CN107479374A

CN107479374A - 一种二阶线性离散周期系统的pd反馈极点配置方法

Info

Publication number: CN107479374A
Application number: CN201710621208.9A
Authority: CN
Inventors: 吕灵灵; 张哲�; 张磊; 曹永梅; 常瑞; 徐燕
Original assignee: North China University of Water Resources and Electric Power
Current assignee: North China University of Water Resources and Electric Power
Priority date: 2017-07-27
Filing date: 2017-07-27
Publication date: 2017-12-15

Abstract

本发明公开了一种二阶线性离散周期系统的PD反馈极点配置方法，包括以下步骤：A、给定一个完全能达的二阶线性离散周期系统，假设输入周期PD反馈控制律实现闭环系统极点配置；B、根据二阶线性离散周期系统的系数矩阵和极点指定位置构建带约束的周期调节矩阵方程；C、构建带约束的周期调节矩阵方程的提升解矩阵和提升系数矩阵，得到提升LTI矩阵方程；D、基于自由参数矩阵求解带约束的周期调节矩阵方程，随机获取方程任意一组特解；E、计算PD反馈增益矩阵，确定周期PD反馈控制律，实现闭环系统极点配置。本发明能够得到无穷多个实现极点配置的方案，大大提高了控制系统的设计自由度，充分满足系统的多目标设计要求。

Description

一种二阶线性离散周期系统的PD反馈极点配置方法

技术领域

本发明涉及控制系统参数配置技术领域，尤其涉及一种二阶线性离散周期系统的PD反馈极点配置方法。

背景技术

在系统控制领域，二阶线性离散周期系统能够很好的表现出时变系统的特点，因此被广泛应用于实际工程中。为了提升系统在某一方面的特性，例如实现对周期反馈增益的最小范数处理，提高系统闭环鲁棒性能等，往往需要通过极点配置技术修改系统的特征值。PD反馈控制器是当今应用最为广泛的工业控制器，因此通过PD反馈控制手段配置相应闭环系统的极点使其落在指定位置，在控制领域具有很高的重要性。然而，使用现有PD反馈控制手段配置极点时，往往只能得到一种实现方案，无法满足多目标设计要求，严重限制了控制系统的设计自由度。

发明内容

本发明的目的在于提供一种二阶线性离散周期系统的PD反馈极点配置方法，能够得到无穷多个实现极点配置的方案，为控制系统提供充分的设计自由度。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案是：

一种二阶线性离散周期系统的PD反馈极点配置方法，包括以下步骤：

A、给定一个完全能达的二阶线性离散周期系统：

q(t+2)-A(t)q(t+1)-C(t)q(t)＝B(t)u(t) (1)

其中q(t)∈Rⁿ是状态向量，A(t)∈R^n×n,B(t)∈R^n×r，C(t)∈R^n×n是以T为周期的系数矩阵，u(t)∈R^r是输入向量；

采用周期PD反馈控制律

u(t)＝K₀(t)q(t)+K₁(t)q(t+1)＝K(t)x(t) (2)

其中矩阵K(t)＝[K₀(t) K₁(t)]是以T为周期的PD反馈增益矩阵，x(t)＝[q(t) q(t+1)]^T是以T为周期的状态向量；

假设K(t)＝[K₀(t) K₁(t)]使以T为周期的闭环系统

x(t+1)＝A_c(t)x(t) (3)

的单值性矩阵Ψ＝A_c(T-1)A_c(T-2)…A_c(0)在复平面上的极点落在指定位置Γ＝{λ₁,…,λ_n}上，其中系统矩阵

式中I为单位矩阵；

B、构建带约束的周期调节矩阵方程：

根据系数矩阵A(t),B(t)，C(t)和极点指定位置Γ＝{λ₁,…,λ_n}构建带约束的周期调节矩阵方程

其中V₁(t),V₂(t)和W(t)是带约束的周期调节矩阵方程(5)的周期解矩阵，F(t)是以T为周期的系数矩阵，且Ψ＝F(T-1)F(T-2)…F(0)的特征值集为Γ；

C、构建循环提升矩阵方程：

分别构建带约束的周期调节矩阵方程(5)的提升解矩阵V₁ ^c，W^c和提升系数矩阵A^c，B^c，F^c，C^c，得到提升LTI矩阵方程

将提升LTI矩阵方程(6)的上式代入下式，得到二阶广义提升Sylvester矩阵方程

V₁ ^c(F^c)²-A^cV₁ ^c(F^c)-C^cV₁ ^c＝B^cW^c (7)

D、求解带约束的周期调节矩阵方程：

对矩阵组(A^c,C^c,B^c)做右互质分解，得到右互质多项式矩阵N(z)和D(z)满足

(z²I_Tn-zA^c-C^c)^-1B^c＝N(z)D^-1(z) (8)

