CN106391813B - 基于多点力加载方式的三维曲面拉伸成形方法 - Google Patents

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    • B21—MECHANICAL METAL-WORKING WITHOUT ESSENTIALLY REMOVING MATERIAL; PUNCHING METAL
    • B21D—WORKING OR PROCESSING OF SHEET METAL OR METAL TUBES, RODS OR PROFILES WITHOUT ESSENTIALLY REMOVING MATERIAL; PUNCHING METAL
    • B21D22/00—Shaping without cutting, by stamping, spinning, or deep-drawing
    • B21D22/20—Deep-drawing

Abstract

本发明提供一种多点力加载方式的三维曲面拉伸成形方法，属于金属塑性加工领域。采用多点力加载的方式控制板料的拉伸成形过程，拉伸成形力由排列于模具两侧的加载控制单元施加于板料两端的一系列离散点上，各加载点所施加的拉伸成形力的大小及方向均可独立控制。本发明提供了根据拉伸成形模具型面确定各离散加载点拉伸成形力的方法，通过对各离散点处拉伸成形力的实时控制，以最小的拉伸变形量实现三维曲面零件的拉伸成形过程，从而避免成形缺陷产生，获得大变形量的曲面零件，并可改善板料的贴模过程，减小拉伸成形的工艺余料，节省材料。

Description

基于多点力加载方式的三维曲面拉伸成形方法
技术领域
本发明属于金属塑性加工领域，涉及了一种板料成形方法，适用于大型三维曲面零件的拉伸成形。
背景技术
拉伸成形是大型三维曲面零件的重要加工方法，在飞机蒙皮、高速列车流线型车头蒙皮等制造中广泛应用。传统的板料拉伸成形采用整体式夹钳，拉形过程中钳口对板料施加的拉伸成形力在板料端部横向各点大小与方向都相同，导致板料沿横向分布的伸长量无法控制，造成变形不均，引起破裂、起皱以及滑移线、粗晶等缺陷，这些问题在铝合金、钛合金等变形量可控制范围很小的材料成形时尤为突出。另外，整体加载模式还导致贴模困难，为保证贴模，板料必须留有足够长度的悬空段，导致成形后形成较大的工艺废料。尽管人们已进行了不少研究工作，但传统拉伸成形中存在的成形缺陷、贴模不良等问题很难彻底解决。
采用离散式多点加载的方式，可通过对各加载点拉伸成形力的控制，使板料以拉伸变形量最小的变形方式获得三维曲面，从而避免成形缺陷产生，实现大变形量的曲面零件成形。同时，可解决拉伸成形中的贴模不良等问题，并减少工艺余料，显著节省材料。
发明内容
在传统的板料拉伸成形中，造成各种成形缺陷的主要原因是板料沿横向分布的伸长量无法有效控制，针对这一问题，本发明将提供一种基于多点力加载方式的三维曲面拉伸成形方法，采用多点力加载的方式控制板料拉伸成形过程，拉伸成形力通过加载控制单元施加于板料两端的一系列离散点上，各加载点所施加的拉伸成形力的大小及方向均独立控制，通过对各离散点处拉伸成形力的实时控制，以最小的拉伸变形量实现三维曲面零件的拉伸成形过程，从而避免成形缺陷产生，获得高质量的曲面零件。
本发明的上述目的是通过以下技术方案实现的，结合附图说明如下：
采用基于多点力加载方式的三维曲面拉伸成形方法，以排列于拉形模具左侧的m个左侧加载控制单元及排列于拉形模具右侧的m个右侧加载控制单元作为拉伸成形加载工具，在板料左端部的m个左端离散加载控制点及板料右端部的m个右端离散加载控制点上对板料施加实时控制的拉伸成形力，使板料以拉伸变形伸长量最小的变形方式与模具型面逐渐贴合，获得高质量的拉伸成形曲面零件；所述的m个左侧加载控制单元及m个右侧加载控制单元沿拉形模具的横向均匀分布；每个左侧加载控制单元及每个右侧加载控制单元均由A液压缸、B液压缸及夹料钳组成，每个左端离散加载控制点处所施加的拉伸成形力由一个左侧加载控制单元独立控制，每个右端离散加载控制点处所施加的拉伸成形力由一个右侧加载控制单元独立控制，拉伸成形力的大小与方向的变化通过改变A液压缸与B液压缸内的液体压力来实现。其特征在于，本方法具体步骤如下：
步骤一、基于模具型面上长度最短的模具型面纵向截面轮廓曲线的长度，确定出拉伸成形所需要的坯料的长度，即拉伸成形开始时刻板料的长度，其具体过程为：
1)第k个左侧加载控制单元与第k个右侧加载控制单元构成第k对加载控制单元，第k对加载控制单元之间对应的模具型面纵向截面轮廓线为第k个模具型面纵向截面轮廓线，提取出第k个模具型面纵向截面轮廓线，确定其参数方程Pk(θ)：
其中y为水平方向坐标轴，z为竖直方向坐标轴；参数坐标θ为第k个模具型面纵向截面轮廓线的切线方向与y轴方向的夹角。
2)计算第k个模具型面纵向截面轮廓线的曲线长度Lk：
