CN107194039A - 一种基于改进高斯伪谱法的空间柔性系统展开控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于改进高斯伪谱法的空间柔性系统展开控制方法，建立自主机动空间柔性系统展开动力学模型；基于自主机动空间柔性系统展开动力学模型提出适合于伪谱法的标准Bolza问题；将标准的Bolza问题通过一种0转化为非线性规划问题；设计了改进的高斯伪谱法的迭代算法。积极效果：采用一种改进的高斯伪谱法，将自主机动空间柔性系统展开运动路径优化转化为非线性规划问题，设计了改进的高斯伪谱法的迭代算法。通过改进的高斯伪谱法得到光滑连续的状态变量和控制变量，设计的迭代算法可以提前结束规划循环，在满足优化条件的前提下，缩短时间。

Description

一种基于改进高斯伪谱法的空间柔性系统展开控制方法

技术领域

本发明属于绳系航天器展开控制技术的研究，涉及一种基于改进高斯伪谱法的空间柔性系统展开控制方法，具体涉及空间柔性系统在展开过程中实现终端状态的一种 路径规划的最优控制方法。

背景技术

空间柔性系统是一种具有绳系结构的空间机器人系统，具有高灵活性和高安全性。 在空间在轨捕获和轨道清理任务中将会扮演重要角色。本专利所提出的自主机动空间柔性系统是一种由“”空间平台+柔性绳网+自主机动单元”组成的新型航天器。柔性绳网 的网口形状为三角形，3个自主机动单元分别位于柔性绳网的三个顶角上。

空间柔性系统的展开是一个复杂的动力学过程，不恰当的展开方式可能导致网绳单元和网面的剧烈振动，甚至出现网绳缠绕等危险情形。目前，针对飞网展开所提出 的方式主要有旋转展开、刚性构件支撑展开和弹射展开三种。但这三种展开方式对网 口最大展开面积和飞网有效作用时间都有很大的影响，严重限制了其操作距离和机动 性。

柔性网完全展开后，在自主机动单元及空间平台的支持下，控制并保持柔性网的网型。国内学者针对自主机动空间柔性系统的展开控制技术提出了一些策略，例如， 在文献《一种空间飞网机器人网型保持控制方法》中，设计了一种基于积分切换函数 的滑模变结构控制器，保证各自主机动单元以一定相对速度沿着期望轨迹运动，进而 实现网型保持的目的。在文献《空间飞网机器人网型保持控制方法研究》中，提出了 一种基于Leader-Follower方法的网型保持控制策略，有效实现空间飞网机器人逼近目 标过程中的网型保持控制。

发明内容

要解决的技术问题

为了避免现有技术的不足之处，本发明提出一种基于改进高斯伪谱法的空间柔性系统展开控制方法，使展开消耗的时间和燃料达到相对最少的一种最优控制。

技术方案

一种基于改进高斯伪谱法的空间柔性系统展开控制方法，其特征在于步骤如下：

步骤1、建立自主机动空间柔性系统展开动力学模型：以空间柔性系统质心为原点的轨道系O-xyz，Ox沿轨道半径由地心指向空间柔性系统质心，Oy垂直于Ox且指 向平台前进的方向，Oz垂直于轨道平面且构成右手定则；在轨道系中，三个自主机动 单元(1)的质量为m_j，相对于轨道系原点的位置为r_j＝(x_j,y_j,z_j)^T，j＝1,2,3；

μ₁(μ₂+μ₃){Υ″₁-Υ₁(θ₁'+1)²+Υ₁(1-3cos²θ₁)}

+μ₁μ₃{[Υ₂θ₂″+2Υ'₂(θ₂'+1)]sin(θ₁-θ₂)

+[Υ″₂-Υ₂θ₂'(θ₂'+2)]cos(θ₁-θ₂)-3Υ₂cosθ₁cosθ₂}

＝-Ω₁-Ω₃(Υ₁+Υ₂cos(θ₂-θ₁))/Υ₃-Γ₁(μ₂+μ₃)

