CN106570882A - 混合高斯分布模型的活动轮廓图像分割方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于混合高斯分布模型的活动轮廓图像分割方法，其包括：根据现有活动轮廓模型LGDF提出一种新的同时考虑图像全局范围内灰度的高斯分布与局部范围内灰度的高斯分布特性，然后将两种不同范围内的高斯分布模型整合到一个能量泛函中，以有效利用图像的全局信息与局部信息在图像分割中的作用；此外，为了保证分割结果曲线的光滑性和不合理弯曲造成的曲线长度问题，距离偏移和曲线长度两种不同的惩罚约束项被引入到能量泛函中；最后，以变分水平集的方法执行能量泛函的求解，实现目标轮廓的全自动提取。本发明公开基于混合高斯分布模型的活动轮廓图像分割方法能够在不同图像背景和灰度均匀性情况下较为准确地提取图像中的目标物体。

Description

混合高斯分布模型的活动轮廓图像分割方法

技术领域

本发明属于图像分割与目标探测领域，具体涉及一种混合高斯分布模型的活动轮廓图像分割方法。

背景技术

图像分割是一个根据图像灰度特性使图像中的目标物体与背景区域彼此分离的影像处理技术，该技术能够加深人们对图像理解与分析、计算机视觉、以及目标探测等领域的认识，而得到深入的研究和广泛的应用。在图像分割领域，人们提出了各种各样的算法提出目标物体，包括区域生长法、基于分类的分割法、分水岭算法、以及活动轮廓模型等算法；其中，基于活动轮廓模型的分割算法是较为热门的一个研究分支，该类算法能够得到具有较高分割精度且轮廓曲线平滑的分割结果。然而，基于活动轮廓模型的分割算法不仅与图像的背景复杂性和灰度分布均匀性有关，而且与轮廓模型具有的特性密切相关。如何有效构建一个好的轮廓模型是一个需要考虑多方面因素(如图像噪声、背景复杂性、图像对比度、灰度不均等)的复杂问题。此为，充分利用图像本身的特性构建一个具有较强前景背景辨别力的轮廓模型是图像分割必须考虑的重要问题。

为使活动轮廓模型能够具有较强的图像前景与背景辨别能力，同时能够有效降低和避免图像对比度低、噪比大、及灰度不均匀严重等不利条件的影响，就需要从图像全局与局部范围内考虑目标物体与背景区域间的图像纹理关系。常见的做法是在一定大小的图像局部区域内考虑每个像素与局部灰度均值之间的关系，通过合理使用局部灰度均值这一重要信息量构建一个活动轮轮廓模型，执行图像的分割任务。因此，如何构建一个轮廓模型同时兼顾图像全局与局部灰度信息，并以一个高效的方式将两种信息整合到一起，成为基于活动轮廓模型进行图像分割面临的一个具有挑战性的任务。

基于活动轮廓模型的图像分割算法经过几十年的发展，已有大量的活动轮廓模型被提出来用于各种不同的图像分割应用中。这些活动轮廓分割算法根据模型中能量泛函中使用图像信息的不同，通常被粗略地分为基于边界(edge-based)和基于区域(region-based)的活动轮廓模型。基于边界的活动轮廓模型一般使用图像梯度近似目标物体的边界，吸引初始轮廓曲线向目标物体靠近。由于图像梯度的计算依赖于局部范围内的像素灰度信息，从而导致基于边界的算法对图像噪声和初始轮廓曲线的位置较为敏感。当图像噪声较为严重或者初始轮廓曲线偏离目标物体边界较为严重，将直接影响活动轮廓模型分割算法的性能，使分割结果较为粗糙而无法满足实际的目标分割需求。这些不足导致该类算法只能分割具有较强灰度对比度噪声较小的图像，且提供好的初始轮廓曲线。这直接导致基于区域的活动轮廓模型的流行，但基于区域的模型需要克服像素灰度分布不均的问题，以避免在分割目标物体的时候将不相关的背景信息一同提取出来。

发明内容

为了解决上述技术问题，本发明主要针对基于区域的活动轮廓模型分割算法存在的上述不足，提出一种混合高斯分布模型的活动轮廓图像分割方法，以解决图像中复杂背景信息和严重灰度不均匀特性导致的分割结果粗略，准确性低以及较为耗时等问题，从而准确完整地提取图像中具有不同形状和大小的目标物体。

