CN106706303A - 一种转子‑轴承系统支承松动状态评估方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种转子‑轴承系统支承松动状态评估方法，包括以下步骤：1）建立转子‑轴承系统因支承松动间隙产生的垂直方向的弹性力表达式，及转子‑轴承系统有支承松动故障时的非线性动力学模型；2）对非线性项泰勒展开获得线性近似动力学模型，比较非线性模型与线性近似模型动力学行为；3）对不同大小松动间隙的转子‑轴承系统动力学行为非线性程度进行计算；4）对非线性程度值的离散结果进行非线性拟合，并建立支承松动程度与非线性程度估值之间的对应关系，实现对转子‑轴承系统支承松动状态的评估。本发明能够对转子‑轴承系统支承松动状态进行评估，能够有效的防止转子‑轴承系统出现大间隙松动情况的发生，防止了灾难性事故的发生。

Description

一种转子-轴承系统支承松动状态评估方法

技术领域

本发明涉及一种基于系统动力学行为非线性程度的转子-轴承系统支承松动状态评估方法。

背景技术

转子-轴承系统是现代制造技术中的机床等制造系统的核心部件，由安装质量低以及长期的周期性工作等多种原因造成松动，其部件转子、支承、基础均可能出现松动，其中支承松动是比较常见且对精度和可靠性影响最大的几类因素之一。更重要的是，支承松动显著降低制造系统抗振动能力，使原有的不对中等问题所引起的振动更加剧烈，直接影响机床等制造系统精度和可靠性，甚至影响系统的安全高效运行导致灾难性事故发生。

目前，针对转子-轴承系统松动主要将松动作为一种常见故障进行处理和研究。国内外有众多学者针对转子-轴承系统支承松动故障进行了深入研究，为有效识别、预防支承松动提供了理论参考和依据。国内从80年代至90年代对转子-轴承系统支承松动都是采用线性近似模型进行研究。褚福磊等讨论了转速变化时转子-轴承系统的多种形式周期、拟周期和混沌运动,指出这类系统的某些周期运动的映射点结构具有慢变的特性。随着转子-轴承系统转速提高，当系统出现大激励或者出现间隙的故障情况下，其系统非线性明显增强，仅使用线性化或者线性近似的方法已经不能满足实际研究的需要。许多学者提出采用非线性方法对转子-轴承系统非线性动力学行为进行研究，主要有Z Ji等用多尺度法分析支承松动模型，揭示了稳态响应中如何判断分岔点的出现问题；国外学者Yamamoto对有径向间隙故障的球轴承支承转子的解析解进行研究，结果表明转子系统在临界转速处最大振幅和临界转速的值随着径向间隙的增大而减小；Saito运用有径向间隙的球轴承支承的Jecffott转子，求解了非线性不平衡响应，得到了非线性力的近似表达式等。

从上述简要的研究工作总结发现，以往的研究都是侧重于存在支承松动转子-轴承系统的运动特性的研究，而忽略了松动间隙的变化过程对于转子-轴承系统的非线性动力学行为的影响，更没有对于转子-轴承系统的支承松动状态进行评估方法研究。同时，由于主要采用线性近似方法来对转子-轴承系统的支承松动进行研究，目前尚没有从转子-轴承系统动力学行为非线性程度的角度来对转子-轴承系统的支承松动状态评估进行研究。

发明内容

为了解决上述技术问题，本发明提供一种实用性强的基于系统动力学行为非线性程度的转子-轴承系统支承松动状态评估方法并进行了试验验证。

本发明解决上述问题的技术方案是：一种转子-轴承系统支承松动状态评估方法，包括以下步骤：

1)建立转子-轴承系统因支承松动间隙产生的垂直方向的弹性力表达式，建立转子-轴承系统有支承松动故障时的非线性动力学模型；

2)采取对弹性力表达式和非线性动力学模型中的非线性项泰勒展开的方法获得线性近似动力学模型，并计算比较转子-轴承系统的非线性模型与线性近似模型动力学行为；

3)对不同大小松动间隙的转子-轴承系统动力学行为非线性程度进行计算；

4)对转子-轴承系统动力学行为非线性程度值的离散结果进行非线性拟合，得到拟合曲线，建立支承松动程度与非线性程度估值之间的对应关系，实现对转子-轴承系统支承松动状态的评估。

