CN106899310A - 一种利用完备差集构造原模图qc‑ldpc码的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种利用完备差集构造原模图准循环低密度奇偶校验(Quasi‑Cyclic Low‑Density Parity‑Check,QC‑LDPC)码的方法，该方法构造校验矩阵H的过程为：首先给出原模图基矩阵H_pro，由于完备差集特殊的性质，然后将其用于对原模图基矩阵进行扩展，扩展次数p的选择根据完备差集表来选择，扩展后最终得到了校验矩阵H。该方法不仅构造简单，不存在四环，而且不需要计算机搜索，又因其校验矩阵具有准循环的特性，因此能大幅降低编译码的复杂度。该方法所构造的QC‑LDPC码型可通过增大扩展因子来改变其码长。并且，最后仿真验证了该方法所构造的QC‑LDPC码型具有优越的性能。

Description

一种利用完备差集构造原模图QC-LDPC码的方法

技术领域

本发明属于信道处理中的信道编码领域，涉及一种利用完备差集构造原模图QC-LDPC码的方法。

背景技术

近年来，LDPC码的优越性得到国内外科研工作者关注，并且已成为现代通信系统不可或缺的部分，被用来检测和修正由信道效应如噪声、衰减和干扰等引起的信息传输错误。然而，其性能提高的同时，编码复杂度也同样提高了，进而导致实际应用中成本增加和资源浪费。为了解决该问题，国内外学者提出了准循环低密度奇偶校验(简称QC-LDPC)码，其校验矩阵由于具有准循环特性，因而在实际通信系统的应用中具有硬件容易实现的优点。

目前，QC-LDPC码的校验矩阵的构造有基于组合数学，有限域，欧氏几何等构造方法，每一种方法的深入研究都是为了使构造的LDPC码的纠错性能有一定地提高，同时降低硬件实现的复杂度。影响纠错性能的因素有很多，包括围长，陷阱集(trapping set)，外信息度(Extrinsic Message Degree,EMD)/近似环外信息度(ApproximateCycleEMD，ACE)等。

本文从围长的角度出发，采用组合数学中的完备差集，对原模图进行扩展，使得构造出来的校验矩阵中不存在围长为4的环，又由于原模图LDPC码具有高速译码、低译码门限、低错误平层等优点，因此对其进行仿真，结果表明，利用该方法构造的QC-LDPC码的纠错性能要优于经典的PEG构造的LDPC码和基于完备差集构造的QC-LDPC码。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种利用完备差集的独特性质来扩展原模图，构造出来的校验矩阵H中不存在四环。因为原模图LDPC码具有高速译码、低译码门限、低错误平层等优点，因而最终构造的原模图QC-LDPC码不仅具有优异的纠错性能，而且构造出来的H具有准循环的特性，使得编译码的复杂度较低，硬件容易实现。

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

一种利用完备差集构造原模图QC-LDPC码的方法通过以下步骤来构造校验矩阵H：

(1)给出已知的原模图基矩阵H_pro，尺寸大小固定为3×(6+c)，其中c≥0，如(1)式。

(2)利用数学中的模2运算将H_pro中的重边去掉，即将H_pro中的2和3分别用和来代替(注意这里只替换不运算)，(1)式转换成式(2)：

(3)将H_pro中的模2运算中的1用置换矩阵P_i来替换，剩余的1用单位矩阵I来替换，这里假设P_i的尺寸大小为N×N，P_i是由单位矩阵I进行循环移右位p_i次得到，p_i的取值来源于完备差集表，N的大小取决于完备差集表中v取值。替换后得到(3)式：

(4)最终构造出了校验矩阵H，尺寸大小为3N×(6+c)N。

本发明的有益效果在于：

1.本发明利用对原模图进行扩展，扩展后得到的校验矩阵具有准循环的特性，因此在实际应用中只需要简单的移位器就可以实现编码，从而大大的降低了应用成本。

2.由于用于扩展的原模图具有重边，因此可以用数学中的模2运算来巧妙地消除重边，实现上只需要简单的取模运算，大大简化了编码的复杂度。

3.本发明利用完备差集的特殊性质生成的完备差集表用于多原模图进行扩展，扩展后得到的原模图QC-LDPC码不存在四环。并且利用原模图LDPC码具有高速译码、低译码门限、低错误平层等的优点，通过实验室MATLAB仿真可以得到，本发明方法构造的校验矩阵的零空间对应的原模图QC-LDPC码，在相同的仿真环境下，其纠错性能优于基于完备差集构造的QC-LDPC码(简称CDS-QC-LDPC码)和随机构造中经典的PEG构造的LDPC码(简称PEG-LDPC码)。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚，本发明提供如下附图进行说明：

