CN106599354B - 一种内序列多相材料拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开的一种内序列多相材料拓扑优化方法，具体为：步骤1、建立设计域的有限元模型，初始化算法中的参数，对材料按照模量大小进行降序排列，同时令外迭代编号N_out＝1，内迭代编号i＝1；步骤2、经步骤1后，对第i次子问题寻找最优解；步骤3、设定i＝m，即所有材料的体积约束被满足，则继续进行下一步，即转入步骤4；步骤4、经步骤3后，判断是否收敛；经计算后，若满足收敛，则继续进行步骤5的处理；反之，则令N_out＝N_out+1，之后返回步骤2；步骤5、停止，完成优化。本发明一种内序列多相材料拓扑优化方法，能避免多相材料优化模型非线性程度过高造成难于收敛的现象。

Description

一种内序列多相材料拓扑优化方法

技术领域

本发明属于多相材料技术领域，具体涉及一种内序列多相材料拓扑优化方法。

背景技术

传统的多相材料拓扑优化方法中，在进行刚度设计时，优化的数学模型具体如下：

在该模型中：(ρ₁ρ₂…ρ_m)_e为设计变量，表示设计域Ω中第e个单元的相对密度；m为优化布局中需要布置的材料总相数；优化目标为结构的刚度最大化；对应为柔度C最小化；F、U和K分别表示结构的整体外荷载矢量、整体位移矢量、结构总刚度矩阵；g_j表示优化中的约束条件，如：体积约束、边界某点的位移等；J为优化中约束条件的个数。

当含有体积约束时，对于每一相材料给定其在结构初始设计域中的体积率作为上限，具体表达为如下形式：

式中，N_e表示设计域中的总单元个数。

对于设计域内的多种材料，需要进行插值。采用传统的变密度法，变密度法为结构拓扑优化的有效方法，其插值模型将离散的设计问题转化为连续设计变量的求解。为了消除中间密度的数量，要引入人工惩罚方案进行计算。

两相材料的等效弹性模量具体表示为如下形式：

式中，ρ₁∈[0,1]为设计变量，表示单元的相对密度；E₁和E₂分别为两相材料的弹性模量；惩罚因子p＝3；对于空相，则令E₂＝1.0×10^-6E₁，以避免结构分析中总体刚度矩阵的奇异；当结构中含有N_e个单元时，共有N_e个设计变量。

当设计域内含有三种材料时，对于三相材料(两相实体和空相)的拓扑优化插值方法按照以下算法实施：

E⁽³⁾(ρ₁,ρ₂)＝ρ₂ ^p(ρ₁ ^pE₁+(1-ρ₁ ^p)E₂)+(1-ρ₂ ^p)E₃

＝ρ₂ ^p(E⁽²⁾(ρ₁))+(1-ρ₂ ^p)E₃；

式中，ρ₁,ρ₂∈[0,1]为设计变量；在该问题中，当结构中含有N_e个单元时，共有2×N_e个设计变量，设计变量的个数为两相材料问题的二倍，优化模型的非线性程度增加，求解难度增大。

当设计域中的材料总数超过3相时，设定“k”表示设计域中的材料相数，其等效弹性模量表示为如下形式：

式中，E_k为第k相材料的实际弹性模量；设计变量为ρ₁,ρ₂,…,ρ_k-1，ρ_k-1表示单元中前k-1相材料占前k相材料在单元中的比例；设计变量的个数为(k-1)×N_e。

