CN103722070B - 一种采用离散式位移加载方式成形三维曲面的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种采用离散式位移加载方式成形三维曲面的方法，属于金属塑性加工领域。不均匀变形是造成三维曲面成形中各种缺陷的主要原因，本发明采用离散式位移加载的方式控制成形过程，位移载荷通过加载控制单元施加于板料两端的一系列离散点上，各加载点位移载荷的大小及方向均实时变化。本发明提供了根据成形件的目标曲面确定各离散加载点水平方向及垂直方向位移的方法，通过对各离散点位移的实时控制，可以实现拉伸成形过程中材料变形的均匀化，避免缺陷产生涉及，实现大变形量的曲面零件成形，并可改善板料的贴模过程，节省工艺余料。

Description

一种采用离散式位移加载方式成形三维曲面的方法

技术领域

本发明属于金属塑性加工领域，涉及了一种板料成形方法，适用于大型三维曲面零件的拉伸成形。

背景技术

拉伸成形是大型曲面蒙皮件的主要加工方式。传统的板料拉形采用整体夹钳，拉形过程中钳口作为一个刚性整体同步运动，钳口夹持的板料端始终保持为固定的形状，导致板料在横向不随模具型面主动变形，造成变形不均，引起破裂、起皱以及滑移线、粗晶等缺陷，这些问题在铝合金、钛合金等变形量可控制范围很小的材料成形时尤为突出。另外，整体加载模式还导致贴模困难，为保证贴模，板料必须留有足够长度的悬空段，导致成形后形成较大的工艺废料。尽管人们在夹钳运动轨迹优化设计方面进行了不少研究工作，但传统拉形中的变形不均、贴模不良等问题很难彻底解决。采用离散式位移加载的曲面拉伸成形方法可以实现变形均匀化，避免成形缺陷产生，实现大变形量的曲面零件成形。同时，解决贴模不良问题，减少工艺余料，显著节省材料。

可见，开发一种采用离散式位移加载方式进行曲面拉伸成形的方法十分必要。

发明内容

不均匀变形是造成大型三维曲面拉伸成形中各种缺陷的主要原因，本发明的目的是提供一种拉伸成形的方法，通过离散式位移加载方式控制成形过程，使变形的不均匀程度达到最小，从而避免各种成形缺陷产生，解决传统拉形方法的变形不均、贴模不良、工艺废料多等问题，获得高质量的曲面零件。位移载荷通过两排加载控制单元施加在位于板料两端的一系列离散点上，根据目标成形曲面上材料的变形量及转动量来确定各加载点载荷的大小、方向及其随时间的变化历程，使板料各纵向纤维在成形过程中始终保持均匀伸长并均匀转动，最终实现变形的均匀化。

为解决上述技术问题，本发明是采用如下技术方案实现的,结合附图说明如下：

一种基于离散式位移加载的三维曲面拉伸成形方法，通过模具1的左、右两侧对称布置的两排加载控制单元2，对金属板料两端逐点施加可控的分布位移载荷，使板料以不均匀程度最小的变形方式与模具1逐渐贴合，获得高质量拉伸成形曲面零件3，其特征在于：

1)板料拉伸成形过程通过模具1两侧的加载控制单元来实现，加载控制单元沿横向均匀分布，一个加载控制单元控制板料端部一个加载点的运动；板料的变形由位于其左、右端部的一系列离散加载点7、8的位移来控制，各加载点沿水平方向-x方向及垂直方向-z方向的位移由成形曲面的纵向伸长量及转角来确定。

2)加载控制单元2由油缸A4、油缸B5及夹料钳6组成，油缸通过电液伺服阀及电气、液压系统进行精确控制；板料端部的各加载点在xz平面内的运动通过加载控制单元2的夹料钳6来实现，夹料钳的运动由油缸A4和油缸B5的行程来控制。

3)所述的离散式位移加载的三维曲面拉伸成形方法的控制拉形过程的具体步骤如下：

第一步、将板料10横向弯曲成与模具1型面接触的柱面；

第二步、根据成形曲面的形状，基于纵向纤维均匀伸长及均匀转动的原则，确定位于板料左、右端部的各加载点在成形过程t时刻所需要的x方向位移u及z方向位移w；

第三步、根据所需要的位移u及位移w随时间的变化历程，确定各加载控制单元2的油缸A4和油缸B5的行程d_A和d_B随时间的变化历程，控制各加载控制单元2的夹料钳6的运动，进行三维曲面的拉伸成形。