其中θk1为第k个模具型面纵向截面轮廓线在模具的左边缘处的切线与y轴方向的夹角，θk2第k个模具型面纵向截面轮廓线在模具的右边缘处的切线与y轴方向的夹角；ρk(θ)为第k个模具型面纵向截面轮廓线在参数坐标θ处的曲率半径，由公式(3)计算：
3)在全部的m个模具型面纵向截面轮廓线的长度Lk(k＝1,2,…,m)之中，确定出长度最短的纵向截面轮廓线，记为第k*个纵向截面轮廓线，拉伸成形所需要的坯料左半部分的长度l01由公式(4)计算，右半部分的长度l02由公式(5)计算：
其中δmin为保证塑性变形所需的最小伸长量，δmin＝σy/E，σy为材料的屈服应力，E为材料的弹性模量。
步骤二、确定从拉伸成形开始时刻t＝0到拉伸成形结束时刻t＝T各时刻位于板料左端部的m个左端离散加载控制点与板料右端部的m个右端离散加载控制点所需要的切向及法向的拉伸成形力，其中确定任一时刻t板料两端的第k个离散加载控制点处拉伸成形力的具体过程为：
1)计算t时刻第k对加载控制单元之间变形后的板料轮廓线与拉形模具接触边界点的参数坐标
其中，当i＝1时，为t时刻第k对加载控制单元之间变形后的板料轮廓线与拉形模具的左侧接触边界点的参数坐标当i＝2时，为t时刻第k对加载控制单元之间变形后的板料轮廓线与拉形模具的右侧接触边界点的参数坐标
2)板料的材料的变形抗力符合规律，其中，为等效应力，为等效应变，K为板料的材料强化系数，n为板料的材料应变硬化指数)，第k个左端离散加载控制点处所需要的切向的拉伸成形力Fk1(t)，利用公式(8)计算出t时刻板料右端部的第k个右端离散加载控制点处所需要的切向的拉伸成形力Fk2(t)：
其中b为板料宽度，h为板料厚度，μ为板料与模具之间的摩擦系数；
3)利用公式(9)计算出t时刻板料左、右端部第k个加载点所需要的法向的拉伸成形力Nk1(t)及Nk2(t)：
其中，Nki(t)为第k个左端离散加载控制点处的法向拉伸成形力Nk1(t)；当i＝2时，Nki(t)为第k个右端离散加载控制点处的法向拉伸成形力Nk2(t)。
步骤三、确定从拉伸成形开始时刻t＝0到拉伸成形结束时刻t＝T过程中各时刻位于拉形模具两侧各加载控制单元的A液压缸和B液压缸的液体压力的随时间变化历程，其中确定任一时刻t第k对加载控制单元A液压缸和B液压缸的液体压力的具体过程为：
1)利用公式(10)确定t时刻板料左端的第k个左端离散加载控制点处所需要的沿y轴方向的拉伸成形力利用公式(11)确定t时刻板料右端的第k个右端离散加载控制点处所需要的沿y轴方向的拉伸成形力
其中ΔP是板料两端拉伸成形力之差，
2)利用公式(12)确定t时刻板料左、右两端的第k个加载点所需要的沿z轴方向的拉伸成形力及
其中，当i＝1时，为t时刻板料左端的第k个左端离散加载控制点处z轴方向的拉伸成形力当i＝2时，为t时刻板料左端的第k个右端离散加载控制点处z轴方向的拉伸成形力
3)利用公式(13)确定t时刻拉形模具两侧第k个加载控制单元的A液压缸的液体压力PAki(t)，利用公式(14)确定t时刻拉形模具两侧第k个加载控制单元的B液压缸的液体压力PBki(t)：
其中，当i＝1时，PAki(t)为拉形模具左侧的第k个加载控制单元的A液压缸的液体压力PAk1(t)，PBki(t)为拉形模具左侧的第k个加载控制单元的B液压缸的液体压力PBk1(t)；当i＝2时，PAki(t)为拉形模具右侧的第k个加载控制单元的A液压缸的液体压力PAk2(t)，PBki(t)为拉形模具右侧的第k个加载控制单元的B液压缸的液体压力PBk2(t)；λ＝sinαkicosβki+cosαkisinβki，αki为t时刻拉形模具两侧的第k个加载控制单元的A液压缸的轴线与水平线的夹角，利用公式(15)计算；βki为t时刻拉形模具两侧的第k个加载控制单元的B液压缸的轴线与水平线的夹角，利用公式(16)计算：
其中，dA为初始时刻t＝0时A液压缸的有效长度，dB为初始时刻t＝0时B液压缸的有效长度，α为初始时刻t＝0时A液压缸的轴线与水平线的夹角，β为初始时刻t＝0时B液压缸的轴线与水平线的夹角；当i＝1时，vki＝vk1，vk1为左侧第k个夹料钳y方向的位移，由式(17)计算；当i＝1时，wki＝wk1，wk1为左侧第k个夹料钳z方向的位移，由式(18)计算；当i＝2时，vki＝vk2，vk2为右侧第k个夹料钳y方向的位移，由式(19)计算；当i＝2时，wki＝wk2，wk2为右侧第k个夹料钳z方向的位移，由式(20)计算：
其中lr为夹料钳与拉形模具之间悬空区的长度，lr取100mm～300mm。
步骤四、根据步骤二和步骤三中得到的拉伸成形过程从t＝0到t＝T的各时刻、各加载控制单元A液压缸和B液压缸的液体压力的随时间变化历程，通过各加载控制单元的夹料钳在板料左端离散加载控制点、右端离散加载控制点处对板料施加随时间t变化的拉伸成形力，对板料进行三维曲面的拉伸成形。
与现有技术相比本发明的有益效果是：
1.采用控制各加载控制单元的液压缸的液体压力的方式来控制拉伸成形，控制过程简便、更容易实现；
