CN106200380A - 基于非线性观测的磁悬浮系统跟踪控制方法 - Google Patents

Abstract

基于非线性观测的磁悬浮系统跟踪控制方法，包括如下步骤：获取所述被控对象中磁悬浮系统的运动微分方程组，并将其进行线性化处理后，得到被控对象的状态空间方程；在所述伺服控制系统中构造一个非线性观测器，将其用来抵消外部干扰及模型误差的影响；通过求解线性矩阵方程组，构造伺服控制器来镇定被控对象和实现对磁悬浮系统信号的跟踪控制。本发明针对磁悬浮系统自身的不稳定与系统的外部扰动和模型误差，进行控制和消除扰动和误差的影响，有效地提高了磁悬浮系统的鲁棒性和抗干扰能力，同时使系统具备了一定的信号跟踪能力，拓宽了磁悬浮系统应用的领域。

Description

基于非线性观测的磁悬浮系统跟踪控制方法

技术领域

本发明涉及磁悬浮技术领域，具体涉及一种基于非线性观测的磁悬浮系统跟踪控制方法。

背景技术

目前，磁悬浮作为一种新型技术得到了广泛的关注，并应用于众多领域，如磁悬浮列车、磁悬浮轴承、高速磁悬浮电机等。与常规技术相比，磁悬浮技术优点显著，如在机械运动的应用中，它具有功耗低、噪音小、污染少等特点，不仅能延长机械设备使用寿命，还能应用在真空，高温等特殊环境中。

在对磁悬浮系统实施控制时，通常采用PID等经典控制算法。该类方法原理简单并且易于实现，但在被控对象的周边环境发生变化时，则需要对算法参数进行重新整定，带来额外的耗时与不便。为弥补PID算法的不足，另一类复杂算法，如鲁棒控制、智能控制及非线性控制等被尝试运用于磁悬浮领域。此类算法虽解决了控制系统的鲁棒性与适应性问题，但由于其对模型精准度要求高，而磁悬浮系统在实际运用中存在多种扰动和模型误差，因此这类方法在磁悬浮系统的控制中实现起来困难重重。

发明内容

本发明所要解决上述现有技术的不足，提供一种基于非线性观测的磁悬浮系统跟踪控制方法，该方法可以消除被控对象的外部扰动和模型误差影响，不仅能镇定磁悬浮系统，还能在此基础上让被控对象的某一指定状态量按给定信号变化，从而实现信号跟踪的目的。

本发明为解决上述技术问题提供了如下解决方案：本发明设计了一种基于非线性观测的磁悬浮系统跟踪控制方法。其中，磁悬浮系统包括伺服控制系统和被控对象；被控对象包括激光位移传感器、功率放大器、电磁铁及小钢球。伺服控制系统包括伺服控制器和非线性观测器，其工作原理如下：通过求解线性矩阵方程组，构造伺服控制器来镇定被控对象和实现对磁悬浮系统信号的跟踪控制；同时结合非线性观测器抵消外部干扰及模型误差的影响。

基于非线性观测的磁悬浮系统跟踪控制方法，具体包括：

1)、获取所述被控对象中磁悬浮系统的运动微分方程组，并将其进行线性化处理后，得到被控对象的状态空间方程；

2)、在所述伺服控制系统中构造一个非线性观测器，将其用来抵消外部干扰及模型误差的影响；

3)、通过求解线性矩阵方程组，构造伺服控制器来镇定被控对象和实现对磁悬浮系统信号的跟踪控制；

进一步，步骤1)中，获取被控对象的状态空间方程的方法包括以下步骤：

(1.1)所述被控对象中磁悬浮系统的运动微分方程组如下：

$\left\{\begin{array}{c}m\stackrel{\·\·}{x}=F(i,x)+mg\\ F(i,x)=-\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{AN}}^2}{4}{\left(\frac{i}{x}\right)}^2\\ mg+F(i_0,x_0)=0\\ U=Ri+L\stackrel{\·}{i}\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，x为钢球的位移，i为电磁铁的控制电流，x₀为钢球处于平衡状态时的位移，i₀为钢球处于平衡状态时电磁铁的控制电流，m为钢球的质量，g为重力加速度，F(i,x)为电磁力，μ₀为空气磁导率，A为电磁铁中铁芯的导磁截面积，N为电磁铁的线圈匝数，U为电磁铁的电压，R为电磁铁的线圈电阻，L为电磁铁的静态电感；