上述的转子-轴承系统支承松动状态评估方法中，所述步骤1)的具体操作如下：

对于转子-轴承系统因支承松动间隙产生的垂直方向的弹性力采用如下的定义：

F_弹＝ky₄+k_by₄ ³ (1)

其中：ky₄、分别表示弹性力的线性部分和非线性部分；k表示转轴的刚度；y₄为支承座垂直方向的振动位移；

并结合转子动力学方程，得到转子-轴承系统的非线性模型：

其中：e为圆盘的质量偏心系数，ω为转轴角速度；m₁为转子在两端滑动轴承处的等效质量，m₂为转子在圆盘处的等效质量，m₃为松动端支撑座的质量,c₁,c₂分别为支撑处与圆盘处的等效阻尼系数，x₁,y₁分别为未松动端轴承处轴心在水平和垂直方向相对于平衡位置的振动位移；x₂,y₂分别为圆盘中心在水平和垂直方向相对于平衡位置的振动位移；x₃,y₃分别为松动端轴承处轴心在水平和垂直方向相对于平衡位置的振动位移；分别为未松动端轴承上非线性油膜力在水平和垂直方向上的分量； 分别为松动端轴承上非线性油膜力在水平和垂直方向上的分量；上述油膜力表达式中 均表示油膜力在水平方向上的分量，即F_x； 均表示油膜力在垂直方向上的分量，即F_y；其计算公式如下：

F_x＝sf_x,F_y＝sf_y (3)

其中：修正系数R为轴承半径，L为轴承宽度，c为轴承径向间隙，μ为润滑油粘度；f_x,f_y采用如下公式计算：

式中V,G,S,β：

β角定义为：

式中，x表示在水平方向上的位移量，y表示在垂直方向上的位移量；

当松动端支承座振动位移大小发生变化时，支承松动位置的等效阻尼和刚度将出现跳跃性变化；对于松动端等效刚度和阻尼k_b和c_b可采用分段线性定义，其表达形式为:

当振动位移y₄∈[0,δ]时，可使用等效的二阶方程对等效刚度进行求解，δ为松动端支承的松动间隙。

上述的转子-轴承系统支承松动状态评估方法中，所述步骤2)的具体操作如下：

对公式(2)中油膜力采用八个系数线性化，转子-轴承系统处于静平衡位置时的油膜力为F_x0、F_y0；运行后的油膜力为F_x、F_y；将油膜力F_x、F_y对变化位移Δx、Δy进行泰勒展开，定义如下八个系数：

其中：h_xx,h_xy,h_yx,h_yy为油膜力刚度系数；d_xx,d_xy,d_yx,d_yy为油膜力阻尼系数；转子-轴承系统动力学行为的动态线性近似油膜力为：

对转子-轴承系统松动端支承座弹性力F_弹＝ky₄+k_by₄ ³在平衡点进行泰勒展开，去掉两阶以上的函数项，得到其线性近似函数如下：

F_弹s＝ky₄ (8)

基于油膜力和松动端弹性力的线性近似化处理，得到转子-轴承系统的线性近似模型：

采用伦哥库塔方法计算非线性模型与线性近似模型，比较两个模型的动力学行为。

上述转子-轴承系统支承松动状态评估方法中，所述步骤3)具体操作如下：

引入L₂范数：

非线性程度的计算公式定义为：

式中：N[u]—非线性动态系统的动力学响应；G[u]—线性近似系统的动力学响应；φ—非线性程度估计值，取值范围φ≥0；当φ＝0时，G[u]＝N[u]，说明非线性系统与线性近似系统的动力学行为相同；当转子-轴承系统不存在松动时，其系统动力学行为是非线性的；

在不同的间隙大小下，将非线性模型与线性近似模型进行数值求解，获得动力学响应信号，然后根据公式(11)计算相应的非线性程度值。

与现有技术相比，本发明的有益效果在于：本发明能够对转子-轴承系统支承松动状态进行评估，能够有效的防止转子-轴承系统出现大间隙松动情况的发生，保证了机床等机械的精度和可靠性，防止了灾难性事故的发生。

