CN107203663A - 一种姿轨控机动作用下柔性部件指向获取方法 - Google Patents

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Abstract

一种姿轨控机动作用下柔性部件指向获取方法，首先对反射面天线进行结构有限元建模，进而建立卫星刚柔耦合动力学模型，获取反射面天线振动模态向量；然后建立卫星姿态控制作用模型，进而与卫星刚柔耦合动力学模型组成控制闭环作用下卫星动力学模型；最后，建立天线辐射场强在天线振动模态空间下的表达式，建立整星系统在轨状态动力学‑姿控‑天线辐射综合模型；根据卫星在轨工作激励数据仿真得到卫星天线振动的时变模态坐标，代入天线辐射场模态空间表达式，即可获取在轨工作模式对天线辐射场强影响的动态变化情况。

Description

一种姿轨控机动作用下柔性部件指向获取方法
技术领域
本发明一种姿轨控机动作用下柔性部件指向获取方法，针对大型可展开索网反射面天线在轨工作过程，用于卫星在轨工作引起的天线振动导致的天线指向变化分析技术领域。
背景技术
随着航天器任务要求的不断提高，航天器的复杂度正在不断上升，越来越多的大型柔性部件都在航天器上实现了在轨应用。近年来，作为卫星重要有效载荷的星载天线呈指向高精度和结构大型化的发展趋势。星载大口径反射面天线属于典型的大型柔性部件，我国也正在研制各类带有大型反射面天线的新型航天器。这类航天器属于大柔性、低频率、弱阻尼的复杂动力学系统，同时又对天线波束指向精度和稳定度、型面精度指标要求十分严格。然而，卫星在轨工作成像过程中的位保、姿态机动、太阳翼驱动、偏航导引等工作模式，对大型柔性天线成像影响极其敏感。将会引起大型反射面天线振动，进而影响天线成像期间的波束指向稳定度等指标，降低卫星成像质量。大型反射面天线工作频段较高，反射面型面变形对天线的辐射性能影响较大，由大型可展开薄膜或索网反射面天线的波束指向要求，对天线的结构设计与工艺提出了更高的要求。高结构精度要求可提高天线的工作性能，但也会大幅提高成本。因此，需要研究结构振动对天线波束指向影响，找到影响指向精度的主要因素，进而才能给出提高指向精度合理的解决方法。因此，实现姿轨控机动作用下柔性部件指向获取方法是提高星载大型反射面天线指向精度的基础。
目前，针对天线波束指向分析的传统方法多为静态的天线型面下的波束指向分析。而对于星载天线，平台是在自由边界下的，同时卫星带有姿态控制系统作用，星本体的运动必然引起大型反射面天线的结构振动，天线结构是时变而非静态的，天线的型面变形时刻发生变化，其波束指向也在时刻发生变化。对这种平台自由浮动、天线结构振动过程的波束指向分析，仅仅采用静态的天线型面下的波束指向分析无法给出整个振动过程的天线的波束指向变化，无法高效的给出最恶劣的天线波束指向误差，这样显然无法满足工程需求。天线的波束指向分析应当在整星系统下开展，给出结构振动到波束指向的直接关系，实现天线时域振动过程的指向分析。
发明内容
本发明解决的技术问题为：克服现有技术的不足，提供了一种姿轨控机动作用下的柔性部件指向获取方法。通过整星动力学、姿态控制、波束指向的综合模型，在整星系统级层面，实现姿轨控作用下天线结构振动时变过程的波束指向分析。
本发明解决的技术方案为：一种姿轨控机动作用下柔性部件指向获取方法，步骤如下：
(1)建立整星刚柔耦合动力学模型。
其中(1)式为系统质心平动运动方程，(2)式为系统绕质心的转动运动方程，(3)、(4)为太阳翼控制方程，(5)、(6)为太阳翼振动方程，(7)为天线振动方程。式中：
ωs为卫星中心体的角速度列阵；
为角速度列阵的反对称阵；
M为卫星质量阵；
Is为卫星惯量阵；
Ps为作用在卫星上的外力列阵；
Ts为作用在卫星上的外力矩列阵；
ωals、ωars分别为左右太阳翼的角速度列阵；
Ωals、Ωars、Ωa分别为左右太阳翼和天线的模态频率对角阵；
ηls、ηrs、ηa分别为左右太阳翼和天线的模态坐标阵；
ζls、ζrs、ζa分别为左右太阳翼和天线的模态阻尼系数,一般取0.005；
Ials、Iars分别为左右太阳翼的惯量阵；
Ftls、Ftrs、Fta分别为左右太阳翼和天线振动对本体平动的柔性耦合系数阵；
Fsls、Fsrs、Fsa分别为左右太阳翼和天线振动对本体转动的柔性耦合系数阵；
Fals、Fars分别为左右太阳翼振动对自身转动的柔性耦合系数阵；
Rasls、Rasrs分别为左右太阳翼转动与卫星转动的刚性耦合系数阵；
Tals、Tars分别为作用在左右太阳翼上的控制力矩列阵。
(2)建立卫星姿态控制模型。
卫星的姿态控制带宽为已知条件情况下，暂不考虑结构陷波器，确定比例-微分控制律，如下：
u＝Kpθs+Kdωs (8)
其中Kp为比例增益，Kd为微分增益，θs为整星姿态角，u为控制力矩。
设计卫星上的控制力矩陀螺与动量轮传递函数按如下：
s为拉普拉斯算子，ξs为控制力矩陀螺的阻尼系数。
s为拉普拉斯算子，ξt为动量轮的阻尼系数。
综上，由控制力矩陀螺与动量轮实现的输出控制力矩如式(11)，
Ts＝Gt(s)Gs(s)(Kpθs+Kdωs) (11)
由上述整星刚柔耦合动力学模型、姿态控制模型组成控制闭环作用下的整星系统动力学模型：
