CN107231255A - 一种复杂系统的能控性对相继故障的鲁棒性建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种复杂系统的能控性对相继故障的鲁棒性建模方法，包括将系统抽象为有向网络并获取有向网络的网络拓扑性质、初始负载和初始最小驱动节点集中节点的数目；建立系统的非线性负载容量模型，并确定非线性负载容量模型中第一模型参数的取值范围；以预定取值方式从取值范围内抽取若干第一模型参数值，计算有向网络对应各第一模型参数值的容量；计算有向网络在相继故障后最小驱动节点集中节点的数目，计算系统能控性的鲁棒性指数；根据初始负载和对应各第一模型参数值的容量以及系统能控性的鲁棒性指数，确定非线性负载容量模型。本发明可以使系统在较小的投资成本下实现其能控性对相继故障的免疫。

Description

一种复杂系统的能控性对相继故障的鲁棒性建模方法

技术领域

本发明属于安全系统工程技术领域，具体地说，尤其涉及一种复杂系统的能控性对相继故障的鲁棒性建模方法。

背景技术

随着计算机和网络技术的进步，现代基础设施系统正朝着综合化、网络化的方向发展。虽然已经有研究来对复杂系统的拓扑结构和动态过程进行深入探讨，但是由于信息流、能量流、物质流的传输导致出现了网络结构间相互耦合、网络组件之间相互依赖、网络故障相互传播等复杂特性问题。这就使得复杂系统中仍有许多问题有待解决，而相继故障就是其中广泛存在的一个问题。

相继故障广泛存在于基础设施系统中，比如电力系统、互联网、交通运输系统等中。系统中一个组件的失效会传播至相邻组件，甚至引起系统的大规模相继故障，比如电力系统中某个变电站的失效会引起大规模停电事故，互联网中的关键服务器遭到攻击会引起整个互联网的瘫痪等。

相继故障也称为级联失效，指的是网络中一个或少数节点或边发生故障，通过节点或边之间的耦合关系引起其它节点或边发生故障，从而产生连锁效应，最终导致网络相当一部分甚至全部崩溃。研究表明具有异质特性的复杂系统更容易受到相继故障的影响。相继故障往往造成大量组件失效，改变系统的拓扑结构，从而造成复杂系统的能控性受损。

现有技术中，通常采用能够保证系统完全能控的最小驱动节点集中节点的数目来衡量复杂系统的能控性。最小驱动节点集指的是使得系统完全能控的驱动节点集中节点数目最小的集合，反应了系统实现完全能控的最少的驱动节点的数目。最小驱动节点集的计算已有成熟的算法，如结构能控性算法和精确能控性算法，因为结构能控性算法有着较高的计算效率和较广的使用范围。

复杂系统中各组件间的信息、能力、物质交换需要一个途径，如电缆、光缆、道路等。这些设施的建设往往需要大额投资成本，每个途径都有限定的容量大小。现阶段大多数系统途径的容量往往是基于局部信息考虑并设置的，如简单的设置某条边容量是其负载的线性倍数，并未考虑到网络的整体，这样往往会导致容量的资源浪费，增加了系统投资成本。

发明内容

本发明提供了一种复杂系统的能控性对相继故障的鲁棒性建模方法，用以使系统在较小的投资成本下实现其能控性对相继故障的免疫。

根据本发明的一个实施例，提供了一种复杂系统的能控性对相继故障的鲁棒性建模方法，包括以下步骤：

将系统抽象为有向网络并获取所述有向网络的网络拓扑性质、初始负载和初始最小驱动节点集中节点的数目；

建立所述系统的非线性负载容量模型，并根据所述网络拓扑性质确定所述非线性负载容量模型中第一模型参数的取值范围；

以预定取值方式从所述取值范围内抽取若干第一模型参数值，并根据预设网络成本步长和所述初始负载，计算所述有向网络对应各第一模型参数值的容量；

计算所述有向网络在相继故障后最小驱动节点集中节点的数目，并结合初始最小驱动节点集中节点的数目计算系统能控性的鲁棒性指数；

根据初始负载和对应各第一模型参数值的容量以及系统能控性的鲁棒性指数，确定所述第一模型参数值，进而确定所述非线性负载容量模型。

根据本发明的一个实施例，所述非线性负载容量模型表示为：

其中，H_ij表示所述有向网络的边a_ij的容量，L_ij(0)表示所述有向网络的边a_ij的初始负载，α表示用于调整容量大小的第一模型参数，β表示用于调整容量大小的第二模型参数，i、j表示有向网络中的节点，i,j＝1,2,...,N，N为网络的节点数。

