CN106484965B - 基于点云数据的工业构件仿真安装方法 - Google Patents

基于点云数据的工业构件仿真安装方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于点云数据的工业构件仿真安装方法，从点云数据出发，利用筒形构件的面耦合及轴对齐的几何关系，构建几何约束条件，列出线性方程，通过迭代解求出构件之间仿真安装的变换矩阵，从而实现基于点云数据的工业构件仿真安装。本发明可以改变原有的人工试组装的工作方式，特别是对于大型的工业构件出厂前的试安装检测工作方式。基于点云数据进行仿真安装将充分利用先进的三维激光扫描技术，大大提高工业构件的生产效率。

Description

基于点云数据的工业构件仿真安装方法
技术领域
本发明涉及一种基于点云数据的工业构件仿真安装方法，属于机械加工技术领域。
背景技术
工业构件安装即装配，是指将工业构件结合成为完整的产品的生产，装配的效率及质量将直接影响产品的生产周期及产品的最终质量。传统的工业构件安装过程中，主要靠人工进行复杂的操作完成，这一过程中人的技巧和判断力起到决定作用；安装中借助于实物模型对产品的装配性能进行检验和评价，同时对产品本身的加工质量进行检测。这种基于“实物验证”的安装模式，对设计的任何小的修改都可能导致实物模型的重建，因此是一个费时、费力的过程。随着现代工业的迅速发展，工业构件的结构越来越复杂，一些行业(如：电力行业、桥梁、风电塔筒、船舶等)工业构件的尺寸也越来越大，大型工业构件交付前的检测安装成为生产中面临的难题。
随着虚拟现实技术和计算机仿真技术的发展，基于计算机的数字化虚拟安装即仿真安装在工业生产中广泛应用。这种仿真安装需要建立工业构件的数字化模型，在三维环境下直观地展示出工业零部件的几何形状和空间位置关系，利用该模型在计算机上仿真、分析和评价产品的装配过程，检验和评价产品装配工艺的正确性。利用计算进行虚拟组装的技术远远优于基于实物的工业构件组装。对工业构件进行仿真安装，首先要对已经生产完成的构件进行三维测量，在计算机中利用测量数据构造构件实测模型。传统的三维数据测量方法是使用经纬仪或全站仪对工业构件进行测量，即工业测量的方法，然后将测量数据输入计算机进行建模工作，这也是目前工业构件仿真安装数据采集的主要方法，但这种方法以CAD模型为主体，过多地依赖于CAD软件。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术中的不足，提供一种基于点云数据的工业构件仿真安装方法，解决现有技术中构件采用人工试组装，存在生产效率低下，影响企业生产效益的技术问题。
为解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案是：基于点云数据的工业构件仿真安装方法，包括如下步骤：
步骤一：利用筒形构件的点云数据提取两筒形构件的中心轴线l1、l2，列轴对齐约束方程；
步骤二：利用筒形构件的点云数据对两筒形构件的拼装面进行平面拟合，获得平面G1、G2，设两平面对应的法向量分别是列面耦合约束方程；
步骤三：根据轴对齐约束方程、面耦合约束方程列出轴对齐与面耦合的线性方程，组成构件拼装约束方程组：B8×12X12×1-l8×1＝0，其中：B8×12表示轴对齐与面耦合的线性方程系数矩阵；X12×1表示仿真安装的两构件的进行空间变换时的参数，包括旋转矩阵里的9个方向余旋参和3个位移参数；l8×1表示轴对齐与面耦合的线性方程的常数项矩阵；
步骤四：列方向余弦之间的条件方程：其中：C6×12表示约束限制条件的系数矩阵；表示约束限制条件的常数项矩阵。
步骤五：利用附有限制条件的间接平差解求X12×1，求解变换矩阵H；
步骤六：利用变换矩阵将两工业构件进行拼接，实现工业构件半自动仿真安装。
步骤一的具体步骤如下：
两筒形构件的中心轴线l1、l2满足轴对齐条件：
设P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)是中心轴线l1上不重合的任意两点，P3(x3,y3,z3)，P4(x4,y4,z4)是中心轴线l2上不重合的任意两点，则中心轴线l1的方程可写为：
经旋转平移变换后使两中心轴线重合，设P′3(x′3,y′3,z′3)，P′4(x′4,y′4,z′4)是P3(x3,y3,z3)、P4(x4,y4,z4)变换后对应的两点，变换矩阵其中ai,bi,ci,di均为未知数，ai,bi,ci表示旋转矩阵R的方向余旋，di表示平移矩阵D的平移分量，i＝1,2,3，满足：