附图说明

图1为本发明流程图。

图2为具有支承松动故障的转子-轴承系统的结构示意图。

图3为无松动故障时支承位置振动信号图。

图4为松动间隙大小0.00002时支承位置振动信号图。

图5为松动间隙大小0.0002时支承位置振动信号图。

图6为松动间隙大小0.002时支承位置振动信号图。

图7为数值实例中非线性程度值非线性拟合结果图。

图8为试验松动间隙大小0.002时支承竖直方向振动幅值信号。

图9为实验非线性程度值非线性拟合结果图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步的说明。

一种基于系统动力学行为非线性程度的转子-轴承系统支承松动状态评估方法，包括以下步骤：

1)建立转子-轴承系统因支承松动间隙产生的垂直方向的弹性力表达式，建立转子-轴承系统有支承松动故障的非线性动力学模型。

其具体操作如下：

对于转子-轴承系统因支承松动间隙产生的垂直方向的弹性力采用如下的定义：

F_弹＝ky₄+k_by₄ ³ (1)

其中ky₄、分别表示弹性力的线性部分和非线性部分。

假定转子-系统松动端(左支承)出现松动且间隙为δ，将松动端轴承座与基础之间的连接等效为一个弹簧阻尼系统，等效刚度和阻尼系数分别用k_b、c_b表示。假定未松动端轴承座与基础固定连接，无位移变化。m₁为转子在两端滑动轴承处的等效质量，m₂为转子在圆盘处的等效质量，m₃为松动端支撑座的质量,假定等效质量之间为无质量弹性轴段。c₁,c₂分别为支撑处与圆盘处的等效阻尼系数，k表示转轴的刚度。

假设转子-轴承系统右端轴承处轴心在水平和垂直方向相对于平衡位置的振动位移分别为x₁,y₁，圆盘中心在水平和垂直方向相对于平衡位置的振动位移分别为x₂,y₂，存在松动的左端轴承处轴心在水平和垂直方向相对于平衡位置的振动位移分别为x₃,y₃。由于松动端支承座水平方向的松动间隙非常小，仅考虑支承座垂直方向的振动位移y₄。

基于上述定义，结合转子动力学方程得到支承松动转子-轴承系统的非线性模型如下：

其中：e为圆盘的质量偏心系数，ω为转轴角速度。分别为右端轴承上非线性油膜力在水平和垂直方向上的分量；分别为左端轴承上非线性油膜力在水平和垂直方向上的分量。上述油膜力表达式中均表示油膜力在水平方向上的分量，即F_x；均表示油膜力在水平方向上的分量，即F_y。其计算公式如下：

F_x＝sf_x,F_y＝sf_y (3)

其中：修正系数ω是转轴转速，R为轴承半径，L为轴承长度，c为轴承径向间隙，μ为润滑油粘度。f_x,f_y采用如下公式计算：

式中V,G,S,β：

β角定义为：

式中，x表示在水平方向上的位移量，y表示在垂直方向上的位移量。

另外，当松动端支承座振动位移大小发生变化时，支承松动位置的等效阻尼和刚度将出现跳跃性变化。对于松动端等效刚度和阻尼k_b和c_b可采用分段线性定义，其表达形式为:

当振动位移y₄∈[0,δ]时，可使用等效的二阶方程对等效刚度进行求解。

2)对公式(2)中油膜力采用八个系数线性化，静平衡位置上的油膜力为F_x0、F_y0；运行后的油膜力为F_x、F_y。将油膜力F_x、F_y对变化位移Δx、Δy进行泰勒展开，定义如下八个系数：

其中：h_xx,h_xy,h_yx,h_yy为单位位移所引起的油膜力增量，即油膜力刚度系数；d_xx,d_xy,d_yx,d_yy为单位速度所引起的油膜力增量，即油膜力阻尼系数。转子-轴承系统动力学行为的动态线性近似油膜力为：

对转子-轴承系统松动端支承座弹性力F_弹＝ky₄+k_by₄ ³在平衡点进行泰勒展开，去掉两阶以上的函数项可得到其线性近似如下：

F_弹s＝ky₄ (8)