2.根据使板料纵向纤维拉伸变形伸长量最小的原则，确定板料两端各离散点的拉伸成形力，可避免曲面成形过程中各种缺陷的产生，并实现大变形量的零件成形，获得高质量的曲面零件；
3.板料在成形过程中围绕模具均匀转动，改善了板料的贴模状态，可显著减少工艺余料，节省材料。
附图说明
图1是多点力加载方式的三维曲面拉伸成形方法示意图；
图2是板料两端离散加载控制单元与模具型面示意图；
图3是板料两端离散加载控制点与成形曲面零件示意图；
图4是拉伸成形中的板料贴模过程示意图；
图5是t时刻第k对加载控制单元及其对应的板料及模具型面纵向截面轮廓曲线示意图；
图6是计算第k对加载控制单元在板料左、右两端加载点施加拉伸成形力的示意图；
图7是基于多点力加载方式的三维曲面拉伸成形方法步骤框图。
图中：1.拉形模具，2.左侧加载控制单元，2.右侧加载控制单元，4.左端离散加载控制点，5.右端离散加载控制点，6.模具型面，7.成形曲面零件，8.A液压缸，9.B液压缸，10.夹料钳，11.坯料，12.模具型面纵向截面轮廓曲线，13.t时刻变形后的板料轮廓曲线。
具体实施方式
下面结合附图进一步说明本发明的详细内容及其具体实施方式：
本发明涉及的基于多点力加载方式的三维曲面拉伸成形方法，如图1所示，以排列于拉形模具1左侧的m个左侧加载控制单元2及排列于拉形模具1右侧的m个右侧加载控制单元3作为拉伸成形加载工具，在板料左端部的m个左端离散加载控制点4及板料右端部的m个右端离散加载控制点5上对板料施加实时控制的拉伸成形力，如图3所示，使板料以拉伸变形伸长量最小的变形方式与模具型面6逐渐贴合，获得高质量的拉伸成形曲面零件7，如图4所示；所述的m个左侧加载控制单元2及m个右侧加载控制单元3，沿拉形模具1的横向均匀分布；如图1所示，每个左侧加载控制单元2及每个右侧加载控制单元3均由A液压缸8、B液压缸9及夹料钳10组成，每个左端离散加载控制点4处所施加的拉伸成形力由一个左侧加载控制单元2独立控制，每个右端离散加载控制点5处所施加的拉伸成形力由一个右侧加载控制单元3独立控制，拉伸成形力的大小与方向的变化通过改变A液压缸8与B液压缸9内的液体压力来实现。
参阅图4，板料的形状是随拉伸成形过程的进行而逐渐变化的，在拉伸成形开始时刻，即未变形时，板料就是坯料11；在拉伸成形过程结束时，板料变成所需的特定形状的成形曲面零件7；在拉伸成形过程中的任意时刻t，板料变形后由轮廓曲线13表示。
如图7所示，基于多点力加载方式的三维曲面拉伸成形方法的具体步骤如下：
步骤一、基于模具型面6上长度最短的模具型面纵向截面轮廓曲线的长度，确定出拉伸成形所需要的坯料11，即拉伸成形开始时刻板料的长度(如图4所示)，其具体过程为：
1)参见图2及图5，第k个左侧加载控制单元2与第k个右侧加载控制单元3构成第k对加载控制单元，第k对加载控制单元之间对应的模具型面纵向截面轮廓线12为第k个模具型面纵向截面轮廓线，提取出第k个模具型面纵向截面轮廓线12，确定其参数方程Pk(θ)：
其中y为水平方向坐标轴，z为竖直方向坐标轴；参数坐标θ为第k个模具型面纵向截面轮廓线12的切线方向与y轴方向的夹角。
2)计算第k个模具型面纵向截面轮廓线12的曲线长度Lk：
其中θk1为第k个模具型面纵向截面轮廓线12在拉形模具1的左边缘处的切线与y轴方向的夹角，θk2第k个模具型面纵向截面轮廓线12在拉形模具1的右边缘处的切线与y轴方向的夹角；ρk(θ)为第k个模具型面纵向截面轮廓线12在参数坐标θ处的曲率半径，由公式(3)计算
3)在全部的m个模具型面纵向截面轮廓线12的长度Lk(k＝1,2,…,m)之中，确定出长度最短的纵向截面轮廓线，记为第k*个纵向截面轮廓线，拉伸成形所需要的坯料11左半部分的长度l01由公式(4)计算，右半部分的长度l02由公式(5)计算：
其中δmin为保证塑性变形所需的最小伸长量，δmin＝σy/E，σy为材料的屈服应力，E为材料的弹性模量。
步骤二、确定从拉伸成形开始时刻t＝0到拉伸成形结束时刻t＝T过程中各时刻位于板料左端部的m个左端离散加载控制点4与板料右端部的m个右端离散加载控制点5所需要的切向及法向的拉伸成形力，其中确定任一时刻t板料两端的第k个离散加载控制点处拉伸成形力的具体过程为：
1)参见图5，根据板料绕模具均匀转动的原则，计算t时刻第k对加载控制单元之间变形后的板料轮廓线13与拉形模具1接触边界点的参数坐标
其中当i＝1时，为t时刻第k对加载控制单元之间变形后的板料轮廓线13与拉形模具1的左侧接触边界点的参数坐标当i＝2时，为t时刻第k对加载控制单元之间变形后的板料轮廓线13与拉形模具1的右侧接触边界点的参数坐标
2)板料的材料的变形抗力符合规律，其中，为等效应力，为等效应变，K为板料的材料强化系数，n为材料应变硬化指数，根据纵向纤维拉伸变形伸长量最小的原则，利用公式(7)计算出t时刻板料左端部第k个左端离散加载控制点4处所需要的切向的拉伸成形力Fk1(t)，利用公式(8)计算出t时刻板料右端部的第k个右端离散加载控制点5处所需要的切向的拉伸成形力Fk2(t)：