Tc＝Gt(s)Gs(s)(Kpθs+Kdωs) (19)
(3)建立卫星在轨工作中结构振动变形与卫星的天线辐射场关系
根据物理光学法，处于照射区的反射面表面感应电流表示为
其中，为反射面天线的反射面表面上任意点处的位置矢量，为反射面天线的反射面表面处的单位外法向矢量，为反射面天线的反射面表面处的入射磁场。
求出表面感应电流后，引入远场近似，那么由表面感应电流产生的辐射电场为
其中，j为复数单位，k为自由空间传播常数，η为波阻抗，r为观察点到原点的距离，为单位并矢，为单位矢量的并矢，s为反射面表面面积。通过天线在给定方向辐射强度与平均辐射强度之比即可获得天线的方向性系数。
天线辐射场与反射面任意点的位置变化有关，以反射面天线有限元模型作为分析对象，对式(21)按天线反射面有限元模型各节点位置变化采用多元泰勒展开：
式中，q＝[qx,qy,qz]为反射面天线的反射面表面上任意点处的位置沿x、y、z三个方向的投影标量；[qx0,qy0,qz0]为天线振动变形前反射面表面上任意点的初始位置。
对天线反射面(即型面)任一点变形采用模态坐标变换：
Δq＝[Δqx,Δqy,Δqz]＝[φx,φy,φz]η (23)
式中，[φx,φy,φz]为反射面表面上任意点沿x、y、z三个方向振动的平动模态，η为振动模态坐标。
假设对天线辐射场的场强E取二阶近似精度已满足需求，天线辐射性能的模态坐标表达式为：
E＝E0+W1η+ηTW2η (24)
式中，E0为振动前初始时刻天线的辐射电场。
定义m为模态阶数，式(16)中各变量表达式如下：
E0＝E(qx0,qy0,qz0) (25)
W1＝[w1,w2,…wm] (26)
η＝[η1,η2,…,ηm]T (29)
式中，m为模态阶数；[φi,x,φi,y,φi,z]为沿x、y、z三个方向的第i阶平动模态；
通过以上变换将天线辐射电场即(22)式变换为天线振动模态空间下的表达式即式(24)～式(29)，根据步骤(1)整星刚柔耦合动力学模型、步骤(2)卫星姿态控制模型和步骤(3)的天线辐射性能的模态空间表达式，建立整星系统在轨状态动力学-姿控-天线辐射综合模型：
Tc＝Gt(s)Gs(s)(Kpθs+Kdωs) (37)
E＝E0+W1η+ηTW2η (38)
(4)用整星系统在轨状态动力学-姿控-天线辐射综合模型，求取E以获得天线振动过程中辐射场强的时域变化，通过天线在给定方向辐射场强与平均辐射强度之比即可获得天线的方向性系数，即获得天线波束指向。
本发明与现有技术相比的优点在于：
(1)给出了带柔性部件的卫星在轨动力学与姿态控制、电性能综合建模、仿真、分析方法，为卫星在轨工作过程中的柔性反射面天线指向提供一套完整的分析方法。
(2)通过前述建立的系统综合模型，获得时变的天线振动的模态坐标，通过确定天线辐射近似式中的不随时间变化的常量项，建立天线振动过程辐射性能场二阶近似模态空间表达式。
(3)通过了天线辐射场的与反射面振动变形的二阶近似模态空间关系式，代入时变的天线振动模态坐标，可以实现卫星在轨自由状态下天线振动过程的动态电性能分析。
附图说明
图1本发明的方法流程图；
具体实施方式
本发明的基本思路为：一种姿轨控机动作用下柔性部件指向获取方法，首先对反射面天线进行结构有限元建模，进而建立卫星刚柔耦合动力学模型，获取反射面天线振动模态向量；然后建立卫星姿态控制作用模型，进而与卫星刚柔耦合动力学模型组成控制闭环作用下卫星动力学模型；最后，建立天线辐射场强在天线振动模态空间下的表达式，建立整星系统在轨状态动力学-姿控-天线辐射综合模型；根据卫星在轨工作激励数据仿真得到卫星天线振动的时变模态坐标，代入天线辐射场模态空间表达式，即可获取在轨工作模式对天线辐射场强影响的动态变化情况。
下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步详细描述，
如图1所示，本发明的一种姿轨控机动作用下柔性部件指向获取方法，步骤如下：
(1)建立整星刚柔耦合动力学模型。
其中(1)式为系统质心平动运动方程，(2)式为系统绕质心的转动运动方程，(3)、(4)为太阳翼控制方程，(5)、(6)为太阳翼振动方程，(7)为天线振动方程。式中：
ωs为卫星中心体的角速度列阵；
为角速度列阵的反对称阵；
M为卫星质量阵；
Is为卫星惯量阵；
Ps为作用在卫星上的外力列阵；
Ts为作用在卫星上的外力矩列阵；
ωals、ωars分别为左右太阳翼的角速度列阵；
Ωals、Ωars、Ωa分别为左右太阳翼和天线的模态频率对角阵；
ηls、ηrs、ηa分别为左右太阳翼和天线的模态坐标阵；
ζls、ζrs、ζa分别为左右太阳翼和天线的模态阻尼系数,一般取0.005；
Ials、Iars分别为左右太阳翼的惯量阵；
Ftls、Ftrs、Fta分别为左右太阳翼和天线振动对本体平动的柔性耦合系数阵；
Fsls、Fsrs、Fsa分别为左右太阳翼和天线振动对本体转动的柔性耦合系数阵；
Fals、Fars分别为左右太阳翼振动对自身转动的柔性耦合系数阵；
Rasls、Rasrs分别为左右太阳翼转动与卫星转动的刚性耦合系数阵；
Tals、Tars分别为作用在左右太阳翼上的控制力矩列阵。
(2)建立卫星姿态控制模型。
