CN106292337B - 基于正弦加速度函数的永磁球形电机点到点运动轨迹规划方法及其应用 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于正弦加速度函数的永磁球形电机点到点运动轨迹规划方法及其应用，其特征是：以永磁球形电机转子为研究对象，首先通过给定欧拉旋转角，或给定两点坐标，采用本发明提出的一种由两点坐标反向求解欧拉旋转角的方法，反解出欧拉旋转角。然后根据电机运行时间和初始条件，求解出正弦加速度函数的表达式，最后根据转子动力学方程，得到最终的控制转矩。本发明实现了永磁球形电机点到点运动的轨迹规划，并将其应用到复杂连续轨迹的规划上，能有效减少输入信号的冲击、不连续变化等因素对控制对象产生的不利影响，从而提高控制系统的控制精度和电机运行的稳定性。

Description

基于正弦加速度函数的永磁球形电机点到点运动轨迹规划方 法及其应用

技术领域

本发明涉及三维空间中三自由度运动的轨迹规划方法，具体的说是一种利用正弦加速度函数对永磁球形电机进行三维空间中点到点运动的轨迹规划方法及其应用。

背景技术

随着现代工业化和信息化水平的不断发展，能够实现多自由度运动的电机受到广大学者的青睐。球形电机具有光明的应用前景，在机器人关节，机械手、全景摄像系统、卫星姿态控制系统等空间三维运动系统中，球形电机不仅能替代传统组合电机完成三维空间的运动，而且能够大大简化其机构，提高控制精度，缩小体积，实现快速定位的目的。

然而，由于球形电机运动学模型的强耦合特点，对其进行精确的控制比较复杂。目前，三维空间中轨迹规划的相关研究工作多集中在多关节机器人或机械手上。针对球形电机的轨迹规划主要讨论转子在笛卡尔空间中运动状态的转换与规划，目前球形电机的轨迹研究大多集中在轨迹的精确跟踪控制上，为获得伺服任务预期的角位移、角速度及角加速度，需要大量的计算，控制规划过程较为复杂。

球形电机相关文献中常见的轨迹大多是为了检测控制系统的控制精度而给定的，没有给出实际工况下运行所需的一般形式的轨迹规划方法。对于空间中任意点到点运动的规划求解更是少见，尤其是已知两点坐标逆向求解欧拉旋转角的方法上。有些是根据欧拉旋转矩阵逆向求解欧拉旋转角，有些是将转子等效为四连杆机构利用四元数旋转的方法求解，由于欧拉旋转矩阵包含角位置信息且很难获得，而四元数旋转计算量大，而且有过多的约束条件限制，给实际的求解带来诸多不便。

同时，由于球形电机控制系统是个多输入强耦合的控制系统，为了使电机精确稳定地运行，目前相关的研究工作多结合复杂智能控制算法对其进行精确跟踪控制，这很有必要。但是，没有考虑输入信号可能对控制对象产生的不利影响。因此，目前急需一种简单有效且易于控制的轨迹规划方法

发明内容

本发明为避免上述现有技术存在的不足之处，提出一种基于正弦加速度函数的永磁球形电机点到点运动轨迹规划方法及其应用，以期能减少输入信号的冲击、不连续变化等因素对控制对象产生的不利影响，从而提高控制系统的控制精度和电机运行的稳定性。

本发明为解决技术问题采用如下技术方案：

本发明一种基于正弦加速度函数的永磁球形电机点到点运动轨迹规划方法的特点是按如下步骤进行：

步骤1：以永磁球形电机转子为控制对象，分别建立定子静坐标系O-XYZ和转子动坐标系O-xyz，所述定子静坐标系O-XYZ和转子动坐标系O-xyz的原点O重合且固定在所述永磁球形电机转子的中心位置上；

以所述原点O作为球心，以所述球心O到所述永磁球形电机转子的输出轴顶点的距离R作为半径，得到所述永磁球形电机转子的运动轨迹球面；

步骤2：若直接给定欧拉旋转角，则执行步骤6；若给定所述定子静坐标系O-XYZ下的两点坐标，则执行步骤3；

步骤3：判断所述两点坐标是否在所述运动轨迹球面上，若在运动轨迹球面上，则执行步骤4；否则，重新给定两点坐标后，返回步骤2；

步骤4：假设所述两点坐标分别为A(x₀,y₀,z₀)、B(x₁,y₁,z₁)，则利用式(1)获得法向量n：

n＝(y₀z₁-y₁z₀,x₁z₀-x₀z₁,x₀y₁-x₁y₀) (1)

