CN111368447A - 一种改进的基于瞬态时间序列的非线性pod降维方法 - Google Patents

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CN111368447A CN202010159270.2A CN202010159270A CN111368447A CN 111368447 A CN111368447 A CN 111368447A CN 202010159270 A CN202010159270 A CN 202010159270A CN 111368447 A CN111368447 A CN 111368447A
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路宽
简巍
曾学奇
赵仕博
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Abstract

本发明提供了一种改进的基于瞬态时间序列的非线性POD降维方法，首先在高维数据中提取主成分，在将取得的主成分无量纲化，得到一个降维后的动力学振动模型，利用降维法从系统的瞬态过程中得到一组主成分，将第一第二主成分组成投影空间，并将原系统投影到该空间中。本发明相对原有的高维系统，具有简单性的特点，模型构造简单，计算复杂度小，具有较高的适用性和精确性，能够广泛应用到多自由度非线性转子系统中；通过对得到的计算结果与实际结果进行对比，得到的数据误差在5％以内。

Description

一种改进的基于瞬态时间序列的非线性POD降维方法
技术领域
本发明涉及动力学降维相关技术领域，具体涉及一种非线性POD降维方法。
背景技术
随着科技的发展，科研工作者对于大型旋转机械的研究越来越深入，例如航空发动机，燃气轮机等。这些大型旋转机械的主体都是转子-轴承系统，这类系统都具备复杂，非线性并且高自由度等特点。以上特点直接导致了此类系统定性分析困难，例如稳定性分析和奇异性分析等，并且计算成本极为昂贵，因此需要对此类系统进行降维，用得到的简化模型来替代原始模型进行分析。
POD方法是一种有效并强大的数据分析方法，能够寻找到原始系统的最优正交基，进而得到近似低阶表示。在保证简化系统模型有效性和准确性的同时，POD方法能够大幅度减少原始系统自由度数，并提高计算效率。常用的本征正交分解方法包括局部POD方法、全局POD方法和适定性POD方法等。POD方法被广泛应用于很多工程领域，例如流体力学，结构动力学等。但传统的POD方法忽略了自由振动信息。
发明内容
为了克服现有技术的不足，本发明提供一种改进的基于瞬态时间序列的非线性POD降维方法，即一种基于瞬态响应的POD降维算法，首先在高维数据中提取主成分，在将取得的主成分无量纲化，得到一个降维后的动力学振动模型。
降维算法的基本思想是每个原始数据通过坐标变化后得到的一组线性无关的数据，并用此时坐标来替代原始坐标，即主成分，根据动力学信息保留的需要，选取前n阶主成分作为新的动力学变量，从而到达降维的效果。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案的详细步骤为：
步骤1：采用包含左端基础松动的的单转子-轴承系统模型，仅考虑平动情况，不考虑转动情况，Oi(i＝2…10)是各个盘的几何中心；O1,O11为左右轴承的几何中心；
Figure BDA0002405179780000011
为相应的重心；不考虑轴向振动，扭转振动和陀螺力矩；假定转盘为刚形体结构，不计入轴段质量，mi(i＝1…11)为等效的集中质量；ki(i＝1…10)是相应各个盘的等效刚度；ci(i＝1…11)为各集中质量处的等效阻尼系数；假设左端轴承基础松动，m12为松动质量块，其中松动端和基础之间的最大间隙为δ1，转盘和轴之间的轴段为无质量弹性的，cs为基础松动端的阻尼系数，ks为松动支承刚度，Xi，Yi(i＝1…11)分别为左轴颈质心、各盘质心以及右轴颈质心径向面内相对于参考点在水平和竖直方向的位移；当松动发生时，cs和ks为分段线性的，Y12为基础位移，松动刚度和阻尼的表示如下：
Figure BDA0002405179780000021
考虑两端轴承非线性油膜力，转子不平衡激励，利用牛顿第二定律建立多盘转子转子-轴承系统的运动微分方程，如公式(6)所示：
Figure BDA0002405179780000022
其中，Z＝(X1,Y1,…X11,Y11,Y12)T，M，C，K分别为系统的质量、刚度和阻尼矩阵，表达为：
Figure BDA0002405179780000023
Figure BDA0002405179780000024
F为不平衡激励项，包括左右轴颈的非线性油膜力、各盘偏心激励及重力，表达式为：
Figure BDA0002405179780000031