根据本发明的一个实施例，将系统抽象为有向网络并获取所述有向网络的网络拓扑性质、初始负载和初始最小驱动节点集中节点的数目进一步包括以下步骤：

将系统抽象为有向网络；

根据所述有向网络的各节点间的连接状况生成第一邻接矩阵，其中，所述第一邻接矩阵中的元素为0表示两节点之间无连接，元素为1表示两节点之间有连接；

根据所述第一邻接矩阵获取所述有向网络的网络拓扑性质、初始负载和初始最小驱动节点集中节点的数目，其中，所述网络拓扑性质包括度分布幂律指数和出-入度相关性。

根据本发明的一个实施例，根据所述网络拓扑性质确定所述非线性负载容量模型中的第一模型参数的取值范围进一步包括：

如所述有向网络的度分布幂律指数大于2.2，并且出-入度相关性大于-0.2，则设置所述第一模型参数为1，否则设置所述第一模型参数的取值范围为[0.7，1)。

根据本发明的一个实施例，计算所述有向网络对应各第一模型参数值的容量进一步包括：

根据所述预设网络成本步长、所述第一模型参数值和初始负载，计算对应第一模型参数的非线性负载容量模型的第二模型参数步长；

以所述第二模型参数步长为增量逐步增加所述第二模型参数，并采用所述非线性负载容量模型计算第一模型参数及对应第二模型参数步长条件下的所述有向网络的容量。

根据本发明的一个实施例，计算所述有向网络在相继故障后最小驱动节点集中节点的数目，并结合初始最小驱动节点集中节点的数目计算系统能控性的鲁棒性指数进一步包括以下步骤：

根据所述有向网络的初始负载，确定并移除所述有向网络负载最高的边，以使所述有向网络的负载情况发生变化；

负载变化后，移除所述有向网络中负载超过其容量的边，重新计算当前情况下有向网络的负载，并进一步移除负载超过容量的边，重复该过程，直至网络中所有边的负载不超过其容量，得到有向网络的第二邻接矩阵；

根据所述第二邻接矩阵计算相继故障停止后所述有向网络的最小驱动节点集中节点的数目；

取相继故障发生前初始最小驱动节点集中节点的数目与相继故障停止后所述有向网络的最小驱动节点集中节点的数目的比值，并将所述比值作为系统能控性的鲁棒性指数。

根据本发明的一个实施例，根据初始负载和对应各第一模型参数值的容量以及系统能控性的鲁棒性指数，确定所述第一模型参数值，进而确定所述非线性负载容量模型进一步包括：

利用所述初始负载和对应各第一模型参数值的容量，采用网络成本定义计算所述有向网络对应第一模型参数值的网络成本；

根据对应第一模型参数值的网络成本和能控性的鲁棒性指数绘制网络成本-能控性的鲁棒性指数曲线；

在能控性的鲁棒性指数相等的情况下，从所述曲线中选取网络成本最小值对应的第一模型参数值，进而确定所述非线性负载容量模型。

根据本发明的一个实施例，根据所述第一邻接矩阵，采用极大似然估计法计算所述有向网络的度分布幂律指数。

根据本发明的一个实施例，根据所述第一邻接矩阵，采用出-入度相关性定义计算所述出-入度相关性。

根据本发明的一个实施例，所述网络成本定义表示为：

其中，H_ij和L_ij(0)分别表示所述有向网络的边a_ij的容量和初始负载，N表示有向网络中的节点总数，i、j表示有向网络中的节点。

本发明的有益效果；

本发明通过提供一种复杂系统的能控性对相继故障的鲁棒性建模方法，可以使系统在较小的投资成本下实现其能控性对相继故障的免疫，能够有效地解决复杂系统的复杂耦合关系及非线性特点，实现复杂系统合理容量分布。