实现本发明目的的思路为：借鉴现有的LGDF活动轮廓模型，通过该模型中像素灰度的高斯分布模型，可以分析出在图像全局范围内的像素灰度高斯分布模型。在全局范围内，根据像素灰度的高斯分布模型可以构建一个全局高斯分布的拟合能量泛函(globalGaussian distribution fitting energy，GGDF)，同时为了充分利用图像的局部纹理信息，还需要对GGDF模型分割算法进行改进，以引入局部灰度信息，达到准确完整地分割出目标物体的目的。具体改进步骤如下：

为了达到上述目的，本发明的技术方案如下：

混合高斯分布模型的活动轮廓图像分割方法，具体包括以下内容：

在全局图像区域内计算像素灰度的高斯分布模型，并借鉴LGDF模型提出一个全局高斯分布的能量泛函，即GGDF模型；

然后在局部区域内，求解像素灰度的高斯分布模型，并用局部灰度平均值替换GGDF模型中的像素灰度全局平均值，进而得到一个同时考虑图像全局与局部灰度的混合高斯分布的能量泛函，对改进后的GGDF模型的能量泛函中引入轮廓曲线约束项；

通过变分求解框架模块构建能量泛函后，使用变分水平集的求解框架进行数学计算，即目标物体的轮廓以高维度隐式水平集的方法表示，然后通过梯度下降流和欧拉-拉格朗日方程将能量泛函转化为一个与时间相关的偏微分方程，通过逐次迭代的方式推动初始轮廓曲线的演化直到轮廓曲线得到所需目标物体的边界而得到能量泛函的最优值。

进一步，在上述方法中，根据现存的LGDF活动轮廓模型，建立图像全局与局部范围内像素灰度的高斯分布模型，其中，局部高斯分布模型可参考LGDF模型得到计算公式为：

公式中，x为第i个局部区域的中心像素坐标，y为该邻域内的任意像素点的坐标位置，u_i(x)和σ_i(x)分别为局部范围内的灰度权重平均值和标准差，ω(x，y)用于限定图像的局部区域，a和τ分别为尺度参数；