+Γ₂μ₁cos(θ₁-θ₂)-Γ₃μ₁(Υ₁+Υ₂cos(θ₂-θ₁))/Υ₃

μ₃(μ₁+μ₂){Υ″₂-Υ₂(θ₂'+1)²+Υ₂(1-3cos²θ₂)}

+μ₁μ₃{-[Υ₁θ₁″+2Υ'₁(θ₁'+1)]sin(θ₁-θ₂)

+[Υ″₁-Υ₁θ₁'(θ₁'+2)]cos(θ₁-θ₂)-3Υ₁cosθ₁cosθ₂}

＝-Ω₂-Ω₃(Υ₁cos(θ₂-θ₁)+Υ₂)/Υ₃-Γ₁μ₃cos(θ₁-θ₂)

-Γ₂μ₃-Γ₃(μ₁+μ₂)(Υ₁cos(θ₂-θ₁)+Υ₂)/Υ₃

所述

其中： 是r_j对时间的一阶导数，l₁是连接自主机动单元m₁和m₂的系绳长度，l₂是连接自主机动单元m₂和m₃的系绳长度，l₃是连接自主机动单元 m₁和m₃的系绳长度，θ₁和θ₂分别是系绳l₁和l₂与Ox轴之间的夹角，ω是轨道角速度，分别是l₁、l₂、θ₁、θ₂对时间的一阶导数，分别是l₁、l₂、 θ₁、θ₂对时间的二阶导数，q是系统的广义坐标系，定义为q＝[θ₁,θ₂,l₁,l₂]^T，表示广 义坐标对时间的一阶导数，Q是系统的广义力，T₁、T₂、T₃分别表示系绳的拉力，F₁、 F₂、F₃分别表示3个自主机动单元的机动力，R₀，R₀分别表示地心到轨道坐标系原 点的距离和矢量，Υ₁、Υ₂、Υ₃、Υ'₁、Υ'₂、Υ″₁、Υ″₂分别是l₁、l₂、l₃、无 量纲化后对应的量，θ₁'、θ₂'、θ₁″、θ₂″分别是无量纲化后对应的量，L为 无量纲化常量；

步骤2、将自主机动空间柔性系统展开动力学模型转换为标准Bolza问题：

B(x(τ₀),x(τ_f),t₀,t_f)＝0

C(x(τ),u(τ),τ,t₀,t_f)≤0

所述为性能指标函数，其中，t₀为运动起始时间，t_f为待定终端时间；α和α_i为给定的正实数，α是对终端时间的加权，α_i是对各自主 机动力作为控制量时燃料消耗的加权；F_i表示各自主机动力；

