CN106527144A - 磁悬浮系统的抗干扰轨迹跟踪降阶控制方法 - Google Patents

Abstract

磁悬浮系统的抗干扰轨迹跟踪降阶控制方法，包括以下步骤：获取磁悬浮系统中被控对象的运动微分方程组，并通过非线性滤波器对其进行线性化处理，得到被控对象状态空间方程；根据被控对象与给定跟踪信号组成的扩阶系统建立线性矩阵方程组，并通过其解来构造一个基于输出反馈的结构化控制器，实现对给定信号的跟踪；在未知扰动和噪声的影响下，通过摄动法修正标准型线性矩阵不等式组，构造降阶H无穷输出反馈控制器改善系统抑制未知扰动和噪声的能力。

Description

磁悬浮系统的抗干扰轨迹跟踪降阶控制方法

技术领域

本发明涉及磁悬浮技术领域，具体涉及一种磁悬浮系统的抗干扰轨迹跟踪降阶控制方法。

背景技术

磁悬浮是通过电磁力作用于物体使其克服自身重力保持悬浮的一种新型技术。由于磁悬浮技术具有无接触、功耗低、输出大、污染少等特点，该技术能有效的延长机械设备使用寿命，降低能量损耗，还能应用于真空，高温等特殊环境中。因此与常规技术相比，磁悬浮技术在实际工程实践中得到了更广泛的关注和应用，如磁悬浮列车、高速磁悬浮电机、磁悬浮轴承等。

在对磁悬浮系统实施控制时，由于其系统的不稳定和非线性增加了对其控制的难度。通常在传统工程中采用PID等经典控制算法，该类方法参数调节简单并且易于实现，但磁悬浮系统具有参数不确定性，该类算法很难在高精度和高可靠性的应用工程中达到实际要求。为弥补此类经典控制算法的不足，另一类复杂算法，如智能控制和非线性控制等被尝试应用于磁悬浮领域。此类算法可以很好的解决磁悬浮系统的非线性和模型误差问题，但由于此类算法自身的复杂性，因此很难在实际的磁悬浮系统控制中得到应用。此外，在磁悬浮系统的实际控制中，通常存在来自工作环境和系统内部未知扰动和噪声，而鲁棒控制算法可以有效地抑制扰动和噪声对系统的影响，但该类算法设计的控制器通常阶数较高，所以构造比较复杂且计算量较大。

发明内容

本发明所要解决上述现有技术的不足，提供一种磁悬浮系统的抗干扰轨迹跟踪降阶控制方法，该方法可以通过一个低阶控制器改善磁悬浮系的统对未知扰动和噪声的抑制能力，易于实现，降低了成本，使被控对象的轨迹按给定信号变化，实现对信号的跟踪。

本发明为解决上述技术问题提供了如下解决方案：本发明设计了一种磁悬浮系统的抗干扰轨迹跟踪降阶控制方法。其中，磁悬浮系统包括控制器部分和被控对象；被控对象包括激光位移传感器、功率放大器、电磁铁及小钢球。控制器部分包括降阶H无穷控制器和非线性滤波器，其工作原理如下：先通过求解线性矩阵方程组构造一个结构化控制器，实现对给定信号的跟踪；再通过摄动法修正标准型线性矩阵不等式组，构造降阶H无穷控制器改善系统抑制未知扰动和噪声的能力；同时利用非线性滤波器消除电磁力和模型误差对被控对象的影响。

磁悬浮系统的抗干扰轨迹跟踪降阶控制方法，具体包括：

1)、在磁悬浮系统中获取所述被控对象的运动微分方程组，对其进行线性化处理，并通过非线性滤波器得到磁悬浮系统在消除电磁力和模型误差后的被控对象状态空间方程；

2)、在磁悬浮系统中得到被控对象与给定跟踪信号所组成的扩阶系统，并通过求解线性矩阵方程组构造一个结构化控制器，实现对给定信号的跟踪；

3)、在能量有界的未知扰动和噪声的影响下，通过摄动法修正标准型线性矩阵不等式组，构造降阶H无穷控制器改善系统抑制未知扰动和噪声的能力；

进一步，步骤1)中，获取被控对象的状态空间方程的方法包括以下步骤：

(1.1)所述被控对象中磁悬浮系统的运动微分方程组如下：

其中，s为钢球的位移，i为电磁铁的控制电流，s₀为钢球处于平衡状态时的位移，A为电磁铁中铁芯的导磁截面积，N为电磁铁的线圈匝数，R为电磁铁的线圈电阻，U为电磁铁的电压，i₀为钢球处于平衡状态时电磁铁的控制电流，m为钢球的质量，g为重力加速度，μ₀为空气磁导率，F(i,s)为非线性电磁力，L为电磁铁的静态电感；