基于油膜力和松动端弹性力的线性近似化处理，可得到转子-轴承系统的线性近似模型：

采用伦哥库塔方法计算非线性模型与线性近似模型，并比较两个模型的动力学行为。

3)对不同松动间隙大小的转子-轴承系统动力学行为非线性程度进行计算；其具体操作如下：

引入L₂范数：

非线性程度的计算公式定义为：

式中N[u]—非线性动态系统的动力学响应；G[u]—线性近似系统的动力学响应。φ—非线性程度估计值(即系统非线性程度量化结果)，取值范围φ≥0；当φ＝0时，G[u]＝N[u]，说明非线性系统与线性近似系统的动力学行为相同。当转子-轴承系统不存在松动时，其系统动力学行为是非线性的。

在不同的间隙大小下，将非线性模型与线性近似模型进行数值求解，获得动力学响应信号，然后根据公式(11)计算相应的非线性程度值。

4)对系统动力学行为非线性程度结果的离散值进行非线性拟合，得到拟合曲线，建立支承松动程度与非线性程度估值之间的对应关系，实现对转子-轴承系统支承松动状态的评估。

数值实例：

选择转子-滑动轴承作为计算对象，具体如下：

针对转子-滑动轴承系统可产生的强非线性动力学行为，本文采用4-5阶变步长Runge-Kutta法，对无松动模型与有支承松动动力学模型分别进行仿真计算。为了保证解的收敛性，并减少计算误差，仿真中选用积分步长以及其他参数分别为h＝π/512；e＝0.5×10^-4m；m₁＝32.1kg；m₂＝4kg；m₃＝10kg；k＝2.5×10⁷N/m；k_b1＝7.5×10⁹N/m；k_b3＝7.5×10⁷N/m；c₁＝1050N·s/m；c₂＝2100N·s/m；c_b1＝350N·s/m；c_b2＝100N·s/m；c_b3＝500N·s/m。

取X＝[x₁,y₁,x₂,y₂,x₃,y₃,y₄]进行如下处理，X'＝X/c，X'＝X'/(cω)，X'＝X'/(cω²)，其中c为润滑膜的平均厚度，ω为转轴角速度。正常情况下圆盘在竖直方向上的振幅图，其为周期运动，且正负幅值对称，如图3所示。

当左端的松动间隙很小时，表现出系统非线性程度很微弱，正常情况与存在松动故障情况的振动波形图没有非常明显的区别。图4表示松动大小为0.00002时转子系统右端轴承轴心竖直方向振动幅值信号图。图5表示当左端支承的松动间隙为0.0002时右端轴承轴心竖直方向振动幅值信号图，每个周期都出现微弱的冲击，但对系统的运行影响相对不大。图6为松动间隙＝0.002时转子-轴承系统松动端支承处的振动响应幅值图。

对等间隙的162个松动间隙大小进行数值仿真，并根据系统非线性程度计算公式得到各松动间隙转子-轴承系统的系统非线性程度估计值，建立了松动间隙大小与系统非线性度之间的对应关系。图7表示转子-轴承系统支承松动端振动信号的系统非线性程度估计值与松动间隙大小的关系，图7中离散点表示各松动间隙点所对应的系统非线性程度估计值，曲线为基于非线性量估计值的非线性拟合曲线。

实验验证：

滑动轴承-转子系统支承松动模拟实验台，通过调节支承座紧固螺栓的松动程度，模拟支承松动实验，基座上固定有角度刻度盘，通过依次手动松动轴承座与底座连接的M10螺栓36°(即使松动间隙采点间隔为螺距的1/10，M10的螺距为1mm)，达到控制紧固螺栓松动大小的效果。本实验的信号采集系统为丹麦B&K公司的PULSE数据采集系统，由数据采集卡、振动加速度传感器和采集系统组成，可对支承松动的振动加速度信号进行多通道同步采集。本实验台安装5个传感器，分别布置在松动端支承座的横向、纵向，紧固螺栓的纵向和未松动端支承座横向、纵向两个方向上。

本实验选取电机转速为2100rpm，采样频率为3.2KH。对采集到的信号进行小波包降噪方法处理、两次傅里叶变换，得到时域图。图8为试验松动间隙大小0.002时支承竖直方向振动幅值信号。在误差范围内，图8与图6振动波形图基本吻合，其他同一松动情况下仿真图形与实验图形也类似，说明建立的数学模型符合实际情况。