本发明的其它特征和优点将在随后的说明书中阐述，并且，部分地从说明书中变得显而易见，或者通过实施本发明而了解。本发明的目的和其他优点可通过在说明书、权利要求书以及附图中所特别指出的结构来实现和获得。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例中的技术方案，下面将对实施例描述中所需要的附图做简单的介绍：

图1是根据本发明的一个实施例的方法流程图；

图2是根据本发明的一个实施例的成本-指数曲线示意图。

具体实施方式

以下将结合附图及实施例来详细说明本发明的实施方式，借此对本发明如何应用技术手段来解决技术问题，并达成技术效果的实现过程能充分理解并据以实施。需要说明的是，只要不构成冲突，本发明中的各个实施例以及各实施例中的各个特征可以相互结合，所形成的技术方案均在本发明的保护范围之内。

为解决复杂系统的合理容量分布问题，本发明提供了一种基于负载容量模型的研究复杂系统能控性对相继故障的鲁棒性建模方法，使复杂系统在较小的投资成本下实现最强的对相继故障的能控性的鲁棒性，能够有效地解决复杂系统的复杂耦合关系及非线性特点，实现复杂系统合理容量分布。

如图1所示为根据本发明的一个实施例的方法流程图，以下参考图1来对本发明进行详细说明。

如图1所示，首先，在步骤S110中，将系统抽象为有向网络并获取该有向网络的网络拓扑性质、初始负载和初始最小驱动节点集中节点的数目。

该步骤具体包括以下几个步骤。首先，为有利于对复杂系统进行分析，将复杂系统抽象为有向网络进行研究。其中，复杂网络中的网络节点为复杂系统中信息、能量、物质的处理、加工或中转组件，复杂网络中的连接网络节点的边负责传输。

接着，根据有向网络的各节点间的连接状况生成第一邻接矩阵A，其中，第一邻接矩阵中的元素为零表示两节点之间无连接，元素为1表示两节点之间有连接。具体的，假设复杂系统抽象出多个节点，如果存在连接节点i到节点j的边a_ij，则记该连接的边a_ij＝1，i,j＝1,2,...,N；否则记a_ij＝0，所有边的连接情况构成第一邻接矩阵A∈R^N×N，N表示复杂网络中节点总数。

最后，根据第一邻接矩阵获取有向网络的网络拓扑性质、初始负载和初始最小驱动节点集中节点的数目，其中，网络拓扑性质包括度分布幂律指数和出-入度相关性。

实际复杂系统抽象的有向网络的度分布往往遵循幂函数分布，即，p(k)～k^-γ，γ≥2，其中，p(k)表示度分布；γ表示幂律指数，反映了网络的异质性大小，通常利用第一邻接矩阵采用极大似然估计法计算得到对应的出度和入度。

有向网络的出-入度相关性定义表示为：

其中，和分别表示节点i的出度和入度，和分别表示节点i的平均出度和平均入度。

同时，根据第一邻接矩阵，计算有向网络的初始负载，并采用最大匹配算法计算有向网络的初始最小驱动节点集中节点的数目。

接下来在步骤S120中，建立系统的非线性负载容量模型，并根据网络拓扑性质确定所述非线性负载容量模型中第一模型参数的取值范围。

具体的，为了灵活调节不同负载的容量大小，本发明采用的非线性负载容量模型表示为：

其中，L_ij(0)表示复杂网络的边a_ij的初始负载，此处的负载由边的中心介数确定，即由通过边a_ij的最短路径的数目确定，i、j表示有向网络的网络节点，α表示用于调整容量大小的第一模型参数，β表示用于调整容量大小的第二模型参数，i,j＝1,2,...,N，N为网络的节点数。

在非线性负载容量模型中，边a_ij的负载L_ij定义为通过这条边的最短路径的数目，反应了该边承载的信息、能量或物质的多少。边a_ij的容量H_ij定义为该边所能承载的最大负载。

在本发明的一个实施例中，如有向网络的度分布幂律指数大于2.2，并且出-入度相关性大于-0.2，则设置第一模型参数α为1，否则设置第一模型参数α的取值范围为[0.7，1)。