(1.2)由于磁悬浮系统有一定的可控范围，所以可在磁悬浮系统的平衡点s₀附近对其进行线性化处理；通过式(1)，可得被控对象中磁悬浮系统的运动微分方程如下：

其中，

接着，通过式(2)，可以得到被控对象的状态空间方程如下：

其中，即小钢球的位移和速度，u为控制增益，f为外部扰动和模型误差，y为观测输出，A_g为动态矩阵，B_u为输入矩阵，B_f为外部扰动和模型误差的常数矩阵，C_g为观测输出矩阵；

(1.3)使用非线性滤波器消除电磁力和模型误差对被控对象的影响；具体步骤如下：

(1.3.1)磁悬浮系统中的非线性滤波器如下：

其中，z₁为钢球位移的估计量，z₂为钢球速度的估计量，z₃为电磁力和模型误差f的估计量，e为输出误差，ω为系统控制带宽，b_u为已知系统参数，y为系统输出，u₀为控制增益，K_d为干扰补偿增益；

(1.3.2)通过非线性滤波器对被控对象电磁力和模型误差f的估计量z₃，可由式(4)，将磁悬浮系统中电磁力和模型误差B_ff消除，同时系统在能量有界的未知扰动和噪声d的影响下的状态空间方程如下所示：

其中，z为外部扰动的输出，C_z为输出矩阵，D_zu和D_zd为常数矩阵；

进一步，步骤2)中，在磁悬浮系统中得到被控对象与给定跟踪信号所组成的扩阶系统，并通过求解线性矩阵方程组构造一个结构化控制器，实现对给定信号的跟踪；具体包括：

(2.1)在磁悬浮系统中，获取被控对象与给定跟踪信号组成的闭环状态空间方程；具体包括：

(2.1.1)引入给定的跟踪信号，其状态空间方程如下：

其中，x_ω为给定信号的状态量，ξ为给定信号的输入，ω_i为给定信号的输出，A_i为动态矩阵，B_i为输入矩阵，C_i为输出矩阵，D_i为常数矩阵。

(2.1.2)将跟踪信号作用于被控对象，由于d为能量有界的外部扰动，不会影响对系统对跟定信号的跟踪，为方便叙述，在这部分可不做考虑，所以由式(5)、(6)，使被控对象的状态空间方程变为如下：

其中，e₀为系统的控制输出，即跟踪误差，C_e为跟踪误差的输出矩阵，D_ω和D_u为跟踪误差的常数矩阵，D_gω为观测输出的常数矩阵；

(2.1.3)通过式(6)、(7)，可以得到被控对象与跟踪信号的闭环系统如下：

其中，A₁₁＝A_g，B₁₂＝B_u，C₁₁＝C_e，C₁₂＝D_ωC_i，C₂₁＝C_g，C₂₂＝D_gωC_i，D₁₁＝D_ωD_i，D₁₂＝D_u，D₂₁＝D_gωD_i；

