定处于同一阶段，因此确定工件i与iii在同一阶段的先后顺序也就确定了在同一阶段相同机床上的加工顺序。同样，在任何情况下约束集(25)与(26)中至少有一个被松弛掉。这两个约束集保证了任一时刻任一加工阶段机床上最多只能有一个工件在加工，决策变量Yi,iii,j它用于理顺同一加工阶段机床上各个工件的先后顺序避免出现“重叠”的现象发生。其它约束与模型2中相应约束含义相同。
约束条件以及每个约束方程的约束数量见表6：
表6模型2-1每个约束方程的约束数目
根据HFSP自身的特点，每个工件都要经过S个阶段的加工，从而可以将模型2中的决策变量Yi,iii,k降维为Yi,iii,j，Yi,iii,j用来确定在同一加工阶段，不同工件间的先后顺序，而Yi,iii,k用来确定同一机床上不同工件间的先后顺序，因为不同阶段并行机的存在，机床总数量m肯定远大于加工阶段S，则0-1决策变量Yi,iii,j的数量大幅减少。只有当同一阶段有先后关系的两工件安排在同一机床上加工的时候存在优先加工关系。否则，即使同一阶段的两工件存在先后关系，但不在同一台机床上加工，那么这两工件加工时间没有约束关系。
模型2-2：本发明提供的不相关并行机混合流水车间调度的建模方法第七实施例与第五实施例存在如下区别：
决策变量存在如下不同：工件前后顺序变量含义不同，工件前后顺序变量Wi,ii,k，表示第i个工件在第k个机床上是否直接先于第ii工件加工，即第i个工件在第k个机床上加工顺序是否紧邻第ii工件加工顺序之前，即
约束不同，
用(27)替换式(23)和式(24)，式(27)用于确保对同一机床上加工两个不同工件的先后关系的约束。
并增加式(28)和式(29)，用于表示机床上工件加工的成环约束：
式(28)与(29)表示两个决策变量之间的关系约束，即成环约束，表示如果工件i(包括虚拟工件0)在机床k加工，即Xi,k＝1，那么工件i在机床k上一定有紧前工件与紧后工件，即机床k上最后一个工件的紧后工件为第一个工件(虚拟工件0)，否则工件i不在机床k上加工。如果一个机床上没有安排除虚拟工件0之外的其它工件，那么虚拟工件0也不会安排在此机床上。
新增式(30)，约束(30)保证虚拟工件0在每台机床上的开始、完工时间为0，保证虚拟工件为每个使用机床的起始工件。
B0,j＝0,E0,j＝0,j∈J (30)
式(1)约束同第五实施例中不同，除虚拟工件0外，任一工件在任一加工阶段只能在一台机床上加工，因为虚拟工件0必须为每台使用机床上的第一个工件，因此不能约束虚拟工件0。
此模型需要添加虚拟工件0，约束虚拟工件0为所有机床上的起始加工工件，保证所有加工工件在加工机床上都有紧前加工工件，便于构造约束方程。虚拟工件在所有机床上的加工时间为0。
表7模型2-2每个约束方程的约束数目
| 约束方程 | 约束数量 | 约束方程方程 | 约束数量 |
| (1) | nS | (27) | n(n-1)S |
| (11) | n(S-1) | (28) | (n+1)m |
| (12) | n | (29) | (n+1)m |
| (13) | nS | (30) | 2S |
| (14) | nS |
模型2-3：本发明提供的不相关并行机混合流水车间调度的建模方法第九实施例与第六实施例存在如下区别：
决策变量存在如下不同：工件前后顺序变量含义不同，同时去除加工机床占用变量，工件前后顺序变量Wi,ii,k，表示第i个工件在第k个机床上是否直接先于第ii工件加工，即第i个工件在第k个机床上加工顺序是否直接在第ii工件加工顺序之前，即
约束存在如下差异：
式(31)替换式(1)，且表达含义与式(1)存在区别，用来约束除虚拟工件0外，任一工件在任一加工阶段只能在一台机床上加工：
用式(32)代替式(14)，对加工阶段结束时间与加工阶段开始时间变量之间约束。
用(27)替换式(23)和式(24)，式(27)用于确保对同一机床上加工两个不同工件的先后关系的约束。
新增式(33)，新增式(33)用来表示机床上工件加工的成环约束。
新增约束(34)用来约束每个工序最多只有一个紧后工序。
新增式(30)，约束(30)保证虚拟工件0在每台机床上的开始、完工时间为0，保证虚拟工件为每个使用机床的起始工件。
B0,j＝0,E0,j＝0,j∈J (30)