(1.2)由于磁悬浮系统中电磁力F(i,x)和电磁铁的控制电流i、钢球到电磁铁表面的空气间隙之间存在着较复杂的非线性关系，若要用一种基于非线性观测的磁悬浮系统跟踪控制方法，必须对磁悬浮系统中的非线性部分进行线性化处理；由于磁悬浮系统有一定的控制范围，所以对磁悬浮系统进行线性化处理是可行的；磁悬浮系统中电磁力F(i,x)经过线性化处理后如下：

F(i,x)＝F(i₀,x₀)+F_i(i₀,x₀)(i-i₀)+F_x(i₀,x₀)(x-x₀) (2)

其中，F_i(i₀,x₀)为磁悬浮系统中电磁力F(i,x)对电磁铁中控制电流i的偏导数，F_x(i,x)为磁悬浮系统中电磁力F(i,x)对被控对象中钢球位移x的偏导数；

通过式(1)和式(2)，可得被控对象中磁悬浮系统的运动微分方程如下：

$m\stackrel{\·\·}{x}=\frac{2{\mathrm{Ki}}_0}{x_0^2}i-\frac{2{\mathrm{Ki}}_0^2}{x_0^3}x---\left(3\right)$

其中，

(1.3)进一步，通过式(3)，可以得到被控对象的状态空间方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=A_{g}x+B_{u}u+B_{f}f\\ y=Cx\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，x为所述被控对象的状态量即小钢球的位移和速度，u为被控对象的控制增益，f为被控对象的外部扰动和模型误差，y为被控对象的系统输出，A_g为被控对象的动态矩阵，B_u为被控对象的输入矩阵，C为被控对象的输出矩阵，B_f为被控对象外部扰动和模型误差的常数矩阵；

进一步，步骤2)中，在所述伺服控制系统中构造一个非线性观测器，将其用来抵消外部干扰及模型误差的影响，具体包括：

(2.1)伺服控制系统中的非线性观测器如下：

$\left\{\begin{array}{c}e=z_1-y\\ {\stackrel{\·}{z}}_1=z_2-3\mathrm{\ω}e\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3-3{\mathrm{\ω}}^{2}e+b_{u}u\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=-{\mathrm{\ω}}^{2}e\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，e为非线性观测器的输出误差，z₁为非线性观测器对被控对象中钢球位移的估计量，z₂为非线性观测器对被控对象中钢球速度的估计量，z₃为非线性观测器对被控对象的外部扰动和模型误差f的估计量，ω为非线性观测器的系统控制带宽，b_u为被控对象的已知系统参数，y为被控对象的系统输出；

(2.2)通过非线性观测器将被控对象的外部扰动和模型误差进行估计，并通过引入干扰补偿增益K_d将其消除，其中：

$K_d=-\frac{B_u^T{B}_f}{{||B_u||}^2}---\left(6\right)$

||B_u||表示B_u的欧氏范数，T表示矩阵转置；因此，通过式(6)将被控对象的控制增益u变为：

u＝u₀+K_dz₃ (7)

其中，u₀为所述伺服控制系统中的控制增益。

(2.3)由于z₃是观测器对被控对象的外部扰动和模型误差f的估计量，因此，通过式(4)，(6)，(7)，可将伺服控制系统中的非线性环节B_ff消除。并得到被控对象在外部扰动和模型误差消除后的状态空间方程如下所示：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=A_{g}x+B_u{u}_0\\ y=Cx\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，x为所述被控对象的状态量即小钢球的位移和速度，u₀为伺服控制系统中的控制增益，y为被控对象的系统输出；