(2.2)通过求解线性矩阵方程组得到一个结构化控制器，获得被控对象与给定跟踪信号组成的扩阶系统；具体包括：

(2.2.1)在磁悬浮系统中，构造一个结构化控制器：

其中，为动态矩阵，为输入矩阵，为输出矩阵，A_k，B_k，均为常数矩阵，且Π_i和X_i为线性矩阵方程组的解；

(2.2.2)通过上述步骤可得磁悬浮系统中被控对象与给定跟踪信号组成的扩阶系统如下：

其中，为此扩阶系统的状态量，e_G为此扩阶系统的控制输出，y_G为此扩阶系统的观测输出；

更进一步，步骤3)中，在能量有界的未知扰动和噪声的影响下，通过摄动法修正标准型线性矩阵不等式组，构造降阶H无穷控制器改善系统抑制未知扰动和噪声的能力；具体包括：

(3.1)在能量有界的未知扰动和噪声d的影响下，通过式(10)，可得到d与磁悬浮系统所组成的闭环系统状态空间方程如下：

其中，z为外部扰动的输出，为观测输出，为动态矩阵，为输入矩阵，为观测输出矩阵，为输入矩阵，为输出矩阵，和为常数矩阵；

(3.2)根据磁悬浮系统的抗干扰轨迹跟踪降阶控制方法，通过摄动法修正标准型线性矩阵不等式组并对其解值进行迭代；具体包括：

(3.2.1)定义：

其中，T表示矩阵的转置，⊥表示矩阵的核空间，I为单位矩阵，γ为给定的性能指标常数，P和Q为待定未知矩阵；

常数ε_B＞0，ε_r＞0，满足：且||N₁+N₂||表示矩阵的欧式范数，通过式(12)～(14)，可得到线性矩阵不等式组如下：

(3.2.2)对线性矩阵不等式组的解进行迭代，具体步骤如下：

(3.2.2.a)定义矩阵：M＝-N₂+N₁，对M进行奇异值分解，可得：

M＝ZΣV^* (16)

其中，*表示矩阵的共轭转置，Σ为奇异值矩阵，Z和V为酉矩阵；

(3.2.2.b)进一步，定义：

其中，P₀＝P，+表示矩阵的Moore-Penrose逆，W₁₁，W₁₂和W₂₂为常数矩阵；

(3.2.2.c)将P₁-Q^-1进行特征值分解，可得到如下：

P₁-Q^-1＝Θdiag(λ₁,...λ_l,λ_l+1,...λ_n)Θ^T (19)

其中，Θ为酉矩阵，diag()表示对角矩阵，λ₁，λ_l，λ_l+1，λ_n为矩阵P₁-Q^-1的特征值并且为降序排列；

(3.2.2.d)更近一步，将满足ε_r≥λ_l+1≥...≥λ_n的特征值置为0，可通过式(19)，得到并得到如下条件：

其中，rank()表示矩阵的秩，若所求的能使式(20)的条件成立，则满足方法要求；否则，令P₀＝P₁，重复式(17)～(19)，直到结果满足式(20)的条件，求得和Q；

(3.3)通过上述所求和Q，构造降阶H无穷控制器改善系统抑制未知扰动和噪声的能力；具体步骤如下：

(3.3.1)定义：

其中， 和为常数矩阵且满足

通过式(21)～(22)，可以得到一个线性矩阵不等式如下：

其中，为控制器中的参数矩阵，且

所以，可通过上述步骤获得控制器参数，并最后实现了磁悬浮系统的抗干扰轨迹跟踪降阶控制方法。

本发明设计的一种磁悬浮系统的抗干扰轨迹跟踪降阶控制方法，该方法可以通过一个低阶控制器改善磁悬浮系的统对未知扰动和噪声的抑制能力，易于实现，降低了成本，使被控对象的轨迹按给定信号变化，实现对信号的跟踪。

本发明的优点是：针对磁悬浮系统自身的开环不稳定性与系统的非线性，通过一个低阶控制器改善磁悬浮系的统对未知扰动和噪声的抑制能力，同时使磁悬浮系统具备了一定的信号跟踪能力，具有一定的现实意义和理论价值，拓宽了磁悬浮系统的应用领域。

附图说明

图1是本发明方法流程图。

图2是本发明方法的实时实验效果图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和具体效果更加清晰，下面结合附图和实际实验数据对本发明的技术方案作进一步描述。

如图1所示，本发明设计了一种磁悬浮系统的抗干扰轨迹跟踪降阶控制方法。其中，磁悬浮系统包括控制器部分和被控对象；被控对象包括激光位移传感器、功率放大器、电磁铁及小钢球。控制器部分包括降阶H无穷控制器和非线性滤波器，其工作原理如下：先通过求解线性矩阵方程组构造一个结构化控制器，实现对给定信号的跟踪；再通过摄动法修正标准型线性矩阵不等式组，构造降阶H无穷控制器改善系统抑制未知扰动和噪声的能力；同时利用非线性滤波器消除电磁力和模型误差对被控对象的影响。