此模型需要添加虚拟工件0，约束虚拟工件0为所有机床上的起始加工工件，保证所有加工工件(机床上第一个工件的紧前工件为虚拟工件0)在加工机床上都有紧前加工工件，便于构造约束方程。虚拟工件各个工序的加工时间为0。
约束条件以及每个约束方程的约束数量见表8。
表8模型2-3每个约束方程的约束数目
| 约束方程 | 约束数量 | 约束方程 | 约束数量 |
| (11) | n(S-1) | (31) | nS |
| (12) | n | (32) | nS |
| (13) | nS | (33) | (n+1)m |
| (27) | n(n-1)S | (34) | (n+1)m |
| (30) | 2S |
本文模型主要分为2类，第1类为基于位置(机床或者加工阶段)的建模方法，包括模型1、模型1-1、模型1-2与模型1-3等4个模型；第2类为基于同一机床或者加工阶段两工件(相邻或者不相邻)先后关系的建模方法，包括模型2、模型2-1、模型2-2以及模型2-3。
模型对比
模型对比从尺寸复杂度与计算复杂度进行对比，尺寸复杂度主要包括0-1变量个数、约束数目以及连续决策变量个数3个方面进行对比。计算复杂度从在规定时间内可求最优解总数(Total)，包括gap＝0最优解个数(Total0)与gap≠0最优解个数(Total1).当Total相同时，对比Total0，当Total与Total0都相同时，对比Total1.Total、Total0与Total1越大，模型越好。当Total、Total0与Total1都相同时，求解时间Time也是一个重要评价指标，Time越小越好。Gap表示目标函数值的容差，可定义为|BF-BP|/|BF|*％，其中BF表示至目前可以找到的最好解，BP表示可能的最优解，是当前所有解的下限。可见，gap值越小越好，当gap＝0时，则得到问题的最优解，程序会自动停止。因此，gap值也常作为评价混合整数线性模型求解效果的一个指标以及停止标准。
模型尺寸复杂度对比
根据各个模型可得表9。
在尺寸复杂度方面，由表9，14-15可以看出，模型2-1的0-1决策变量最少，因为模型2-1中的决策变量Yi,iii,j基于同一加工阶段不同工件先后关系的思想，由表9可知，只有n(n-1)S/2个，与其它模型相比，大幅减少了0-1决策变量维数。模型2-3的0-1决策变量最多，因为模型2-3添加了虚拟工件0且含有Xi,k,Wi,ii,k两个0-1决策变量。现有模型、模型1、模型1-1以及模型2-3决策变量个数相同。0-1决策变量按照从多到少一次为：模型2-3、现有模型、模型1、模型1-1，模型1-3，模型2，模型1-2，模型2-1。
从约束方程个数来看，模型1、模型1-1、模型1-2远远多于模型其它模型。
这是因为模型1、模型1-1、模型1-2分别包含约束(7)、(10)、(15)，约束数量分别为n2(n-1)m，n3(n-1)m/2，约束数量巨大。模型2与模型2-1约束个数相同，模型2-2与模型2-3约束个数相同。按照从多到少排序依次为，模型1-2，模型1，模型1-1，现有模型，模型1-3，模型2、模型2-1，模型2-2、模型2-3。
从连续决策变量个数来看，现有模型最多，含有Ei,j,Bi,j,Fk,t,Sk,t,Cmax连续决策变量，模型1-1、模型1-2、模型2以及模型2-1都含有Ei,j,Bi,j,Cmax 3个连续决策变量，连续决策变量个数最少。模型2-2以及模型2-3相同。按照从多到少排序依次为现有模型，模型1，模型1-3，模型2-2、模型2-3，模型1-1、模型1-2、模型2、模型2-1。
表9所有模型尺寸复杂度
计算复杂度对比
所用实例数据如下表10-12。为了得到多组规模不同的案例，选取实例1(Ex1)，实例2中的前6-11个工件数据(Ex2-6—Ex2-6)，选取实例3中前5-8个工件数据(Ex3-5—Ex3-8)，选取实例3前3阶段前5-9工件数据(Ex3-3-5—9)，实例3前2阶段前6-12工件数据(Ex3-2-6—12)作为测试实例，总共23组测试实例。并将现有模型的测试结果放入作为比对。
所有MILP模型由商业软件CPLEX12.7.1求解，编程语言采用CPLEX自带OPL语言编写。模型运行最长时间设置为600秒，所有实例独立运行3次，最终结果为3次的平均值。所有实例在Dell Vostro 3900台式机上运行，i5-4460 3.20GHz双核处理器、8G内存。