步骤5：对所述法向量n进行分解后，利用式(2)获得欧拉旋转角θ(α,β,γ)：

步骤6：在给定所述永磁球形电机的运行时间T和初始角速度为0的条件下，利用式(3)得到所述永磁球形电机转子的角加速度

式(3)中，t表示时间变量；

步骤7：利用式(4)获得所述永磁球形电机转子的转矩τ：

式(4)中，J表示所述永磁球形电机转子的转动惯量；

步骤8：判断时间变量t是否到达运行时间T，若到达，则所述永磁球形电机转子根据所述转矩τ完成永磁球形电机点到点的运动轨迹规划，所述永磁球形电机的运行结束，否则返回步骤7。

本发明一种基于正弦加速度函数的永磁球形电机点到点运动轨迹规划方法的应用的特点是：应用于复杂连续轨迹的规划，即利用插值法找出运动轨迹球面上复杂连续轨迹的若干关键点，再按照步骤3至步骤8求出相邻两个关键点的运动轨迹规划，从而实现复杂连续轨迹的规划。

与已有技术相比，本发明的有益效果体现在：

1、本发明永磁球形电机点到点运动轨迹规划方法，不仅可以实现正向的旋转运动，而且可以根据实际运行目标的需要，通过反向求解欧拉旋转角，解析出点到点运动的欧拉旋转角，然后规划出简单有效且易于控制的控制转矩，从而实现了永磁球形电机点到点的基本运动。这种逆向求解欧拉旋转角的方法，不仅适用于永磁球形电机，而且对于空间中刚体绕定轴转动同样适用，为实现空间中点到点的运动提供了有效的解决办法。

2、本发明永磁球形电机点到点运动轨迹规划方法还可以应用于复杂连续轨迹的规划，通过插值法得到连续轨迹上的若干关键点，再求出相邻关键点的转矩即可实现复杂连续轨迹的规划。不仅能出色的完成简单的点到点运动，而且能够完成周期性以及复杂轨迹的运动，从而取代了结构复杂的多关节传统组合电机，完成空间中的三自由度运动。

3、本发明基于正弦加速度函数的轨迹规划，比起矩形波或三角波函数，正弦函数具有表达式简单、具有周期性等特点，能更有效减少由于控制输入信号的冲击、不连续变化等因素对电机转子产生的扰动影响。同时，降低了控制转矩的峰值，这对后续设计永磁球形电机驱动控制器至关重要。

附图说明

图1本发明永磁球形电机点到点运动轨迹规划流程图；

图2本发明定子静坐标系O-XYZ和转子动坐标系O-xyz及绕定轴z旋转示意图；

图3本发明空间任意点的绕定轴旋转示意图；

图4本发明三种方式下的角加速度曲线图；

图5本发明三种方式下的角速度曲线图；

图6本发明永磁球形电机转子纯倾斜运动轨迹图；

图7a本发明三种方式下纯倾斜运动Z轴转矩曲线图；

图7b本发明三种方式下纯倾斜运动X轴位移曲线图；

图7c本发明三种方式下纯倾斜运动Y轴位移曲线图；

图7d本发明三种方式下纯倾斜运动Z轴位移曲线图；

图7e本发明三种方式下纯倾斜运动X轴角加速度曲线图；

图7f本发明三种方式下纯倾斜运动角速度曲线图；

图8a本发明实施例1中类螺旋运动关键点图；

图8b本发明实施例1中类螺旋运动仿真轨迹图；

图9a本发明实施例2中安徽大学首字母AHU关键点图；

图9b本发明实施例2中安徽大学首字母AHU仿真轨迹图。

具体实施方式

本实施例中采用的是一台三自由度的永磁球形电机，其外壳是一个球壳状的定子，球形转子安装在球壳内，输出轴固定在球形转子上。转子上沿赤道面对称均匀分布四层永磁体，每层分别镶嵌十个铁钕硼材料的圆柱形永磁体，N、S级交替排列；定子上沿赤道面均匀镶嵌两层线圈，每层共有十二个圆柱型空芯线圈。通过实施本发明可以实现永磁球形电机转子点到点的运功规划。

永磁球形电机绕定点旋转的力学方程为：

式(1)即为永磁球形电机转子动力学方程,J_x、J_y、J_z分别表示转子x、y、z方向的转动惯量，ω_x、ω_y、ω_z分别表示转子x、y、z方向的角速度，分别表示转子x、y、z方向的角加速度，τ_x、τ_y、τ_z分别表示转子x、y、z方向的控制转矩，其中负载转矩τ_Lx、τ_Ly、τ_Lz也包含了摩擦转矩引起的转矩。