其中b为板料宽度，h为板料厚度，μ为板料与模具之间的摩擦系数；
3)利用公式(9)计算出t时刻板料左、右端部第k个加载点所需要的法向的拉伸成形力Nk1(t)及Nk2(t)：
其中，当i＝1时，Nki(t)为第k个左端离散加载控制点4处的法向拉伸成形力Nk1(t)；当i＝2时，Nki(t)为第k个右端离散加载控制点5处的法向拉伸成形力Nk2(t)。
步骤三、确定从拉伸成形开始时刻t＝0到拉伸成形结束时刻t＝T过程中各时刻位于拉形模具1两侧各加载控制单元的A液压缸8和B液压缸9的液体压力的随时间变化历程，其中确定任一时刻t第k对加载控制单元A液压缸8和B液压缸9的液体压力的具体过程为：
1)参见图5，对水平方向拉伸成形力进行力平衡，然后，利用公式(10)确定t时刻板料左端的第k个左端离散加载控制点4处所需要的沿y轴方向的拉伸成形力利用公式(11)确定t时刻板料右端的第k个右端离散加载控制点5处所需要的沿y轴方向的拉伸成形力
其中ΔP是板料两端拉伸成形力之差，
2)利用公式(12)确定t时刻板料左、右两端的第k个加载点所需要的沿z轴方向的拉伸成形力及
其中，当i＝1时，为t时刻板料左端的第k个左端离散加载控制点4处z轴方向的拉伸成形力当i＝2时，为t时刻板料左端的第k个右端离散加载控制点5处z轴方向的拉伸成形力
3)参见图6，利用公式(13)确定t时刻拉形模具1两侧第k个加载控制单元的A液压缸8的液体压力PAki(t)，利用公式(14)确定t时刻拉形模具1两侧第k个加载控制单元的B液压缸9的液体压力PBki(t)：
其中，当i＝1时，PAki(t)为拉形模具1左侧的第k个加载控制单元2的A液压缸8的液体压力PAk1(t)，PBki(t)为拉形模具1左侧的第k个加载控制单元2的B液压缸9的液体压力PBk1(t)；当i＝2时，PAki(t)为拉形模具1右侧的第k个加载控制单元2的A液压缸8的液体压力PAk2(t)，PBki(t)为拉形模具1右侧的第k个加载控制单元2的B液压缸9的液体压力PBk2(t)；λ＝sinαkicosβki+cosαkisinβki，αki为t时刻拉形模具1两侧的第k个加载控制单元的A液压缸8的轴线与水平线的夹角，利用公式(15)计算；βki为t时刻拉形模具1两侧的第k个加载控制单元的B液压缸9的轴线与水平线的夹角，利用公式(16)计算：
其中，dA为初始时刻t＝0时A液压缸8的有效长度，dB为初始时刻t＝0时B液压缸9的有效长度，α为初始时刻t＝0时A液压缸8的轴线与水平线的夹角，β为初始时刻t＝0时B液压缸9的轴线与水平线的夹角；当i＝1时，vki＝vk1，vk1为左侧第k个夹料钳y方向的位移，由式(17)计算；当i＝1时，wki＝wk1，wk1为左侧第k个夹料钳z方向的位移，由式(18)计算；当i＝2时，vki＝vk2，vk2为右侧第k个夹料钳y方向的位移，由式(19)计算；当i＝2时，wki＝wk2，wk2为右侧第k个夹料钳z方向的位移，由式(20)计算：
其中lr为夹料钳10与拉形模具1之间悬空区的长度，lr取100mm～300mm。
步骤四、根据步骤二和步骤三中得到的拉伸成形过程从t＝0到t＝T的各时刻、各加载控制单元A液压缸8和B液压缸9的液体压力的随时间变化历程，通过各加载控制单元的夹料钳10在板料左端离散加载控制点4、右端离散加载控制点5处对板料施加随时间t变化的拉伸成形力，对板料进行三维曲面的拉伸成形。

Claims (1)

1.基于多点力加载方式的三维曲面拉伸成形方法，以排列于拉形模具(1)左侧的m个左侧加载控制单元(2)及排列于拉形模具(1)右侧的m个右侧加载控制单元(3)作为拉伸成形加载工具，在板料左端部的m个左端离散加载控制点(4)及板料右端部的m个右端离散加载控制点(5)上对板料施加实时控制的拉伸成形力，使板料以拉伸变形伸长量最小的变形方式与模具型面(6)逐渐贴合，获得高质量的成形曲面零件(7)；所述的m个左侧加载控制单元(2)及m个右侧加载控制单元(3)，沿拉形模具(1)的横向均匀分布；每个左侧加载控制单元(2)及每个右侧加载控制单元(3)均由A液压缸(8)、B液压缸(9)及夹料钳(10)组成，每个左端离散加载控制点(4)处所施加的拉伸成形力由一个左侧加载控制单元(2)独立控制，每个右端离散加载控制点(5)处所施加的拉伸成形力由一个右侧加载控制单元(3)独立控制，拉伸成形力的大小与方向的变化通过改变A液压缸(8)与B液压缸(9)内的液体压力来实现，其特征在于，本方法具体步骤如下：
步骤一、基于模具型面(6)上长度最短的模具型面纵向截面轮廓线(12)的长度，确定出拉伸成形所需要的坯料(11)的长度，即拉伸成形开始时刻板料的长度，其具体过程为：
1)第k个左侧加载控制单元(2)与第k个右侧加载控制单元(3)构成第k对加载控制单元，第k对加载控制单元之间对应的模具型面纵向截面轮廓线(12)为第k个模具型面纵向截面轮廓线，提取出第k个模具型面纵向截面轮廓线(12)，确定其参数方程Pk(θ)：