其中I_Tn为T_n阶的单位矩阵，进一步地，令

其中ω为右互质多项式矩阵N(z)和D(z)中元素最高项次数，N_i和D_i分别为对应的系数矩阵，则二阶广义提升Sylvester矩阵方程(7)的解为：

其中自由参数矩阵Z为适当维数的随机矩阵；

对带约束的周期调节矩阵方程(5)的提升解矩阵V₁ ^c∈R^Tn×2Tn和W^c∈R^Tr×2Tn进行分块，得到：

W(t)∈R^r×2n,t＝0,1,…,T-1

V₁(t)∈R^n×2n,t＝0,1,…,T-1

根据以T为周期的系数矩阵F(t)计算

V₂(t)＝V₁(t+1)F(t),t＝0,1,…,T-1

得到带约束的调节矩阵方程(5)的解V₁(t),V₂(t)和W(t)，t＝0,1,…,T-1；

E、计算PD反馈增益矩阵K(t)＝[K₀(t) K₁(t)]：

构建

并计算矩阵

K(t)＝W(t)V(t)^-1∈R^r×2n,t＝0,1,…,T-1

则通过解构矩阵K(t)获得周期PD反馈增益K₀(t)，K₁(t)∈R^r×n

K(t)＝[K₀(t) K₁(t)]∈R^r×2n,t＝0,1,…,T-1

使得闭环系统(3)的单值性矩阵Ψ＝A_c(T-1)A_c(T-2)…A_c(0)在复平面上的极点落在指定位置Γ＝{λ₁,…,λ_n}上。

所述的步骤C中构建带约束的周期调节矩阵方程(5)的提升解矩阵为

W^c＝diag{W(T-1),W(0),W(1),…,W(T-2)}；

提升系数矩阵为

B^c＝diag{B(T-1),B(0),B(1),…,B(T-2)},

本发明通过将二阶线性离散周期系统的PD反馈极点配置问题转化为带约束的周期调节矩阵方程的求解问题，并利用循环提升技术将带约束的周期调节矩阵方程提升为时不变的提升调节矩阵方程，基于对时不变提升调节矩阵方程的无穷多种求解方式，得到二阶线性离散周期系统的无穷多种周期PD反馈控制增益，大大提高了控制系统的设计自由度，充分满足系统的多目标设计要求。

附图说明

图1为本发明的流程示意图。

具体实施方式

如图1所示，本发明所述的一种二阶线性离散周期系统的PD反馈极点配置方法，包括以下步骤：

A、给定一个完全能达的二阶线性离散周期系统：

q(t+2)-A(t)q(t+1)-C(t)q(t)＝B(t)u(t) (1)

采用周期PD反馈控制律

u(t)＝K₀(t)q(t)+K₁(t)q(t+1)＝K(t)x(t) (2)

假设K(t)＝[K₀(t) K₁(t)]使以T为周期的闭环系统

x(t+1)＝A_c(t)x(t) (3)

式中I为单位矩阵。

B、构建带约束的周期调节矩阵方程：

其中V₁(t),V₂(t)和W(t)是带约束的周期调节矩阵方程(5)的周期解矩阵，F(t)是以T为周期的系数矩阵，且Ψ＝F(T-1)F(T-2)…F(0)的特征值集为Γ。

C、构建循环提升矩阵方程：

分别构建带约束的周期调节矩阵方程(5)的提升解矩阵V₁ ^c，W^c和提升系数矩阵A^c，B^c，F^c，C^c，其中提升解矩阵为

W^c＝diag{W(T-1),W(0),W(1),…,W(T-2)}

提升系数矩阵为

B^c＝diag{B(T-1),B(0),B(1),…,B(T-2)},

得到提升LTI矩阵方程

V₁ ^c(F^c)²-A^cV₁ ^c(F^c)-C^cV₁ ^c＝B^cW^c (7)

根据循环提升的性质，采用不同的起始时刻，对系统的解矩阵和系数矩阵进行循环提升所得到的循环提升矩阵应有T种形式。本发明仅列出了其中一种，若采用其他T-1种循环提升形式，对最终得到的周期PD反馈增益矩阵没有影响。

D、求解带约束的周期调节矩阵方程：

(z²I_Tn-zA^c-C^c)^-1B^c＝N(z)D^-1(z) (8)