接下来在步骤S130中，以预定取值方式从取值范围内抽取若干第一模型参数值，并根据预设网络成本步长和初始负载，计算有向网络对应各第一模型参数值的容量。

此处以预定取值方式从第一模型参数的取值范围内抽取若干第一模型参数值，指的是第一模型参数α可为取值范围内的任意多个取值，例如α可以按间距0.1依次取值0.7、0.8、0.9等不同的值。当然，在α取1时，则直接取1即可，不存在抽取多个取值的情况。

具体的，在实现步骤S130时，首先，根据预设网络成本步长、第一模型参数值和初始负载，计算对应第一模型参数的非线性负载容量模型的第二模型参数步长。此处以预设成本步长为0.1为例进行说明，本发明不限于此。第一模型参数值以抽取的取值范围内的某一值为例，该取值范围内抽取的其他值也需进行相同的运算，此处不加赘述。

对某一选定的第一模型参数α，根据设定网络成本e的步长Δe，并且e通常从1开始取值，成本的步长与模型参数的关系可由式(3)描述：

其中，Δβ为第二模型参数β对应Δe的步长，由此可得式(4)：

这样就得到了对应第一模型参数α和网络成本e的步长Δe的第二模型参数β的步长Δβ，这样取得的第二模型参数β的步长Δβ可以保证网络成本的均匀增长，方便不同成本-能控性鲁棒性曲线的横向和纵向比较。

最后，以第二模型参数步长为基准增量逐步增加第二模型参数，并采用非线性负载容量模型计算第一模型参数及对应第二模型参数步长条件下的有向网络的容量。具体的，根据第二模型参数β步长，采用非线性负载容量模型计算在第一模型参数α及对应第二模型参数β步长条件下的非线性负载容量。根据第二模型参数β的步长，可以得到相距相同步长的多个第二模型参数β的取值；根据对应的第一模型参数α和多个β的取值，通过式(3)可以计算得到多个非线性负载容量。不同的第一模型参数α可以得到对应不同的第二模型参数β步长，进而得到对应抽取的多个第一模型参数α的非线性负载容量。

接下来，在步骤S140中，计算有向网络在相继故障后最小驱动节点集中节点的数目，并结合初始最小驱动节点集中节点的数目计算系统能控性的鲁棒性指数。

具体的，首先根据有向网络的初始负载，确定并移除有向网络负载最高的边，以使有向网络的负载情况发生变化。

接着，负载变化后，移除有向网络中负载超过其容量的边，重新计算当前情况下有向网络的负载，并进一步移除负载超过容量的边，重复该过程，直至网络中所有边的负载不超过其容量，得到有向网络的第二邻接矩阵。在该过程中，根据当前已经确定的有向网络各边的负载，确定负载最高的边并移除该边，移除边即令其所对应的邻接矩阵元素a_ij＝0。网络的最短路径分布由于该边的移除而发生改变，即网络各边负载发生变化，变化后部分边的负载可能超过边的容量，进而导致这些边失效。失效过程继续直至所有边的负载不超过容量，这个过程称为相继故障。在相继故障停止后，移除有向网络中负载超过其容量的边，重新计算当前情况下有向网络的负载，并进一步移除负载超过容量的边，重复该过程，直至网络中所有边的负载不超过其容量，得到有向网络的第二邻接矩阵A’。

接着，根据第二邻接矩阵A’计算相继故障停止后有向网络的最小驱动节点集中节点的数目。

最后，取相继故障发生前初始最小驱动节点集中节点的数目与相继故障停止后所述有向网络的最小驱动节点集中节点的数目的比值，并将该比值作为系统能控性的鲁棒性指数。具体的，可以采用式(5)计算网络能控性的鲁棒性指数：

其中，N_d0和N_d1分别表示网络相继故障前后最小驱动节点集中数目，通过对应的邻接矩阵计算得到。R越趋近于1，则网络的能控性的鲁棒性越强。相继故障前网络的最小驱动节点集中节点的数目通过第一邻接矩阵A采用最大匹配算法计算得到。

