CN107122572A - 一种模拟行波管注波互作用的欧拉方法 - Google Patents

一种模拟行波管注波互作用的欧拉方法 Download PDF

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胡权
朱小芳
杨中海
李斌
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Abstract

本发明属于行波管模拟技术，公开了一种模拟行波管注波互作用的欧拉方法。针对现有行波管欧拉非线性理论计算精度低的问题，本发明的方法在基于拉格朗日场论模型的基础上，通过对电子相位采用一种新的处理方式：对电子相位进行傅里叶一阶展开，然后利用贝塞尔母函数关系式，建立了基于欧拉坐标系下的非线性注波互作用理论模型。本发明的欧拉方法具有计算速度快、消耗内存小的特点，能够精确模拟螺旋线行波管中的中度注波互作用过程，为行波管非线性非线性的奠定基础。

Description

一种模拟行波管注波互作用的欧拉方法
技术领域
本发明属于行波管模拟技术领域，具体涉及一种模拟行波管注波互作用的欧拉方法。
背景技术
行波管是使用最广泛的真空电子器件之一，广泛应用于卫星通讯、雷达、电子对抗等领域。随着我国航天事业的飞速发展，对空间行波管放大器的研制和生产提出了非常迫切的需求。然而空间行波管放大器中的各项非线性特性(比如：群时延、相位失真、谐波、三阶互调等)会直接影响卫星和航天器的整体性能。因此非常有必要建立行波管非线性理论来研究这些非线性特性的产生机理和抑制方法。
目前，基于欧拉坐标系下的非线性理论是模拟螺旋线行波管内注波互作用(电子注与高频电磁场的相互作用)过程的重要方法，它具有计算速度快、消耗内存小的特点。然而现有的基于欧拉坐标系下的非线性理论是采用等效线路的方法建立起来的，在模拟行波管内注波互作用的过程中，存在着精度低的问题，因而无法精确模拟螺旋线行波管中的中度注波互作用过程。
发明内容
本发明的目的是为了解决现有欧拉非线性理论计算精度低的问题，以拉格朗日场论理论模型为基础，提出了一种模拟行波管注波互作用的欧拉方法。
本发明的技术方案是：一种模拟行波管注波互作用的欧拉方法，包括以下步骤：
A.在基于拉格朗日坐标系下的场论模型中，将离散的电子注处理为连续分布的流体，对电子相位进行傅里叶一阶展开，然后将展开式代入基于拉格朗日坐标系下的一维运动方程和一维场方程，可以得到基于欧拉坐标系下的运动方程和场方程；
B.利用贝塞尔母函数关系式对步骤A得到的方程组中的积分进行处理；
C.利用步骤B得到的微分方程组(非线性注波互作用理论模型)，设置互作用初始条件，求解建立的微分方程组，直到注波互作用结束，即可完成一次注波互作用过程的模拟。
本发明的有益效果：以拉格朗日场论理论模型为基础，本发明的方法对电子相位采用一种新处理方式：对电子相位进行傅里叶一阶展开。将朗格朗日体系的理论转化为欧拉体系理论，构建了一种基于欧拉坐标系下的非线性注波互作用理论模型。本发明的欧拉方法具有计算速度快、消耗内存小的特点，能够精确模拟螺旋线行波管中的中度注波互作用过程，为行波管非线性理论的研究奠定了基础。
附图说明
图1是本发明的模拟行波管注波互作用的欧拉方法流程示意图。
图2是无翼片品型夹持杆高频结构图。
图3是本发明与传统欧拉非线性理论模型以及BWIS-1D代码的功率对比图。
图4是本发明与传统欧拉非线性理论模型以及BWIS-1D代码的增益对比图。
图5是本发明与传统欧拉非线性理论模型以及BWIS-1D代码的相移对比图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明。
本发明的行波管注波互作用的模拟方法的流程示意图如图1所示，具体包括如下步骤：
A.基于拉格朗日坐标系的场论模型，将离散的电子注处理为连续分布的流体，对电子相位采用一种新的处理方式：对电子相位进行傅里叶一阶展开。然后将展开式代入基于拉格朗日坐标系下的一维运动方程和一维场方程，可以得到基于欧拉坐标系下的运动方程和场方程；