图1为本发明方法的实现流程图；

图2为一个简单的原模图；

图3为用本发明构造的QC-LDPC(5226,3484)码的纠错性能对比仿真图。

具体实施方式

下面将结合附图，对本发明的优选实施例进行详细的描述。

结合附图1说明，本发明构造校验矩阵H的过程为：首先给出已知的原模图基矩阵H_pro，然后利用数学中的模2运算来消除已知原模图中的重边，接着利用完备差集的性质及完备差集表对消除重边后的原模图基矩阵H_pro进行扩展，最后得到扩展后的校验矩阵H。在详细的描述校验矩阵H的构造过程之前，先给出原模图的概念、重边及完备差集的概念。

任意一个小的Tanner图都可以称为原模图。一个原模图G＝{V,C,E}由一系列的变量节点集合V，校验节点集合C和边的集合E组成。每一条边e∈E连接着一个变量节点：v_e∈V和一个校验节点：c_e∈C。原模图中允许有重边，因此映射e→(v_e,c_e)∈V×C不是1:1。附图2给出了一个原模图，它由3个校验节点和6个变量节点组成。边的类型包括2重边，3重边。由附图2可以得到原模图的基矩阵如(4)式：

其中，基矩阵H_pro中的2和3均为原模图的重边。

在给出完备差集的概念前先引出差集的概念，对于一个阿贝尔加群Z_v＝{0 1 2… v-1}，其中v为任意的正整数。取Z_v中的k个非零元素组成一个集合D＝{d₁ d₂ … d_k}，其中，0＜d₁＜d₂＜…＜d_k＜v，如果Z_v中每个非零元素，如d≠0，使得D中差集运算d_i-d_j＝dmodv的结果d出现λ次，则称D为差集或循环差集(cyclic difference set)，记为D(v,k,λ)，其中v，k分别为差集的模和差集中元素的个数，。

特别地，当λ＝1时，称该差集D为完备差集(complete difference set，CDS)，并记为D(v,k,1)。

由以上的定义可知：从而可得：k(k-1)＝λ(v-1)。对于完备差集，可得：k(k-1)＝v-1，即λ＝k²-k+1。

例如：D₁(13,4,1)＝{1,2,4,10}；

D₂(7,4,2)＝{0,3,5,6}；

D₃(21,5,1)＝{0,5,6,9,19}；

D₄(57,8,1)＝{0,1,3,13,32,36,43,52}；

其中，D₂为循环差集，D₁，D₃和D₄为完备差集。

下面给出了D₁为完备差集的证明，k＝4，v＝k(k-1)+1＝4×3+1＝13，即Z_v＝{0 1 2… 12}，完备差集D＝{1 2 4 10}，可以证明Z_v中的每个非零整数在差集运算结果中仅出现一次，即λ＝1。如表1所示：

表1差集运算结果

a＝1	a＝2	a＝3	a＝4	a＝5	a＝6
						2-1＝1	4-2＝2	4-1＝3	1-10＝4	2-10＝5	10-4＝6
a＝7	a＝8	a＝9	a＝10	a＝11	a＝12
						4-10＝7	10-2＝8	10-1＝9	1-4＝10	2-4＝11	1-2＝12

其中，a是Z_v中的非零整数，1-2＝12相当于1+(-2)＝12mod13，求-2的模13就是求2的模13的加法逆，即2+(-2)＝0mod12，所以，-2＝11mod13。

由以上定义，表2给出了部分完备差集表

表2部分完备差集表

下面给出看了一种利用完备差集构造原模图QC-LDPC码的方法构造校验矩阵H的过程：

1.首先给出已知的原模图基矩阵，如式(5)；

由式(5)可以看出原模图基矩阵的尺寸大小可以通过改变列数来实现，具体的办法是增加的每一列均相同，第一行为2，第二行为1，第三行为2。由于校验矩阵的构造是在原模图基矩阵上进行扩展，因此，最后所构造的码型的码率由原模图的尺寸大小来决定，因此本发明所构造的码型的码率为其中c≥0。