磁悬浮系统的抗干扰轨迹跟踪降阶控制方法，具体包括：

1)、在磁悬浮系统中获取所述被控对象的运动微分方程组，对其进行线性化处理，并通过非线性滤波器得到磁悬浮系统在消除电磁力和模型误差后的被控对象状态空间方程；

2)、在磁悬浮系统中得到被控对象与给定跟踪信号所组成的扩阶系统，并通过求解线性矩阵方程组构造一个结构化控制器，实现对给定信号的跟踪；

3)、在能量有界的未知扰动和噪声的影响下，通过摄动法修正标准型线性矩阵不等式组，构造降阶H无穷控制器改善系统抑制未知扰动和噪声的能力；

进一步，步骤1)中，获取被控对象的状态空间方程的方法包括以下步骤：

(1.1)所述被控对象中磁悬浮系统的运动微分方程组如下：

其中，s为钢球的位移，i为电磁铁的控制电流，s₀为钢球处于平衡状态时的位移，电磁铁中铁芯的导磁截面积A＝0.00159m²，电磁铁的线圈匝数N＝2450匝，电磁铁的线圈电阻R＝13.8Ω，U为电磁铁的电压，钢球处于平衡状态时电磁铁的控制电流i₀＝0.3943A，钢球的质量m＝94g，重力加速度g＝9.8N/kg，空气磁导率μ₀＝4π×10^-7H/m，F(i,x)为非线性电磁力，电磁铁的静态电感L＝135mH；

(1.2)由于磁悬浮系统有一定的可控范围，所以可在磁悬浮系统的平衡点s₀附近对其进行线性化处理；通过式(1)，可得被控对象中磁悬浮系统的运动微分方程如下：

其中，

接着，通过式(2)，可以得到被控对象的状态空间方程如下：

其中，即小钢球的位移和速度，u为控制增益，f为外部扰动和模型误差，y为观测输出，动态矩阵为输入矩阵为外部扰动和模型误差的常数矩阵为B_f＝0.124，输出矩阵为

(1.3)使用非线性滤波器消除电磁力和模型误差对被控对象的影响；具体步骤如下：

(1.3.1)磁悬浮系统中的非线性滤波器如下：

其中，z₁为钢球位移的估计量，z₂为钢球速度的估计量，z₃为电磁力和模型误差f的估计量，e为输出误差，y为系统输出，u₀为控制增益，系统控制带宽ω＝410Hz，已知系统参数b_u＝7.6367，干扰补偿增益为K_d＝-0.0162；

(1.3.2)通过非线性滤波器对被控对象电磁力和模型误差f的估计量z₃，可由式(4)，将磁悬浮系统中电磁力和模型误差B_ff消除，同时系统在能量有界的未知扰动和噪声d的影响下的状态空间方程如下所示：

其中，z为外部扰动的输出，C_z为输出矩阵，D_zu和D_zd为常数矩阵；

进一步，步骤2)中，在磁悬浮系统中得到被控对象与给定跟踪信号所组成的扩阶系统，并通过求解线性矩阵方程组构造一个结构化控制器，实现对给定信号的跟踪；具体包括：

(2.1)在磁悬浮系统中，获取被控对象与给定跟踪信号组成的闭环状态空间方程；具体包括：

(2.1.1)引入给定的跟踪信号，其状态空间方程如下：

其中，x_ω为给定信号的状态量，ξ为给定信号的输入，ω_i为给定信号的输出，动态矩阵为输入矩阵为输出矩阵为常数矩阵为

(2.1.2)将跟踪信号作用于被控对象，由于d为能量有界的外部扰动，不会影响对系统对跟定信号的跟踪，为方便叙述，在这部分可不做考虑，所以由式(5)、(6)，使被控对象的状态空间方程变为如下：

其中，e₀为系统的控制输出，即跟踪误差，跟踪误差的输出矩阵为C_e＝[1 0]，跟踪误差的常数矩阵为D_ω＝[-1 0]和D_u＝0，观测输出的常数矩阵为

(2.1.3)通过式(6)、(7)，可以得到被控对象与跟踪信号的闭环系统如下：

其中，A₁₁＝A_g，B₁₂＝B_u，C₁₁＝C_e，C₁₂＝D_ωC_i，C₂₁＝C_g，C₂₂＝D_gωC_i，D₁₁＝D_ωD_i，D₁₂＝D_u，D₂₁＝D_gωD_i；