卫星的姿态控制带宽为已知条件情况下，暂不考虑结构陷波器，确定比例-微分控制律，如下：
u＝Kpθs+Kdωs (8)
其中Kp为比例增益，Kd为微分增益，θs为整星姿态角，u为控制力矩。
设计卫星上的控制力矩陀螺与动量轮传递函数按如下：
s为拉普拉斯算子，ξs为控制力矩陀螺的阻尼系数。
s为拉普拉斯算子，ξt为动量轮的阻尼系数。
综上，由控制力矩陀螺与动量轮实现的输出控制力矩如式(11)，
Ts＝Gt(s)Gs(s)(Kpθs+Kdωs) (11)
由上述整星刚柔耦合动力学模型、姿态控制模型组成控制闭环作用下的整星系统动力学模型：
Tc＝Gt(s)Gs(s)(Kpθs+Kdωs) (19)
(3)建立卫星在轨工作中结构振动变形与卫星的天线辐射场关系
根据物理光学法，处于照射区的反射面表面感应电流表示为
其中，为反射面天线的反射面表面上任意点处的位置矢量，为反射面天线的反射面表面处的单位外法向矢量，为反射面天线的反射面表面处的入射磁场。
求出表面感应电流后，引入远场近似，那么由表面感应电流产生的辐射电场为
其中，j为复数单位，k为自由空间传播常数，η为波阻抗，r为观察点到原点的距离，为单位并矢，为单位矢量的并矢，s为反射面表面面积。通过天线在给定方向辐射强度与平均辐射强度之比即可获得天线的方向性系数。
天线辐射场与反射面任意点的位置变化有关，以反射面天线有限元模型作为分析对象，对式(21)按天线反射面有限元模型各节点位置变化采用多元泰勒展开：
式中，q＝[qx,qy,qz]为反射面天线的反射面表面上任意点处的位置沿x、y、z三个方向的投影标量；[qx0,qy0,qz0]为天线振动变形前反射面表面上任意点的初始位置。
对天线反射面(即型面)任一点变形采用模态坐标变换：
Δq＝[Δqx,Δqy,Δqz]＝[φx,φy,φz]η (23)
[φx,φy,φz]为反射面表面上任意点沿x、y、z三个方向振动的平动模态，η为振动模态坐标。
假设对天线辐射场的场强E取二阶近似精度已满足需求，天线辐射性能的模态坐标表达式为：
E＝E0+W1η+ηTW2η (24)
式中，E0为振动前初始时刻天线的辐射电场。
定义m为模态阶数，式(16)中各变量表达式如下：
E0＝E(qx0,qy0,qz0) (25)
W1＝[w1,w2,…wm] (26)
η＝[η1,η2,…,ηm]T (29)
式中，m为模态阶数；[φi,x,φi,y,φi,z]为沿x、y、z三个方向的第i阶平动模态；
通过以上变换将天线辐射电场即(22)式变换为天线振动模态空间下的表达式即式(24)～式(29)，根据步骤(1)整星刚柔耦合动力学模型、步骤(2)卫星姿态控制模型和步骤(3)的天线辐射性能的模态空间表达式，建立整星系统在轨状态动力学-姿控-天线辐射综合模型：
Tc＝Gt(s)Gs(s)(Kpθs+Kdωs) (37)
E＝E0+W1η+ηTW2η (38)
(4)用整星系统在轨状态动力学-姿控-天线辐射综合模型，求取E以获得天线振动过程中辐射场强的时域变化，通过天线在给定方向辐射场强与平均辐射强度之比即可获得天线的方向性系数，即获得天线波束指向。下面结合具体工程分析，说明本发明在应用过程中的具体实施步骤。
优选的方案为：以带两块太阳翼与大型反射面天线为柔性附件的卫星作为分析对象，假设太阳翼为不驱动情况下，分析天线主方向辐射性能；
第一步，建立天线有限元模型，获取天线各阶振动模态，通过模态截取准则截取m阶有效模态；建立太阳翼有限元模型；
第二步，确定式(38)中的常量矩阵E0；
将未发生变形的反射面天线通过工程软件计算得到天线辐射场强；
第三步，确定式(38)中的常量W1；
分别针对天线第i阶模态乘正、负单位模态坐标振幅的变形，通过工程软件计算两种变形情况静态天线辐射场为Ei，E-i；将Ei，E-i与正、负单位模态坐标振幅的变形代入前述建立的天线辐射场强的二阶近似模态坐标表达式：
E＝E0+W1η+ηTW2η (39)
那么可以得到下式：
联立上式可得：
即得到常量项：W1＝[w1,w2,…wm]。
同理对于任一阶模态都可以获得以上常量。
第四步，确定式(38)中的常量W2；
已知前述推导给出了常量项W2的表达式如下：
对于W2中的对角线耦合项wiwi，通过式(40)、(41)求和联立可解：
wiwi＝Ei+E-i-2E0 (44)
对于W2中的非对角线耦合项wiwj，分别对天线的i加j阶模态的正单位模态坐标振幅变形，通过工程软件计算天线静态辐射场Eij。将天线的i加j阶模态的正单位模态坐标振幅的变形代入式(39)可得：
再将前述求解的式(42)、(44)，以及与式(42)、(44)同理求得的wj、wjwj代入上式，即可解得：
wiwj＝Eij-Ei-Ej+E0 (46)
即获得了由对角线耦合项wiwi与非对角线耦合项wiwj组成的常量W2。
至此，可获得天线截取有限模态下的常量E0、W1、W2。
第四步，获取天线、左右两太阳翼的柔性振动对整星平动的柔性耦合系数矩阵：Fta、Ftrs、Ftls；获取天线、左右两太阳翼的柔性振动对整星转动的柔性耦合系数矩阵：Fsa、Fsls、Fsrs；
第五步，采用中心刚体带柔性附件方法，建立整星在轨自由状态的系统动力学方程：