如果模型在600秒之内可以自行停止，则可得到最优解且可证明所得到的解为最优解，即此时gap＝0，如果到截止时间600秒，程序强制停止，此时有可能得到最优解，但是gap≠0，是因为虽然求出了最优解，但是在规定时间内不能证明该解为最优的。
模型计算复杂见表15-17，其中带*的值表示可行解，但非最优解，不带*的解为最优解(包括gap＝0最优解与gap≠0最优解)。
在计算复杂度方面，通过表15-17可知，在规定时间内，基于加工阶段先后关系的模型2-1可以求出23个算例中的23个最优解(12个gap＝0,11个gap≠0)，是所有模型中最好的模型，这是因为模型2-1具有最少的0-1决策变量以及连续决策变量，其中0-1决策变量对模型求解性能影响最大。与模型2比起来(可以求出23个实例中的21个最优解，其中10个gap＝0，11个gap≠0)，模型2-1好于模型2，这是因为模型2-1中对模型求解性能影响最大的0-1决策变量个数大幅减少，从而求解效果变好。
模型1-1可以求出23个实例中14个最优解(7个gap＝0，7个gap≠0)，而模型1-2只可以求出13个最优解(3个gap＝0，10个gap≠0)，可见模型1-1性能好于模型1-2，虽然模型1-2基于加工阶段位置，0-1决策变量数少于模型1-1，但是约束数多于模型1-1；并且，因为基于加工阶段位置的建模方法最终也是归结到机床上，模型1-2含有约束(15)，由约束(15)可以看出，只有当两个工件安排到同一台机床上加工时，其加工阶段先后位置关系才起约束作用，而约束(15)含M项M(4-Xi,k-Xii,k-Yi,j,t-Yii,j,tt)，大M系数中有4个决策变量，太多，严重影响模型对下界的求解，从而导致模型求解效率降低。
模型1只可以求出23个实例中的13个最优解(其中4个gap＝0，9个gap≠0)，与现有模型比起来，因为模型1去掉决策变量Bi,j、Ei,j，引入约束(7)来约束任一工件的前续加工阶段的结束时间不大于后续加工阶段的开始时间，约束数量剧增，求解效果严重变差。
模型1-3与现有模型都可求出23个实例中20个最优解(18个gap＝0，2个gap≠0)。
进一步从求解时间来看，模型1-3与现有模型对所有案例总的求解时间分别为3744.14s与4217.23s。可见，总的来说，模型1-3好于现有模型。这是因为模型1-3是对现有模型的精简模型决策变量个数与约束方程数都减少，因此求解性能提高。但是针对具体的实例，模型1-3与现有模型的性能表现有可能不同。如对于实例Ex3-2-12，现有模型好于模型1-3。
模型2-3虽然是对模型2-2的简化，0-1决策变量个数减少，但是由于约束方程的不同，求解效果反而变差。模型2-3可以求出23个实例中17个最优解(13个gap＝0，4个gap≠0)，而模型2-2可以求出23个实例中的21个最优解(13个gap＝0，8个gap≠0)。
从可求gap＝0最优解来看，现有模型与模型1-3是最好的，都为18。模型2-1虽然在可求最优解总数Total＝23来看，求解效果最好，但是Total0＝12，远小于18，这是因为模型2-1中约束(25)与(26)分别含大M项M(3-Yi,iii,j-Xi,k-Xiii,k)与M(2+Yi,iii,j-Xi,k-Xiii,k)，括号内含有3个决策变量Yi,iii,j,Xi,k,Xiii,k。而现有模型与模型1-3含大M约束(21)与(22)，大M项都为为M(1-Yi,k,t)，其括号内只有1个决策变量Yi,k,t。大M系数内决策变量越多，模型下界求解越困难。因此现有模型与模型1-3模型下界的求解比模型2-1快的多。同样，模型2含有约束(23)与(24)，存在下界求解困难的问题。
在实际应用时，往往要求在规定时间内求得的解越小越好，那么可以优先选用模型2-1。如果要求求得最优解，可结合模型1-3，综合利用模型2-1与模型1-3的优点。
表10实例1加工时间数据
表11实例2加工时间数据
表12实例3加工时间数据
表14模型尺寸复杂度对比(模型2、2-1、2-2以及2-3)
表15模型计算复杂度对比(现有模型、模型1以及模型1-1)
表16模型计算复杂度对比(模型1-2、1-3以及2)
表17模型计算复杂度对比(模型2-1、2-2以及2-3)
本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