所述的离散式位移加载的三维曲面拉伸成形方法的控制拉形过程的步骤中，确定加载点x方向位移及z方向位移的具体过程为：

第一步、提取出第k对加载控制单元对应的模具1型面的纵向截面轮廓线(8)，确定其参数方程为：

$P_k\left(s\right)=\left\{\begin{array}{c}{x}_k\left(s\right)\\ z_k\left(s\right)\end{array}\right\},(k=1,2,...,m)$

其中m为模具1一侧加载控制单元2的总数，s为曲线的参数坐标；

第二步、求解以下方程，计算t时刻左、右两侧板料与模具1的接触点参数坐标s_t1和s_t2：

$\frac{{z_k}^{\′}\left(s_{ti}\right)}{{x_k}^{\′}\left(s_{ti}\right)}=tg\left(\frac{{\mathrm{\θ}}_{ki}}{T}t\right),(i=1,2)$

其中θ_k1和θ_k2分别为第k对加载控制单元对应的模具1型面的纵向截面轮廓线左边缘和右边缘切线的倾角，T为拉伸成形需要的总时间；

第三步、利用以下方程，计算板料左、右端部与第k对加载控制单元2对应的加载点在t时刻的x方向及z方向位移：

$\{\begin{array}{c}{u}_{ki}\left(t\right)=x_k\left(s_{ti}\right)-x_k\left(s_t\right)+\left(l_{0i}-l_{ti}+\frac{l_{ki}-l_{0i}}{T}t\right)\cos \left(\frac{{\mathrm{\θ}}_{ki}}{T}t\right)-l_{0i}\\ w_{ki}\left(t\right)=z_k\left(s_{ti}\right)-z_k\left(s_k\right)+\left(l_{0i}-l_{ti}+\frac{l_{ki}-l_{0i}}{T}t\right)\sin \left(\frac{{\mathrm{\θ}}_{ki}}{T}t\right)\end{array},\left(i=1,2\right)$

其中u_k1(t)与w_k1(t)分别为第k对加载控制单元对应的板料左端加载点的位移，u_k2(t)与w_k2(t)分别为对应的板料右端加载点的位移；l_k1，l_k2分别为对应的模具1型面的纵向截面轮廓线最高点的左半部分和右半部分的弧线长度；l₀₁，l₀₂分别为左半部分和右半部分的板料长度； s_k为纵向截面轮廓线最高点的参数坐标。

所述的离散式位移加载的三维曲面拉伸成形方法的控制拉形过程的步骤中，第k对加载控制单元的油缸A4和油缸B5在t时刻的行程由下式确定：

$\left\{\begin{array}{c}{d}_{Aki}\left(t\right)=D_A-\sqrt{{D_A}^2{w_{ki}}^2\left(t\right)+{u_{ki}}^2\left(t\right)-2D_A\[w_{ki}\left(t\right){\mathrm{cos\α}}_{ki}+u_{ki}\left(t\right){\mathrm{sin\α}}_{ki}\]}\\ d_{Bki}\left(t\right)=D_B-\sqrt{{D_B}^2{w_{ki}}^2\left(t\right)+{u_{ki}}^2\left(t\right)-2D_B\[w_{ki}\left(t\right){\mathrm{cos\β}}_{ki}+u_{ki}\left(t\right){\mathrm{sin\β}}_{ki}\]}\end{array}\right.,\left(i=1,2\right)$

其中d_Ak1(t)与d_Bk1(t)分别为左侧加载控制单元2油缸A4和油缸B5的行程，d_Ak2(t)与d_Bk2(t)分别为右侧加载控制单元2的油缸A4和油缸B5行程；D_A，D_B分别为初始时刻t＝0时油缸A4和油缸B5的有效长度；α_k1与β_k1分别为初始时刻左侧的油缸A4和油缸B5的轴线水平倾角，α_k2与β_k2分别为初始时刻右侧的油缸A4和油缸B5的轴线水平倾角。