第六步，建立卫星姿态控制模型，进而组成整星动力学-控制-天线辐射综合模型；
在不考虑结构陷波器，确定比例-微分控制律，如下：
u＝Kpθs+Kdωs (52)
其中Kp为比例增益，Kd为微分增益，θs为整星姿态角，u为控制力矩。
设计卫星上的控制力矩陀螺与动量轮传递函数Gs(s)、动量轮传递函数Gt(s)，由控制力矩陀螺与动量轮实现的输出控制力矩如下：
Tc＝Gt(s)Gs(s)(Kpθs+Kdωs) (53)
至此，组成整星动力学-控制-天线辐射综合模型：
Tc＝Gt(s)Gs(s)(Kpθs+Kdωs) (59)
第七步，加入卫星在轨各姿轨控工作模式，求解对应各保留模态的随时间变化模态坐标，代入式(60)求解各时刻反射面天线主方向的辐射场。
本发明通过了天线辐射场的与反射面振动变形的二阶近似模态空间关系式，代入时变的天线振动模态坐标，可以实现卫星在轨自由状态下天线振动过程的动态电性能分析。

Claims (4)

1.一种姿轨控机动作用下柔性部件指向获取方法，其特征在于步骤如下：
(1)建立整星刚柔耦合动力学模型；
(2)根据整星刚柔耦合动力学模型、卫星姿态控制模型，建立姿态控制下整星系统动力学模型；
(3)根据整星刚柔耦合动力学模型、卫星姿态控制模型和天线辐射性能的模态空间表达式，建立整星系统在轨状态动力学-姿控-天线辐射综合模型；
(4)用整星系统在轨状态动力学-姿控-天线辐射综合模型，获得天线振动过程中辐射场强的时域变化，通过天线在给定方向辐射场强与平均辐射强度之比即可获得天线的方向性系数，即获得天线波束指向。
2.根据权利要求1所述的一种姿轨控机动作用下柔性部件指向获取方法，其特征在于：步骤(1)建立的整星刚柔耦合动力学模型，如下：
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其中(1)式为系统质心平动运动方程，(2)式为系统绕质心的转动运动方程，(3)、(4)为太阳翼控制方程，(5)、(6)为太阳翼振动方程，(7)为天线振动方程，式中：
ωs为卫星中心体的角速度列阵；
为角速度列阵的反对称阵；
M为卫星质量阵；
Is为卫星惯量阵；
Ps为作用在卫星上的外力列阵；
Ts为作用在卫星上的外力矩列阵；
ωals、ωars分别为左右太阳翼的角速度列阵；
Ωals、Ωars、Ωa分别为左右太阳翼和天线的模态频率对角阵；
ηls、ηrs、ηa分别为左右太阳翼和天线的模态坐标阵；
ζls、ζrs、ζa分别为左右太阳翼和天线的模态阻尼系数,一般取0.005；
Ials、Iars分别为左右太阳翼的惯量阵；
Ftls、Ftrs、Fta分别为左右太阳翼和天线振动对本体平动的柔性耦合系数阵；
Fsls、Fsrs、Fsa分别为左右太阳翼和天线振动对本体转动的柔性耦合系数阵；
Fals、Fars分别为左右太阳翼振动对自身转动的柔性耦合系数阵；
Rasls、Rasrs分别为左右太阳翼转动与卫星转动的刚性耦合系数阵；
Tals、Tars分别为作用在左右太阳翼上的控制力矩列阵。
3.根据权利要求1所述的一种姿轨控机动作用下柔性部件指向获取方法，其特征在于：步骤(2)根据整星刚柔耦合动力学模型、卫星姿态控制模型，建立姿态控制下整星系统动力学模型，方法如下：
卫星的姿态控制带宽为已知条件情况下，暂不考虑结构陷波器，确定比例-微分控制律，如下：
u＝Kpθs+Kdωs (8)
式中，Kp为比例增益，Kd为微分增益，θs为整星姿态角，u为控制力矩，设计卫星上的控制力矩陀螺与动量轮传递函数按如下：
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s为拉普拉斯算子，ξs为控制力矩陀螺的阻尼系数；
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s为拉普拉斯算子，ξt为动量轮的阻尼系数；
由控制力矩陀螺与动量轮，实现的输出控制力矩如式(11)，
Ts＝Gt(s)Gs(s)(Kpθs+Kdωs) (11)
由上述整星刚柔耦合动力学模型、姿态控制模型组成控制闭环作用下的整星系统动力学模型，即姿态控制下整星系统动力学模型：
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Tc＝Gt(s)Gs(s)(Kpθs+Kdωs) (19)。
4.根据权利要求1所述的一种姿轨控机动作用下柔性部件指向获取方法，其特征在于：步骤(3)根据整星刚柔耦合动力学模型、卫星姿态控制模型和天线辐射性能的模态空间表达式，建立整星系统在轨状态动力学-姿控-天线辐射综合模型，方法如下；
根据物理光学法，处于照射区的反射面表面感应电流表示为
<mrow> <mover> <mi>J</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mover> <mi>n</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&amp;times;</mo> <mover> <mi>H</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，为反射面天线的反射面表面上任意点处的位置矢量，为反射面天线的反射面表面处的单位外法向矢量，为反射面天线的反射面表面处的入射磁场；