更进一步，步骤3)中，通过求解线性矩阵方程组，构造伺服控制器来镇定被控对象和实现对磁悬浮系统信号的跟踪控制，具体包括：

(3.1)引入所需跟踪信号，其状态方程如下：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_i=A_{\mathrm{\ω}}{\mathrm{\ω}}_i---\left(9\right)$

其中，ω_i为所述给定信号的状态量，A_ω为给定信号的动态矩阵；

(3.2)通过式(8)，将跟踪信号作用于被控对象，使其被控对象的状态空间方程变为如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=A_{g}x+B_u{u}_0\\ e_0=C_{e}x+D_u{u}_0+D_{\mathrm{\ω}}{\mathrm{\ω}}_i\\ y=Cx\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中，e₀为所述被控对象的控制输出，即跟踪误差，C_e为跟踪误差的输出矩阵，D_u和D_ω为跟踪误差的常数矩阵；

(3.3)最后，所述伺服控制系统中伺服控制器将给定信号作用于系统并使被控对象中小钢球的位移按给定信号变化，实现信号跟踪；具体包括：

(3.3.1)通过式(9)和式(10)将被控对象进行扩阶，其扩阶后的状态空间方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=A_{g}x+B_u{u}_0\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_i=A_{\mathrm{\ω}}{\mathrm{\ω}}_i\\ e_0=C_{e}x+D_u{u}_0+D_{\mathrm{\ω}}{\mathrm{\ω}}_i\\ y=Cx\end{array}\right.---\left(11\right)$

(3.3.2)通过式(11)，根据基于非线性观测的磁悬浮系统跟踪控制方法，可得到如下线性矩阵方程组：

$\left\{\begin{array}{c}-A_{g}X+{\mathrm{XA}}_{\mathrm{\ω}}+B_u{F}_a=0\\ -C_{e}X+D_{\mathrm{\ω}}+D_u{F}_a=0\end{array}\right.---\left(12\right)$

其中，F_a和X为线性矩阵方程组的解；

(3.3.3)通过式(12)所求出的解F_a和X，可以得到所述伺服控制系统中的控制增益u₀，如下：

u₀＝[F₁ F₂] (13)

其中，F₁为所述被控对象的状态反馈增益，且满足矩阵A_g+B_uF₁的特征值都在左半复平面，F₂＝F₁X+F_a；

(3.3.4)通过式(13)描述的控制增益u₀来控制电磁铁的控制电流i₀，使其改变控制对象中电磁铁的电磁力F(i,x)，从而使被控对象中小钢球的位移x按给定信号变化，实现信号跟踪。

本发明设计的一种基于非线性观测的磁悬浮系统跟踪控制方法，通过求解线性矩阵方程组，构造伺服控制器来镇定被控对象和实现对磁悬浮系统信号的跟踪控制；同时结合非线性观测器抵消外部干扰及模型误差的影响。

本发明的优点是：针对磁悬浮系统自身的不稳定与系统的外部扰动和模型误差，进行控制和消除扰动和误差的影响，有效地提高了磁悬浮系统的鲁棒性和抗干扰能力，同时使系统具备了一定的信号跟踪能力，拓宽了磁悬浮系统应用的领域。

附图说明

图1是本发明方法流程图。

图2是本发明方法的实时实验效果图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清晰，下面结合附图和实际实验数据对本发明的技术方案作进一步描述。

如图1所示，本发明设计了一种基于非线性观测的磁悬浮系统跟踪控制方法。其中，磁悬浮系统包括伺服控制系统和被控对象；被控对象包括激光位移传感器、功率放大器、电磁铁及小钢球。伺服控制系统包括伺服控制器和非线性观测器，其工作原理如下：通过求解线性矩阵方程组，构造伺服控制器来镇定被控对象和实现对磁悬浮系统信号的跟踪控制；同时结合非线性观测器抵消外部干扰及模型误差的影响。