所述为系统的动力学公式，

其中：为系统的状态变量；

u＝[T₁,T₂,T₃,F₁,F₂,F₃]^T为系统的控制变量：

所述B(x(τ₀),x(τ_f),t₀,t_f)＝0为状态变量的边界条件：

其中，分别是l₁,l₂,θ₁,θ₂,在t₀时刻的值，分别是l₁,l₂,θ₁,θ₂,在t_f时刻的值；

所述C(x(τ),u(τ),τ,t₀,t_f)≤0为路径约束条件：

其中，l_1min,l_2min,θ_1min,θ_2min,T_1min,T_2min,T_3min,F_1min,F_2min,F_3min

分别是l₁,l₂,θ₁,θ₂,T₁,T₂,T₃,F₁,F₂,F₃最小值，

l_1max,l_2max,θ_1max,θ_2max,T_1max,T_2max,T_3max,F_1max,F_2max,F_3max

分别是l₁,l₂,θ₁,θ₂,T₁，T₂，T₃，F₁，F₂，F₃最大值；

步骤3、将标准的Bolza问题通过一种改进的高斯伪谱法转化为非线性规划问题：

将状态变量在前N+1个LG节点上进行Hermite插值近似，得到：

其中，

是x(τ)插值近似函数，是的导数；

控制变量在区间(τ₀,τ_f)中的LG节点上进行Hermite插值近似，得到：

其中，

是u(τ)的插值近似函数，是的导数，终端时刻的控制变量通过曲线的延拓得到；

将状态方程中的状态变量的导数在τ_k时刻进行离散化：

状态方程式转化为代数约束：

根据高斯积分公式，τ_f终端时刻的终端状态表示为：

其中，高斯型求积系数A_k通过下式计算：

其中，是p_N的导数在τ_k时刻的取值

离散化后得到的性能指标函数为：

步骤4、采用改进的高斯伪谱法的迭代算法运算步骤3中的规划问题：

1)选择离散点的个数N+2，即N次Legendre多项式的零点和两个端点值；

2)计算步骤3的状态变量x和控制变量u；

3)将计算得到的控制变量代入控制系统的输入端；

4)检验状态约束和路径约束，如果仅在插值点τ_k处超过了约束条件允许相对误差条件，则转到5)，存在不同插值点处超过约束条件相对误差条件，则转到7)，否则转 到6)；

5)则取点直到插值点处满足 允许相对误差条件，令返回2)；

6)如果哈密尔顿函数值接近0或者某一常数，则终止计算，否则转到7)；

7)增加节点数N_i+2，N_i+1＝N_i+δn，其中，δn≥1是给定的常数；

8)将控制变量、状态变量和系统参数作为下一步计算的初始值，返回步骤2)。

有益效果

本发明提出的一种基于改进高斯伪谱法的空间柔性系统展开控制方法，建立自主机动空间柔性系统展开动力学模型；基于自主机动空间柔性系统展开动力学模型提出 适合于伪谱法的标准Bolza问题；将标准的Bolza问题通过一种0转化为非线性规划 问题；设计了改进的高斯伪谱法的迭代算法。

本发明与现有技术相比具有如下积极效果：采用一种改进的高斯伪谱法，将自主机动空间柔性系统展开运动路径优化转化为非线性规划问题，设计了改进的高斯伪谱 法的迭代算法。通过改进的高斯伪谱法得到光滑连续的状态变量和控制变量，设计的 迭代算法可以提前结束规划循环，在满足优化条件的前提下，缩短时间。

附图说明

图1为空间绳系机器人的结构示意图

其中：1为自主机动单元，2为柔性绳网

具体实施方式

现结合实施例、附图对本发明作进一步描述：

为了实现上述目的，本发明所采用的技术方案包括以下步骤：

1)建立自主机动空间柔性系统展开动力学模型；

2)基于自主机动空间柔性系统展开动力学模型提出适合于伪谱法的标准Bolza问题；

3)将标准的Bolza问题通过一种0转化为非线性规划问题；

4)设计了改进的高斯伪谱法的迭代算法；

所述的步骤1)中，建立了自主机动空间柔性系统展开动力学模型，该模型只考虑了3个自主机动单元的位置模型。

其中O-xyz为以空间柔性系统质心为原点的轨道系，Ox沿轨道半径由地心指向空间柔性系统质心，Oy垂直于Ox且指向平台前进的方向，Oz垂直于轨道平面且构成 右手定则。在轨道系中，3个自主机动单元的质量为m_j(j＝1,2,3)，相对于轨道系原点 的位置为r_j＝(x_j,y_j,z_j)^T(j＝1,2,3)

由质心定理：

3个自主机动单元的相对位置坐标为:

其中，(j＝1,2,3)