与现有技术相比本发明的有益效果是：

1.各离散点分别施加位移载荷，板料纵向纤维均匀伸长及转动，能实现板料成形过程中的变形均匀化；

2.由于成形过程中的变形不均匀程度最小，从而可避免曲面成形过程中各种缺陷的产生，并实现大变形量的零件成形，获得高质量的曲面零件；

3.板料在成形过程中围绕模具均匀转动，改善了贴模状态，可显著减少工艺余料，节省材料。

附图说明

图1是本发明的离散式位移加载曲面成形方法示意图；

图2是本发明的板料上的离散加载点示意图；

图3是本发明的确定各加载点位移及加载单元油缸行程的流程图；

图4是本发明的开始时刻第k对加载控制单元及其对应的板料及模具型面纵向截面轮廓曲线；

图5是本发明的t时刻第k对加载控制单元对应的板料两端加载点的位移；

图6是本发明的离散加载成形方法与传统拉形成形方法对称中心线上应变分布对比图；

图7是本发明的离散加载成形方法与传统拉形成形方法对称边缘线上应变分布对比图。

图中：1.模具，2.加载控制单元，3.成形曲面，4.油缸A，5.油缸B，6.夹料钳，7.板料左端的离散加载点，8.板料左端的离散加载点，9.第k对加载控制单元对应的模具型面纵向截面轮廓曲线，10.初始时刻的板料，11.t时刻变形后的板料轮廓曲线。

具体实施方式

下面结合附图进一步说明本发明的详细内容及其具体实施方式:

一.参阅图1和图2，离散式位移加载方式的位移载荷通过两排加载控制单元施加在位于板料两端的一系列离散点7和8上。加载控制单元2对称布置于拉形模具1的左、右两侧，通过各加载控制单元2对金属板料两端的逐点独立控制形成分布的、随时间变化的位移载荷。

二.加载控制单元2由油缸A4、油缸B5及夹料钳6组成，一个加载控制单元控制板料端部一个加载点。各加载点在xz平面内的运动通过加载控制单元2的夹料钳6来实现，夹料钳的运动由油缸A4和油缸B5的行程来控制，油缸行程的精确控制通过电液伺服阀及电气、液压系统等来实现。

三.所述的板料各加载点处位移载荷的大小、方向及其随时间的变化过程由成形曲面的纵向伸长量及转角来确定，在该载荷作用下，板料的各纵向纤维能够始终保持均匀伸长并均匀转动，保证在成形过程中板料10以不均匀程度最小的变形方式逐渐贴合模具1。

四.参阅图3，确定各加载点位移及加载单元油缸行程,具体步骤如下：

1.将板料10横向弯曲成柱面与模具贴合，将此时刻设定为成形过程的初始时刻；

2.根据成形曲面各纵向纤维的最终伸长量及转角，基于均匀伸长及均匀转动的原则，确定板料左、右两端各加载点在成形过程t时刻所需要施加的水平及垂直方向位移，具体过程为：

1)参阅图4，根据公式(1)提取出第k对加载控制单元对应的模具型面的纵向截面轮廓线8：

$P_k\left(s\right)=\left\{\begin{array}{c}{x}_k\left(s\right)\\ z_k\left(s\right)\end{array}\right\},(k=1,2,...,m)---\left(1\right)$

其中m为模具一侧加载单元的总数，s为曲线的参数坐标。

2)参阅图4和图5，确定第k对加载单元对应的模具型面轮廓线8的左、右边缘切线的倾角θ_k1和θ_k2；确定模具型面轮廓线8最高点左、右部分的板料长度l₀₁和l₀₂，确定轮廓线最高点的左、右部分的轮廓线弧线长度l_k1和l_k2：

$\left\{\begin{array}{c}{l}_{k1}={\∫}_{s_{k1}}^{s_k}\sqrt{{x_k}^{\′2}\left(s\right)+{z_k}^{\′2}\left(s\right)}ds\\ l_{k2}={\∫}_{s_k}^{s_{k2}}\sqrt{{x_k}^{\′2}\left(s\right)+{z_k}^{\′2}\left(s\right)}ds\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中s_k1和s_k2分别为模具型面轮廓线8的左、右边缘的参数坐标，s_k为纵向截面轮廓线最高点的参数坐标。

3)按照均匀伸长及均匀转动的原则，计算在成形过程t时刻，第k对加载单元对应的板料纵向纤维的伸长量与转角：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Δl}}_{ki}\left(t\right)=\frac{l_{ki}-l_{0i}}{T}t,(i=1,2)\\ {\mathrm{\θ}}_{ki}\left(t\right)=\frac{{\mathrm{\θ}}_{ki}}{T}t,(i=1,2)\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中Δl_k1(t)和Δl_k2(t)分别为t时刻第k对加载控制单元对应的板料纵向纤维左、右两侧的伸长量，θ_k1(t)和θ_k2(t)分别为t时刻板料纵向纤维左、右两侧的贴模转角，T为拉伸成形需要的总时间。