基于非线性观测的磁悬浮系统跟踪控制方法，包括以下步骤：

1)、获取所述被控对象中磁悬浮系统的运动微分方程组，并将其进行线性化处理后，得到被控对象的状态空间方程；

2)、在所述伺服控制系统中构造一个非线性观测器，将其用来抵消外部干扰及模型误差的影响；

3)、通过求解线性矩阵方程组，构造伺服控制器来镇定被控对象并实现对磁悬浮系统信号的跟踪控制；

进一步，步骤1)中，获取被控对象的状态空间方程的方法包括以下步骤：

(1.1)所述被控对象中磁悬浮系统的运动微分方程组如下：

$\left\{\begin{array}{c}m\stackrel{\·\·}{x}=F(i,x)+mg\\ F(i,x)=-\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{AN}}^2}{4}{\left(\frac{i}{x}\right)}^2\\ mg+F(i_0,x_0)=0\\ U=Ri+L\stackrel{\·}{i}\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，x为钢球的位移，i为电磁铁的控制电流，F(i,x)为电磁力，U为电磁铁的电压，钢球处于平衡状态时的位移x₀＝0.01m，钢球处于平衡状态时电磁铁的控制电流i₀＝0.3943A，钢球的质量m＝94g，重力加速度g＝9.8N/kg，空气磁导率μ₀＝4π×10^-7H/m，电磁铁中铁芯的导磁截面积A＝0.00159m²，电磁铁的线圈匝数N＝2450匝，电磁铁的线圈电阻R＝13.8Ω，电磁铁的静态电感L＝135mH；

(1.2)由于磁悬浮系统中电磁力F(i,x)和电磁铁的控制电流i、钢球到电磁铁表面的空气间隙之间存在着较复杂的非线性关系，若要用一种基于非线性观测的磁悬浮系统跟踪控制方法，必须对磁悬浮系统中的非线性部分进行线性化处理；由于磁悬浮系统有一定的控制范围，所以对磁悬浮系统进行线性化处理是可行的；磁悬浮系统中电磁力F(i,x)经过线性化处理后如下：

F(i,x)＝F(i₀,x₀)+F_i(i₀,x₀)(i-i₀)+F_x(i₀,x₀)(x-x₀) (2)

其中，F_i(i₀,x₀)为磁悬浮系统中电磁力F(i,x)对电磁铁中控制电流i的偏导数，F_x(i,x)为磁悬浮系统中电磁力F(i,x)对被控对象中钢球位移x的偏导数；

通过式(1)和式(2)，可得被控对象中磁悬浮系统的运动微分方程如下：

$m\stackrel{\·\·}{x}=\frac{2{\mathrm{Ki}}_0}{x_0^2}i-\frac{2{\mathrm{Ki}}_0^2}{x_0^3}x---\left(3\right)$

其中，

(1.3)进一步，通过式(3)，可以得到被控对象的状态空间方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=A_{g}x+B_{u}u+B_{f}f\\ y=Cx\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，x为所述被控对象的状态量即小钢球的位移和速度，u为被控对象的控制增益，f为被控对象的外部扰动和模型误差，y为被控对象的系统输出，被控对象的动态矩阵为被控对象的输入矩阵为被控对象的输出矩阵为C＝[1 0]，被控对象外部扰动和模型误差的常数矩阵为B_f＝0.186；

进一步，步骤2)中，在所述伺服控制系统中构造一个非线性观测器，将其用来抵消外部干扰及模型误差的影响，获取所述被控对象中磁悬浮系统的运动微分方程组，并将其进行线性化处理后，得到被控对象的状态空间方程；具体包括：：

(2.1)所述伺服控制系统中的非线性观测器如下：

$\left\{\begin{array}{c}e=z_1-y\\ {\stackrel{\·}{z}}_1=z_2-3\mathrm{\ω}e\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3-3{\mathrm{\ω}}^{2}e+b_{u}u\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=-{\mathrm{\ω}}^{2}e\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，e为非线性观测器的输出误差，z₁为非线性观测器对被控对象中钢球位移的估计量，z₂为非线性观测器对被控对象中钢球速度的估计量，z₃为非线性观测器对被控对象的外部扰动和模型误差f的估计量，y为所述被控对象的系统输出，非线性观测器的系统控制带宽ω＝410Hz，被控对象的已知系统参数b_u＝7.6367；