系统的动能为：

系统的势能为：

各非保守力所做的虚功之和为：

利用拉格朗日方程：

无量纲化后得到系统的动力学公式为：

其中，是r_j对时间的一阶导数，l₁是连接自主机动单元m₁和m₂的系绳长度，l₂是连接自主机动单元m₂和m₃的系绳长度，l₃是连接自主机动单元m₁和m₃的系绳长度，θ₁和θ₂分别是系绳l₁和l₂与Ox轴之间的夹角，ω是轨道角速度，分别是l₁、 l₂、θ₁、θ₂对时间的一阶导数，分别是l₁、l₂、θ₁、θ₂对时间的二阶导数， q是系统的广义坐标系，定义为q＝[θ₁,θ₂,l₁,l₂]^T，表示广义坐标对时间的一阶导数，Q 是系统的广义力，T₁、T₂、T₃分别表示系绳的拉力，F₁、F₂、F₃分别表示3个自主机 动单元的机动力，R₀，R₀分别表示地心到轨道坐标系原点的距离和矢量，Υ₁、Υ₂、Υ₃、 Υ'₁、Υ'₂、Υ'₁'、Υ″₂分别是l₁、l₂、l₃、无量纲化后对应的量，θ₁'、θ₂'、θ₁″、 θ₂″分别是无量纲化后对应的量，L为无量纲化常量。

所述的步骤2)中，基于自主机动空间柔性系统展开动力学模型提出适合于伪谱法的标准Bolza问题。

自主机动空间柔性系统展开过程中兼顾考虑快速性和经济性，是一类时间最短控制和燃料最省控制的折中问题。取性能指标函数为：

其中，t₀为运动起始时间，t_f为待定终端时间；α和α_i为给定的正实数，α是对终端时间的加权，α_i是对各自主机动力作为控制量时燃料消耗的加权；F_i表示各自主机动 力。

根据系统的动力学公式，取系统的状态变量为：

取系统的控制变量为：

u＝[T₁,T₂,T₃,F₁,F₂,F₃]^T (14)

系统的动力学公式表示成如下统一形式：

状态变量的边界条件为：

其中，分别是l₁,l₂,θ₁,θ₂,在t₀时刻的值，分别是l₁,l₂,θ₁,θ₂,在t_f时刻的值

路径约束条件为：

其中，l_1min,l_2min,θ_1min,θ_2min,T_1min,T_2min,T_3min,F_1min,F_2min,F_3min分别是 l₁,l₂,θ₁,θ₂,T₁,T₂,T₃,F₁,F₂,F₃最小值， l_1max,l_2max,θ_1max,θ_2max,T_1max,T_2max,T_3max,F_1max,F_2max,F_3max分别是 l₁,l₂,θ₁,θ₂,T₁,T₂,T₃,F₁,F₂,F₃最大值

伪谱法的离散点分布在区间[-1,1]，因此，首先把上述问题时间取值范围转化到区 间[τ₀,τ_f]＝[-1,1]上的标准最优控制问题。引入时间变量τ∈[τ₀,τ_f]，有如下时间变换：

将上式带入Bolza问题中，得到适合于伪谱法的标准Bolza问题。

所述的步骤3)中，将标准的Bolza问题通过一种改进的高斯伪谱法转化为非线性规 划问题。该改进主要将传统的状态变量和控制变量Lagrange插值近似法改为Hermite插值，可以得到连续光滑的变量曲线。

取Gauss伪谱法的N+2个LG节点为N次Legendre多项式p_N(τ)的零点和初始时 刻τ₀、终端时刻τ_f，即：{τ₀,τ₁,…,τ_N,τ_N+1}，τ_N+1＝τ_f，一般Lagrange线性插值得到的 状态变量和控制变量的曲线为不光滑的折线，采用Hermite插值使插值多项式与被插 值函数在节点处不仅函数值相等，而且在这些点处有相同的导数，使插值曲线更光滑 接近被插值函数曲线。将状态变量在前N+1个LG节点上进行Hermite插值近似，得 到：