2.接着将原模图中的重边消除，通过使用数学中的取模2运算，如(6)式所示：

这里可以看到是将H_pro中的2和3分别用和来代替(注意这里只替换不运算)。

3.对式(6)进行扩展，扩展的方法是使用置换矩阵、单位矩阵和零矩阵进行替换。替换的规则为：将式(6)中的取模运算使用置换矩阵P_i替换，剩余的1用单位矩阵I进行替换，0使用零矩阵O进行替换。替换后得到了最终我们需要的校验矩阵H，如(7)式：

这里的P_i，I和O的尺寸大小相同，设为N×N。而P_i是由单位矩阵进行循环移位p_i次得到，i的取值决定了选取完备差集表中k的取值，k的取值确定后，则p_i的值就对应着表2中的完备差集中的元素。而N的取值大于等于v的值。

4.最终构造了尺寸大小为3N×(6+c)N的校验矩阵H。

我们知道在校验矩阵的构造过程中可能会存在四环，而环长是影响纠错性能的重要因素，本发明采用的完备差集来扩展原模图的方法可以保证构造的校验矩阵不存在四环。下面给出了证明不存在四环的过程。

例如，从校验矩阵H中取出的矩阵块大小为3×6，记为H'，如式(8)。从H'的矩阵块(也就是置换矩阵)中随机取出四个1，对应的位置为(r₁,c₁)，(r₂,c₁)，(r₁,c₂)，(r₂,c₂)。

式(8)中存在可能构成四环的矩阵块，下面给出了所有可能构成四环的四种类型代表。分别为包含1个单位矩阵，2个单位矩阵，3个单位矩阵，以及四个均是置换矩阵。将这四种情况取出来表示为如下：

3个I：2个I：和

1个I：0个I:

它们分别对应置换矩阵的移位次数为p_r1，c1,p_r2，c1，p_r1，c2，p_r2，c2，由不存在短环2i的充要条件定理可得(9)式：

其中，r_i＝r₀；r_k≠r_k+1；c_k≠c_k+1。本发明采用的方法构造的校验矩阵旨在不存在四环，即i＝1，带入式(9)，可得式(10)：

(p_r1,c1-p_r1,c2)+(p_r2,c2-p_r2,c1)≠0mod p (10)

其中，p为置换矩阵的维数，为置换矩阵的循环移位次数，则其取值来源于完备差集中的元素，即表2中的元素。举个例子：若k＝17，则v＝17²-17+1＝273，则置换矩阵P的移位次数按校验矩阵中标注的顺序依次为p₁＝1,p₂＝2,p₃＝23,p₄＝34,p₅＝84,…以此类推下去，直到取到p₁₅为止。若为单位矩阵的移位次数，则取值为0。

分别对上面的四种情况进行证明：

1.对于3个I的情况，由于单位矩阵表示移位的次数为0，则左上角上的是由两个置换矩阵模2运算得到，由于置换矩阵的移位次数来源于完备差集中的元素，由于模运算并不改变移位后1在置换矩阵中位置，因此由完备差集的定义，可以得到，又因为p≥v，可知(10)式成立。同理，不管I在什么位置，只要四个位置有3个I，都可以证明不存在四环。

2.对于2个I的情况，有两种结构：一个是两个I在对角线上，一个是两个I在同列。当在对角线上时，则那么由完备差集的定义，可得并且所以(10)式成立。当在同一列上时，那么同理可证明(10)式成立。同理，不管I在什么位置，只要四个位置有2个I，都可以证明不存在四环。

3.对于1个I的情况，则由完备差集的定义，若将与完备差集的定义中λ＝1矛盾。因此(10)式成立。同理，不管I在什么位置，只要四个位置有1个I，都可以证明不存在四环。

4.对于0个I的情况，由完备差集的定义，可以得到， 当时，则若将与完备差集的定义中λ＝1矛盾。因此(10)式成立。

因此，上面四种不包括零矩阵的矩阵块中一定不存在四环。由于没有考虑零矩阵的情况，下面画给出了校验矩阵H'的可能存在四环的矩阵块中包含零矩阵的其中一种情况，并证明所有的包含零矩阵均不存在四环，如(11)式所示：