由于永磁球形电机转子的结构设计高度对称，其三个方向的转动惯量近似相等J_x＝J_z≈J_y＝J，表1记录了永磁球形电机的转动惯量，其中转动惯量的单位为kg·m²。从式(1)可以看出，忽略摩擦引起的负载转矩，转矩与转子的角加速度成正比，有：

式中J、τ分别表示转子转动惯量、角加速度和控制转矩矩阵，由式(2)可知，角加速度对转矩的影响很大。因此，转子从一点如何到达另一点的加速度规划尤为重要。另外，在永磁球形电机通电控制策略的研究上，最终让转子运动的电磁转矩与通电线圈的电流有直接的关系，电流越大，产生的电磁转矩越大。因此，从能量的角度考虑，规划出合理的角加速度也很有必要。

表1永磁球形电机转动惯量表(单位：kg·m²)

本实施例中，一种基于正弦加速度函数的永磁球形电机点到点运动轨迹规划方法，规划过程如图1所示，具体按如下步骤进行：

步骤1：以永磁球形电机转子为控制对象，分别建立定子静坐标系O-XYZ和转子动坐标系O-xyz，定子静坐标系O-XYZ和转子动坐标系O-xyz的原点O重合且固定在永磁球形电机转子的中心位置上；

以原点O作为球心，以球心O到永磁球形电机转子的输出轴顶点的距离R作为半径，得到永磁球形电机转子的运动轨迹球面；

由欧拉旋转定理可知，空间中任意两点间的运动，都可以绕旋转轴旋转某一特定角来实现。这一过程同样可以由欧拉旋转的方式实现，通过分别控制x、y、z三个方向的控制转矩，可以实现永磁球形电机三自由度运动的精确控制。

步骤2：若直接给定欧拉旋转角，则执行步骤6；若给定定子静坐标系O-XYZ下的两点坐标，则执行步骤3；

对于永磁球形电机点到点的运动有两种情况，一种是在欧拉旋转角已知的情况下，通过旋转相应的角度到达目标位置；另一种情况是已知起始点和终止点坐标，通过本发明中反向求解欧拉旋转角的方法，求解出相应的欧拉旋转角，从而完成相应的运动。

步骤3：判断两点坐标是否在运动轨迹球面上，若在运动轨迹球面上，则执行步骤4；否则，重新给定两点坐标后，返回步骤2；

由于永磁球形电机的运动轨迹在球面x²+y²+z²＝R²上，所以给定两点坐标必须在此球面上，否则无实际意义。

步骤4：假设两点坐标分别为A(x₀,y₀,z₀)、B(x₁,y₁,z₁)，则利用式(3)获得法向量n：

n＝(y₀z₁-y₁z₀,x₁z₀-x₀z₁,x₀y₁-x₁y₀) (3)

步骤5：对法向量n进行分解后，利用式(4)获得欧拉旋转角θ(α,β,γ)：

反向求解欧拉旋转角的具体求解推导方法如下：

如图2所示，在静坐标系XOY平面内有一点O₁(a,b,0)，绕z轴旋转角度后到达点O₂(c,d,0)，则可以看作绕向量OO₁与OO₂的法向量n₀旋转角度实现，设法向量n₀为n₀＝(n_x0,n_y0,n_z0)，则有：

n₀＝OO₁×OO₂＝(n_x0,n_y0,n_z0)＝(0,0,ac-bd) (5)

注意到，即法向量n₀不仅包含了旋转轴，而且包含了旋转角度的信息。将其扩展到三维空间中任意点的绕定轴转动，如图3所示，有空间中球面上任意点A(x₀,y₀,z₀)，B(x₁,y₁,z₁)。点A绕其法向量n＝(n_x,n_y,n_z)旋转φ角度后到达点B，这一过程可以通过分别绕x、y、z轴旋转α、β、γ角度来实现。将法向量n分解到X、Y、Z三个方向得到n_x、n_y、n_z，则上述旋转过程可以看作绕n_x、n_y、n_z分别旋转α、β、γ角度实现。则有：

n＝n_x+n_y+n_z＝OA×OB＝(n_x,n_y,n_z)＝(y₀z₁-y₁z₀,x₁z₀-x₀z₁,x₀y₁-x₁y₀) (8)

因此，可以得到式(4)中的欧拉旋转角的表达式

说明：若旋转轴不是单位1，即给定点不是单位化后的坐标点，实际求解法向量过程需要将已知点的坐标单位化，文中给定的已知点的坐标是单位化后的坐标。任意点P(x,y,z)，单位化后的坐标P_e(x_e,y_e,z_e)，则有