x′3＝(a1x3+a2y3+a3z3+d1)，y′3＝(b1x3+b2y3+b3z3+d2)，z′3＝(c1x3+c2y3+c3z3+d3)；
x′4＝(a1x4+a2y4+a3z4+d1)，y′4＝(b1x4+b2y4+b3z4+d2)，z′4＝(c1x4+c2y4+c3z4+d3)；
因P′3，P′4必在l1上，则满足下面两个方程：
将公式(2)拆分为两个等式：同理，公式(3)也可以拆分成两个等式
对进行变换有：
(y2-y1)(x3′-x1)-(x2-x1)(y3′-y1)＝0
进一步代换有：
同理，由公式(2)和(3)拆分出的四个等式均可写成形如公式(4)的关于ai,bi,ci,di，i＝1,2,3的方程。
步骤二的具体步骤如下：
两筒形构件的拼装面满足面耦合关系：对于面耦合情况，两个面的法向量方向相反，设P1(x1,y1,z1)是平面G1上的点、P2(x2,y2,z2)是平面G2上的点，两个耦合面的法向量已知，分别设为建立以下方程：
公式(5)进一步写成：
将公式(6)整理，可得：
两平面耦合，同时满足：
其中：P′2表示两面贴合后平面G2上的点P2在平面G1对应点；P′2由P2经变换得来，所以P′2-P1可表示为：
所以最后可写成：
公式(7)与(10)表示面耦合的约束条件，共四个方程，按公式(7)、(10)列出面耦合约束方程。
拼装约束方程组的具体推导步骤如下：
由于旋转矩阵R的九个方向余旋ai,bi,ci,di，i＝1,2,3中只有三个是独立量，旋转矩阵R是正交矩阵，根据正交矩阵性质九个方向余旋满足以下六个条件:
按公式(4)、(7)和(10)列出面耦合与轴对齐的线性方程，如公式(12)所示：
B8×12X12×1-l8×1＝0 (12)
B8×12表示轴对齐与面耦合的线性方程系数矩阵；X12×1表示仿真安装的两构件的进行空间变换时的参数，包括旋转矩阵里的9个方向余旋参和3个位移参数；l8×1表示轴对齐与面耦合的线性方程的常数项矩阵；
方向余弦之间的条件方程的具体推导步骤如下：
将方程线性化后得方向余弦之间的条件方程，如公式(13)所示：
C6×12表示约束限制条件的系数矩阵；表示约束限制条件的常数项矩阵。
步骤五中求解变换矩阵H的具体步骤如下：
将公式(12)与(13)组成误差方程和限制条件，联合迭代解求12个未知数X12×1＝(a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3,d1,d2,d3)的改正数；计算未知数的最新值；
判断改正数的大小是否满足设定阈值：满足，则退出迭代循环；不满足，则重复步骤三、步骤四和步骤五，最终求得变换矩阵中的未知数，得出变换矩阵。
与现有技术相比，本发明所达到的有益效果是：直接利用点云数据进行工业构件仿真安装，代替构件的人工试组装，可以大大提高生产效率，为构件生产带来效益。
附图说明
图1是本发明的流程图。
图2是采用本发明仿真安装后筒形构件接触面放大图。
具体实施方式
本发明从点云数据出发，利用筒形构件的面耦合及轴对齐的几何关系，构建几何约束条件，列出线性方程，通过迭代解求出构件之间仿真安装的变换矩阵，从而实现基于点云数据的工业构件仿真安装。
下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。
如图1所示，是本发明的流程图。基于点云数据的工业构件仿真安装方法，包括如下步骤：
步骤一：利用筒形构件的点云数据提取两筒形构件的中心轴线l1、l2，列轴对齐约束方程。
两筒形构件的中心轴线l1、l2满足轴对齐条件：
设P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)是中心轴线l1上不重合的任意两点，P3(x3,y3,z3)，P4(x4,y4,z4)是中心轴线l2上不重合的任意两点，则中心轴线l1的方程可写为：
经旋转平移变换后使两中心轴线重合，设P′3(x′3,y′3,z′3)，P′4(x′4,y′4,z′4)是P3(x3,y3,z3)、P4(x4,y4,z4)变换后对应的两点，变换矩阵其中ai,bi,ci,di均为未知数，ai,bi,ci表示旋转矩阵R的方向余旋，di表示平移矩阵D的平移分量，i＝1,2,3，满足：
x′3＝(a1x3+a2y3+a3z3+d1)，y′3＝(b1x3+b2y3+b3z3+d2)，z′3＝(c1x3+c2y3+c3z3+d3)；
x′4＝(a1x4+a2y4+a3z4+d1)，y′4＝(b1x4+b2y4+b3z4+d2)，z′4＝(c1x4+c2y4+c3z4+d3)；
因P′3，P′4必在l1上，则满足下面两个方程：
将公式(2)拆分为两个等式：同理，公式(3)也可以拆分成两个等式