Fx和Fy分别为x、y方向的非线性油膜力，在松动端也考虑非线性油膜力Fy作用，Bi(i＝2,...,10)为偏心量，对式(6)进行无量纲处理，无量纲化过程如下：
Figure BDA0002405179780000032
Figure BDA0002405179780000033
其中，fx和fy为无量纲油膜力，表达式为
Figure BDA0002405179780000034
其中，无量纲油膜力表达式中
Figure BDA0002405179780000035
为Sommerfeld系数，μ为润滑油粘度，R为轴承半径，ω为外激励频率，P和τ分别为载荷和无量纲时间；公式(6)的无量纲表达形式如式(7)所示：
Figure BDA0002405179780000036
其中，
Figure BDA0002405179780000037
分别为无量纲的阻尼、刚度和外激励矩阵，表达式如下，并且，z＝(x1,y1,…,x11,y11,y12)T,
Figure BDA0002405179780000038
Figure BDA0002405179780000041
Figure BDA0002405179780000042
Figure BDA0002405179780000043
步骤2：采用短轴承假设，x和y方向的非线性油膜力表示为：
Figure BDA0002405179780000051
公式(8)中参数表达式为：
Figure BDA0002405179780000052
Figure BDA0002405179780000053
Figure BDA0002405179780000054
Figure BDA0002405179780000055
对油膜力进行泰勒展开，α表示为：
Figure BDA0002405179780000056
给定初始条件；
步骤3：瞬态过程信号的坐标变换矩阵为：
Figure BDA0002405179780000057
简化模型的2自由度动力学方程为：
Figure BDA0002405179780000058
简化模型的阻尼，刚度和外激励矩阵分别为C2,K2,F2，矩阵的相应参数为：
Figure BDA0002405179780000059
将降维前后的分岔特性，均方差幅值特性进行对比，并对比瞬态POD方法与传统POD方法，验证瞬态本征正交分解方法的有效性。
本发明的有益效果在于：
(1)相对原有的高维系统，具有简单性的特点，模型构造简单，计算复杂度小。
(2)具有较高的适用性和精确性。此方法能够广泛应用到多自由度非线性转子系统中；通过对该法得到的计算结果与实际结果进行对比，得到的数据误差在5％以内。
附图说明
图1是本发明建立的一端松动转子-轴承模型；
图2是本发明右端轴承横向的振动的时间历程曲线，横坐标为时间，纵坐标为x11自由度方向的幅值；
图3(a)为本发明原始系统分岔图，图3(b)、图3(c)分别为本发明瞬态POD和传统POD方法得到的简化系统的分岔图。横坐标为转子系统转速，纵坐标为x11自由度方向的幅值；
图4是本发明原始系统与简化系统的均方差幅值曲线，找到了反应系统动力学特性的一种新的表现形式。刻画了转速与均方差幅值之间的关系，对每个点位移取均方差。图4(a)是原始系统的均方差幅值曲线，图4(b)是简化系统的均方差幅值曲线；
图5是本发明瞬态POD方法的相对误差，横坐标代表转子系统转速，纵坐标代表基于系统均方差幅值的降维前后相对误差值。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。
在给定初始条件下，系统的瞬态过程是一个包含自由振动信息和强迫振动信息的复杂过程。因此，提出了一种改进的基于瞬态时间序列的非线性降维POD方法：利用降维法从系统的瞬态过程中得到一组主成分，将第一第二主成分组成投影空间，并将原系统投影到该空间中。由此，我们得到了二自由度系统的近似等价模型。该方法可用于高维非线性系统的目标逼近。
基于现有方法的缺陷和不足，本发明完善了确定性系统中的瞬态POD方法并验证了有效性与准确性，明确了瞬态POD方法的物理意义。同时考虑了系统受迫振动和自由振动信息，能够保留原始系统更多的动力学特性。瞬态POD方法的一般构造过程如下：
通常情况下，经过等价变换，多自由度动力学方程表示为：
Figure BDA0002405179780000061
其中Z为位移向量，C和K分别为等价阻尼和刚度阵，F为等价外激励向量。瞬态POD方法的数学构造过程如下：
(1)给出初始条件，提取各个自由度瞬态过程的速度和位移信息。将瞬态信息记为z1(t),z2(t),...,zM(t)。M为系统的自由度数，各个自由度的等时间间隔位移序列为zi＝(zi(t1),zi(t2),...,zi(tN))T,i＝1,2,…,M。时间间隔个数为N，并且互相相等，时间序列构成的矩阵为X＝[z1,z2,...,zM]，矩阵X的阶数为N×M。因此，我们得到自相关矩阵T＝XTX，矩阵阶数为M×M。矩阵特征向量记为