根据灰度局部高斯分布模型，可得到图像全局范围内的灰度高斯分布公式：

式中，i用以标识图像中的前景或背景区域，c_i和σ_i分别为全局范围内前景或背景像素灰度的平均值和标准差。

进一步，在上述方法中，为了同时使用图像全局与局部范围内像素灰度的高斯分布模型，构建一个混合高斯分布的能量泛函具体步骤如下：

借鉴现有的LGDF活动轮廓模型，构建一个仅基于图像全局的GGDF活动轮廓模型，用以区分全局范围内所需的目标物体与图像背景，GGDF模型的具体计算公式如下：

其中，λ_i为图像范围内前景或背景像素高斯分布模型对应的权重参数；

对GGDF模型进行适当的修改，并将图像局部信息引入到该模型中改善模型的图像分割性能，具体的做法是：将GGDF模型中的灰度平均值c_i和标准差σ_i替换为：

改进后的GGDF模型同时使用了图像全局与局部灰度信息，因而能够更好地分割所需目标物体，并到达图像分割的全局最优解；

对在GGDF模型的能量泛函中增加两个轮廓曲线的惩罚约束项，它们的计算公式为：

其中，υ，μ分别为轮廓曲线平滑性和曲线长度的权重系数；φ(x)为零水平集函数，H(·)为单位阶跃函数。

进一步，在上述方法中，变分求解框架中所述的求解能量泛函的步骤如下：

变分水平集方法中梯度下降流的计算公式为：

根据该公式将能量泛函转化为偏微分方程的形式为：

本发明一种混合高斯分布模型的活动轮廓图像分割方法能够较为准确完整地提取图像中各种不同形状与大型的目标物体，为图像分析与理解提供有效的辅助。

附图说明

图1是本发明实施例提供的混合高斯分布模型的活动轮廓图像分割方法流程图；

图2A-D是本发明仿真实验中的原始图像、初始轮廓曲线、迭代50和100次的中级结果图之一；

图3A-D是本发明仿真实验中的原始图像、初始轮廓曲线、迭代50和100次的中级结果图之二；

图4A-D是本发明仿真实验中的原始图像、初始轮廓曲线、迭代50和100次的中级结果图之三；

图5A-C是本发明仿真实验中的原始图像、初始轮廓曲线、以及最终分割结果图之一；

图6A-C是本发明仿真实验中的原始图像、初始轮廓曲线、以及最终分割结果图之二；

图7是本发明的方法与现有活动轮廓模型算法在图像分割中的结果对比图之一；

图8是本发明的方法与现有活动轮廓模型算法在图像分割中的结果对比图之二。

具体实施方式

下面结合附图详细说明本发明的优选实施方式。

为了达到本发明的目的，混合高斯分布模型的活动轮廓图像分割方法的其中一些实施例中，

如图1所示，本发明混合高斯分布模型的活动轮廓图像分割算法，包括如下步骤：

步骤1，构建一种新的全部高斯分布模型模拟像素灰度的统计分布

根据现有的LGDF(local Gaussian distribution fitting energy，LGDF)模型中的局部像素灰度高斯分布模型计算公式提出它的一种一般化灰度分布模型从而得到全局范围内像素灰度的高斯分布模型计算公式

借鉴现有的LGDF模型可以得到一种新的基于全局高斯分布模型的GGDF活动轮廓模型。

步骤2，基于混合高斯分布模型的能量泛函

在GGDF模型中，只有图像全局范围内的像素灰度信息被应用于图像分割中，而其他大量的重要图像信息被忽略掉，导致GGDF模型在图像分割中存在分割精度低图像分割不完整的问题。

为了克服图像分割中的这些不足，有必要在该模型中增加图像的局部信息，以提升活动轮廓模型对局部纹理信息的识别能力，达到有效区分图像中所需的目标物体和不相关的背景信息的目的。

此外，为了以更好地整合形式整合图像全局与局部信息，我们将GGDF模型中的全局灰度平均值替换为局部灰度平均值而不引入另外的权重参数。

同时，使用图像的全局与局部灰度信息能够充分分割出所需的目标物体，但是在分割过程中通常需要耗费较长的时间，且分割的轮廓曲线存在不必要的弯曲。

为此，需要在改进后的能量泛函中引入两种不同的约束项，以惩罚轮廓曲线不必要的弯曲和偏移水平集曲线距离函数。

结合能量泛函和正则化约束项后，就可以得到最终的活动轮廓模型，使用该模型进行目标提取，其获取的目标物体轮廓曲线将是较为平滑的。

步骤3，变分求解框架

对最终生成的目标函数进行最小化处理，并使用变分法将其转化为偏微分方程的求解，即使用梯度下降流和欧拉-拉格朗日方程获得所需的一个关于时间的偏微分方程，并以迭代逼近的方式获取最终的目标轮廓。

具体求解微分方程为：

步骤4，图像目标轮廓提取

以迭代的方式求解偏微分方程需要设置初始的轮廓曲线，并设定曲线内表示目标所在的区域，曲线外为图像背景区域。在微分方程的迭代计算下，轮廓曲线逐渐逼近所求目标的边界，从而将所需的目标提取出来。

下面对本发明提出的混合高斯分布模型的活动轮廓图像分割方法进行仿真验证。

1、仿真条件：

本发明的仿真在Win7-64 Inte1(R) Core(TM) i5-2100 CPU@3.10GHz 3.10 GHzRAM 6GB平台上的MATLAB 2013a软件上进行仿真模拟的，仿真数据选用较为常见的网络数据进行图像分割实验。

2、仿真内容与结果

1)仿真实验1：

本仿真实验使用较为常用的人工合成图像进行目标提取实验，验证算法在图像分割中的有效性，实验结果呈现在图2中：

从待分割图像中，可以明显看出像素灰度分布存在严重的非均匀性，导致目标物体与背景区域在某些局部区域内无法清晰分辨出来，从而可能导致分割算法无法完整分割出目标物体或者在分割目标物体的同时也分割出不必要的背景区域。

图2、图3以及图4展示了三幅不同的实验图像在分割过程中的轮廓曲线变化情况，即图2A-D、图3A-D以及图4A-D分别给出了原始图像、初始轮廓曲线、迭代50和100次的中级结果图、以及最终的分割结果。从图中可以看出，本发明提出的方法能够有效分割出目标物体的轮廓边界且需要相对较少的分割迭代次数。