(2.2)通过求解线性矩阵方程组得到一个结构化控制器，获得被控对象与给定跟踪信号组成的扩阶系统；具体包括：

(2.2.1)在磁悬浮系统中，构造一个结构化控制器：

其中，为动态矩阵，为输入矩阵，为输出矩阵，A_k，B_k，均为常数矩阵，且Π_i＝[-256.7863 0]和为线性矩阵方程组的解；

(2.2.2)通过上述步骤可得磁悬浮系统中被控对象与给定跟踪信号组成的扩阶系统如下：

其中，为此扩阶系统的状态量，e_G为此扩阶系统的控制输出，y_G为此扩阶系统的观测输出；

更进一步，步骤3)中，在能量有界的未知扰动和噪声的影响下，通过摄动法修正标准型线性矩阵不等式组，构造降阶H无穷控制器改善系统抑制未知扰动和噪声的能力；具体包括：

(3.1)在能量有界的未知扰动和噪声d的影响下，通过式(10)，可得到d与磁悬浮系统所组成的闭环系统状态空间方程如下：

其中，z为外部扰动的输出，为观测输出，动态矩阵为输入矩阵为观测输出矩阵为外部扰动的输入矩阵为外部扰动的输出矩阵为外部扰动输出的常数矩阵为和观测输出的常数矩阵为

(3.2)根据磁悬浮系统的抗干扰轨迹跟踪降阶控制方法，通过摄动法修正标准型线性矩阵不等式组并对其解值进行迭代；具体包括：

(3.2.1)定义：

其中，T表示矩阵的转置，⊥表示矩阵的核空间，I为单位矩阵，给定的性能指标常数为γ＝0.8688，P和Q为待定未知矩阵；

常数ε_B＝0.1，ε_r＝0.01，满足：且||N₁+N₂||表示矩阵的欧式范数，通过式(12)～(14)，可得到线性矩阵不等式组如下：

(3.2.2)对线性矩阵不等式组的解进行迭代，具体步骤如下：

(3.2.2.a)定义矩阵：

对M进行奇异值分解，可得：

M＝ZΣV^* (16)

其中，*表示矩阵的共轭转置，奇异值矩阵为酉矩阵为

(3.2.2.b)进一步，定义：

其中，P₀＝P，+表示矩阵的Moore-Penrose逆，常数矩阵：

(3.2.2.c)将P₁-Q^-1进行特征值分解，可得到如下：

P₁-Q^-1＝Θdiag(λ₁,...λ_l,λ_l+1,...λ_n)Θ^T (19)

其中，为酉矩阵，diag()表示对角矩阵，λ₁＝7.9179，λ₂＝0.9113，λ₃＝1.658×10^-15，λ₄＝1.8729×10^-15为矩阵P₁-Q^-1的特征值并且为降序排列；

(3.2.2.d)更近一步，将满足ε_r≥λ_l+1≥...≥λ_n的特征值置为0，可通过式(19)，得到并得到如下条件：

其中，rank()表示矩阵的秩，若所求的能使式(20)的条件成立，则满足方法要求；否则，令P₀＝P₁，重复式(17)～(19)，直到结果满足式(20)的条件且求得

(3.3)通过上述所求和Q，构造降阶H无穷控制器改善系统抑制未知扰动和噪声的能力；具体步骤如下：

(3.3.1)定义：

其中， 常数矩阵为： 且满足

通过式(21)～(22)，可以得到一个线性矩阵不等式如下：

其中，为控制器中的参数矩阵，且

所以，如图2所示，可通过上述步骤获得控制器参数，并最后实现了磁悬浮系统的抗干扰轨迹跟踪降阶控制方法。

本发明设计的一种磁悬浮系统的抗干扰轨迹跟踪降阶控制方法，该方法可以通过一个低阶控制器改善磁悬浮系的统对未知扰动和噪声的抑制能力，易于实现，降低了成本，使被控对象的轨迹按给定信号变化，实现对信号的跟踪。

本发明的优点是：针对磁悬浮系统自身的开环不稳定性与系统的非线性，通过一个低阶控制器改善磁悬浮系的统对未知扰动和噪声的抑制能力，同时使磁悬浮系统具备了一定的信号跟踪能力，具有一定的现实意义和理论价值，拓宽了磁悬浮系统的应用领域。

以上结合附图详细说明和陈述了本发明的实施方式，但并不局限于上述方式。在本领域的技术人员所具备的知识范围内，只要以本发明的构思为基础，还可以做出多种变化和改进。

Claims (1)