最后，在步骤S150中，根据初始负载和对应各第一模型参数值的容量以及系统能控性的鲁棒性指数，确定第一模型参数值，进而确定非线性负载容量模型。

具体的，首先利用初始负载和对应各第一模型参数值的容量，采用网络成本定义计算有向网络对应第一模型参数值的网络成本，即利用式(3)计算对应第一模型参数值的网络成本。

接着，根据对应第一模型参数值的网络成本和能控性的鲁棒性指数绘制网络成本-能控性的鲁棒性指数曲线。具体的，以网络成本e为横轴，式(5)中的指数R为纵轴，绘制网络成本-能控性的鲁棒性指数曲线，其中网络成本e的增加通过逐步按步长增加参数β利用式(2)和式(3)计算得到。能控性的鲁棒性随着网络成本的增加逐渐增强，在成本达到一定值后，能控性的鲁棒性不再增强，这时网络不会由于移除最负载边而发生相继故障，即实现了能控性对相继故障的免疫。

最后，在系统能控性的鲁棒性指数相等的情况下，从曲线中选取网络成本最小值对应的第一模型参数值，进而确定非线性负载容量模型。通过观察网络成本-网络能控性的鲁棒性曲线选取合适的参数α和网络成本e，即在指数R相等情况下，基于多个参数α绘制的网络成本-网络能控性的鲁棒性曲线中选取成本e最小时对应的参数α。从不同成本-能控性的鲁棒性曲线中选取一条最早实现能控性对相继故障的免疫的曲线，即该曲线能够以最小的网络成本实现所示系统能控性对相继故障的免疫，该曲线对应的第一模型参数即为所求，从而确定所述系统对应的最佳容量分布的非线性负载容量。

以下通过一个具体的实施例来对本发明进行验证说明。

步骤一：抽象出网络，获得邻接矩阵A，根据极大似然参数估计法获得网络的幂律指数γ＝2.34，根据式(1)获得网络的出-入度相关性r(out,in)＝-0.380。

步骤二：由于网络幂律指数γ＞2.2，但是出-入度相关性r(out,in)＜-0.2，取参数0.7≤α＜1，这里设置参数α＝0.7,0.8,0.9。

步骤三：选取成本e的步长为0.1，分别根据参数α＝0.7,0.8,0.9，结合公式(4)计算出参数β的步长。以成本e为横轴，公式(5)中的指数R为纵轴，绘制成本-指数曲线，如图2所示。

步骤四：如图2所示，可得参数α＝0.7时网络的能控性可以在相对较小的网络成本情况下实现最强的能控性鲁棒性，最小的网络成本e＝1.5。

本发明通过提供一种复杂系统的能控性对相继故障的鲁棒性建模方法，模拟不同成本下相继故障对能控性的影响，在此仿真模拟的基础上确定合理的容量分布，实现以尽量小的投资成本来实现复杂系统能控性对相继故障的免疫的目的，能够有效地解决复杂系统的复杂耦合关系及非线性特点，实现复杂系统合理容量分布。

虽然本发明所公开的实施方式如上，但所述的内容只是为了便于理解本发明而采用的实施方式，并非用以限定本发明。任何本发明所属技术领域内的技术人员，在不脱离本发明所公开的精神和范围的前提下，可以在实施的形式上及细节上作任何的修改与变化，但本发明的专利保护范围，仍须以所附的权利要求书所界定的范围为准。

Claims (10)

1.一种复杂系统的能控性对相继故障的鲁棒性建模方法，包括以下步骤：

将系统抽象为有向网络并获取所述有向网络的网络拓扑性质、初始负载和初始最小驱动节点集中节点的数目；

建立所述系统的非线性负载容量模型，并根据所述网络拓扑性质确定所述非线性负载容量模型中第一模型参数的取值范围；

以预定取值方式从所述取值范围内抽取若干第一模型参数值，并根据预设网络成本步长和所述初始负载，计算所述有向网络对应各第一模型参数值的容量；

计算所述有向网络在相继故障后最小驱动节点集中节点的数目，并结合初始最小驱动节点集中节点的数目计算系统能控性的鲁棒性指数；

根据所述初始负载和对应各第一模型参数值的容量以及所述系统能控性的鲁棒性指数，确定所述第一模型参数值，进而确定所述非线性负载容量模型。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述非线性负载容量模型表示为：