Claims (8)
1.一种不相关并行机混合流水车间调度的建模方法，以最大完工时间变量作为目标函数完成目标函数建立，其特征在于，包括如下步骤：
根据最大完工时间变量、加工机床占用变量、加工位置占用变量以及加工时间变量集建立约束集；
其中，加工机床占用变量为与工件序号和机床序号相关的二维决策变量，加工位置占用变量为与工件序号和位置序号相关的三维决策变量；
约束集包括如下约束：对任一工件在任一加工阶段只能在一台机床加工的约束，对任何一个机床的任一位置最多安排一个工件的约束，对任一工件的前续加工阶段的结束时间不大于后续加工阶段的开始时间的约束，加工时间变量集中各加工时间变量的关系以及对最大完工时间的约束；
对任一工件在任一加工阶段只能在一台机床加工的约束根据加工机床占用变量获得；对任何一个机床的任一位置最多安排一个工件的约束根据加工位置占用变量获得；对任一工件的前续加工阶段的结束时间不大于后续加工阶段的开始时间的约束以及加工时间变量集中各加工时间变量的关系根据加工时间变量集获得，对最大完工时间的约束根据最大完工时间变量和加工时间变量集获得。
2.如权利要求1所述的建模方法，其特征在于，当加工时间变量集中包括加工位置结束时间和加工位置开始时间且加工位置占用变量还与机床序号相关时；
根据加工位置结束时间变量、加工位置开始时间变量以及加工位置占用变量获得表示对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；根据最大完工时间变量和加工位置结束时间变量获得对最大完工时间的约束；
获得如下加工时间变量集中各加工时间变量的关系约束：根据加工位置占用变量、加工位置结束时间变量以及加工位置开始时间变量获得对加工位置结束时间变量与加工位置开始时间变量之间关系的约束；
约束集还包括获得对任一机床的位置按照先后顺序安排工件加工的约束、获得对加工机床占用变量和加工位置占用变量之间关系的约束以及根据加工位置结束时间变量和加工位置开始时间变量获得对任何机床加工位置开始时间不小于所述机床紧前位置的结束时间的约束；
当加工时间变量集中包括加工阶段结束时间和加工阶段开始时间且加工位置占用变量还与机床序号相关时；
根据加工阶段结束时间变量和加工阶段开始时间变量获得表示对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；根据最大完工时间变量和加工阶段结束时间变量获得对最大完工时间的约束；
获得如下加工时间变量集中各加工时间变量的关系约束：根据加工阶段结束时间变量、加工阶段开始时间变量以及加工机床占用变量获得对加工阶段开始时间变量与加工阶段结束时间变量之间关系的约束；
约束集还包括获得对任一机床的位置按照先后顺序安排工件加工的约束、获得对加工机床占用变量和加工位置占用变量之间关系的约束以及根据加工阶段结束时间变量、加工阶段开始时间变量以及加工位置占用变量获得对任何机床加工位置开始时间不小于所述机床紧前位置的结束时间的约束；
当加工时间变量集中包括加工阶段结束时间和加工阶段开始时间时且加工位置占用变量还与加工阶段序号相关时；
根据加工阶段结束时间变量和加工阶段开始时间变量获得表示对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；根据最大完工时间变量和加工阶段结束时间变量获得对最大完工时间的约束；
获得如下加工时间变量集中各加工时间变量的关系约束：根据加工阶段结束时间变量、加工阶段开始时间变量以及加工机床占用变量获得对加工阶段开始时间变量与加工阶段结束时间变量之间关系的约束；
约束集还包括如下约束：根据加工阶段结束时间变量、加工阶段开始时间变量、加工位置占用变量获得对任何机床两不同工件先后关系的约束。
3.如权利要求2所述的建模方法，其特征在于，当加工时间变量集中包括加工位置结束时间和加工位置开始时间且加工位置占用变量还与机床序号相关时；
根据公式j∈J获得对任一工件在任一阶段只能在一台机床加工的约束；
根据公式k∈K获得加工机床占用变量和加工位置占用变量之间关系的约束；
根据公式t∈P获得对任何一个机床的任一位置最多安排一个工件的约束；
根据公式t∈{1，...，n-1}获得对任一机床的位置按照先后顺序安排工件加工的约束；
根据公式t∈P获得对加工位置结束时间变量与加工位置开始时间变量之间关系的约束；