1.磁悬浮系统的抗干扰轨迹跟踪降阶控制方法，具体包括以下步骤：

1)、在磁悬浮系统中获取所述被控对象的运动微分方程组，对其进行线性化处理，并通过非线性滤波器得到磁悬浮系统在消除电磁力和模型误差后的被控对象状态空间方程；具体包括：

(1.1)所述被控对象中磁悬浮系统的运动微分方程组如下：

$\left\{\begin{array}{c}m\stackrel{\·\·}{s}=F(i,s)+mg\\ F(i,s)=-\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{AN}}^2}{4}{\left(\frac{i}{s}\right)}^2\\ mg+F(i_0,s_0)=0\\ U=Ri+L\stackrel{\·}{i}\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，s为钢球的位移，i为电磁铁的控制电流，s₀为钢球处于平衡状态时的位移，A为电磁铁中铁芯的导磁截面积，N为电磁铁的线圈匝数，R为电磁铁的线圈电阻，U为电磁铁的电压，i₀为钢球处于平衡状态时电磁铁的控制电流，m为钢球的质量，g为重力加速度，μ₀为空气磁导率，F(i,s)为非线性电磁力，L为电磁铁的静态电感；

(1.2)由于磁悬浮系统有一定的可控范围，所以可在磁悬浮系统的平衡点s₀附近对其进行线性化处理；通过式(1)，可得被控对象中磁悬浮系统的运动微分方程如下：

$m\stackrel{\·\·}{s}=\frac{2{\mathrm{\φi}}_0}{s_0^2}i-\frac{2{\mathrm{\φi}}_0^2}{s_0^3}s---\left(2\right)$

其中，

接着，通过式(2)，可以得到被控对象的状态空间方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=A_{g}x+B_{u}u+B_{f}f\\ y=C_{g}x\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中，即小钢球的位移和速度，u为控制增益，f为外部扰动和模型误差，y为观测输出，A_g为动态矩阵，B_u为输入矩阵，B_f为外部扰动和模型误差的常数矩阵，C_g为观测输出矩阵；

(1.3)使用非线性滤波器消除电磁力和模型误差对被控对象的影响；具体步骤如下：

(1.3.1)磁悬浮系统中的非线性滤波器如下：

$\left\{\begin{array}{c}e=z_1-y\\ {\stackrel{\·}{z}}_1=z_2-3\mathrm{\ω}e\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3-3{\mathrm{\ω}}^{2}e+b_u(u_0+K_d{z}_3)\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=-{\mathrm{\ω}}^{3}e\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，z₁为钢球位移的估计量，z₂为钢球速度的估计量，z₃为电磁力和模型误差f的估计量，e为输出误差，ω为系统控制带宽，b_u为已知系统参数，y为系统输出，u₀为控制增益，K_d为干扰补偿增益；

(1.3.2)通过非线性滤波器对被控对象电磁力和模型误差f的估计量z₃，可由式(4)，将磁悬浮系统中电磁力和模型误差B_ff消除，同时系统在能量有界的未知扰动和噪声d的影响下的状态空间方程如下所示：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=A_{g}x+B_u{u}_0\\ z=C_{z}x+D_{zu}u+D_{zd}d\\ y=C_{g}x\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，z为外部扰动的输出，C_z为输出矩阵，D_zu和D_zd为常数矩阵；

2)、在磁悬浮系统中得到被控对象与给定跟踪信号所组成的扩阶系统，并通过求解线性矩阵方程组构造一个结构化控制器，实现对给定信号的跟踪；具体包括：

(2.1)在磁悬浮系统中，获取被控对象与给定跟踪信号组成的闭环状态空间方程；具体包括：

(2.1.1)引入给定的跟踪信号，其状态空间方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_{\mathrm{\ω}}=A_i{x}_{\mathrm{\ω}}+B_i\mathrm{\ξ}\\ {\mathrm{\ω}}_i=C_i{x}_{\mathrm{\ω}}+D_i\mathrm{\ξ}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中，x_ω为给定信号的状态量，ξ为给定信号的输入，ω_i为给定信号的输出，A_i为动态矩阵，B_i为输入矩阵，C_i为输出矩阵，D_i为常数矩阵。