<mrow> <msub> <mi>P</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>y</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>z</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中y为水平方向坐标轴，z为竖直方向坐标轴；参数坐标θ为第k个模具型面纵向截面轮廓线(12)的切线方向与y轴方向的夹角；
2)计算第k个模具型面纵向截面轮廓线(12)的曲线长度Lk：
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其中θk1为第k个模具型面纵向截面轮廓线(12)在拉形模具(1)的左边缘处的切线与y轴方向的夹角，θk2第k个模具型面纵向截面轮廓线(12)在拉形模具(1)的右边缘处的切线与y轴方向的夹角；ρk(θ)为第k个模具型面纵向截面轮廓线(12)在参数坐标θ处的曲率半径，由公式(3)计算：
<mrow> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <msub> <mi>y</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <msub> <mi>z</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>}</mo> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>|</mo> <msup> <msub> <mi>y</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <msub> <mi>z</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;prime;</mo> <mo>&amp;prime;</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <msub> <mi>y</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;prime;</mo> <mo>&amp;prime;</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <msub> <mi>z</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
3)在全部的m个模具型面纵向截面轮廓线(12)的长度Lk(k＝1,2,…,m)之中，确定出长度最短的纵向截面轮廓线，记为第k*个纵向截面轮廓线，拉伸成形所需要的坯料(11)左半部分的长度l01由公式(4)计算，右半部分的长度l02由公式(5)计算：
<mrow> <msub> <mi>l</mi> <mn>01</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;delta;</mi> <mi>min</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>*</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>0</mn> </msubsup> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>*</mo> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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其中δmin为保证塑性变形所需的最小伸长量，δmin＝σy/E，σy为材料的屈服应力，E为材料的弹性模量；
步骤二、确定从拉伸成形开始时刻t＝0到拉伸成形结束时刻t＝T过程中各时刻位于板料左端部的m个左端离散加载控制点(4)与板料右端部的m个右端离散加载控制点(5)所需要的切向及法向的拉伸成形力，其中确定任一时刻t板料两端的第k个离散加载控制点处拉伸成形力的具体过程为：
1)计算t时刻第k对加载控制单元之间变形后的板料轮廓线(13)与拉形模具(1)接触边界点的参数坐标
<mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>T</mi> </mfrac> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>;</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，当i＝1时，为t时刻第k对加载控制单元之间变形后的板料轮廓线(13)与拉形模具(1)的左侧接触边界点的参数坐标当i＝2时，为t时刻第k对加载控制单元之间变形后的板料轮廓线(13)与拉形模具(1)的右侧接触边界点的参数坐标
2)板料的材料的变形抗力符合规律，其中，为等效应力，为等效应变，K为板料的材料强化系数，n为材料应变硬化指数，利用公式(7)计算出t时刻板料左端部第k个左端离散加载控制点(4)处所需要的切向的拉伸成形力Fk1(t)，利用公式(8)计算出t时刻板料右端部的第k个右端离散加载控制点(5)处所需要的切向的拉伸成形力Fk2(t)：
<mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> <mi>h</mi> <mi>K</mi> </mrow> <mi>m</mi> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mfrac> <mi>t</mi> <mi>T</mi> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>01</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>n</mi> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mo>&amp;Integral;</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>0</mn> </msubsup> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>&amp;mu;</mi> <mi>n</mi> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> <mi>d</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>01</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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其中b为板料宽度，h为板料厚度，μ为板料与模具之间的摩擦系数；
3)利用公式(9)计算出t时刻板料端部第k个加载点所需要的法向的拉伸成形力Nki(t)：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>K&amp;rho;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mn>0</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> <mo>{</mo> <mfrac> <mi>h</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>&amp;rho;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>;</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，当i＝1时，Nki(t)为第k个左端离散加载控制点(4)处的法向拉伸成形力Nk1(t)；当i＝2时，Nki(t)为第k个右端离散加载控制点(5)处的法向拉伸成形力Nk2(t)；
步骤三、确定从拉伸成形开始时刻t＝0到拉伸成形结束时刻t＝T过程中各时刻位于拉形模具(1)两侧各加载控制单元的A液压缸(8)和B液压缸(9)的液体压力的随时间变化历程，其中确定任一时刻t第k对加载控制单元A液压缸(8)和B液压缸(9)的液体压力的具体过程为：
1)利用公式(10)确定t时刻板料左端的第k个左端离散加载控制点(4)处所需要的沿y轴方向的拉伸成形力利用公式(11)确定t时刻板料右端的第k个右端离散加载控制点(5)处所需要的沿y轴方向的拉伸成形力
其中ΔP是板料两端拉伸成形力之差，
2)利用公式(12)确定t时刻板料两端的第k个离散加载点所需要的沿z轴方向的拉伸成形力
<mrow> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>;</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，当i＝1时，为t时刻板料左端的第k个左端离散加载控制点(4)处z轴方向的拉伸成形力当i＝2时，为t时刻板料左端的第k个右端离散加载控制点(5)处z轴方向的拉伸成形力