对处理后的信号进行计算，根据系统非线性程度计算公式得到各松动间隙转子-轴承系统的系统非线性程度值，建立了松动间隙大小与系统非线性程度值之间的对应关系。图9为实验数据经处理计算所得出的松动间隙与系统非线性程度值的关系，图中实线表示散点图的拟合曲线。从图9中可知，当间隙相对较小时，系统非线性程度值在至之间上下浮动，且具有上升趋势；当松动间隙到达某一阀值，系统非线性程度值急剧升高，机械出现较大幅度的振动，非线性程度值关于松动间隙的趋势基本一致，所以实验结果与前述理论分析图7一致。

Claims (4)

1.一种转子-轴承系统支承松动状态评估方法，包括以下步骤：

1)建立转子-轴承系统因支承松动间隙产生的垂直方向的弹性力表达式，建立转子-轴承系统有支承松动故障时的非线性动力学模型；

2)采取对弹性力表达式和非线性动力学模型中的非线性项泰勒展开的方法获得线性近似动力学模型，并计算比较转子-轴承系统的非线性模型与线性近似模型动力学行为；

3)对不同大小松动间隙的转子-轴承系统动力学行为的非线性程度进行计算；

4)对转子-轴承系统动力学行为非线性程度值的离散结果进行非线性拟合，得到拟合曲线，建立支承松动程度与非线性程度估值之间的对应关系，实现对转子-轴承系统支承松动状态的评估。

2.根据权利要求1所述的转子-轴承系统支承松动状态评估方法，所述步骤1)的具体操作如下：

对于转子-轴承系统因支承松动间隙产生的垂直方向的弹性力采用如下的定义：

F_弹＝ky₄+k_by₄ ³ (1)

其中：ky₄、分别表示弹性力的线性部分和非线性部分；k表示转轴的刚度；y₄为支承座垂直方向的振动位移；

并结合转子动力学方程得到转子-轴承系统的非线性模型：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_1{\stackrel{\·\·}{x}}_1+c_1{\stackrel{\·}{x}}_1+k(x_1-x_2)=F_{xr}^{\left(2\right)}(x_1,y_1,{\stackrel{\·}{x}}_1,{\stackrel{\·}{y}}_1)\\ m_1{\stackrel{\·\·}{y}}_1+c_1{\stackrel{\·}{y}}_1+k(y_1-y_2)=F_{yr}^{\left(2\right)}(x_1,y_1,{\stackrel{\·}{x}}_1,{\stackrel{\·}{y}}_1)-m_{1}g\\ m_2{\stackrel{\·\·}{x}}_2+c_2{\stackrel{\·\·}{x}}_2+k(x_2-x_1)+k(x_2-x_3)=m_2{\mathrm{e\ω}}^2\cos \left(\mathrm{\ω}t\right)\\ m_2{\stackrel{\·\·}{y}}_2+c_2{\stackrel{\·}{y}}_2+k(y_2-y_1)+k(y_2-y_3-y_4)=m_2{\mathrm{e\ω}}^2\sin \left(\mathrm{\ω}t\right)-m_{2}g\\ m_1{\stackrel{\·\·}{x}}_1+c_1{\stackrel{\·}{x}}_1+k(x_3-x_2)=F_{xl}^{\left(2\right)}(x_3,y_3-y_4,{\stackrel{\·}{x}}_3,{\stackrel{\·}{y}}_3-{\stackrel{\·}{y}}_4)\\ m_1{\stackrel{\·\·}{y}}_3+c_1{\stackrel{\·}{y}}_3+k(y_3+y_4-y_2)=F_{yl}^{\left(2\right)}(x_3,y_3-y_4,{\stackrel{\·}{x}}_3,{\stackrel{\·}{y}}_3-{\stackrel{\·}{y}}_4)-m_{1}g\\ m_3{\stackrel{\·\·}{y}}_4+c_b{\stackrel{\·}{y}}_4+({\mathrm{ky}}_4+k_b{y_4}^3)=-F_{yl}^{\left(2\right)}(x_3,y_3-y_4,{\stackrel{\·}{x}}_3,{\stackrel{\·}{y}}_3-{\stackrel{\·}{y}}_4)-m_{3}g\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中：e为圆盘的质量偏心系数，ω为转轴角速度；m₁为转子在两端滑动轴承处的等效质量，m₂为转子在圆盘处的等效质量，m₃为松动端支撑座的质量,c₁,c₂分别为支撑处与圆盘处的等效阻尼系数，x₁,y₁分别为未松动端轴承处轴心在水平和垂直方向相对于平衡位置的振动位移；x₂,y₂分别为圆盘中心在水平和垂直方向相对于平衡位置的振动位移；x₃,y₃分别为松动端轴承处轴心在水平和垂直方向相对于平衡位置的振动位移；分别为未松动端轴承上非线性油膜力在水平和垂直方向上的分量； 分别为松动端轴承上非线性油膜力在水平和垂直方向上的分量；上述油膜力表达式中均表示油膜力在水平方向上的分量，即F_x；均表示油膜力在垂直方向上的分量，即F_y；其计算公式如下：