2)仿真实验2：

本仿真实验使用人工合成图像进行图像分割实验，主要验证算法对不同初始轮廓位置变化的敏感性，分割结果呈现在图5和图6中：图5和图6是本发明仿真实验验证不同初始轮廓曲线对分割结果的影响，图5A-C和图6A-C分别为两幅不同的实验图的原始图像、初始轮廓曲线、以及最终分割结果。

根据图像分割结果可以看出，本发明的方法既可以在不同初始轮廓位置的条件下获得相同的图像分割结果，也可以在严重灰度不均匀情况下完成图像分割任务。

3)仿真实验3：

在本仿真实验中，通过对比本发明的方法与已有的基于区域的活动轮廓模型(即：RSF、LRCV、以及LGDF三种活动轮廓模型)的分割结果，验证本文发明的图像分割有效性。

对比实验使用灰度不均性更为严重的人工合成的图像数据进行的分割对比，实验结果通过分割精度指标(Dice Similarity Coefficient，DSC)、分割所需时间，以及迭代次数三个指标进行量化。它们分别表示如下：

其中，A表示算法的分割结果，B为手工分割结果，∩表示交集操作符，N(·)为给定区域内像素数目求解函数。DSC的取值范围在0到1之间，且DSC越大，表示算法分割越准确。

仿真实验的对比结果以相同的方式呈现在图7和图8中，图7A-F和图8A-F分别为两幅不同的实验图的原始图像、初始轮廓曲线、以及四种活动轮廓模型分割算法结果图(分别为RSF、LRCV、LGDF和本发明的方法)。

从四种活动轮廓模型的分割结果中，能够清楚地发现它们在相同初始轮廓曲线条件下的分割性能差异。具体表现为LGDF模型具有最差的图像分割结果，而本发明的方法具有最优的分割结果；至于RSF和LRCV模型，前者具有更佳的图像分割性能。

此外，还需要特别说明的是，虽然四种算法存在一定的分割性能差异，但是这种差异通常不超过5％。总的说来，在分割精度上，本文发明的方法＞RSF模型＞LRCV模型＞LGDF模型。

对比结果表明，本发明提出的方法在目标提取性能上优于现存的几种活动轮廓模型。

对比实验的分割时间统计结果如表1所示，分割数据大小、迭代次数、分割时间、以及分割精度DSC分别被记录并统计到表1中。

从表1中可以看出：四种活动轮廓模型图像分割算法中，本发明提出的方法在分割时间上是最少的，且分割精度DSC值是最高的。这说明本发明的方法在图像分割中具有较好的分割精度和分割时效性。

表1、RSF，LRCV，LGDF及本发明的方法的分割时间与迭代次数对比

本发明一种混合高斯分布模型的活动轮廓图像分割方法的有益效果如下：

在LGDF活动轮廓模型中，在指定大小的图像局部区域内，像素灰度的概率分布被近似为高斯分布模型。通过该分布模型，局部图像纹理差异被突显出来，以改善活动轮廓模型的分割性能。然而，LGDF模型仅仅考虑了局部范围内像素灰度的高斯分布，而忽略掉图像全局范围内的每个像素的概率分布模型，造成分割结果存在一定误差和分割较为耗时的问题。因此，如何有效利用图像全局范围内的高斯分布模型减少分割结果陷入局部极小值，改善分割的时效性；利用局部范围内灰度的高斯分布模型增加局部信息的分辨力，成为活动轮廓模型图像分割算法的一个合理构想。基于这一构想，我们同时使用图像全局与局部范围内灰度的高斯分布模型，模拟图像全局与局部区域内的纹理特性，并以一种新的构建方式，引出基于混合高斯分布模型的活动轮廓图像分割算法。

为了同时在图像全局与局部范围内将所需的目标物体分割处理，不仅需要全局图像信息约束分割目标函数，限制它的分割结果陷入局部极值，而且需要局部图像信息有效辨别像素邻域内图像前教育背景信息之间的差异。此外，像素灰度的全局与局部高斯分布模型之间的组合方式也对活动轮廓模型算法的图像分割结果有重要的影响。例如，常用的线性加权的组合方式通常需要引入一个组合权重参数以平衡两部分在图像分割中的作用，并且权重参数需要反复试验才能得到一个较好的值，该值还会随图像的不同而不同，因此，它是一个难以取得最优的参数。