4)求解方程(4)，计算t时刻左、右两侧板料与模具的接触点参数坐标s_t1和s_t2：

$\frac{{z_k}^{\′}\left(s_{ti}\right)}{{x_k}^{\′}\left(s_{ti}\right)}=tg\left(\frac{{\mathrm{\θ}}_{ki}}{T}t\right),(i=1,2)---\left(4\right)$

其中θ_k1和θ_k2分别为第k对加载控制单元对应的模具型面的纵向截面轮廓线左边缘和右边缘切线的倾角，T为拉伸成形需要的总时间。

5)利用方程(5)计算在t时刻，板料左、右端部与第k对加载单元对应的加载点的x方向及z方向位移：

$\{\begin{array}{c}{u}_{ki}\left(t\right)=x_k\left(s_{ti}\right)-x_k\left(s_t\right)+\left(l_{0i}-l_{ti}+\frac{l_{ki}-l_{0i}}{T}t\right)\cos \left(\frac{{\mathrm{\θ}}_{ki}}{T}t\right)-l_{0i}\\ w_{ki}\left(t\right)=z_k\left(s_{ti}\right)-z_k\left(s_k\right)+\left(l_{0i}-l_{ti}+\frac{l_{ki}-l_{0i}}{T}t\right)\sin \left(\frac{{\mathrm{\θ}}_{ki}}{T}t\right)\end{array},\left(i=1,2\right)---\left(5\right)$

其中u_k1(t)与w_k1(t)分别为第k对加载控制单元对应的板料左端加载点的位移，u_k2(t)与w_k2(t)分别为对应的板料右端加载点的位移；l_k1，l_k2分别为对应的模具型面的纵向截面轮廓线最高点的左半部分和右半部分的弧线长度；l₀₁，l₀₂分别为左半部分和右半部分的板料长度； s_k为纵向截面轮廓线最高点的参数坐标。

3.由板料两右端各加载点的所需的位移载荷，确定各加载单元的油缸和油缸的行程，通过各加载单元控制板料拉伸成形过程，具体过程为：

1)根据加载点所需要的位移u及位移w的随时间变化历程，应用公式(6)确定第k对加载控制单元的油缸A4和油缸B5在t时刻的行程：

$\left\{\begin{array}{c}{d}_{Aki}\left(t\right)=D_A-\sqrt{{D_A}^2{w_{ki}}^2\left(t\right)+{u_{ki}}^2\left(t\right)-2D_A\[w_{ki}\left(t\right){\mathrm{cos\α}}_{ki}+u_{ki}\left(t\right){\mathrm{sin\α}}_{ki}\]}\\ d_{Bki}\left(t\right)=D_B-\sqrt{{D_B}^2{w_{ki}}^2\left(t\right)+{u_{ki}}^2\left(t\right)-2D_B\[w_{ki}\left(t\right){\mathrm{cos\β}}_{ki}+u_{ki}\left(t\right){\mathrm{sin\β}}_{ki}\]}\end{array}\right.,\left(i=1,2\right)---\left(6\right)$

其中d_Ak1(t)与d_Bk1(t)分别为左侧加载单元油缸A4和油缸B5的行程，d_Ak2(t)与d_Bk2(t)分别为右侧加载单元油缸A4和油缸B5的行程；D_A与D_B分别为初始时刻t＝0时油缸A4和油缸B5的有效长度；α_k1与β_k1分别为初始时刻左侧油缸A4和油缸B5的轴线水平倾角，α_k2与β_k2分别为初始时刻右侧油缸A4和油缸B5的轴线水平倾角。

2)根据各加载控制单元油缸行程随时间的变化历程，实时控制各加载单元的夹料钳6的运动，进行三维曲面的拉伸成形。

五.实施例

板料为400mm×300mm，厚度1mm。成形的目标曲面为半径500mm的球面，拉形模具成形面积为300mm×300mm，两侧各分布10个加载控制单元。

确定各加载点x方向与z方向位移及加载单元油缸行程的具体步骤为：

1.将板料横向弯曲成半径500mm的柱面与模具贴合；

2.提取出第k对加载控制单元对应的模具型面的纵向截面轮廓线，对应于公式(1)的参数方程为：

其中y_k为第k对加载控制单元对应的y位置坐标，为纵向圆弧轮廓线的圆心角。

3.确定出第k对加载单元对应的模具型面轮廓线的左、右边缘切线的倾角和确定出模具型面轮廓线最高点左、右侧的板料长度l₀₁＝l₀₂＝l₀＝200mm，轮廓线最高点的左、右侧的轮廓线弧线长度