其中，

是x(τ)插值近似函数，是的导数。

控制变量在区间(τ₀,τ_f)中的LG节点上进行Hermite插值近似，得到：

其中，

是u(τ)的插值近似函数，是的导数，终端时刻的控制 变量通过曲线的延拓得到。

将状态方程中的状态变量的导数在τ_k时刻进行离散化：

状态方程式转化为代数约束：

根据高斯积分公式，τ_f终端时刻的终端状态表示为：

其中，高斯型求积系数A_k通过下式计算：

其中，是p_N的导数在τ_k时刻的取值

离散化后得到的性能指标函数为：

所述的步骤4)中，设计了改进的高斯伪谱法的迭代算法，在传统高斯伪谱法的迭代 算法中增加了第5)步，如果仅有一个插值点不满足约束，则采用二分法找新插值点代替，可以提前结束规划循环。

基于改进的高斯伪谱法的迭代算法：

9)选择离散点的个数N+2，即N次Legendre多项式的零点和两个端点值；

10)根据本专利中提出的改进高斯伪谱法计算状态变量和控制变量；

11)将得到的控制变量代入系统进行仿真；

12)检验状态约束和路径约束，如果仅在插值点τ_k处超过了约束条件允许相对误差 条件，则转到5)，存在不同插值点处超过约束条件相对误差条件，则转到7)， 否则转到6)；

13)则取点直到插值点处满足 允许相对误差条件，令返回2)；

14)如果哈密尔顿函数值接近0或者某一常数，则终止计算，否则转到7)；

15)增加节点数N_i+2，N_i+1＝N_i+δn，其中，δn≥1是给定的常数；

16)将仿真得到的控制变量、状态变量和系统参数作为下一步计算的初始值，返回步骤2)。

根据此算法可以求解自主机动单元展开运动的最优轨迹。

Claims (1)

1.一种基于改进高斯伪谱法的空间柔性系统展开控制方法，其特征在于步骤如下：

步骤1、建立自主机动空间柔性系统展开动力学模型：以空间柔性系统质心为原点的轨道系O-xyz，Ox沿轨道半径由地心指向空间柔性系统质心，Oy垂直于Ox且指向平台前进的方向，Oz垂直于轨道平面且构成右手定则；在轨道系中，三个自主机动单元(1)的质量为m_j，相对于轨道系原点的位置为r_j＝(x_j，y_j,z_j)^T，j＝1,2,3；

μ₁(μ₂+μ₃){Υ”₁-Υ₁(θ₁'+1)²+Υ₁(1-3cos²θ₁)}

+μ₁μ₃{[Υ₂θ₂”+2Υ'₂(θ₂'+1)]sin(θ₁-θ₂)

+[Υ”₂-Υ₂θ₂'(θ₂'+2)]cos(θ₁-θ₂)-3Υ₂cosθ₁cosθ₂}

＝-Ω₁-Ω₃(Υ₁+Υ₂cos(θ₂-θ₁))/Υ₃-Γ₁(μ₂+μ₃)

+Γ₂μ₁cos(θ₁-θ₂)-Γ₃μ₁(Υ₁+Υ₂cos(θ₂-θ₁))/Υ₃

μ₃(μ₁+μ₂){Υ”₂-Υ₂(θ₂'+1)²+Υ₂(1-3cos²θ₂)}

+μ₁μ₃{-[Υ₁θ₁”+2Υ'₁(θ₁'+1)]sin(θ₁-θ₂)

+[Υ”₁-Υ₁θ₁'(θ₁'+2)]cos(θ₁-θ₂)-3Υ₁cosθ₁cosθ₂}

＝-Ω₂-Ω₃(Υ₁cos(θ₂-θ₁)+Υ₂)/Υ₃-Γ₁μ₃cos(θ₁-θ₂)