Figure BDA0002405179780000071
相应的特征根为λ1＞λ2＞λM。
(2)U是自相关矩阵T＝XTX前n阶特征向量组成的矩阵，也就是说矩阵U包含了T的前n个最大特征值。矩阵U的阶数为M×n，则矩阵UTU的阶数为n×n。我们对系统坐标Z进行坐标变换，可以得到新的向量P，记为Z＝UP，把Z带入到多自由度动力学方程中，因此得到方程：
Figure BDA0002405179780000072
由于矩阵U的列向量是正交并且非零的，矩阵UTU是n阶正交满秩的，因此矩阵UTU存在逆矩阵。在上式两端左乘(UTU)-1UT，因此得到方程：
Figure BDA0002405179780000073
令CR＝(UTU)-1UTCU,KR＝(UTU)-1UTKU,FR＝(UTU)-1UTF，因此得到方程：
Figure BDA0002405179780000074
由此，瞬态POD方法将原始系统降维到n自由度简化模型，且尽可能保留了系统的动力学特性，包括自由振动信息和受迫振动信息。
转子系统在发生故障时会表现出非线性动力学特性。松动故障作为转子-轴承系统中基本故障，非常容易引起二次故障的发生，例如碰摩故障，轴承故障等。轴承座连接松动是转子系统中常见故障之一，主要产生原因是由于连接螺栓在承受长期循环交变载荷、振动作用下引起弯曲疲劳和塑性变形后，会产生松动或者个别零件没有压紧而产生径向窜动，从而导致支承的非线性刚度以及振动过大。
本发明将瞬态POD方法应用到两端带有滑动轴承支承的，并带有一端基础松动的转子系统中，得到有效的简化转子-轴承系统模型，进而为转子系统基础松动故障非线性动力学特性机理分析提供理论指导。
步骤1：如图1，为包含左端基础松动的的单转子-轴承系统模型，此模型仅考虑平动情况，不考虑转动情况。Oi(i＝2…10)是各个盘的几何中心；O1,O11为左右轴承的几何中心；
Figure BDA0002405179780000075
为相应的重心；不考虑轴向振动，扭转振动和陀螺力矩；假定转盘为刚形体结构，不计入轴段质量，mi(i＝1…11)为等效的集中质量；ki(i＝1…10)是相应各个盘的等效刚度；ci(i＝1…11)为各集中质量处的等效阻尼系数；假设左端轴承基础松动，m12为松动质量块，其中松动端和基础之间的最大间隙为δ1，转盘和轴之间的轴段为无质量弹性的，cs为基础松动端的阻尼系数，ks为松动支承刚度，Xi，Yi(i＝1…11)分别为左轴颈质心、各盘质心以及右轴颈质心径向面内相对于参考点在水平和竖直方向的位移；当松动发生时，cs和ks为分段线性的，Y12为基础位移，松动刚度和阻尼的表示如下：
Figure BDA0002405179780000081
考虑两端轴承非线性油膜力，转子不平衡激励，利用牛顿第二定律建立多盘转子转子-轴承系统的运动微分方程，如公式(6)所示：
Figure BDA0002405179780000082
其中，Z＝(X1,Y1,…X11,Y11,Y12)T，M，C，K分别为系统的质量、刚度和阻尼矩阵，表达为：
Figure BDA0002405179780000083
Figure BDA0002405179780000084
F为不平衡激励项，包括左右轴颈的非线性油膜力、各盘偏心激励及重力，表达式为：
Figure BDA0002405179780000091
Fx和Fy分别为x、y方向(即图1所示的水平和竖直方向)的非线性油膜力，在松动端也考虑非线性油膜力Fy作用，可见上述外激励项的表达式F，Bi(i＝2,...,10)为偏心量。为了便于计算，对式(6)进行无量纲处理，无量纲化过程如下：
Figure BDA0002405179780000092
Figure BDA0002405179780000093
其中，fx和fy为无量纲油膜力，表达式为
Figure BDA0002405179780000094
其中，无量纲油膜力表达式中
Figure BDA0002405179780000095
为Sommerfeld系数，μ为润滑油粘度，R为轴承半径，ω为外激励频率，P和τ分别为载荷和无量纲时间；公式(6)的无量纲表达形式如式(7)所示：
Figure BDA0002405179780000096
其中，
Figure BDA0002405179780000097
分别为无量纲的阻尼、刚度和外激励矩阵，表达式如下，并且，z＝(x1,y1,…,x11,y11,y12)T,
Figure BDA0002405179780000098
Figure BDA0002405179780000101
Figure BDA0002405179780000102
Figure BDA0002405179780000103
转子-轴承系统具体实例参数表示如下：