根据公式Fk,t≤Sk,t+1,t∈{1,...,n-1}获得对任何机床加工位置开始时间不小于所述机床紧前位置的结束时间的约束；
根据获得对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；
根据公式Cmax≥Fk,n,获得对最大完工时间的约束；
当加工时间变量集中包括加工阶段完工时间和加工阶段开始时间且加工位置占用变量还与机床序号相关时；
根据公式j∈J获得对任一工件在任一阶段只能在一台机床加工的约束；
根据公式k∈K获得加工机床占用变量和加工位置占用变量之间关系的约束；
根据公式t∈P获得对任何一个机床的任一位置最多安排一个工件的约束；
根据公式t∈{1，...，n-1}获得对任一机床的位置按照先后顺序安排工件加工的约束；
根据公式j∈J获得对加工阶段开始时间变量与加工阶段结束时间变量之间关系的约束；
根据公式获得对任何机床加工位置开始时间不小于所述机床紧前位置的结束时间的约束；
根据公式Ei,j≤Bi,j+1,j∈{1,...,S-1}获得对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；
根据公式Cmax≥Ei,S,获得对最大完工时间的约束；
当加工时间变量集中包括加工阶段完工时间和加工阶段开始时间时且加工位置占用变量还与加工阶段序号相关时；
根据公式j∈J获得对任一工件在任一阶段只能在一台机床加工的约束；
根据公式t∈P对任一阶段的任一位置安排一个工件的约束；
根据公式j∈J获得对加工阶段开始时间变量与加工阶段结束时间变量之间关系的约束；
根据公式获得对任何机床两不同工件先后关系的约束；
根据公式Ei,j≤Bi,j+1,j∈{1,...,S-1}获得对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；
根据公式Cmax≥Ei,S,获得对最大完工时间的约束；
其中，Xi,k表示第i个工件是否在第k个机床上加工，Yi,k,t表示第i个工件是否在第k个机床上第t个位置加工，Yi,j,t表示第i个工件在第j个加工阶段上是否在第t个位置加工，i和ii均为工件序号，n为工件总数，I为工件集合{1,2,…,n}，j为加工阶段序号，S为加工阶段总数，J为加工阶段集合{1,2,…,S}，k为机床序号，m为机床总数，mj为加工阶段j的并行机数，Kj为加工阶段j的并行机床集合{1,2,…，mj}，K为总机床集合{1,2,…,m}，t为机床位置序号，P为机床位置集合{1,2,…,n}，pti,k为工件i在机床k上的加工时间，Oi,j表示工件i的第j道工序，Ei,j表示工序Oi,j的结束时间或工件i在阶段j的完工时间，Bi,j表示工序Oi,j的开始时间或工件i在阶段j的结束时间，Fk,t表示第k机床上第t个位置的结束时间，Sk,t表示第k机床上第t个位置的开始时间，kk为机床序号，tt为位置序号，Cmax为最大完工时间变量。
4.一种不相关并行机混合流水车间调度的建模方法，以最大完工时间变量作为目标函数完成目标函数建立，其特征在于，包括如下步骤：
根据最大完工时间变量、加工位置占用变量、加工位置开始时间变量以及加工阶段开始时间变量建立约束集；
其中，加工位置占用变量为与工件序号、机床序号以及位置序号相关的三维决策变量；约束集包括对任一工件在任一阶段只能在一个机床一个位置上加工的约束、对任何一个机床的任一位置最多安排一个工件的约束以及对任一机床的位置按照先后顺序安排工件加工的约束、对工件在某个机床某个位置的开始时间与该工件对应加工阶段的开工时间之间关系的约束、对任何机床加工位置开始时间不小于所述机床紧前位置的结束时间的约束、对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后阶段的开始时间的约束以及对最大完工时间的约束，完成模型建立
对任一工件在任一阶段只能在一个机床一个位置上加工的约束、对任何一个机床的任一位置最多安排一个工件的约束以及对任一机床的位置按照先后顺序安排工件加工的约束根据加工位置占用变量获得；对工件在某个机床某个位置的开始时间与该工件对应加工阶段的开工时间之间关系的约束根据加工位置占用变量、加工阶段开始时间变量以及加工位置开始时间变量获得；对任何机床加工位置开始时间不小于所述机床紧前位置的结束时间的约束根据加工位置占用变量和加工位置开始时间变量；对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后阶段的开始时间的约束根据加工位置占用变量和加工阶段开始时间变量获得，对最大完工时间的约束根据最大完工时间变量、加工阶段开始时间变量以及加工位置占用变量获得。