其中I_Tn为T_n阶的单位矩阵，进一步地，令

其中自由参数矩阵Z为适当维数的随机矩阵，通过改变自由参数矩阵Z可得到V₁ ^c和W^c的无穷多解。

根据提升解矩阵

和

W^c＝diag{W(T-1),W(0),W(1),…,W(T-2)}∈R^Tr×2Tn,

对V₁ ^c和W^c进行分块，得到：

W(t)∈R^r×2n,t＝0,1,…,T-1

V₁(t)∈R^n×2n,t＝0,1,…,T-1

当V₁ ^c和W^c随自由参数矩阵Z变化时，能够得到V₁(t)和W(t)的无穷多组特解。根据以T为周期的系数矩阵F(t)计算

V₂(t)＝V₁(t+1)F(t),t＝0,1,…,T-1

得到带约束的调节矩阵方程(5)的解V₁(t),V₂(t)和W(t)，t＝0,1,…,T-1。

E、计算PD反馈增益矩阵K(t)＝[K₀(t) K₁(t)]：

构建

并计算矩阵

K(t)＝W(t)V(t)^-1∈R^r×2n,t＝0,1,…,T-1

则通过解构矩阵K(t)获得周期PD反馈增益K₀(t)，K₁(t)∈R^r×n

K(t)＝[K₀(t) K₁(t)]∈R^r×2n,t＝0,1,…,T-1

下面结合具体实施例对本发明所述的二阶线性离散周期系统的PD反馈极点配置方法进行详细说明。

实施例一

假设二阶线性离散周期系统(1)有如下参数：

其中k＝0,1,…,此二阶线性离散周期系统显然为完全能达的。欲将闭环系统(3)的极点配置为Γ＝{-0.1±0.1i，-0.1±0.15i}，令F(3t),t＝0,1,2,…为闭环系统的实约当标准型，F(3t+1),F(3t+2),t＝0,1,…为相应维数的单位矩阵，即：

使得Ψ＝F(T-1)F(T-2)…F(0)的特征值集为Γ。

根据提升系数矩阵

B^c＝diag{B(T-1),B(0),B(1),…,B(T-2)},

对矩阵组(A^c,C^c,B^c)做右互质分解，得到一组满足式(8)的右互质多项式矩阵N(z)和D(z)：

进一步地，根据式(9)得到

和

根据式(10)计算

利用数学软件MATLAB随机生成自由参数矩阵Z∈R^3×12，则产生一组特解：

和

最终得到

则周期PD反馈控制增益：

将得到的周期PD反馈控制律

u(t)＝K₀(t)q(t)+K₁(t)q(t+1)＝K(t)x(t)

代入初始周期系统，能够验证所得到的闭环周期系统的特征值集被精确配置到到Γ，即实现闭环系统极点配置。

实施例二

本发明利用数学软件MATLAB随机生成另一组自由参数矩阵Z∈R^3×12，根据上述方法得到另一组周期PD反馈增益矩阵

将得到的周期PD反馈控制律代入初始周期系统，能够验证所得到的闭环周期系统的特征值集被精确配置到到Γ，即实现闭环系统极点配置。本发明通过在极点配置过程中使用自由参数矩阵Z，不仅不会影响极点最终配置结果的正确性，而且大大提高了极点配置的自由度，为进一步的多目标设计提供了便利。

Claims

1.一种二阶线性离散周期系统的PD反馈极点配置方法，其特征在于，包括以下步骤：

A、给定一个完全能达的二阶线性离散周期系统：

q(t+2)-A(t)q(t+1)-C(t)q(t)＝B(t)u(t) (1)

采用周期PD反馈控制律

u(t)＝K₀(t)q(t)+K₁(t)q(t+1)＝K(t)x(t) (2)

假设K(t)＝[K₀(t) K₁(t)]使以T为周期的闭环系统

x(t+1)＝A_c(t)x(t) (3)

式中I为单位矩阵；

B、构建带约束的周期调节矩阵方程：

C、构建循环提升矩阵方程：

V₁ ^c(F^c)²-A^cV₁ ^c(F^c)-C^cV₁ ^c＝B^cW^c (7)

D、求解带约束的周期调节矩阵方程：

(z²I_Tn-zA^c-C^c)^-1B^c＝N(z)D^-1(z) (8)

其中I_Tn为T_n阶的单位矩阵，进一步地，令

<mrow> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mi>&omega;</mi> </munderover> <msub> <mi>N</mi> <mi>i</mi> </msub> <msup> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>,</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&Element;</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>n</mi> <mo>&times;</mo> <mi>T</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mi>&omega;</mi> </munderover> <msub> <mi>D</mi> <mi>i</mi> </msub> <msup> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msup> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&Element;</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <mi>T</mi> <mi>r</mi> <mo>&times;</mo> <mi>T</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

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其中自由参数矩阵Z为适当维数的随机矩阵；

W(t)∈R^r×2n,t＝0,1,…,T-1；

V₁(t)∈R^n×2n,t＝0,1,…,T-1；

根据以T为周期的系数矩阵F(t)计算

V₂(t)＝V₁(t+1)F(t),t＝0,1,…,T-1；

E、计算PD反馈增益矩阵K(t)＝[K₀(t) K₁(t)]：

构建

<mrow> <mi>V</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&Element;</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>&times;</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>T</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>;</mo> </mrow>

并计算矩阵

K(t)＝W(t)V(t)^-1∈R^r×2n,t＝0,1,…,T-1；

则通过解构矩阵K(t)获得周期PD反馈增益K₀(t)，K₁(t)∈R^r×n

K(t)＝[K₀(t) K₁(t)]∈R^r×2n,t＝0,1,…,T-1；

2.如权利要求1所述的一种二阶线性离散周期系统的PD反馈极点配置方法，其特征在于，所述的步骤C中构建带约束的周期调节矩阵方程(5)的提升解矩阵为

W^c＝diag{W(T-1),W(0),W(1),…,W(T-2)}；

提升系数矩阵为

B^c＝diag{B(T-1),B(0),B(1),…,B(T-2)},