对于材料i，在单元e中所占的实际比例用ξ_i,j表示，具体算法如下：

实际上，为了能避免多相材料优化模型非线性程度过高造成难于收敛的现象，非常有必要探索出多相材料拓扑优化方法。

发明内容

本发明的目的在于提供一种内序列多相材料拓扑优化方法，能避免多相材料优化模型非线性程度过高造成难于收敛的现象。

本发明所采用的技术方案是，一种内序列多相材料拓扑优化方法，具体按照以下步骤实施：

步骤1、建立设计域的有限元模型，初始化算法中的参数，对材料按照模量大小进行降序排列，同时令外迭代编号N_out＝1，内迭代编号i＝1；

步骤2、经步骤1后，对第i次子问题寻找最优解；

步骤3、设定i＝m，即所有材料的体积约束被满足，则继续进行下一步，即转入步骤4；

步骤4、经步骤3后，判断是否收敛；

经计算后，若满足收敛，则继续进行步骤5的处理；

反之，则令N_out＝N_out+1，之后返回步骤2；

步骤5、停止，完成优化。

步骤1具体按照以下步骤实施：

步骤1.1、建立设计域的有限元模型，初始化算法中的参数，对材料按照模量大小进行降序排列，并标记为M₁到M_m，使其弹性模量满足E₁＞E₂＞…＞E_m；

步骤1.2、经步骤1.1后，令设计变量

表示每一相材料在单元e中所占的体积分数，对于该单元，设计变量的和满足如下关系：

在刚度设计中，优化的目标是结构的平均柔度最小化，同时满足给定的体积约束，该优化模型具体如下：

式中：设计变量表示单元e中第i相材料的体积分数；C是结构的平均柔度；F为总体节点力矢量；U表示整体位移矢量；K为总刚度矩阵；m指该优化中所涉及的材料总相数，包含空相；N_e表示设计域中的单元总数；f_i为第i相材料在结构中所占的体积分数；V_Ω为设计域中的单元总体积；x^min为设计变量的最小相对密度，且不小于0。

步骤2具体按照以下步骤实施：

步骤2.1、第i相材料的子优化模型具体表示为如下形式：

式中，x^max取决于已经更新的前i-1相材料的体积分数。

步骤2.2、经步骤2.1后，对该子优化使用进行设计变量更新：

在优化i相材料时，设计变量在第i次子优化的第k次迭代按照如下算法进行更新：

式中，

Δρ表示移动步长上限，这里取为0.1；β_e通过最优条件获得，具体算法如下：

式中，λ为体积约束的拉格朗日乘子；

表示i相材料在单元e的最大体积分数，具体表示为如下形式：

步骤2.3、通过步骤2.2更新后的单元设计变量计算设计域内单元的等效弹性模量，具体按照以下算法实施：

步骤4中，算法的收敛性由两个因素决定：

其中一个因素是设计变量的改变量，具体算法如下：

式中，收敛容差η取为0.001；

另一个因素为最大迭代次数N_out，在计算中取为200。

本发明的有益效果在于：

(1)本发明一种内序列多相材料拓扑优化方法，通过优化问题的转化，能轻易应用于具有较多相材料的拓扑优化中，使多相材料的优化应用于实际工程成为了可能，通过优化的方法，能缩短产品设计周期，大大降低了研发成本。

(2)本发明一种内序列多相材料拓扑优化方法，解决了多相材料布局难于求解的问题，节省计算时间，主要从以下三个方面提高计算效率：①每个子优化问题中仅有一个材料参与优化，设计变量更新速度快，易收敛；②每一个优化子步迭代步数较少，总体运算效率较传统方案高；③子问题在寻找最优解时简单，优化问题的非线性程度极低。

具体实施方式

下面结合具体实施方式对本发明进行详细说明。

本发明一种内序列多相材料拓扑优化方法的原理在于：在优化循环内部加入一层内部循环，并在内层循环中对每一相材料依次进行优化，再将优化的结果作为下一次外循环中各个设计变量的初始值，在不断的外循环中逼近最优结果。

本发明一种内序列多相材料拓扑优化方法，具体按照以下步骤实施：

步骤1、建立设计域的有限元模型，初始化算法中的参数，对材料按照模量大小进行降序排列，同时令外迭代编号N_out＝1，内迭代编号i＝1，具体按照以下步骤实施：

步骤1.1、建立设计域的有限元模型，初始化算法中的参数，对材料按照模量大小进行降序排列，并标记为M₁到M_m，使其弹性模量满足E₁＞E₂＞…＞E_m；

步骤1.2、经步骤1.1后，令设计变量

表示每一相材料在单元e中所占的体积分数，对于该单元，设计变量的和满足如下关系：

在刚度设计中，优化的目标是结构的平均柔度最小化，同时满足给定的体积约束，该优化模型具体如下：

式(2)中：设计变量

表示单元e中第i相材料的体积分数；C是结构的平均柔度；F为总体节点力矢量；U表示整体位移矢量；K为总刚度矩阵；m指该优化中所涉及的材料总相数(包含空相)；N_e表示设计域中的单元总数；f_i为第i相材料在结构中所占的体积分数；V_Ω为设计域中的单元总体积；x^min为设计变量的最小相对密度，且不小于0。