F_x＝sf_x,F_y＝sf_y (3)

其中：修正系数R为轴承半径，L为轴承宽度，c为轴承径向间隙，μ为润滑油粘度；f_x,f_y采用如下公式计算：

$\left[\begin{array}{c}{f}_x\\ f_y\end{array}\right]=\frac{\sqrt{{(x-2\stackrel{\·}{y})}^2+{(y+2\stackrel{\·}{x})}^2}}{1-x^2-y^2}\×\left[\begin{array}{c}3xV-\sin \mathrm{\β}G-2\cos \mathrm{\β}S\\ 3yV+\cos \mathrm{\β}G-2\sin \mathrm{\β}S\end{array}\right]---\left(4\right)$

式中V,G,S,β：

$V=\frac{2+(ycos\mathrm{\β}-xsin\mathrm{\β})G}{1-x^2-y^2}$

$S=\frac{xcos\mathrm{\β}+ysin\mathrm{\β}}{1-{(xcos\mathrm{\β}+ysin\mathrm{\β})}^2}$

$G=\frac{2}{\sqrt{1-x^2-y^2}}(\mathrm{\π}/2+arctan(\left(ycos\mathrm{\β}-xsin\mathrm{\β}\right)/\sqrt{1-x^2-y^2}\left)\right)$

β角定义为：

$\mathrm{\β}=arctan\frac{y+2\stackrel{\·}{x}}{x-2\stackrel{\·}{y}}-\frac{\mathrm{\π}}{2}sign\left(\frac{y+2\stackrel{\·}{x}}{x-2\stackrel{\·}{y}}\right)-\frac{\mathrm{\π}}{2}sign(y+2\stackrel{\·}{x})$

式中，x表示在水平方向上的位移量，y表示在垂直方向上的位移量；

当松动端支承座振动位移大小发生变化时，支承松动位置的等效阻尼和刚度将出现跳跃性变化；对于松动端等效刚度和阻尼k_b和c_b可采用分段线性定义，其表达形式为:

$k_b=\left\{\begin{array}{cc}{k}_{b1}& y_4<0\\ k_{b2}& 0\&le;y_4<\mathrm{\&delta;}\\ k_{b3}& y_4\&GreaterEqual;\mathrm{\&delta;}\end{array}\right.;c_b=\left\{\begin{array}{cc}{c}_{b1}& y_4<0\\ c_{b2}& 0\&le;y_4<\mathrm{\&delta;}\\ c_{b3}& y_4\&GreaterEqual;\mathrm{\&delta;}\end{array}\right.---\left(5\right)$

当振动位移y₄∈[0,δ]时，可使用等效的二阶方程对等效刚度进行求解，δ为松动端支承的松动间隙。

3.根据权利要求2所述的基于系统动力学行为非线性程度的转子-轴承系统支承松动状态评估方法，所述步骤2)的具体操作如下：

对公式(2)中油膜力采用八个系数线性化，转子-轴承系统处于静平衡位置时的油膜力为F_x0、F_y0；运行后的油膜力为F_x、F_y；将油膜力F_x、F_y对变化位移Δx、Δy进行泰勒展开，定义如下八个系数：