3)利用公式(13)确定t时刻拉形模具(1)两侧第k个加载控制单元的A液压缸(8)的液体压力PAki(t)，利用公式(14)确定t时刻拉形模具(1)两侧第k个加载控制单元的B液压缸(9)的液体压力PBki(t)：
<mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>A</mi> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>&amp;lambda;</mi> </mfrac> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>sin&amp;beta;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>cos&amp;beta;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>;</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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其中，当i＝1时，PAki(t)为拉形模具(1)左侧的第k个加载控制单元(2)的A液压缸(8)的液体压力PAk1(t)，PBki(t)为拉形模具(1)左侧的第k个加载控制单元(2)的B液压缸(9)的液体压力PBk1(t)；当i＝2时，PAki(t)为拉形模具(1)右侧的第k个加载控制单元(2)的A液压缸(8)的液体压力PAk2(t)，PBki(t)为拉形模具(1)右侧的第k个加载控制单元(2)的B液压缸(9)的液体压力PBk2(t)；λ＝sinαki cosβki+cosαki sinβki，αki为t时刻拉形模具(1)两侧的第k个加载控制单元的A液压缸(8)的轴线与水平线的夹角，利用公式(15)计算；βki为t时刻拉形模具(1)两侧的第k个加载控制单元的B液压缸(9)的轴线与水平线的夹角，利用公式(16)计算：
<mrow> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>tg</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mi>A</mi> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mi>A</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>;</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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其中，dA为初始时刻t＝0时A液压缸(8)的有效长度，dB为初始时刻t＝0时B液压缸(9)的有效长度，α为初始时刻t＝0时A液压缸(8)的轴线与水平线的夹角，β为初始时刻t＝0时B液压缸(9)的轴线与水平线的夹角；当i＝1时，vki＝vk1，vk1为左侧第k个夹料钳y方向的位移，由式(17)计算；当i＝1时，wki＝wk1，wk1为左侧第k个夹料钳z方向的位移，由式(18)计算；当i＝2时，vki＝vk2，vk2为右侧第k个夹料钳y方向的位移，由式(19)计算；当i＝2时，wki＝wk2，wk2为右侧第k个夹料钳z方向的位移，由式(20)计算：
<mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>01</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>l</mi> <mn>01</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>l</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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其中lr为夹料钳(10)与拉形模具(1)之间悬空区的长度，lr取100mm～300mm；
步骤四、根据步骤二和步骤三中得到的拉伸成形过程从t＝0到t＝T的各时刻、各加载控制单元A液压缸(8)和B液压缸(9)的液体压力的随时间变化历程，通过各加载控制单元的夹料钳(10)在板料左端离散加载控制点(4)、右端离散加载控制点(5)处对板料施加随时间t变化的拉伸成形力，对板料进行三维曲面的拉伸成形。
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