步骤6：常见的加速度函数有矩形波、三角波、正弦波、抛物线、指数函数等形式，在对比分析了三种形式简单常用的矩形波、三角波、正弦波后，最终选择了表达式简单且易于控制的正弦波作为加速度函数。

设运动周期为T，角位移为θ，角加速度为角速度为ω，从t＝0起始位置开始工作时间T，t＝T时到达终止位置，在给定永磁球形电机的运行时间T和初始角速度为0的条件下，利用式(11)得到永磁球形电机转子的角加速度式(12)为永磁球形电机转子的角速度表达式：

式(11)、(12)中t表示时间变量。

图4给出了相同周期相同角位移下的，矩形波、三角波、正弦波三种方式下的角加速度曲线图，图5给出了三种方式下的角速度曲线图。表2记录了纯倾斜运动下，矩形波、三角波、正弦波三种常见加速度函数规划下，角加速度最大值及转矩最大值。可以得出，三种方式下，矩形波方式下所需最大转矩最小、正弦波次之、三角波最大。所以，在时间和角位移相同的情况下，与三角波相比，矩形波所需的最大转矩减少了约50％，正弦波减少了约21.46％。可见，加速度的方式不同，对控制转矩的影响很大。结合图3和图4可以看出，加速度对时间的导数可表示加速度变化率，由式(2)可知，在永磁球形电机转矩中，它表示转矩的变化率。从三种方式下的角加速度波形可看出，矩形波虽然在前半周期和后半周期保持恒定，但在由正变负的瞬间，有很大的冲击，这个冲击会造成转矩的扰动；而三角波显然在峰值点处也不可导，即在该点处转矩变化也不平滑；正弦波相比另外两种波形，曲线变化平滑，数学表达式简单、具有周期性、易于控制等优点，并且正弦波在电力输送、变换等方面中已有广泛的应用。因此，在点到点的运动方式下，以正弦函数作为加速度规划函数是一种理想的选择。

表2三种方式下最大角加速度及最大转矩表

步骤7：利用式(13)获得永磁球形电机转子的转矩τ：

式(13)中，J表示永磁球形电机转子的转动惯量；

说明：由永磁球形电机转子的转动惯量和解析出的角加速度函数，根据公式(13)得到控制转矩，利用机械动力学仿真软件Adams实现动力学仿真。首先，进行永磁球形电机虚拟样机的转子建模，添加质量、约束等属性，完成三个方向的力矩添加；然后，校验模型，设置运行时间和步长，进行仿真；最后，进入后处理界面，分析仿真结果。

以纯倾斜运动为例，设转子输出轴定点从初始位置P₁(0,0.105,0)，经两秒后到达点P₂(-0.0617,0.085,0)，再经过两秒后到达点P₃(0.0617,0.085,0)，最后经过两秒回到点P₁。根据式(4)可以得到三次旋转的欧拉角分别为θ₁＝(0,0,0.6281)，θ₂＝(0,0,-1.2577)，θ₃＝(0,0,0.6281)。由式(11)可以得到每次旋转相应x、y、z轴的角加速度函数，由于是沿X方向的纯倾斜运动，故仅Z轴有角位移，所以仅对Z轴方向运动进行角加速度规划，X、Y轴方向角加速度为零。三次旋转的角加速度表达式分别为：

对应的控制转矩表达式分别为：

具体在Adams软件中进行动力学仿真时，可以用if函数来实现这种分段的表达式。对应转矩的if函数表达式如下：

设置仿真时间为6秒，步长为300，仿真结束后，可以观察后处理结果，进行仿真分析。

表3记录了纯倾斜运动下仿真结果，X方向的最大角加速度(a_xmax)和Z方向的最大位移(P_zmax)，其中e_ax表示与矩形波相比X方向最大角加速度误差，e_Pz表示与矩形波相比Z方向最大位移误差。图6是纯倾斜运动下输出轴顶点的运动轨迹图，通过Adams软件添加运动轨迹曲线获得。结合图7a可以看出，在周期相同、角位移相同的情况下，方式一所需控制转矩最小，方式三次之，方式二最大，这与理论分析一致。图7b和图7c分别是三种方式下纯倾斜运动X轴和Y轴的位移曲线，由于加速度方式的不同，X、Y方向的位移有微小的误差。由于输出轴沿X轴做纯倾斜运动，故在Z轴方向位移应始终为零，且其在X轴的角加速度应始终为零。但从图7d和图7e可以看出，矩形波加速方式中，加速度由正变负的瞬间引起了波动，其中在t＝3s时，波动最大，而三角波加速方式中，在加速度曲线的峰值时刻，波动也较明显，而在正弦波加速方式下，这种波动很小。图7f是三种方式下纯倾斜运动角速度曲线图，可以看出，矩形波及三角波方式下，在加速度不连续变化时刻，对角速度的影响。从表3可以看出，与矩形波方式相比，三角波方式下的X轴最大加速度误差减小了36.05％，正弦波方式下则减小了89.54％；三角波方式下的Z轴最大位移误差比矩形波方式小了1.38％，正弦波方式下则减少了79.36％。另外，从加速度的表达式可以看出，正弦函数具有周期性，控制起来也较方便，验证了加速度选择为正弦函数的优越性。

