CN108762087A - 一种线性离散周期系统的鲁棒全维状态观测器设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明所述的一种线性离散周期系统的鲁棒全维状态观测器设计方法，基于梯度搜索算法，能够快速、有效的对周期Sylvester矩阵方程进行求解，进而得到一组优化决策矩阵，进而得到周期状态观测器的增益，使得鲁棒全维状态观测器能够给出一阶线性离散周期系统状态向量的渐进逼近且鲁棒全维状态观测器的特征值尽可能地对小信号不敏感。

Description

一种线性离散周期系统的鲁棒全维状态观测器设计方法

技术领域

本方法对目标系统的状态特性进行估计的领域，尤其涉及一种线性离散周期系统的鲁棒全维状态观测器设计方法。

背景技术

在线性离散周期系统控制器的设计中，要求我们掌握目标系统所有状态变量的状态特性；然而，在实际工程应用中，直接对目标系统所有状态变量进行精确测量是不现实的，因此要求我们对目标系统中不能直接测量的状态变量进行可靠的估计，而能够准确重建目标系统状态的全维状态观测器的设计就是为了完成这一任务。

如下所示：下述为完全能观的一阶线性离散周期系统：

其中x_t∈Rⁿ、u_t∈R^r和y_t∈R^m分别是系统的状态向量、输入向量和输出向量，其中，A_t∈R^n×n，B_t∈R^n×r和C_t∈R^m×n都是以T为周期的系数矩阵；当因实际条件限制，一阶线性离散周期系统(1)的状态向量x_t不能被精确测量,但输入向量u_t和输出向量y_t可以被利用时，就可以利用全维状态观测器给出一阶线性离散周期系统(1)的状态向量x_t的渐进逼近，基于状态误差反馈的状态观测器是被应用最多的一种全维状态观测器，其可被表示如下：

其中是鲁棒全维状态观测器(2)的状态向量，是鲁棒全维状态观测器(2)的输出向量，L_t∈R^n×m是以T为周期的鲁棒全维状态观测器(2)的增益。

基于完全能观的一阶线性离散周期系统(1)，问题在于如何寻找周期矩阵使得鲁棒全维状态观测器(2)能够给出一阶线性离散周期系统(1)状态向量x_t的渐进逼近且鲁棒全维状态观测器(2)的特征值尽可能地对小信号不敏感。

发明内容

本发明的目的在于提供一种线性离散周期系统的鲁棒全维状态观测器设计方法，能够对目标系统中不能直接测量的状态变量进行可靠的估计，以解决在实际工程应用中，不能直接对目标系统所有状态变量进行精确测量的问题。

为了实现上述目的，本发明采用以下技术方案：

一种线性离散周期系统的鲁棒全维状态观测器设计方法，包括以下步骤：

步骤1：构造以T为周期的矩阵F_t∈R^n×n满足Λ(Φ_F)＝Γ且进一步地，选择周期矩阵G_k∈R^r×n使得周期矩阵对(A_k,G_k)是完全能观的；

步骤2：构造周期Sylvester矩阵方程

步骤3：求解周期Sylvester矩阵方程，具体采用以下方法：

考虑形如的周期Sylvester矩阵方程，根据最小二乘理论，要求解周期Sylvester矩阵方程，就要寻找矩阵序列X_t，t＝0，…，T-1来使如下指标函数的J最小：

其中，|| ||表示矩阵的F-范数；

对指标函数J求偏导数，也就是说，最小二乘解满足：

其中，t＝0，…，T-1。(5)

步骤4：令函数

令函数

令函数

步骤5：考虑形如的周期Sylvester矩阵方程，设定容许误差ε，选择初始矩阵计算

P_t(0):＝-R_t(0)；

k:＝0；

如果||R_t(k)||≤ε，t＝0，…，T-1，ε为足够小的正数，例如ε＝10^-6，退出并返回X_t(k)，t＝0，…，T-1，否则进入下一步；

步骤6：当计算

X_t(k+1)＝X_t(k)+α(k)P_t(k)

k:＝k+1；

计算完成后返回步骤5；

步骤7：利用梯度搜索算法，选择适当的权重因子ρ，求解如下优化问题

Minimize J(G_t)，

计算优化决策矩阵为G_opt,t；

步骤8：将G_opt,t和X_t代入(3)，得到优化解X_opt,t(k)；

步骤9：令计算周期状态观测器增益L_opt,t：

本发明的有益效果：

本发明所述的一种线性离散周期系统的鲁棒全维状态观测器设计方法，基于梯度搜索算法，能够快速、有效的对周期Sylvester矩阵方程进行求解，进而得到一组优化决策矩阵，进而得到周期状态观测器的增益使得鲁棒全维状态观测器(2)能够给出一阶线性离散周期系统(1)状态向量x_t的渐进逼近且鲁棒全维状态观测器(2)的特征值尽可能地对小信号不敏感。

附图说明

为了更清楚地说明本发明具体实施方式或现有技术中的技术方案，下面将对具体实施方式或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图是本发明的一些实施方式，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明中所述的状态相应误差折线示意图。