$\left\{\begin{array}{cccc}{h}_{xx}=\frac{\&part;F_x}{\&part;x}{|}_0^{\mathrm{\&infin;}};& h_{xy}=\frac{\&part;F_x}{\&part;y}{|}_0^{\mathrm{\&infin;}};& h_{yx}=\frac{\&part;F_y}{\&part;x}{|}_0^{\mathrm{\&infin;}};& h_{yy}=\frac{\&part;F_y}{\&part;y}{|}_0^{\mathrm{\&infin;}};\\ d_{xx}=\frac{\&part;F_x}{\&part;\stackrel{\&CenterDot;}{x}}{|}_0^{\mathrm{\&infin;}};& d_{xy}=\frac{\&part;F_x}{\&part;\stackrel{\&CenterDot;}{y}}{|}_0^{\mathrm{\&infin;}};& d_{yx}=\frac{\&part;F_x}{\&part;\stackrel{\&CenterDot;}{x}}{|}_0^{\mathrm{\&infin;}};& d_{yy}=\frac{\&part;F_x}{\&part;\stackrel{\&CenterDot;}{y}}{|}_0^{\mathrm{\&infin;}};\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中：h_xx,h_xy,h_yx,h_yy为油膜力刚度系数；d_xx,d_xy,d_yx,d_yy为油膜力阻尼系数；转子-轴承系统动力学行为的动态线性近似油膜力为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{F}_x\\ {\mathrm{\&Delta;F}}_y\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{cc}{h}_{xx}& h_{xy}\\ h_{yx}& h_{yy}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}x\\ \mathrm{\&Delta;}y\end{array}\right\}+\left[\begin{array}{cc}{d}_{xx}& d_{xy}\\ d_{yx}& d_{yy}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\\ \mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{y}\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}{F}_{x0}\\ F_{y0}\end{array}\right\}---\left(7\right)$

对转子-轴承系统松动端支承座弹性力F_弹＝ky₄+k_by₄ ³在平衡点进行泰勒展开，去掉两阶以上的函数项，得到其线性近似函数如下：

F_弹s＝ky₄ (8)

基于油膜力和松动端弹性力的线性近似化处理，得到转子-轴承系统的线性近似模型：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_1{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_1+c_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1+k(x_1-x_2)={\mathrm{\&Delta;F}}_{x_1}\\ m_1{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_1+c_1{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_1+k(y_1-y_2)={\mathrm{\&Delta;F}}_{y_1}-m_{1}g\\ m_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_2+c_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_2+k(x_2-x_1)+k(x_2-x_3)=m_2{\mathrm{ew}}^2\cos \left(wt\right)\\ m_2{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_2+c_2{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_2+k(y_2-y_1)+k(y_2-y_3-y_4)=m_2{\mathrm{ew}}^2\sin \left(wt\right)-m_{2}g\\ m_1{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_1+c_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1+k(x_3-x_2)={\mathrm{\&Delta;F}}_{x_2}\\ m_1{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_3+c_1{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_3+k(y_3+y_4-y_2)={\mathrm{\&Delta;F}}_{y_2}-m_{1}g\\ m_3{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_4+c_b{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_4+{\mathrm{ky}}_4=-{\mathrm{\&Delta;F}}_{y_2}-m_{3}g\end{array}\right.---\left(9\right)$

采用伦哥库塔法计算非线性模型与线性近似模型，比较两个模型的动力学行为。

4.根据权利要求3所述的转子-轴承系统支承松动状态评估方法，所述步骤3)具体操作如下：

引入L₂范数：

$\left|\right|x(\&CenterDot;)\left|\right|=\left|\right|x(\&CenterDot;)|{|}_{L_2}=\sqrt{{\&Integral;}_0^{\mathrm{\&infin;}}|x\left(t\right){|}^{2}dt}---\left(10\right)$

非线性程度的计算公式定义为：

$\mathrm{\&phi;}=\frac{\left|\right|N\&lsqb;u\&rsqb;-G\&lsqb;u\&rsqb;\left|\right|}{\left|\right|N\&lsqb;u\&rsqb;\left|\right|}---\left(11\right)$

式中：N[u]—非线性动态系统的动力学响应；G[u]—线性近似系统的动力学响应；φ—非线性程度估计值，取值范围φ≥0；当φ＝0时，G[u]＝N[u]，说明非线性系统与线性近似系统的动力学行为相同；当转子-轴承系统不存在松动时，其系统动力学行为是非线性的；

在不同的间隙大小下，将非线性模型与线性近似模型进行数值求解，获得动力学响应信号，然后根据公式(11)计算相应的非线性程度值。