求出表面感应电流后，引入远场近似，那么由表面感应电流产生的辐射电场为
<mrow> <mover> <mi>E</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>j</mi> <mi>k</mi> <mi>&amp;eta;</mi> <mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>j</mi> <mi>k</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mn>4</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mover> <mi>I</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mover> <mi>r</mi> <mo>^</mo> </mover> <mover> <mi>r</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <munder> <mo>&amp;Integral;</mo> <mi>s</mi> </munder> <mover> <mi>J</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>k</mi> <mover> <mi>q</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mover> <mi>r</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mi>s</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，j为复数单位，k为自由空间传播常数，η为波阻抗，r为观察点到原点的距离，为单位并矢，为单位矢量的并矢，s为反射面表面面积；通过天线在给定方向辐射强度与平均辐射强度之比即可获得天线的方向性系数；
天线辐射场与反射面任意点的位置变化有关，以反射面天线有限元模型作为分析对象，对式(21)按天线反射面有限元模型各节点位置变化采用多元泰勒展开：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>i</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;q</mi> <mi>x</mi> </msub> <mfrac> <mo>&amp;part;</mo> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;q</mi> <mi>y</mi> </msub> <mfrac> <mo>&amp;part;</mo> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;q</mi> <mi>z</mi> </msub> <mfrac> <mo>&amp;part;</mo> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mi>E</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;Delta;q</mi> <mi>x</mi> </msub> <mfrac> <mo>&amp;part;</mo> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;q</mi> <mi>y</mi> </msub> <mfrac> <mo>&amp;part;</mo> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;q</mi> <mi>z</mi> </msub> <mfrac> <mo>&amp;part;</mo> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>q</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mi>E</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;q</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;q</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>&amp;Delta;q</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> <mo>&lt;</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&lt;</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，q＝[qx,qy,qz]为反射面天线的反射面表面上任意点处的位置沿x、y、z三个方向的投影标量；[qx0,qy0,qz0]为天线振动变形前反射面表面上任意点的初始位置；