对进行变换有：
(y2-y1)(x3′-x1)-(x2-x1)(y3′-y1)＝0
进一步代换有：
同理，由公式(2)和(3)拆分出的四个等式均可写成形如公式(4)的关于ai,bi,ci,di，i＝1,2,3的方程。
步骤二：利用筒形构件的点云数据对两筒形构件的拼装面进行平面拟合，获得平面G1、G2，设两平面对应的法向量分别是列面耦合约束方程。
两筒形构件的拼装面满足面耦合关系：对于面耦合情况，两个面的法向量方向相反，设P1(x1,y1,z1)是平面G1上的点、P2(x2,y2,z2)是平面G2上的点，两个耦合面的法向量已知，分别设为建立以下方程：
公式(5)进一步写成：
将公式(6)整理，可得：
两平面耦合，同时满足：
其中：P′2表示两面贴合后平面G2上的点P2在平面G1对应点；P′2由P2经变换得来，所以P′2-P1可表示为：
所以最后可写成：
公式(7)与(10)表示面耦合的约束条件，共四个方程，按公式(7)、(10)列出面耦合约束方程。
步骤三：根据轴对齐约束方程、面耦合约束方程列出轴对齐与面耦合的线性方程，组成构件拼装约束方程组：B8×12X12×1-l8×1＝0，其中：B8×12表示轴对齐与面耦合的线性方程系数矩阵；X12×1表示仿真安装的两构件的进行空间变换时的参数，包括旋转矩阵里的9个方向余旋参和3个位移参数；l8×1表示轴对齐与面耦合的线性方程的常数项矩阵；
拼装约束方程组的具体推导步骤如下：
由于旋转矩阵R的九个方向余旋ai,bi,ci,di，i＝1,2,3中只有三个是独立量，旋转矩阵R是正交矩阵，根据正交矩阵性质九个方向余旋满足以下六个条件:
按公式(4)、(7)和(10)列出面耦合与轴对齐的线性方程，如公式(12)所示：
B8×12X12×1-l8×1＝0 (12)
B8×12表示轴对齐与面耦合的线性方程系数矩阵；X12×1表示仿真安装的两构件的进行空间变换时的参数，包括旋转矩阵里的9个方向余旋参和3个位移参数；l8×1表示轴对齐与面耦合的线性方程的常数项矩阵；
设P1(x1,y1,z1)是面G1上的点，P2(x2,y2,z2)是面G2上的点，两个耦合面的法向量已知，分别设为设是一构件的中心轴线la的任意两点(不重合)，是另一构件的中心轴线lb上的任意两点(不重合)。按(4)(7)和(10)列出线性方程(12)后，其系数矩阵B8×12形如：
常数项矩阵l8×1形如：
步骤四：列方向余弦之间的条件方程：其中：C6×12表示约束限制条件的系数矩阵；表示约束限制条件的常数项矩阵。
方向余弦之间的条件方程的具体推导步骤如下：
将方程线性化后得方向余弦之间的条件方程，如公式(13)所示：
其中，约束限制条件的系数矩阵C6×12形如：
约束限制条件的常数项矩阵形如：
步骤五：利用附有限制条件的间接平差解求X12×1，求解变换矩阵H；
将公式(12)与(13)组成误差方程和限制条件，联合迭代解求12个未知数X12×1＝(a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3,d1,d2,d3)的改正数；计算未知数的最新值；
判断改正数的大小是否满足设定阈值：满足，则退出迭代循环；不满足，则重复步骤三、步骤四和步骤五，最终求得变换矩阵中的未知数，得出变换矩阵。
步骤六：利用变换矩阵将两工业构件进行拼接，实现工业构件半自动仿真安装。
如图2所示，是采用本发明仿真安装后筒形构件接触面放大图，表1是筒形构件仿真安装后贴合面误差计算结果。
表1构件仿真安装后贴合面误差计算结果(单位：mm)
通过图2可见，按照本发明方法，可以实现基于点云数据的两筒形构件拼装。计算构件仿真安装后贴合面误差如表1所示，可知，两筒形构件基于点云数据仿真安装后接触面对接精度高、误差小。
本发明可以改变原有的人工试组装的工作方式，特别是对于大型的工业构件出厂前的试安装检测工作方式。基于点云数据进行仿真安装将充分利用先进的三维激光扫描技术，大大提高工业构件的生产效率。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变形，这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。

Claims (5)

1.基于点云数据的工业构件仿真安装方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤一：利用筒形构件的点云数据提取两筒形构件的中心轴线l1、l2，列轴对齐约束方程；
步骤二：利用筒形构件的点云数据对两筒形构件的拼装面进行平面拟合，获得平面G1、G2，设两平面对应的法向量分别是列面耦合约束方程；