m<sub>1</sub> 4kg c<sub>1</sub> 800N·s/m
m<sub>2</sub> 21.9339kg c<sub>2</sub> 1250N·s/m
m<sub>3</sub> 7.7990kg c<sub>3</sub> 1050N·s/m
m<sub>4</sub> 6.3545kg c<sub>4</sub> 850N·s/m
m<sub>5</sub> 9.0666kg c<sub>5</sub> 1050N·s/m
m<sub>6</sub> 5.9773kg c<sub>6</sub> 1250N·s/m
m<sub>7</sub> 5.9773kg c<sub>7</sub> 1050N·s/m
m<sub>8</sub> 6.9809kg c<sub>8</sub> 850N·s/m
m<sub>9</sub> 7.2284kg c<sub>9</sub> 1050N·s/m
m<sub>10</sub> 3.90146kg c<sub>10</sub> 1250N·s/m
m<sub>11</sub> 4kg c<sub>11</sub> 800N·s/m
m<sub>12</sub> 75kg c 0.11mm
k<sub>s1</sub> 7.5×10<sup>7</sup>N/m c<sub>s1</sub> 350N·s/m
k<sub>s2</sub> 2.5×10<sup>8</sup>N/m c<sub>s2</sub> 500N·s/m
k<sub>i</sub>(i＝1,…,10,i≠5) 2×10<sup>7</sup>N/m μ 0.018pa·s
R 30mm δ<sub>1</sub> 0.22mm
L 30mm B<sub>i</sub>(i＝2,…,10,i≠5) 0
步骤2：采用短轴承假设，x和y方向的非线性油膜力表示为：
Figure BDA0002405179780000111
公式(8)中参数表达式为：
Figure BDA0002405179780000112
Figure BDA0002405179780000113
Figure BDA0002405179780000114
Figure BDA0002405179780000115
对油膜力进行泰勒展开，α表示为：
Figure BDA0002405179780000116
给定初始条件：令积分步长为π/256，初始位移和速度分别为x4＝y4＝0.5，xi＝yi＝y12＝0(i＝1,…,11,i≠4)，
Figure BDA0002405179780000117
转子的转速为ω＝750(rad/s)。
步骤3：右端轴承横向的振动的时间历程曲线如图2，在0到50π之间为系统的瞬态过程，在50π之后，系统处于周期运动状态；根据之前公式(1)-(4)对于POD方法的介绍，得到瞬态过程信号的坐标变换矩阵：
Figure BDA0002405179780000121
(U1和U2都为1x23矩阵)
Figure BDA0002405179780000122
Figure BDA0002405179780000123
对于公式(4)，简化模型的2自由度动力学方程为：
Figure BDA0002405179780000124
相应简化模型的阻尼，刚度和外激励矩阵分别为C2,K2,F2，矩阵的相应参数为：
Figure BDA0002405179780000125
将降维前后的分岔特性，均方差幅值特性进行对比，并对比瞬态POD方法与传统POD方法，来验证瞬态本征正交分解方法的有效性。如果简化模型分岔与均方差幅值特性的拓扑结构相似，并且分岔点较近时，则说明简化模型保留了原始模型动力学特性。图3(a)为原始系统分岔图，图3(b)、图3(c)分别为瞬态POD和传统POD方法得到的简化系统的分岔图。横坐标为转子系统转速，纵坐标为x11自由度方向的幅值。图3(b)反映出瞬态POD方法得到的简化模型保留了原始系统的主要的分岔特性，图3(c)表明传统POD方法得到的简化模型丢失了原始系统的分岔特性，无法保留其拓扑结构。分岔图的对比验证了瞬态POD方法在高维转子系统中的有效性。
图4给出了原始系统与简化系统的均方差幅值曲线，找到了反应系统动力学特性的一种新的表现形式。图4刻画了转速与均方差幅值之间的关系，对每个点位移取均方差，公式如(15)所示：
Figure BDA0002405179780000126
其中，xi(i＝1,…,N)为各个点的位移，N为点的个数，μ是均值，σ为均方差。在图4(a)中ω＝1340rad/s时，原始系统的分岔出现，而在在图4(b)中，简化系统分岔在ω＝1410rad/s时出现，可以明确观测出在区间ω∈[1340,1410]的差异。然而，在其它各个区间，曲线基本保持一致，表明简化系统很好的保留了原始系统的动力学特性。