<mrow> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;beta;L</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mi>&amp;alpha;</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，H_ij表示所述有向网络的边a_ij的容量，L_ij(0)表示有向网络的边a_ij的初始负载，α表示用于调整容量大小的第一模型参数，β表示用于调整容量大小的第二模型参数，i、j表示有向网络中的节点，i,j＝1,2,...,N，N为网络的节点数。

3.根据权利要求1或2所述的方法，其特征在于，将系统抽象为有向网络并获取所述有向网络的网络拓扑性质、初始负载和初始最小驱动节点集中节点的数目进一步包括以下步骤：

将系统抽象为有向网络；

根据所述有向网络的各节点间的连接状况生成第一邻接矩阵，其中，所述第一邻接矩阵中的元素为0表示两节点之间无连接，元素为1表示两节点之间有连接；

根据所述第一邻接矩阵获取所述有向网络的网络拓扑性质、初始负载和初始最小驱动节点集中节点的数目，其中，所述网络拓扑性质包括度分布幂律指数和出-入度相关性。

4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，根据所述网络拓扑性质确定所述非线性负载容量模型中的第一模型参数的取值范围进一步包括：

如果所述有向网络的度分布幂律指数大于2.2，并且出-入度相关性大于-0.2，则设置所述第一模型参数为1，否则设置所述第一模型参数的取值范围为[0.7，1)。

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于，计算所述有向网络对应各第一模型参数值的容量进一步包括：

根据所述预设网络成本步长、所述第一模型参数值和初始负载，计算对应第一模型参数的非线性负载容量模型的第二模型参数步长；

以所述第二模型参数步长为增量逐步增加所述第二模型参数，并采用所述非线性负载容量模型计算第一模型参数及对应第二模型参数步长条件下的所述有向网络的容量。

6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，计算所述有向网络在相继故障后最小驱动节点集中节点的数目，并结合初始最小驱动节点集中节点的数目计算系统能控性的鲁棒性指数进一步包括以下步骤：

根据所述有向网络的初始负载，确定并移除所述有向网络负载最高的边，以使所述有向网络的负载情况发生变化；

负载变化后，移除所述有向网络中负载超过其容量的边，重新计算当前情况下有向网络的负载，并进一步移除负载超过容量的边，重复该过程，直至网络中所有边的负载不超过其容量，得到有向网络的第二邻接矩阵；

根据所述第二邻接矩阵计算相继故障停止后所述有向网络的最小驱动节点集中节点的数目；

取相继故障发生前初始最小驱动节点集中节点的数目与相继故障停止后所述有向网络的最小驱动节点集中节点的数目的比值，并将所述比值作为所述系统能控性的鲁棒性指数。

7.根据权利要求6所述的方法，其特征在于，根据所述初始负载和对应各第一模型参数值的容量以及所述系统能控性的鲁棒性指数，确定所述第一模型参数值，进而确定所述非线性负载容量模型进一步包括：

利用所述初始负载和对应各第一模型参数值的容量，采用网络成本定义计算所述有向网络对应第一模型参数值的网络成本；

根据对应第一模型参数值的网络成本和能控性的鲁棒性指数，绘制网络成本-能控性的鲁棒性指数曲线；

在能控性的鲁棒性指数相等的情况下，从所述曲线中选取网络成本最小值对应的第一模型参数值，进而确定所述非线性负载容量模型。

8.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，根据所述第一邻接矩阵，采用极大似然估计法计算所述有向网络的度分布幂律指数。

9.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，根据所述第一邻接矩阵，采用出-入度相关性定义计算所述出-入度相关性。

10.根据权利要求5所述的方法，其特征在于，所述网络成本e定义表示为：

<mrow> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </msubsup> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>N</mi> </msubsup> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow>

其中，H_ij和L_ij(0)分别表示所述有向网络的边a_ij的容量和初始负载，N表示有向网络中的节点总数，i、j表示有向网络中的节点。