联立一维拉格朗日坐标下的运动方程和电子相位方程，化简后可以得到：
公式(1.1)为联立后的运动方程。其中，ψn(z)表示第n个粒子的相位，m0和q0分别表示电子的质量和电荷，η(＝q0/m0)表示荷质比，ω表示角频率，γ表示相对论因子，υ0表示电子的初速度，F(z)表示归一化场幅值，I表示电子注电流，b表示电子注半径，Kc表示线路的耦合阻抗，z表示轴向位置，Vpc表示归一化相速，上标*表示变量取共轭，IA(＝m0c0 3/q0 2)，c0表示光速，R'n表示等离子体频率降低因子，kz表示冷腔传播常数，I1(·)表示一阶第一类的变态贝塞尔函数。
一维拉格朗日坐标下的场方程为：
其中：α表示线路衰减，
下面对电子相位采用一种新的处理方式：对电子相位进行傅里叶一阶展开。
其中，初始电子相位分布为ψn|z＝0＝φ，A0(z)和A1(z)分别表是电子相位的直流分量和一阶分量。
将电子相位的一阶展开式代入运动方程和场方程，化简后可以得到基于欧拉坐标系下运动方程和场方程，分别表示为如下：
运动方程：
其中，分别对K2(z)、和F(z)取共轭便得到和F*(z)。
场方程：
B.利用贝塞尔母函数关系式对方程组中的积分进行处理；
利用贝塞尔母函数关系式处理方程中的积分，对方程进行化简。贝塞尔母函数关系式如下：
其中：Jn(·)表示n阶贝塞尔函数。
利用贝塞尔母函数关系式，方程中的积分可以表示成如下形式：
其中：|·|是绝对值符号，表示取变量的模，ζ1是A1(z)的幅角。
将(1.8)-(1.11)代入方程组(1.4)-(1.6)后并化简，最终构建了一种基于欧拉坐标系下的非线性注波互作用理论模型：
C.利用步骤B得到的微分方程组(非线性注波互作用理论模型)，设置互作用初始条件，求解微分方程组，直到注波互作用结束，即可完成一次注波互作用过程的模拟；
这里，可以利用龙格库塔法逐步求解建立的微分方程组。为求解建立的微分方程组，必须设置初始条件。各微分方程对应的初始条件设置如下：
对高频场方程，高频场幅值的初始条件为：
公式(1.11)中，pin和θin分别为输入信号的功率和相位。
对于运动方程，由于在入口处，电子注还未进行速度调至和密度调制，因此相位的零阶、一阶分量及其导数的初始条件均为0：
BWIS-1D代码是由实验验证过的拉格朗日理论模型，因此这里认为BWIS-1D代码是更加准确的模型，因此可以通过对比本发明的以及传统的欧拉非线性模型与BWIS-1D代码的差异来验证本发明的准确性。
本发明采用图2的高频结构，下面将对本发明提出的欧拉非线性理论模型的准确性进行对比验证。图3-图5分别对比了本发明的欧拉非线性理论模型、一维的基于拉格朗日体系的注波互作用仿真软件(BWIS-1D)以及传统的欧拉非线性理论模型(MUSE模型)，得到了它们的功率、增益以及相移的对比曲线图。从对比图中可以看出：在中度互作用区(轴向位置0-8cm)，本发明的欧拉非线性模型和BWIS-1D代码的功率曲线、增益曲线几乎重合。在中度互作用区(轴向位置0-8cm)，本发明的欧拉非线性模型和BWIS-1D代码的相移曲线几乎重合。而在整个互作用区域内，传统的欧拉非线性模型都与前两个模型在增益、相移和功率上存在着很大的差异。可以看出，本发明的欧拉非线性模型不但比传统的欧拉非线性模型更加准确，而且还能精确的分析中度注波互作用过程。
本发明通过对电子相位采用一种新的处理方式：对电子相位进行傅里叶一阶展开，然后利用贝塞尔母函数关系式，建立了基于欧拉坐标系下的非线性注波互作用理论模型。本发明的欧拉方法具有计算速度快、消耗内存小的特点，能够精确模拟螺旋线行波管中的中度注波互作用过程，为行波管非线性非线性的奠定基础。
本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。本领域的普通技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。

Claims (4)