步骤三：根据轴对齐约束方程、面耦合约束方程列出轴对齐与面耦合的线性方程，组成筒形构件拼装约束方程组：B8×12X12×1-l8×1＝0，其中：B8×12表示轴对齐与面耦合的线性方程系数矩阵；X12×1表示仿真安装的两筒形构件的进行空间变换时的参数，包括旋转矩阵里的9个方向余弦参数和3个位移参数；l8×1表示轴对齐与面耦合的线性方程的常数项矩阵；
步骤四：列方向余弦之间的条件方程：其中：C6×12表示约束限制条件的系数矩阵；表示约束限制条件的常数项矩阵；
步骤五：利用附有限制条件的间接平差解求X12×1，求解变换矩阵H；
步骤六：利用变换矩阵将两筒形构件进行拼接，实现筒形构件半自动仿真安装。
2.根据权利要求1所述的基于点云数据的工业构件仿真安装方法，其特征在于，步骤一的具体步骤如下：
两筒形构件的中心轴线l1、l2满足轴对齐条件：
设P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)是中心轴线l1上不重合的任意两点，P3(x3,y3,z3)，P4(x4,y4,z4)是中心轴线l2上不重合的任意两点，则中心轴线l1的方程可写为：
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经旋转平移变换后使两中心轴线重合，设P′3(x′3,y′3,z′3)，P′4(x′4,y′4,z′4)是P3(x3,y3,z3)、P4(x4,y4,z4)变换后对应的两点，变换矩阵其中ai,bi,ci,di均为未知数，ai,bi,ci表示旋转矩阵R的方向余旋，di表示平移矩阵D的平移分量，i＝1,2,3，满足：
x′3＝(a1x3+a2y3+a3z3+d1)，y′3＝(b1x3+b2y3+b3z3+d2)，z′3＝(c1x3+c2y3+c3z3+d3)；
x′4＝(a1x4+a2y4+a3z4+d1)，y′4＝(b1x4+b2y4+b3z4+d2)，z′4＝(c1x4+c2y4+c3z4+d3)；
因P′3，P′4必在l1上，则满足下面两个方程：
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将公式(2)拆分为两个等式：同理，公式(3)也可以拆分成两个等式
对进行变换有：
(y2-y1)(x3′-x1)-(x2-x1)(y3′-y1)＝0
进一步代换有：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
同理，由公式(2)和(3)拆分出的四个等式均可写成形如公式(4)的关于ai,bi,ci,di，i＝1,2,3的方程。
3.根据权利要求2所述的基于点云数据的工业构件仿真安装方法，其特征在于，步骤二的具体步骤如下：
两筒形构件的拼装面满足面耦合关系：对于面耦合情况，两个面的法向量方向相反，设P1(x1,y1,z1)是平面G1上的点、P2(x2,y2,z2)是平面G2上的点，两个耦合面的法向量已知，分别设为建立以下方程：
<mrow> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mn>3</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>R</mi> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mi>D</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
公式(5)进一步写成：
<mrow> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>t</mi> <mn>3</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mn>3</mn> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将公式(6)整理，可得：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>d</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>3</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
两平面耦合，同时满足：