步骤2、经步骤1后，对第i次子问题寻找最优解，具体按照以下步骤实施：

步骤2.1、第i相材料的子优化模型具体表示为如下形式：

式(3)中，x^max取决于已经更新的前i-1相材料的体积分数。

步骤2.2、经步骤2.1后，对该子优化使用进行设计变量更新：

在优化i相材料时，设计变量在第i次子优化的第k次迭代按照如下算法进行更新：

式(4)中，

Δρ表示移动步长上限，这里取为0.1；β_e通过最优条件获得，具体算法如下：

式(5)中，λ为体积约束的拉格朗日乘子；

表示i相材料在单元e的最大体积分数，具体表示为如下形式：

步骤2.3、通过步骤2.2更新后的单元设计变量计算设计域内单元的等效弹性模量，具体按照以下算法实施：

步骤3、设定i＝m，即所有材料的体积约束被满足，则继续进行下一步(即转入步骤4)；

否则要令i＝i+1，之后重新转入步骤2。

步骤4、经步骤3后，判断是否收敛；

算法的收敛性由两个因素决定：

其中一个因素是设计变量的改变量，具体算法如下：

式中，收敛容差η取为0.001；

另一个因素为最大迭代次数N_out，在计算中取为200；

经计算后，若满足收敛，则继续进行步骤5的处理；

反之，则令N_out＝N_out+1，之后返回步骤2。

步骤5、停止，完成优化；

在一次完整的内循环中，要依次对所有的原材料进行优化，将优化得到的结果作为下一次外循环的初始值，重复计算直至优化完成。

本发明一种内序列多相材料拓扑优化方法，将原始的多相材料拓扑优化问题转化为多个子优化问题，每一个子优化问题可以被当作传统的SIMP问题求解。由于子问题在寻找最优解时简单，所以本发明一种内序列多相材料拓扑优化方法，能轻易应用于具有较多相材料的拓扑优化设计中。

Claims (3)

1.一种内序列多相材料拓扑优化方法，其特征在于，具体按照以下步骤实施：

步骤1、建立设计域的有限元模型，初始化算法中的参数，对材料按照模量大小进行降序排列，同时令外迭代编号N_out＝1，内迭代编号i＝1；

步骤2、经步骤1后，对第i次子问题寻找最优解；步骤2具体按照以下步骤实施：

步骤2.1、第i相材料的子优化模型具体表示为如下形式：

式中，设计变量表示单元e中第i相材料的体积分数；C是结构的平均柔度；F为总体节点力矢量；U表示整体位移矢量；K为总刚度矩阵；m指该优化中所涉及的材料总相数，包含空相；N_e表示设计域中的单元总数；f_i为第i相材料在结构中所占的体积分数；V_Ω为设计域中的单元总体积；x^min为设计变量的最小相对密度，且不小于0，x^max取决于已经更新的前i-1相材料的体积分数；

步骤2.2、经步骤2.1后，对该子优化使用进行设计变量更新：

在优化i相材料时，设计变量在第i次子优化的第k次迭代按照如下算法进行更新：

式中，Δρ表示移动步长上限，这里取为0.1；β_e通过最优条件获得，具体算法如下：

式中，λ为体积约束的拉格朗日乘子；

表示i相材料在单元e的最大体积分数，具体表示为如下形式：

步骤2.3、通过步骤2.2更新后的单元设计变量计算设计域内单元的等效弹性模量，具体按照以下算法实施：

步骤3、设定i＝m，即所有材料的体积约束被满足，则继续进行下一步，即转入步骤4；

步骤4、经步骤3后，判断是否收敛；

经计算后，若满足收敛，则继续进行步骤5的处理；

反之，则令N_out＝N_out+1，之后返回步骤2；

步骤5、停止，完成优化。

2.根据权利要求1所述的一种内序列多相材料拓扑优化方法，其特征在于，所述步骤1具体按照以下步骤实施：

步骤1.1、建立设计域的有限元模型，初始化算法中的参数，对材料按照模量大小进行降序排列，并标记为M₁到M_m，使其弹性模量满足E₁＞E₂＞…＞E_m；

步骤1.2、经步骤1.1后，令设计变量

表示每一相材料在单元e中所占的体积分数，对于该单元，设计变量的和满足如下关系：

3.根据权利要求1所述的一种内序列多相材料拓扑优化方法，其特征在于，所述步骤4中，算法的收敛性由两个因素决定：

其中一个因素是设计变量的改变量，具体算法如下：

式中，收敛容差η取为0.001；

另一个因素为最大迭代次数N_out，在计算中取为200。