1.一种模拟行波管注波互作用的欧拉方法，包括以下步骤：
A.在基于拉格朗日坐标系下的场论模型中，将离散的电子注处理为连续分布的流体，对电子相位进行傅里叶一阶展开，然后将展开式代入基于拉格朗日坐标系下的一维运动方程和一维场方程，可以得到基于欧拉坐标系下的运动方程和场方程；
B.利用贝塞尔母函数关系式对步骤A得到的方程组中的积分进行处理；
C.利用步骤B得到的微分方程组(非线性注波互作用理论模型)，设置互作用初始条件，求解建立的微分方程组，直到注波互作用结束，即可完成一次注波互作用过程的模拟。
2.根据权利要求1所述的模拟行波管注波互作用的欧拉方法，其特征在于，步骤A的具体过程如下：
联立一维拉格朗日坐标下的运动方程和电子相位方程，化简后可以得到：
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公式(1.1)为联立后的运动方程。其中，ψn(z)表示第n个粒子的相位，m0和q0分别表示电子的质量和电荷，η(＝q0/m0)表示荷质比，ω表示角频率，γ表示相对论因子，υ0表示电子的初速度，F(z)表示归一化场幅值，I表示电子注电流，b表示电子注半径，Kc表示线路的耦合阻抗，z表示轴向位置，Vpc表示归一化相速，上标*表示变量取共轭，θ(＝ωz(1/Vpcc0-1/υ0))，IA(＝m0c0 3/q0 2)，c0表示光速，R'n表示等离子体频率降低因子，kz表示冷腔传播常数，I1(·)表示一阶第一类的变态贝塞尔函数；
一维拉格朗日坐标下的场方程为：
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其中：α表示线路衰减，
对电子相位进行傅里叶一阶展开：
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其中，初始电子相位分布为ψn|z＝0＝φ，A0(z)和A1(z)分别表是电子相位的直流分量和一阶分量；
将电子相位的一阶展开式代入运动方程和场方程，化简后可以得到基于欧拉坐标系下运动方程和场方程，分别表示为如下：
运动方程：
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其中，分别对K2(z)、和F(z)取共轭便得到和F*(z)。
场方程：
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3.根据权利要求2所述的模拟行波管注波互作用的欧拉方法，其特征在于，步骤B的具体过程如下：
利用贝塞尔母函数关系式处理方程中的积分，对方程进行化简。贝塞尔母函数关系式如下：
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其中：Jn(·)表示n阶贝塞尔函数。
利用贝塞尔母函数关系式，方程中的积分可以表示成如下形式：
<mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </munderover> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>i&amp;psi;</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>iJ</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>|</mo> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>i&amp;zeta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>iA</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1.8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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<mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </munderover> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>i&amp;psi;</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;phi;</mi> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>J</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>|</mo> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>iA</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1.10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Integral;</mo> <mn>0</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> </munderover> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>i&amp;psi;</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;phi;</mi> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>J</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>|</mo> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>i&amp;zeta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>iA</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1.11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：|·|是绝对值符号，ζ1是A1(z)的幅角。
将(1.8)-(1.11)代入方程组(1.4)-(1.6)后并化简，最终构建了一种基于欧拉坐标系下的非线性注波互作用理论模型：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msup> <mi>dz</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;omega;</mi> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;v</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> </mfrac> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>K</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>J</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>iA</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>i</mi> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;omega;</mi> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;v</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> </mfrac> <msub> <mover> <mi>Q</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>q</mi> </msub> <msub> <mi>J</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>J</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>&amp;phi;</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;omega;</mi> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;v</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> </mfrac> <msup> <mi>F</mi> <mo>*</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>K</mi> <mn>2</mn> <mo>*</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>J</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>i&amp;zeta;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>iA</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>i</mi> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>&amp;omega;</mi> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;v</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> </mfrac> <msubsup> <mover> <mi>Q</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>q</mi> <mo>*</mo> </msubsup> <msub> <mi>J</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>J</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <msub> <mi>i&amp;zeta;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1.12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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4.根据权利要求3所述的模拟行波管注波互作用的欧拉方法，其特征在于，步骤C所述的设置互作用初始条件具体如下：
对高频场方程，高频场幅值的初始条件为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>Re</mi> <mi> </mi> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msqrt> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </msqrt> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>Im</mi> <mi> </mi> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msqrt> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </msqrt> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1.15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，pin和θin分别为输入信号的功率和相位。
对于运动方程，由于在入口处，电子注还未进行速度调至和密度调制，因此相位的零阶、一阶分量及其导数的初始条件均为0：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>0</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>A</mi> <mn>0</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1.16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>A</mi> <mn>1</mn> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1.17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 3
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