由于在这里0是使用零矩阵进行替换的，而构成四环的前提是必须存在1，故一定不存在四环，因此所有的可能存在四环的矩阵块中包含零矩阵的情况均不存在四环。

证毕。

综上所有情况可知，本发明提出的利用完备差集构造的校验矩阵H中一定不存在四环。

结合附图3说明，考虑到码率为0.5的原模图QC-LDPC码可用在深空通信，卫星数字视频广播等领域中，这里利用本发明构造了原模图QC-LDPC(1638,819)码(简称P-CDS-QC-LDPC(1638,819)码)，码率为0.5，在MATLAB中进行了仿真验证，可以看出其具有优异的纠错性能。

1.取c＝0，则原模图基矩阵H_pro的尺寸大小为3×6，如式(12)：

2.利用数学中的模2运算消除原模图中的重边后，如(13)式：

3.将其中的模运算的1用置换矩阵P_i替换，剩余的1用单位矩阵I替换，0用零矩阵O替换，如式(14):

由(14)式可以看出i的取值为15，那么由表2可以得出k至少为17，此时移位次数p_i对应的值为(p₁,p₂,…,p₁₅)＝(1,2,…,232)，N的值等于v的值为273，即P_i，I，O的尺寸大小为273×273。

4.最后展开后得到检验矩阵H的尺寸大小为819×1638。

为了验证本发明提出的构造方法的优越性，接下来将其与同码率近似码长的其他码型进行比较。包括随机构造中经典的PEG构造的LDPC(1638,819)码(简称PEG-LDPC(1638,819)码)、GPS卫星导航系统中的LDPC码(简称IS-GPS-LDPC(1752,878)码)、以及基于图构造的QC-LDPC码(简称RC-QC-LDPC(1872,936)码)及结构化构造中基于完备差集构造的规则的QC-LDPC码(简称CDS-QC-LDPC(1680,840)码)。码率为0.5，仿真环境为高斯白噪声信道(简称AWGNC)，调制方式为二进制相移键控(简称BPSK调制)，译码方式为和积译码算法(简称BP译码)，迭代次数为40次，仿真后的性能曲线如附图3所示。

表3给出了P-CDS-QC-LDPC(1638,819)码的优越性。由表3可知，在误码率为4×10^-6时，P-CDS-QC-LDPC(1638,819)码比RC-QC-LDPC(1872,936)码)的净编码增益提高了约0.1dB，比经典的PEG-LDPC(1638,819)码的净编码增益提高了约0.13dB，比IS-GPS-LDPC(1752，878)码的净编码增益提高了约0.29dB。而规则的CDS-QC-LDPC(1680,840)码在高误码率区可以看出出现了错误平层，且性能也差于P-CDS-QC-LDPC(1638,819)码。

表3P-CDS-QC-LDPC(1638,819)码与其他码的纠错性能比较

最后说明的是，以上优选实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管通过上述优选实施例已经对本发明进行了详细的描述，但本领域技术人员应当理解，可以在形式上和细节上对其作出各种各样的改变，而不偏离本发明权利要求书所限定的范围。

Claims (3)

1.一种利用完备差集构造原模图QC-LDPC码的方法，其特征在于：首先给出了原模图基矩阵H_pro，由于完备差集特殊的性质，然后将其用于对原模图基矩阵进行扩展，扩展次数p的选择根据完备差集表来选择，扩展后最终得到了校验矩阵H。该方法不仅构造简单，而且不存在四环，由于校验矩阵具有准循环的特性，因此能大幅降低编译码的复杂度。

2.根据权利1要求所述的利用完备差集构造原模图QC-LDPC码的方法，其特征在于：直接在给定的原模图基矩阵H_pro上进行扩展，方法简单，不需要计算机搜索，编译码复杂度比较低。

3.根据权利1要求所述的利用完备差集构造原模图QC-LDPC码的方法，其特征在于：将完备差集应用于原模图的扩展中，由于完备差集具有独特的性质，其生成的完备差集表可以确定扩展因子及移位次数，最终保证了扩展后的校验矩阵中不存在四环，并且具有较好的纠错性能。