(2.1.2)将跟踪信号作用于被控对象，由于d为能量有界的外部扰动，不会影响对系统对跟定信号的跟踪，为方便叙述，在这部分可不做考虑，所以由式(5)、(6)，使被控对象的状态空间方程变为如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=A_{g}x+B_u{u}_0\\ e_0=C_{e}x+D_u{u}_0+D_{\mathrm{\ω}}{\mathrm{\ω}}_i\\ y=C_{g}x+D_{g\mathrm{\ω}}{\mathrm{\ω}}_i\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，e₀为系统的控制输出，即跟踪误差，C_e为跟踪误差的输出矩阵，D_ω和D_u为跟踪误差的常数矩阵，D_gω为观测输出的常数矩阵；

(2.1.3)通过式(6)、(7)，可以得到被控对象与跟踪信号的闭环系统如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=A_{11}x+B_{12}{u}_0\\ {\stackrel{\·}{x}}_{\mathrm{\ω}}=A_i{x}_{\mathrm{\ω}}+B_i\mathrm{\ξ}\\ e_0=C_{11}x+C_{12}{x}_{\mathrm{\ω}}+D_{12}{u}_0+D_{11}\mathrm{\ξ}\\ y=C_{21}x+C_{22}{x}_{\mathrm{\ω}}+D_{21}\mathrm{\ξ}\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，A₁₁＝A_g，B₁₂＝B_u，C₁₁＝C_e，C₁₂＝D_ωC_i，C₂₁＝C_g，C₂₂＝D_gωC_i，D₁₁＝D_ωD_i，D₁₂＝D_u，D₂₁＝D_gωD_i；

(2.2)通过求解线性矩阵方程组得到一个结构化控制器，获得被控对象与给定跟踪信号组成的扩阶系统；具体包括：

(2.2.1)在磁悬浮系统中，构造一个结构化控制器：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_K=A_K{x}_K+B_{K}y\\ u_0=C_K{x}_K+D_{K}y\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中，为动态矩阵，为输入矩阵，为输出矩阵，A_k，B_k，均为常数矩阵，且Π_i和X_i为线性矩阵方程组的解；

(2.2.2)通过上述步骤可得磁悬浮系统中被控对象与给定跟踪信号组成的扩阶系统如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_G=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ 0& A_i\end{array}\right]x_G+\left[\begin{array}{cc}{B}_{12}& X_i\\ 0& -I\end{array}\right]u_0\\ e_G=\[\begin{array}{cc}{C}_{11}& C_{12}\end{array}\]x_G+D_{12}{u}_0\\ y_G=\[\begin{array}{cc}{C}_{21}& C_{22}\end{array}\]x_G\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中，为此扩阶系统的状态量，e_G为此扩阶系统的控制输出，y_G为此扩阶系统的观测输出；

3)、在能量有界的未知扰动和噪声的影响下，通过摄动法修正标准型线性矩阵不等式组，构造降阶H无穷控制器改善系统抑制未知扰动和噪声的能力；具体包括：

(3.1)在能量有界的未知扰动和噪声d的影响下，通过式(10)，可得到d与磁悬浮系统所组成的闭环系统状态空间方程如下：

其中，z为外部扰动的输出，为观测输出，为动态矩阵，为输入矩阵，为观测输出矩阵，为输入矩阵，为输出矩阵，和为常数矩阵；

(3.2)根据磁悬浮系统的抗干扰轨迹跟踪降阶控制方法，通过摄动法修正标准型线性矩阵不等式组并对其解值进行迭代；具体包括：

(3.2.1)定义：

$N_1={\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{B}}_{12}\\ {\stackrel{\‾}{D}}_{12}\end{array}\right]}^{\⊥}\left[\begin{array}{c}I\\ 0\end{array}\right],N_2={\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{B}}_{12}\\ {\stackrel{\‾}{D}}_{12}\end{array}\right]}^{\⊥}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{A}}_{11}\\ {\stackrel{\‾}{C}}_{11}\end{array}\right]---\left(12\right)$

${\mathrm{\δ}}_B\left(P\right)={\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{B}}_{12}\\ {\stackrel{\‾}{D}}_{12}\end{array}\right]}^{\⊥}\left[\begin{array}{cc}{\stackrel{\‾}{A}}_{11}P+P{\stackrel{\‾}{A}}_{11}^T+{\stackrel{\‾}{B}}_{11}{\stackrel{\‾}{B}}_{11}^T& P{\stackrel{\‾}{C}}_{11}^T+{\stackrel{\‾}{B}}_{11}^T{\stackrel{\‾}{D}}_{11}^T\\ {\stackrel{\‾}{C}}_{11}P+{\stackrel{\‾}{D}}_{11}{\stackrel{\‾}{B}}_{11}^T& {\stackrel{\‾}{D}}_{11}{\stackrel{\‾}{D}}_{11}^T-\mathrm{\γ}I\end{array}\right]{\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{B}}_{12}\\ {\stackrel{\‾}{D}}_{12}\end{array}\right]}^{\⊥T}---\left(13\right)$