<mrow> <msub> <mover> <mi>n</mi> <mi>r</mi> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中：P′2表示两面贴合后平面G2上的点P2在平面G1对应点；P′2由P2经变换得来，所以P2′-P1可表示为：
<mrow> <msub> <mi>HP</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>R</mi> </mtd> <mtd> <mi>D</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <msub> <mi>P</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>P</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mn>3</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
所以最后可写成：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>d</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>d</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>d</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mn>3</mn> </msub> <msub> <mi>z</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
公式(7)与(10)表示面耦合的约束条件，共四个方程，按公式(7)、(10)列出面耦合约束方程。
4.根据权利要求3所述的基于点云数据的工业构件仿真安装方法，其特征在于，拼装约束方程组的具体推导步骤如下：
由于旋转矩阵R的九个方向余旋ai,bi,ci,di，i＝1,2,3中只有三个是独立量，旋转矩阵R是正交矩阵，根据正交矩阵性质九个方向余旋满足以下六个条件:
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>b</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
按公式(4)、(7)和(10)列出面耦合与轴对齐的线性方程，如公式(12)所示：
B8×12X12×1-l8×1＝0 (12)
其中：B8×12表示轴对齐与面耦合的线性方程系数矩阵；X12×1表示仿真安装的两筒形构件的进行空间变换时的参数，包括旋转矩阵里的9个方向余弦参数和3个位移参数；l8×1表示轴对齐与面耦合的线性方程的常数项矩阵；
方向余弦之间的条件方程的具体推导步骤如下：
将方程线性化后得方向余弦之间的条件方程，如公式(13)所示：
<mrow> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mn>6</mn> <mo>&amp;times;</mo> <mn>12</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mn>12</mn> <mo>&amp;times;</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>W</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>6</mn> <mo>&amp;times;</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>
其中：C6×12表示约束限制条件的系数矩阵；表示约束限制条件的常数项矩阵。
5.根据权利要求4所述的基于点云数据的工业构件仿真安装方法，其特征在于，步骤五中求解变换矩阵H的具体步骤如下：
将公式(12)与(13)组成误差方程和限制条件，联合迭代解求12个未知数X1×12＝(a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3,d1,d2,d3)的改正数；计算未知数的最新值；
判断改正数的大小是否满足设定阈值：满足，则退出迭代循环；不满足，则重复步骤三、步骤四和步骤五，最终求得变换矩阵中的未知数，得出变换矩阵。
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