4.按照均匀伸长及均匀转动的原则，根据公式(2)和(3)，确定在成形过程t时刻，第k对加载单元对应的板料纵向纤维的伸长量与转角：

5.求解方程(4)，计算出t时刻左、右两侧板料与模具的接触点的参数坐标为

6.利用方程(5)计算在t时刻，板料左、右端部与第k对加载单元对应的加载点的x与z方向位移u_k1(t)＝u_k2(t)＝u_k(t)及w_k1(t)＝w_k2(t)＝w_k(t)：

7.根据加载点所需要的位移u及位移w的随时间变化历程，利用公式(6)，确定出第k对加载控制单元的油缸A4和油缸B5在t时刻的行程d_Ak1(t)＝d_Ak2(t)＝d_Ak(t)及d_Bk1(t)＝d_Bk2(t)＝d_Bk(t)：

$\left\{\begin{array}{c}{d}_{Ak}\left(t\right)=D_A-\sqrt{{D_A}^2{w_k}^2\left(t\right)+{u_k}^2\left(t\right)-2D_A\[w_k\left(t\right){\mathrm{cos\α}}_k+u_k\left(t\right){\mathrm{sin\α}}_k\]}\\ d_{Bk}\left(t\right)=D_B-\sqrt{{D_B}^2{w_k}^2\left(t\right)+{u_k}^2\left(t\right)-2D_B\[w_k\left(t\right){\mathrm{cos\β}}_k+u_k\left(t\right){\mathrm{sin\β}}_k\]}\end{array}\right.$

其中D_A与D_B分别为初始时刻t＝0时油缸A4和油缸B5的长度；α_k与β_k分别为初始时刻油缸A4和油缸B5的轴线水平倾角。

离散位移加载与传统拉形方式成形的球面成形件的对称中心线上与模具边缘线上的等效应变分布的数值模拟结果由图6和图7给出。离散加载成形方法与传统拉形成形方法横向中心线及边缘线上应变分布的对比结果如下：

可见与传统拉形方式相比，离散位移加载方式成形的曲面其应变幅值显著下降，应变分布不均匀程度大为改善。采用离散位移加载方式中心线上的最大应变下降了36％，边缘线上的最大应变下降了62.5％；中心线上的最大应变与最小应变差下降了31.6％，边缘线上的最大应变与最小应变差下降了62.5％。

Claims (3)

1.一种基于离散式位移加载的三维曲面拉伸成形方法，通过模具(1)的左、右两侧对称布置的两排加载控制单元(2)，对金属板料两端逐点施加可控的分布位移载荷，使板料以不均匀程度最小的变形方式与模具(1)逐渐贴合，获得高质量拉伸成形曲面零件(3)，其特征在于：

1)板料拉伸成形过程通过模具(1)两侧的加载控制单元来实现，加载控制单元沿横向均匀分布，一个加载控制单元控制板料端部一个加载点的运动，板料的变形由位于其左、右端部的一系列离散加载点(7)、(8)的位移来控制，各加载点沿水平方向-x方向及垂直方向-z方向的位移由成形曲面的纵向伸长量及转角来确定；

2)加载控制单元(2)由油缸A(4)、油缸B(5)及夹料钳(6)组成，油缸A(4)和油缸B(5)通过电液伺服阀及电气、液压系统进行精确控制，板料端部的各加载点在xz平面内的运动通过加载控制单元(2)的夹料钳(6)来实现，夹料钳的运动由油缸A(4)和油缸B(5)的行程来控制；

3)所述的离散式位移加载的三维曲面拉伸成形方法的控制拉形过程的具体步骤如下：

第一步、将板料(10)横向弯曲成与模具(1)型面接触的柱面；

第二步、根据成形曲面的形状，基于纵向纤维均匀伸长及均匀转动的原则，确定位于板料左、右端部的各加载点在成形过程t时刻所需要的x方向位移u及z方向位移w；

第三步、根据所需要的位移u及位移w随时间的变化历程，确定各加载控制单元(2)的油缸A(4)和油缸B(5)的行程d_A和d_B随时间的变化历程，控制各加载控制单元(2)的夹料钳(6)的运动，进行三维曲面的拉伸成形。