对天线反射面，即型面，任一点变形采用模态坐标变换：
Δq＝[Δqx,Δqy,Δqz]＝[φx,φy,φz]η (23)
式中，[φx,φy,φz]为反射面表面上任意点沿x、y、z三个方向振动的平动模态，η为振动模态坐标；
假设对天线辐射场的场强E取二阶近似精度已满足需求，天线辐射性能的模态坐标表达式为：
E＝E0+W1η+ηTW2η (24)
式中，E0为振动前初始时刻天线的辐射电场；
定义m为模态阶数，式(16)中各变量表达式如下：
E0＝E(qx0,qy0,qz0) (25)
W1＝[w1,w2,…wm] (26)
<mrow> <msub> <mi>W</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <msub> <mi>w</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <msub> <mi>w</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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η＝[η1,η2,…,ηm]T (29)
式中，m为模态阶数；[φi,x,φi,y,φi,z]为沿x、y、z三个方向的第i阶平动模态；
通过以上变换将天线辐射电场即(22)式变换为天线振动模态空间下的表达式即式(24)～式(29)，根据步骤(1)整星刚柔耦合动力学模型、步骤(2)卫星姿态控制模型和步骤(3)的天线辐射性能的模态空间表达式，建立整星系统在轨状态动力学-姿控-天线辐射综合模型，
<mrow> <mi>M</mi> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>r</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mi>l</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>l</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>a</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>30</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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<mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>l</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;zeta;</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <msub> <mover> <mi>&amp;eta;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>l</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;Omega;</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mi>s</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mi>l</mi> <mi>s</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mi>l</mi> <mi>s</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>s</mi> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mi>s</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>34</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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Tc＝Gt(s)Gs(s)(Kpθs+Kdωs) (37)
E＝E0+W1η+ηTW2η (38)。
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