5.如权利要求4所述的建模方法，其特征在于，根据如下公式获得如下约束：
根据公式j∈J获得对任一工件在任一阶段只能在一个机床一个位置上加工的约束；
根据公式t∈P获得对任何一个机床的任一位置最多安排一个工件的约束；
根据公式t∈{1，...，n-1}获得对任一机床的位置按照先后顺序安排工件加工的约束；
根据公式Sk,t≤Bi,j+M(1-Yi,k,t)，j∈J,k∈Kj,t∈P和公式Sk,t+M(1-Yi,k,t)≥Bi,j,j∈J,k∈Kj,t∈P获得对工件在某个机床某个位置的开始时间与该工件对应加工阶段的开工时间之间关系的约束；
根据公式t∈{1,...,n-1}获得对任何机床加工位置开始时间不小于所述机床紧前位置的结束时间的约束；
根据公式j∈{1,...,S-1}获得对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；
根据公式获得对最大完工时间的约束；
其中，Xi,k表示第i个工件是否在第k个机床上加工，Yi,k,t表示第i个工件是否在第k个机床第t个位置加工，i为工件序号，n为工件总数，I为工件集合{1,2,…,n}，j为加工阶段序号，S为加工阶段总数，J为加工阶段集合{1,2,…,S}，k为机床序号，m为机床总数，mj为加工阶段j的并行机数，Kj为加工阶段j的并行机床集合{1,2,…,mj}，K为总机床集合{1,2,…,m}，t为机床位置序号，P为机床位置集合{1,2,…,n}。
6.一种不相关并行机混合流水车间调度的建模方法，以最大完工时间变量作为目标函数完成目标函数建立，其特征在于，包括如下步骤：
根据加工阶段结束时间变量、加工阶段开始时间变量、最大完工时间变量以及工件前后顺序变量建立约束集，完成模型建立；
约束集包括对任一工件在任一加工阶段只能在一台机床加工的约束、对加工阶段开始时间变量与加工阶段结束时间变量之间关系约束、对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束、对最大完工时间的约束以及对同一机床上加工两个不同工件的先后关系的约束；
对加工阶段开始时间变量与加工阶段结束时间变量之间关系约束和对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束根据加工阶段结束时间变量和加工阶段开始时间变量获得；对最大完工时间的约束根据加工阶段结束时间和最大完工时间变量获得；对同一机床上加工两个不同工件的先后关系的约束根据工件前后顺序变量、加工阶段结束时间变量以及加工阶段开始时间变量获得。
7.如权利要求6所述的建模方法，其特征在于，当决策变量还包括加工机床占用变量，且工件前后顺序变量用于表示一个工件在机床上加工先于另一个工件时，
获得对加工阶段开始时间变量与加工阶段结束时间变量之间约束和获得同一机床上加工两个不同工件的先后关系均还需要根据加工机床占用变量；
当决策变量还包括加工机床占用变量，且工件前后顺序变量用于表示一个工件某个加工阶段先于另一个工件时，
获得对加工阶段开始时间变量与加工阶段结束时间变量之间约束和获得同一机床上加工两个不同工件的先后关系均还需要根据加工机床占用变量；
当决策变量还包括加工机床占用变量，且工件前后顺序变量用于表示一个工件在机床上直接先于另一个工件时，
获得对加工阶段开始时间变量与加工阶段结束时间变量之间约束还需要根据加工机床占用变量；还包括获得对工件前后顺序变量和加工机床占用变量之间的关系的约束和根据加工机床占用变量和工件前后顺序变量获得对机床上工件加工的成环约束；
当决策变量中还包括工件前后顺序变量用于表示一个工件在机床上直接先于另一个工件时，
获得对加工阶段开始时间变量与加工阶段结束时间变量之间关系的约束还需根据工件前后顺序变量；还包括根据工件前后顺序变量获得对机床上工件加工的成环约束和对对每个工序最多只有一个紧后工序的约束。