-Γ₂μ₃-Γ₃(μ₁+μ₂)(Υ₁cos(θ₂-θ₁)+Υ₂)/Υ₃

所述

其中： 是r_j对时间的一阶导数，l₁是连接自主机动单元m₁和m₂的系绳长度，l₂是连接自主机动单元m₂和m₃的系绳长度，l₃是连接自主机动单元m₁和m₃的系绳长度，θ₁和θ₂分别是系绳l₁和l₂与Ox轴之间的夹角，ω是轨道角速度，分别是l₁、l₂、θ₁、θ₂对时间的一阶导数，分别是l₁、l₂、θ₁、θ₂对时间的二阶导数，q是系统的广义坐标系，定义为q＝[θ₁,θ₂,l₁,l₂]^T，表示广义坐标对时间的一阶导数，Q是系统的广义力，T₁、T₂、T₃分别表示系绳的拉力，F₁、F₂、F₃分别表示3个自主机动单元的机动力，R₀，R₀分别表示地心到轨道坐标系原点的距离和矢量，Υ₁、Υ₂、Υ₃、Υ'₁、Υ'₂、Υ”₁、Υ”₂分别是l₁、l₂、l₃、无量纲化后对应的量，θ₁'、θ₂'、θ”₁、θ”₂分别是无量纲化后对应的量，L为无量纲化常量；

步骤2、将自主机动空间柔性系统展开动力学模型转换为标准Bolza问题：

B(x(τ₀),x(τ_f),t₀,t_f)＝0

C(x(τ),u(τ),τ,t₀,t_f)≤0

所述为性能指标函数，其中，t₀为运动起始时间，t_f为待定终端时间；α和α_i为给定的正实数，α是对终端时间的加权，α_i是对各自主机动力作为控制量时燃料消耗的加权；F_i表示各自主机动力；

所述为系统的动力学公式，

其中：为系统的状态变量；

u＝[T₁,T₂,T₃,F₁,F₂,F₃]^T为系统的控制变量：

所述B(x(τ₀),x(τ_f),t₀,t_f)＝0为状态变量的边界条件：

其中，分别是l₁,l₂,θ₁,θ₂,在t₀时刻的值，分别是l₁,l₂,θ₁,θ₂,在t_f时刻的值；

所述C(x(τ),u(τ),τ,t₀,t_f)≤0为路径约束条件：

其中，l_1min,l_2min,θ_1min,θ_2min,T_1min,T_2min,T_3min,F_1min,F_2min,F_3min分别是l₁,l₂,θ₁,θ₂,T₁,T₂,T₃,F₁,F₂,F₃最小值，

l_1max,l_2max,θ_1max,θ_2max,T_1max,T_2max,T_3max,F_1max,F_2max,F_3max分别是l₁,l₂,θ₁,θ₂,T₁,T₂,T₃,F₁,F₂,F₃最大值；

步骤3、将标准的Bolza问题通过一种改进的高斯伪谱法转化为非线性规划问题：将状态变量在前N+1个LG节点上进行Hermite插值近似，得到：

其中，

是x(τ)插值近似函数，是的导数；

控制变量在区间(τ₀,τ_f)中的LG节点上进行Hermite插值近似，得到：

其中，

是u(τ)的插值近似函数，是的导数，终端时刻的控制变量通过曲线的延拓得到；

将状态方程中的状态变量的导数在τ_k时刻进行离散化：

状态方程式转化为代数约束：

根据高斯积分公式，τ_f终端时刻的终端状态表示为：

其中，高斯型求积系数A_k通过下式计算：

其中，是p_N的导数在τ_k时刻的取值

离散化后得到的性能指标函数为：

步骤4、采用改进的高斯伪谱法的迭代算法运算步骤3中的规划问题：

1)选择离散点的个数N+2，即N次Legendre多项式的零点和两个端点值；

2)计算步骤3的状态变量x和控制变量u；

3)将计算得到的控制变量代入控制系统的输入端；

4)检验状态约束和路径约束，如果仅在插值点τ_k处超过了约束条件允许相对误差条件，则转到5)，存在不同插值点处超过约束条件相对误差条件，则转到7)，否则转到6)；

5)则取点直到插值点处满足允许相对误差条件，令返回2)；

6)如果哈密尔顿函数值接近0或者某一常数，则终止计算，否则转到7)；

7)增加节点数N_i+2，N_i+1＝N_i+δn，其中，δn≥1是给定的常数；

8)将控制变量、状态变量和系统参数作为下一步计算的初始值，返回步骤2)。