${\mathrm{\δ}}_C\left(Q\right)={\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{C}}_{21}^T\\ {\stackrel{\‾}{D}}_{21}^T\end{array}\right]}^{\⊥}\left[\begin{array}{cc}Q{\stackrel{\‾}{A}}_{11}+{\stackrel{\‾}{A}}_{11}^{T}Q+{\stackrel{\‾}{C}}_{11}^T{\stackrel{\‾}{C}}_{11}& Q{\stackrel{\‾}{B}}_{11}+{\stackrel{\‾}{C}}_{11}^T{\stackrel{\‾}{D}}_{11}\\ {\stackrel{\‾}{B}}_{11}^{T}Q+{\stackrel{\‾}{D}}_{11}^T{\stackrel{\‾}{C}}_{11}& {\stackrel{\‾}{D}}_{11}^T{\stackrel{\‾}{D}}_{11}-\mathrm{\γ}I\end{array}\right]{\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{C}}_{21}^T\\ {\stackrel{\‾}{D}}_{21}^T\end{array}\right]}^{\⊥T}---\left(14\right)$

其中，T表示矩阵的转置，⊥表示矩阵的核空间，I为单位矩阵，γ为给定的性能指标常数，P和Q为待定未知矩阵；

常数ε_B＞0，ε_r＞0，满足：且||N₁+N₂||表示矩阵的欧式范数，通过式(12)～(14)，可得到线性矩阵不等式组如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&delta;}}_B\left(P\right)+{\mathrm{\&epsiv;}}_{B}I\&le;0\\ {\mathrm{\&delta;}}_C\left(Q\right)<0\\ \left[\begin{array}{cc}P& I\\ I& Q\end{array}\right]>0\end{array}\right.---\left(15\right)$

(3.2.2)对线性矩阵不等式组的解进行迭代，具体步骤如下：

(3.2.2.a)定义矩阵：M＝-N₂+N₁，对M进行奇异值分解，可得：

M＝ZΣV^* (16)

其中，*表示矩阵的共轭转置，Σ为奇异值矩阵，Z和V为酉矩阵；

(3.2.2.b)进一步，定义：

$P_1=P_0-V\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& W_{22}-W_2^{*}{W}_1^{+}{W}_2\end{array}\right]V^{*}---\left(17\right)$

$W=\left[\begin{array}{cc}{W}_{11}& W_{12}\\ W_{12}^{*}& W_{22}\end{array}\right]=V^{*}(P_0-Q^{-1})V---\left(18\right)$

其中，P₀＝P，+表示矩阵的Moore-Penrose逆，W₁₁，W₁₂和W₂₂为常数矩阵；

(3.2.2.c)将P₁-Q^-1进行特征值分解，可得到如下：

P₁-Q^-1＝Θdiag(λ₁,...λ_l,λ_l+1,...λ_n)Θ^T (19)

其中，Θ为酉矩阵，diag()表示对角矩阵，λ₁，λ_l，λ_l+1，λ_n为矩阵P₁-Q^-1的特征值并且为降序排列；

(3.2.2.d)更近一步，将满足ε_r≥λ_l+1≥...≥λ_n的特征值置为0，可通过式(19)，得到并得到如下条件：

$rank(\hat{P}-Q^{-1})\&le;rank\left(N_1\right)---\left(20\right)$

其中，rank()表示矩阵的秩，若所求的能使式(20)的条件成立，则满足方法要求；否则，令P₀＝P₁，重复式(17)～(19)，直到结果满足式(20)的条件，求得和Q；

(3.3)通过上述所求和Q，构造降阶H无穷控制器改善系统抑制未知扰动和噪声的能力；具体步骤如下：

(3.3.1)定义：

其中， 和为常数矩阵且满足

通过式(21)～(22)，可以得到一个线性矩阵不等式如下：

其中，为控制器中的参数矩阵，且

所以，可通过上述步骤获得控制器参数，并最后实现了磁悬浮系统的抗干扰轨迹跟踪降阶控制方法。