为此，在尽量引入新的权重参数的情况下，构建一种新的基于混合高斯分布模型的能量泛函活动轮廓模型，即：首先在全局图像区域内计算像素灰度的高斯分布模型，并借鉴LGDF模型提出一个全局高斯分布的能量泛函(global Gaussian distribution fittingenergy，GGDF)，然后在局部区域内，求解像素灰度的高斯分布模型，并用局部灰度平均值其替换GGDF模型中的像素灰度全局平均值，得到一个兼顾局部与全局图像信息的能量泛函。同时，为保证目标物体轮廓曲线的光滑性和不必要的弯曲，还需引入两个正则约束项，惩罚目标轮廓曲线的不平滑性和不当的曲线长度。

构建能量泛函后，图像中目标对象轮廓的获取便需要最小化能量泛函，常用的能量泛函最小化方法是变分水平集法，求解过程中将目标对象的轮廓以高维度隐式水平集函数的方式表示，然后通过梯度下降流和欧拉-拉格朗日方程将构建的能量泛函转化为一个关于时间的偏微分方程，并通过逐次迭代慢慢逼近到所需分割的目标物体边界，从而求出方程的最优解，获得最终的目标物体轮廓。

基于网络上公开的常用图像分割数据进行的分割实验表明：本发明能够较为准确完整地提取图像中各种不同形状与大型的目标物体，为图像分析与理解提供有效的辅助。

以上的仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明创造构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些都属于本发明的保护范围。

Claims (4)

1.混合高斯分布模型的活动轮廓图像分割方法，其特征在于，具体包括以下内容：

在全局图像区域内计算像素灰度的高斯分布模型，并借鉴LGDF模型提出一个全局高斯分布的能量泛函，即GGDF模型；

然后在局部区域内，求解像素灰度的高斯分布模型，并用局部灰度平均值替换GGDF模型中的像素灰度全局平均值，进而得到一个同时考虑图像全局与局部灰度的混合高斯分布的能量泛函，对改进后的GGDF模型的能量泛函中引入轮廓曲线约束项；

通过变分求解框架模块构建能量泛函后，使用变分水平集的求解框架进行数学计算，即目标物体的轮廓以高维度隐式水平集的方法表示，然后通过梯度下降流和欧拉-拉格朗日方程将能量泛函转化为一个与时间相关的偏微分方程，通过逐次迭代的方式推动初始轮廓曲线的演化直到轮廓曲线得到所需目标物体的边界而得到能量泛函的最优值。

2.根据权利要求1所述的混合高斯分布模型的活动轮廓图像分割方法，其特征在于，

根据现存的LGDF活动轮廓模型，建立图像全局与局部范围内像素灰度的高斯分布模型，其中，局部高斯分布模型可参考LGDF模型得到计算公式为：

$p_{i,x}\left(I\right(y\left)\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\π}}{\mathrm{\σ}}_i\left(x\right)}\exp (-\frac{{\left(u_i\right(x)-I(y\left)\right)}^2}{2{\mathrm{\σ}}_i{\left(x\right)}^2}),i=1,2,\mathrm{...}N$

$\mathrm{\ω}(x,y)=\frac{1}{a}\exp (-\frac{{\left|x-y\right|}^2}{2{\mathrm{\τ}}^2})$

公式中，x为第i个局部区域的中心像素坐标，y为该邻域内的任意像素点的坐标位置，u_i(x)和σ_i(x)分别为局部范围内的灰度权重平均值和标准差，ω(x，y)用于限定图像的局部区域，a和τ分别为尺度参数；

根据灰度局部高斯分布模型，可得到图像全局范围内的灰度高斯分布公式：

$p_i\left(I\right(x\left)\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\π}}{\mathrm{\σ}}_i}\exp (-\frac{{(c_i-I(x\left)\right)}^2}{2{{\mathrm{\σ}}_i}^2}),i=1,2$