(2.2)通过非线性观测器将被控对象的外部扰动和模型误差进行估计，并通过引入干扰补偿增益K_d将其消除，其中：

$K_d=-\frac{B_u^T{B}_f}{{||B_u||}^2}-0.0244---\left(6\right)$

||B_u||表示B_u的欧氏范数，T表示矩阵转置；因此，通过式(6)将被控对象的控制增益u变为：

u＝u₀+K_dz₃ (7)

其中，u₀为所述伺服控制系统中的控制增益；

(2.3)由于z₃是观测器对被控对象的外部扰动和模型误差f的估计量，因此，通过式(4)，(6)，(7)，可将伺服控制系统中的非线性环节B_ff消除。并得到被控对象在外部扰动和模型误差消除后的状态空间方程如下所示：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=A_{g}x+B_u{u}_0\\ y=Cx\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，x为所述被控对象的状态量即小钢球的位移和速度，u₀为所述伺服控制系统中的控制增益，y为所述被控对象的系统输出；

更进一步，步骤3)中，通过求解线性矩阵方程组，构造伺服控制器来镇定被控对象和实现对磁悬浮系统信号的跟踪控制；具体包括：

(3.1)引入所需余弦跟踪信号，其状态方程如下：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_i=A_{\mathrm{\ω}}{\mathrm{\ω}}_i---\left(9\right)$

其中，ω_i为所述给定余弦跟踪信号的状态量，给定信号的动态矩阵为

(3.2)通过式(8)，将跟踪信号作用于被控对象，使其被控对象的状态空间方程变为如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=A_{g}x+B_u{u}_0\\ e_0=C_{e}x+D_u{u}_0+D_{\mathrm{\ω}}{\mathrm{\ω}}_i\\ y=Cx\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中，e₀为所述被控对象的控制输出，即跟踪误差，跟踪误差的输出矩阵为C_e＝[10]，跟踪误差的常数矩阵为D_ω＝[-1 0]，D_u＝0；

(3.3)最后，所述伺服控制系统中伺服控制器将给定信号作用于系统并使被控对象中小钢球的位移按给定信号变化，实现信号跟踪；具体包括：

(3.3.1)通过式(9)和式(10)将被控对象进行扩阶，其扩阶后的状态空间方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=A_{g}x+B_u{u}_0\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_i=A_{\mathrm{\ω}}{\mathrm{\ω}}_i\\ e_0=C_{e}x+D_u{u}_0+D_{\mathrm{\ω}}{\mathrm{\ω}}_i\\ y=Cx\end{array}\right.---\left(11\right)$

(3.3.2)通过式(11)，根据基于非线性观测的磁悬浮系统跟踪控制方法，可得到如下线性矩阵方程组：

$\left\{\begin{array}{c}-A_{g}X+{\mathrm{XA}}_{\mathrm{\ω}}+B_u{F}_a=0\\ -C_{e}X+D_{\mathrm{\ω}}+D_u{F}_a=0\end{array}\right.---\left(12\right)$

其中，F_a和X为所述线性矩阵方程组的解，F_a＝[-256.7863,0]，

(3.3.3)通过式(12)所求出的解F_a和X，可以得到所述伺服控制系统中的控制增益u₀，如下：

u₀＝[F₁ F₂] (13)

其中，所述被控对象的状态反馈增益F₁＝[387.602 14.4041]，且满足矩阵A_g+B_uF₁的特征值都在左半复平面，F₂＝F₁X+F_a＝[130.8157 14.4041]；

(3.3.4)如图2所示，通过式(13)描述的控制增益u₀来控制电磁铁的控制电流i₀，使其改变控制对象中电磁铁的电磁力F(i,x)，从而使被控对象中小钢球的位移x按给定信号变化，实现信号跟踪。