具体实施方式

下面将结合附图对本发明的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

本发明所述的一种线性离散周期系统的鲁棒全维状态观测器设计方法采用的技术方案如下：

考虑形如

的一阶线性离散周期系统(1)，其中，其中x_t∈Rⁿ、u_t∈R^r和y_t∈R^m分别是系统的状态向量、输入向量和输出向量，其中，A_t∈R^n×n，B_t∈R^n×r和C_t∈R^m×n都是以T为周期的系数矩阵，T≥1，考虑如下极点配置问题：给定完全能观的一阶线性离散周期系统(1)，求解周期反馈增益矩阵F_t∈R^n×n使得闭环单值性矩阵φ_A＝BF＝(A_t-1+B_t-1F_t-1)…(A₀+B₀F₀)在复平面的特征值落在预定位置Γ＝{λ₁,λ₂,…,λ_n,λ∈C}，为了使F_t存在，Γ＝{λ₁,λ₂,…,λ_n,λ∈C}应关于实轴对称。

步骤1：构造以T为周期的矩阵F_t∈R^n×n满足Λ(Φ_F)＝Γ且进一步地，选择周期矩阵G_k∈R^r×n使得周期矩阵对(A_k,G_k)是完全能观的；

步骤2：构造周期Sylvester矩阵方程

步骤3：求解周期Sylvester矩阵方程，具体采用以下方法：考虑形如的周期Sylvester矩阵方程，根据最小二乘理论，要求解周期Sylvester矩阵方程，就要寻找矩阵序列X_t，t＝0，…，T-1来使如下指标函数的J最小：

其中，|| ||表示矩阵的F-范数。

对指标函数J求偏导数，也就是说，最小二乘解满足：

其中，t＝0，…，T-1。 (5)

步骤4：令函数

令函数

令函数

步骤5：考虑形如的周期Sylvester矩阵方程，设定容许误差ε，选择初始矩阵计算

P_t(0):＝-R_t(0)；

k:＝0；

如果||R_t(k)||≤ε，t＝0，…，T-1，ε为足够小的正数，例如ε＝10^-6，退出并返回X_t(k)，t＝0，…，T-1，否则进入下一步；

步骤6：当计算

X_t(k+1)＝X_t(k)+α(k)P_t(k)

k＝k+1；

计算完成后返回步骤5；

在该算法中，当指标函数J关于X_t在k次迭代中的偏导数R_t(k)的F-范数均小于足够小的容许误差ε，则算法停止，并给出在该次迭代中得出的解至此，矩阵序列满足式(5)，即得出周期Sylvester矩阵方程的数值解X_t；

步骤7：利用梯度搜索算法，选择适当的权重因子ρ，求解如下优化问题

Minimize J(G_t)，

计算优化决策矩阵为G_opt,t；

步骤8：将G_opt,t和X_t代入(3)，得到优化解X_opt,t(k)；

步骤9：令计算周期状态观测器增益L_opt,t：

下面将以具体的实施例对本发明的技术方案作进一步的说明：

考虑具有如下参数的完全能观的线性离散周期系统(1)：

其中k＝0,1,2,….令观测器的极点为Γ＝{-0.1±0.1i,-0.1}，给定ρ＝0.5，利用本方法，可得到如下一组周期状态观测器增益：

令周期闭环系统矩阵收到随机干扰和其满足则收扰动的闭环系统可以被表示为

其中μ＞0是表示扰动等级的因子。在本例中，设扰动等级为0.05，令离散参考输入为误差为其状态相应误差曲线结果由图1表示。可以发现，鲁棒观测器增益在扰动存在的情况下仍具有很好的稳定性。

本发明所述的一种线性离散周期系统的鲁棒全维状态观测器设计方法，基于梯度搜索算法，能够快速、有效的对周期Sylvester矩阵方程进行求解，进而得到一组优化决策矩阵，进而得到周期状态观测器的增益使得鲁棒全维状态观测器(2)能够给出一阶线性离散周期系统(1)状态向量x_t的渐进逼近且鲁棒全维状态观测器(2)的特征值尽可能地对小信号不敏感。

最后应说明的是：以上各实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述各实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的范围。

Claims (1)

1.一种线性离散周期系统的鲁棒全维状态观测器设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：构造以T为周期的矩阵F_t∈R^n×n满足Λ(Φ_F)＝Γ且进一步地，选择周期矩阵G_k∈R^r×n使得周期矩阵对(A_k,G_k)是完全能观的；

步骤2：构造周期Sylvester矩阵方程

步骤3：求解周期Sylvester矩阵方程，具体采用以下方法：

考虑形如T-1的周期Sylvester矩阵方程，根据最小二乘理论，要求解周期Sylvester矩阵方程，就要寻找矩阵序列X_t，t＝0，…，T-1来使如下指标函数的J最小：

其中，||||表示矩阵的F-范数；

对指标函数J求偏导数，也就是说，最小二乘解满足：

其中，t＝0，…，T-1。 (5)

步骤4：令函数

令函数

令函数

步骤5：考虑形如T-1的周期Sylvester矩阵方程，设定容许误差ε，选择初始矩阵X_t(0)∈R^n×n,计算

P_t(0):＝-R_t(0)；

k:＝0；

如果||R_t(k)||≤ε，t＝0，…，T-1，ε为足够小的正数，例如ε＝10^-6，退出并返回X_t(k)，t＝0，…，T-1，否则进入下一步；

步骤6：当计算

X_t(k+1)＝X_t(k)+α(k)P_t(k)

k:＝k+1；

计算完成后返回步骤5；

步骤7：利用梯度搜索算法，选择适当的权重因子ρ，求解如下优化问题

Minimize J(G_t)，

计算优化决策矩阵为G_opt,t；

步骤8：将G_opt,t和X_t代入(3)，得到优化解X_opt,t(k)；

步骤9：令计算周期状态观测器增益L_opt,t：