式中，i用以标识图像中的前景或背景区域，c_i和σ_i分别为全局范围内前景或背景像素灰度的平均值和标准差。

3.根据权利要求1所述的混合高斯分布模型的活动轮廓图像分割方法，其特征在于，

为了同时使用图像全局与局部范围内像素灰度的高斯分布模型，构建一个混合高斯分布的能量泛函具体步骤如下：

借鉴现有的LGDF活动轮廓模型，构建一个仅基于图像全局的GGDF活动轮廓模型，用以区分全局范围内所需的目标物体与图像背景，GGDF模型的具体计算公式如下：

$E^{HGD}=-\underset{i=1}{\overset{2}{\Σ}}{\mathrm{\λ}}_i{\∫}_{{\mathrm{\Ω}}_i}\log p_i\left(I\right(x\left)\right)H_i\left(\mathrm{\φ}\right)dx+R\left(\mathrm{\φ}\right)$

$p_i\left(I\right(x\left)\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\π}}{\mathrm{\σ}}_i}\exp (-\frac{{(c_i-I(x\left)\right)}^2}{2{{\mathrm{\σ}}_i}^2})$

$c_i=\frac{\∫I\left(y\right)H_i\left(\mathrm{\φ}\right(y\left)\right)dy}{\∫H_i\left(\mathrm{\φ}\right(y\left)\right)dy}$

${\mathrm{\σ}}_i^2=\frac{\∫{\left(I\right(y)-c_i)}^2{H}_i\left(\mathrm{\φ}\right(y\left)\right)dy}{\∫H_i\left(\mathrm{\φ}\right(y\left)\right)dy}$

其中，λ_i为图像范围内前景或背景像素高斯分布模型对应的权重参数；

对GGDF模型进行适当的修改，并将图像局部信息引入到该模型中改善模型的图像分割性能，具体的做法是：将GGDF模型中的灰度平均值c_i和标准差σ_i替换为：

$c_i\left(x\right)=\frac{\∫\mathrm{\ω}(x,y)I\left(y\right)H_i\left(\mathrm{\φ}\right(y\left)\right)dy}{\∫\mathrm{\ω}(x,y)H_i\left(\mathrm{\φ}\right(y\left)\right)dy}$

${\mathrm{\σ}}_i^2\left(x\right)=\frac{\∫\mathrm{\ω}(x,y){\left(I\right(y)-c_i(x\left)\right)}^2{H}_i\left(\mathrm{\φ}\right(y\left)\right)dy}{\∫\mathrm{\ω}(x,y)H_i\left(\mathrm{\φ}\right(y\left)\right)dy}$

改进后的GGDF模型同时使用了图像全局与局部灰度信息，因而能够更好地分割所需目标物体，并到达图像分割的全局最优解；

对在GGDF模型的能量泛函中增加两个轮廓曲线的惩罚约束项，它们的计算公式为：

$R=\mathrm{\υ}\∫|\▿H\left(\mathrm{\φ}\right(x\left)\right)|dx+\mathrm{\μ}\∫\frac{1}{2}{\left(\right|\▿\mathrm{\φ}\left(x\right)|-1)}^{2}dx$

其中，υ，μ分别为轮廓曲线平滑性和曲线长度的权重系数；φ(x)为零水平集函数，H(·)为单位阶跃函数。

4.根据权利要求1所述的混合高斯分布模型的活动轮廓图像分割方法，其特征在于，变分求解框架中所述的求解能量泛函的步骤如下：

变分水平集方法中梯度下降流的计算公式为：

$\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂t}=-\frac{\∂E}{\∂\mathrm{\φ}}$

根据该公式将能量泛函转化为偏微分方程的形式为：

$\frac{\∂\mathrm{\φ}}{\∂t}=\mathrm{\μ}({\▿}^2\mathrm{\φ}-div(\frac{\▿\mathrm{\φ}}{\left|\▿\mathrm{\φ}\right|}\left)\right)+v\mathrm{\δ}\left(\mathrm{\φ}\right)div\left(\frac{\▿\mathrm{\φ}}{\left|\▿\mathrm{\φ}\right|}\right)-\mathrm{\δ}\left(\mathrm{\φ}\right)({\mathrm{\λ}}_1{e}_1-{\mathrm{\λ}}_2{e}_2)$

$e_i=log\sqrt{2\mathrm{\π}}+{\mathrm{log\σ}}_i+\frac{\left(I\right(x)-c_i(x\left)\right)}{2{\mathrm{\σ}}_i^2},i=1,2.$