2.按照权利要求1所述的离散式位移加载的三维曲面拉伸成形方法，其特征在于，所述的离散式位移加载的三维曲面拉伸成形方法的控制拉形过程的步骤中，确定加载点x方向位移及z方向位移的具体过程为：

第一步、提取出第k对加载控制单元对应的模具(1)型面的纵向截面轮廓线(8)，确定其参数方程为：

$P_k\left(s\right)=\left\{\begin{array}{c}{x}_k\left(s\right)\\ z_k\left(s\right)\end{array}\right\},(k=1,2,...,m)$

其中m为模具(1)一侧加载控制单元(2)的总数，s为曲线的参数坐标；

第二步、求解以下方程，计算t时刻左、右两侧板料与模具(1)的接触点参数坐标s_t1和s_t2：

$\frac{{z_k}^{\′}\left(s_{ti}\right)}{{x_k}^{\′}\left(s_{ti}\right)}=tg\left(\frac{{\mathrm{\θ}}_{ki}}{T}t\right),(i=1,2)$

其中θ_k1和θ_k2分别为第k对加载控制单元对应的模具(1)型面的纵向截面轮廓线左边缘和右边缘切线的倾角，T为拉伸成形需要的总时间；

第三步、利用以下方程，计算板料左、右端部与第k对加载控制单元(2)对应的加载点在t时刻的x方向及z方向位移：

$\{\begin{array}{c}{u}_{ki}\left(t\right)=x_k\left(s_{ti}\right)-x_k\left(s_k\right)+\left(l_{0i}-l_{ti}+\frac{l_{ki}-l_{0i}}{T}t\right)\cos \left(\frac{{\mathrm{\θ}}_{ki}}{T}t\right)-l_{0i}\\ w_{ki}\left(t\right)=z_k\left(s_{ti}\right)-z_k\left(s_k\right)+\left(l_{0i}-l_{ti}+\frac{l_{ki}-l_{0i}}{T}t\right)\sin \left(\frac{{\mathrm{\θ}}_{ki}}{T}t\right)\end{array},\left(i=1,2\right)$

其中u_k1(t)与w_k1(t)分别为第k对加载控制单元对应的板料左端加载点的位移，u_k2(t)与w_k2(t)分别为对应的板料右端加载点的位移，l_k1，l_k2分别为对应的模具(1)型面的纵向截面轮廓线最高点的左半部分和右半部分的弧线长度，l₀₁，l₀₂分别为左半部分和右半部分的板料长度， s_k为纵向截面轮廓线最高点的参数坐标。

3.按照权利要求1所述的离散式位移加载的三维曲面拉伸成形方法，其特征在于，所述的离散式位移加载的三维曲面拉伸成形方法的控制拉形过程的步骤中，第k对加载控制单元的油缸A(4)和油缸B(5)在t时刻的行程由下式确定：

$\left\{\begin{array}{c}{d}_{Aki}\left(t\right)=D_A-\sqrt{{D_A}^2{w_{ki}}^2\left(t\right)+{u_{ki}}^2\left(t\right)-2D_A\[w_{ki}\left(t\right){\mathrm{cos\α}}_{ki}+u_{ki}\left(t\right){\mathrm{sin\α}}_{ki}\]}\\ d_{Bki}\left(t\right)=D_B-\sqrt{{D_B}^2{w_{ki}}^2\left(t\right)+{u_{ki}}^2\left(t\right)-2D_B\[w_{ki}\left(t\right){\mathrm{cos\β}}_{ki}+u_{ki}\left(t\right){\mathrm{sin\β}}_{ki}\]}\end{array}\right.,\left(i=1,2\right)$

其中d_Ak1(t)与d_Bk1(t)分别为左侧加载控制单元(2)的油缸A(4)和油缸B(5)的行程，d_Ak2(t)与d_Bk2(t)分别为右侧加载控制单元(2)的油缸A(4)和油缸B(5)的行程，D_A和D_B分别为初始时刻t＝0时油缸A(4)和油缸B(5)的有效长度，α_k1与β_k1分别为初始时刻左侧的油缸A(4)和油缸B(5)的轴线水平倾角，α_k2与β_k2分别为初始时刻右侧的油缸A(4)和油缸B(5)的轴线水平倾角。