本发明设计的一种基于非线性观测的磁悬浮系统跟踪控制方法，通过求解线性矩阵方程组，构造伺服控制器来镇定被控对象和实现对磁悬浮系统信号的跟踪控制；同时结合非线性观测器抵消外部干扰及模型误差的影响。

本发明的优点是：针对磁悬浮系统自身的不稳定与系统的外部扰动和模型误差，进行控制和消除扰动和误差的影响，有效地提高了磁悬浮系统的鲁棒性和抗干扰能力，同时使系统具备了一定的信号跟踪能力，拓宽了磁悬浮系统应用的领域。

以上结合附图详细说明和陈述了本发明的实施方式，但并不局限于上述方式。在本领域的技术人员所具备的知识范围内，只要以本发明的构思为基础，还可以做出多种变化和改进。

Claims (1)

1.基于非线性观测的磁悬浮系统跟踪控制方法，包括以下步骤：

1)、获取所述被控对象中磁悬浮系统的运动微分方程组，并将其进行线性化处理后，得到被控对象的状态空间方程；具体包括：

(1.1)所述被控对象中磁悬浮系统的运动微分方程组如下：

$\left\{\begin{array}{c}m\stackrel{\·\·}{x}=F(i,x)+mg\\ F(i,x)=-\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{AN}}^2}{4}{\left(\frac{i}{x}\right)}^2\\ mg+F(i_0,x_0)=0\\ U=Ri+L\stackrel{\·}{i}\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，x为钢球的位移，i为电磁铁的控制电流，x₀为钢球处于平衡状态时的位移，i₀为钢球处于平衡状态时电磁铁的控制电流，m为钢球的质量，g为重力加速度，F(i,x)为电磁力，μ₀为空气磁导率，A为电磁铁中铁芯的导磁截面积，N为电磁铁的线圈匝数，U为电磁铁的电压，R为电磁铁的线圈电阻，L为电磁铁的静态电感；

(1.2)由于磁悬浮系统中电磁力F(i,x)和电磁铁的控制电流i、钢球到电磁铁表面的空气间隙之间存在着较复杂的非线性关系，若要用一种基于非线性观测的磁悬浮系统跟踪控制方法，必须对磁悬浮系统中的非线性部分进行线性化处理；由于磁悬浮系统有一定的控制范围，所以对磁悬浮系统进行线性化处理是可行的；磁悬浮系统中电磁力F(i,x)经过线性化处理后如下：

F(i,x)＝F(i₀,x₀)+F_i(i₀,x₀)(i-i₀)+F_x(i₀,x₀)(x-x₀) (2)

其中，F_i(i₀,x₀)为磁悬浮系统中电磁力F(i,x)对电磁铁中控制电流i的偏导数，F_x(i,x)为磁悬浮系统中电磁力F(i,x)对被控对象中钢球位移x的偏导数；

通过式(1)和式(2)，可得被控对象中磁悬浮系统的运动微分方程如下：

$m\stackrel{\·\·}{x}=\frac{2{\mathrm{Ki}}_0}{x_0^2}i-\frac{2{\mathrm{Ki}}_0^2}{x_0^3}x---\left(3\right)$

其中，

(1.3)通过式(3)，可以得到被控对象的状态空间方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=A_{g}x+B_{u}u+B_{f}f\\ y=Cx\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，x为所述被控对象的状态量即小钢球的位移和速度，u为被控对象的控制增益，f为被控对象的外部扰动和模型误差，y为被控对象的系统输出，A_g为被控对象的动态矩阵，B_u为被控对象的输入矩阵，C为被控对象的输出矩阵，B_f为被控对象外部扰动和模型误差的常数矩阵；