图5研究了瞬态POD方法的相对误差，横坐标代表转子系统转速，纵坐标代表基于系统均方差幅值的降维前后相对误差值。在公式e＝|rm-rn|/rm，e表示相对误差，rm与rn分别为原始与简化模型的均方差值。图5表明瞬态POD方法的相对误差除了在降维前后分岔点的区间ω∈[1340,1410]以外，其余区间的相对误差都在5％以下。尽管此降维方法有一定的相对误差，但从整体上看，简化模型很好的保留了原始系统的动力学特性。通过对相对误差的分析，再次验证了瞬态POD方法的有效性，此方法能够广泛应用到多自由度非线性转子系统中。

Claims (1)

1.一种改进的基于瞬态时间序列的非线性POD降维方法，其特征在于包括下述步骤：
步骤1：采用包含左端基础松动的的单转子-轴承系统模型，仅考虑平动情况，不考虑转动情况，Oi(i＝2…10)是各个盘的几何中心；O1,O11为左右轴承的几何中心；
Figure FDA0002405179770000011
为相应的重心；不考虑轴向振动，扭转振动和陀螺力矩；假定转盘为刚形体结构，不计入轴段质量，mi(i＝1…11)为等效的集中质量；ki(i＝1…10)是相应各个盘的等效刚度；ci(i＝1…11)为各集中质量处的等效阻尼系数；假设左端轴承基础松动，m12为松动质量块，其中松动端和基础之间的最大间隙为δ1，转盘和轴之间的轴段为无质量弹性的，cs为基础松动端的阻尼系数，ks为松动支承刚度，Xi，Yi(i＝1…11)分别为左轴颈质心、各盘质心以及右轴颈质心径向面内相对于参考点在水平和竖直方向的位移；当松动发生时，cs和ks为分段线性的，Y12为基础位移，松动刚度和阻尼的表示如下：
Figure FDA0002405179770000012
考虑两端轴承非线性油膜力，转子不平衡激励，利用牛顿第二定律建立多盘转子转子-轴承系统的运动微分方程，如公式(6)所示：
Figure FDA0002405179770000013
其中，Z＝(X1,Y1,…X11,Y11,Y12)T，M，C，K分别为系统的质量、刚度和阻尼矩阵，表达为：
Figure FDA0002405179770000014
Figure FDA0002405179770000021
F为不平衡激励项，包括左右轴颈的非线性油膜力、各盘偏心激励及重力，表达式为：
Figure FDA0002405179770000022
Fx和Fy分别为x、y方向的非线性油膜力，在松动端也考虑非线性油膜力Fy作用，Bi(i＝2,...,10)为偏心量，对式(6)进行无量纲处理，无量纲化过程如下：
Figure FDA0002405179770000023
Figure FDA0002405179770000024
其中，fx和fy为无量纲油膜力，表达式为
Figure FDA0002405179770000025
其中，无量纲油膜力表达式中
Figure FDA0002405179770000026
为Sommerfeld系数，μ为润滑油粘度，R为轴承半径，ω为外激励频率，P和τ分别为载荷和无量纲时间；公式(6)的无量纲表达形式如式(7)所示：
Figure FDA0002405179770000031
其中，
Figure FDA0002405179770000032
分别为无量纲的阻尼、刚度和外激励矩阵，表达式如下，并且，z＝(x1,y1,…,x11,y11,y12)T,
Figure FDA0002405179770000033
Figure FDA0002405179770000034
Figure FDA0002405179770000035
Figure FDA0002405179770000041
步骤2：采用短轴承假设，x和y方向的非线性油膜力表示为：
Figure FDA0002405179770000042
公式(8)中参数表达式为：
Figure FDA0002405179770000043
Figure FDA0002405179770000044
Figure FDA0002405179770000045
Figure FDA0002405179770000046
对油膜力进行泰勒展开，α表示为：
Figure FDA0002405179770000047
给定初始条件；
步骤3：瞬态过程信号的坐标变换矩阵为：
Figure FDA0002405179770000048
简化模型的2自由度动力学方程为：
Figure FDA0002405179770000051
简化模型的阻尼，刚度和外激励矩阵分别为C2,K2,F2，矩阵的相应参数为：
Figure FDA0002405179770000052
将降维前后的分岔特性，均方差幅值特性进行对比，并对比瞬态POD方法与传统POD方法，验证瞬态本征正交分解方法的有效性。
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