8.如权利要求7所述的建模方法，其特征在于，当决策变量还包括加工机床占用变量，且工件前后顺序变量用于表示一个工件在机床上加工先于另一个工件时；
根据公式j∈J获得对任一工件在任一加工阶段只能在一台机床加工的约束；
根据公式j∈J获得对加工阶段开始时间与加工阶段结束时间变量之间约束；
根据公式Ei,j≤Bi,j+1,j∈{1,...,S-1}获得对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；
根据公式Cmax≥Ei,S,获得对最大完工时间的约束；
根据公式Ei,j≤Biii,j+M(3-Yi,iii,k-Xi,k-Xiii,k),iii∈I,i＜iii,j∈J,k∈Kj和Eiii,j≤Bi,j+M(2+Yi,iii,k-Xi,k-Xiii,k),iii∈I,i＜iii,j∈J,k∈Kj获得对同一机床上加工两个不同工件的先后关系的约束；
当决策变量还包括加工机床占用变量，且工件前后顺序变量用于表示一个工件某个加工阶段先于另一个工件时，
根据公式j∈J获得对任一工件在任一加工阶段只能在一台机床加工的约束；
根据公式j∈J获得对加工阶段开始时间与加工阶段结束时间变量之间约束；
根据公式Ei,j≤Bi,j+1,j∈{1,...,S-1}获得对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；
根据公式Cmax≥Ei,S,获得对最大完工时间的约束；
根据公式Ei,j≤Biii,j+M(3-Yi,iii,j-Xi,k-Xiii,k),iii∈I,i＜iii,j∈J,k∈Kj和Eiii,j≤Bi,j+M(2+Yi,iii,j-Xi,k-Xiii,k),iii∈I,i＜iii,j∈J,k∈Kj获得同一机床上加工两个不同工件的先后关系；
当决策变量还包括加工机床占用变量，且工件前后顺序变量用于表示一个工件在机床上直接先于另一个工件时，
根据公式j∈J获得对任一工件在任一加工阶段只能在一台机床加工的约束；
根据公式j∈J获得对加工阶段开始时间与加工阶段结束时间变量之间约束；
根据公式Ei,j≤Bi,j+1,j∈{1,...,S-1}获得对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；
根据公式Cmax≥Ei,S,获得对最大完工时间的约束；
根据公式ii∈I,i≠ii,j∈J获得同一机床上加工两个不同工件的先后关系；
根据公式k∈K和公式i∈{0∪I}，k∈K获得机床上工件加工的成环约束；
当决策变量中还包括工件前后顺序变量用于表示一个工件在机床上直接先于另一个工件时，
根据公式j∈J获得对任一工件在任一加工阶段只能在一台机床加工的约束；
根据公式j∈J获得对加工阶段开始时间与加工阶段结束时间变量之间约束；
根据公式Ei,j≤Bi,j+1,j∈{1,...,S-1}获得对任一工件任一加工阶段的结束时间不大于所述工件紧后加工阶段的开始时间的约束；
根据公式Cmax≥Ei,S,获得对最大完工时间的约束；
根据公式ii∈I,i≠ii,j∈J获得同一机床上加工两个不同工件的先后关系；
根据公式k∈K获得机床上工件加工的成环约束；
根据公式k∈K获得对每个工序最多只有一个紧后工序的约束；
其中，Xi,k表示第i个工件是否在第k个机床上加工，Yi,iii,k表示第i个工件在第k个机床上是否直接或间接先于第iii工件加工，Yi,iii,j表示第i个工件在第j个加工阶段是否直接或间接先于第iii工件加工，Wi,ii,k表示第i个工件在第k个机床上是否直接先于第ii工件加工，Oi,j表示工件i的第j道工序，Ei,j表示工序Oi,j的结束时间或工件i在阶段j的完工时间，Bi,j表示工序Oi,j的开始时间或工件i在阶段j的结束时间，Cmax为最大完工时间变量，pti,k为工件i在机床k上的加工时间，iii和ii均为工件序号，i＜iii，n为工件总数，I为工件集合{1,2,…,n}，j为加工阶段序号，S为加工阶段总数，J为加工阶段集合{1,2,…,S}，k为机床序号，m为机床总数，mj为加工阶段j的并行机数，Kj为加工阶段j的并行机床集合{1,2,…,mj}，K为总机床集合{1,2,…,m}，t为机床位置序号，P为机床位置集合{1,2,…,n}。
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