2)、在所述伺服控制系统中构造一个非线性观测器，将其用来抵消外部干扰及模型误差的影响；具体包括：

(2.1)伺服控制系统中的非线性观测器如下：

$\left\{\begin{array}{c}e=z_1-y\\ {\stackrel{\·}{z}}_1=z_2-3\mathrm{\ω}e\\ {\stackrel{\·}{z}}_2=z_3-3{\mathrm{\ω}}^{2}e+b_{u}u\\ {\stackrel{\·}{z}}_3=-{\mathrm{\ω}}^{2}e\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，e为非线性观测器的输出误差，z₁为非线性观测器对被控对象中钢球位移的估计量，z₂为非线性观测器对被控对象中钢球速度的估计量，z₃为非线性观测器对被控对象的外部扰动和模型误差f的估计量，ω为非线性观测器的系统控制带宽，b_u为被控对象的已知系统参数，y为被控对象的系统输出；

(2.2)通过非线性观测器将被控对象的外部扰动和模型误差进行估计，并通过引入干扰补偿增益K_d将其消除，其中：

$K_d=-\frac{B_u^T{B}_f}{{||B_u||}^2}---\left(6\right)$

||B_u||表示B_u的欧氏范数，T表示矩阵转置；因此，通过式(6)将被控对象的控制增益u变为：

u＝u₀+K_dz₃ (7)

其中，u₀为所述伺服控制系统中的控制增益；

(2.3)由于z₃是观测器对被控对象的外部扰动和模型误差f的估计量，因此，通过式(4)，(6)，(7)，可将伺服控制系统中的非线性环节B_ff消除；并得到被控对象在外部扰动和模型误差消除后的状态空间方程如下所示：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=A_{g}x+B_u{u}_0\\ y=Cx\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，x为所述被控对象的状态量即小钢球的位移和速度，u₀为伺服控制系统中的控制增益，y为被控对象的系统输出；

3)、通过求解线性矩阵方程组，构造伺服控制器来镇定被控对象和实现对磁悬浮系统信号的跟踪控制；具体包括：

(3.1)引入所需跟踪信号，其状态方程如下：

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_i=A_{\mathrm{\ω}}{\mathrm{\ω}}_i---\left(9\right)$

其中，ω_i为所述给定信号的状态量，A_ω为给定信号的动态矩阵；

(3.2)通过式(8)，将跟踪信号作用于被控对象，使其被控对象的状态空间方程变为如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=A_{g}x+B_u{u}_0\\ e_0=C_{e}x+D_u{u}_0+D_{\mathrm{\ω}}{\mathrm{\ω}}_i\\ y=Cx\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中，e₀为所述被控对象的控制输出，即跟踪误差，C_e为跟踪误差的输出矩阵，D_u和D_ω为跟踪误差的常数矩阵；

(3.3)所述伺服控制系统中伺服控制器将给定信号作用于系统并使被控对象中小钢球的位移按给定信号变化，实现信号跟踪；具体包括：

(3.3.1)通过式(9)和式(10)将被控对象进行扩阶，其扩阶后的状态空间方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=A_{g}x+B_u{u}_0\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_i=A_{\mathrm{\ω}}{\mathrm{\ω}}_i\\ e_0=C_{e}x+D_u{u}_0+D_{\mathrm{\ω}}{\mathrm{\ω}}_i\\ y=Cx\end{array}\right.---\left(11\right)$

(3.3.2)通过式(11)，根据基于非线性观测的磁悬浮系统跟踪控制方法，可得到如下线性矩阵方程组：

$\left\{\begin{array}{c}-A_{g}X+{\mathrm{XA}}_{\mathrm{\ω}}+B_u{F}_a=0\\ -C_{e}X+D_{\mathrm{\ω}}+D_u{F}_a=0\end{array}\right.---\left(12\right)$

其中，F_a和X为线性矩阵方程组的解；

(3.3.3)通过式(12)所求出的解F_a和X，可以得到所述伺服控制系统中的控制增益u₀，如下：

u₀＝[F₁ F₂] (13)

其中，F₁为所述被控对象的状态反馈增益，且满足矩阵A_g+B_uF₁的特征值都在左半复平面，F₂＝F₁X+F_a；

(3.3.4)通过式(13)描述的控制增益u₀来控制电磁铁的控制电流i₀，使其改变控制对象中电磁铁的电磁力F(i,x)，从而使被控对象中小钢球的位移x按给定信号变化，实现信号跟踪。