表3三种方式下X轴最大角加速度及Z轴位置误差对比

步骤8：判断时间变量t是否到达运行时间T，若到达，则永磁球形电机转子根据转矩τ完成永磁球形电机点到点的运动轨迹规划，永磁球形电机的运行结束，否则返回步骤7。

一种利用基于正弦加速度函数的永磁球形电机点到点运动轨迹规划方法的应用，将其应用于复杂连续轨迹的规划，即利用插值法找出运动轨迹球面上复杂连续轨迹的若干关键点，再按照步骤3至步骤8求出相邻两个关键点的运动轨迹规划，从而实现复杂连续轨迹的规划。

正弦函数y_sin的一般表达式见式(17)，根据力的合成和分解可知，通过改变正弦函数的幅值A_m和相位ψ，可以改变合力的大小和方向，从而得到复杂轨迹的控制转矩，实现复杂轨迹的轨迹规划。

y_sin＝A_m sin(wt+ψ)+k (17)

式(17)中w、k分别表示正弦函数的角频率和位移参数。

实施例1：类螺旋运动轨迹规划

如图8a，选取球面上螺旋曲线A0-A6共7个关键点，转子输出轴顶端从起始点A0出发，依次到达A1、A2、A3、A4、A5、A6，其坐标如表4所示。根据式(4)求解求出相邻两点间的3个欧拉旋转角，然后利用本发明提出基于正弦加速度函数的永磁球形电机轨迹规划方法，规定每相邻连点间运动时间为1秒，然后由式(11)求解出对应X、Y、Z方向的正弦加速度函数表达式，最后根据式(13)可得到控制转矩的函数表达式。由于螺旋运动每一圈的运动类似一个圆，对力矩表达式稍作修改，由式(17)知，将正弦函数相位延时角度，幅值不变，即余弦函数形式。这样，就得到了最终的控制转矩函数，在Adams软件中添加好转矩，设定仿真时间，就可以得到类似螺旋的运动轨迹，如图8b所示。

表4类螺旋运动关键点

实施例2：安徽大学首字母AHU轨迹的书写

如图9a，选取球面上AHU字母的17个关键点，从起始点B0开始，依次经过B1-B16，最后回到起始点B0，根据式(4)求解求出相邻两点间的3个欧拉旋转角，然后利用本发明提出基于正弦加速度函数的永磁球形电机轨迹规划方法，规定每相邻连点间运动时间为1秒，然后由式(11)求解出对应X、Y、Z方向的正弦加速度函数表达式，最后根据式(13)可得到控制转矩的函数表达式。在Adams软件用力矩采用if函数形式来表示，设置仿真时间为17秒，步长850，仿真运行后可得到其运动轨迹如图9b所示。

表5安徽大学首字母AHU关键点

Claims (2)

1.一种基于正弦加速度函数的永磁球形电机点到点运动轨迹规划方法，其特征是按如下步骤进行：

步骤1：以永磁球形电机转子为控制对象，分别建立定子静坐标系O-XYZ和转子动坐标系O-xyz，所述定子静坐标系O-XYZ和转子动坐标系O-xyz的原点O重合且固定在所述永磁球形电机转子的中心位置上；

以所述原点O作为球心，以所述球心O到所述永磁球形电机转子的输出轴顶点的距离R作为半径，得到所述永磁球形电机转子的运动轨迹球面；

步骤2：若直接给定欧拉旋转角，则执行步骤6；若给定所述定子静坐标系O-XYZ下的两点坐标，则执行步骤3；

步骤3：判断所述两点坐标是否在所述运动轨迹球面上，若在运动轨迹球面上，则执行步骤4；否则，重新给定两点坐标后，返回步骤2；

步骤4：假设所述两点坐标分别为A(x₀,y₀,z₀)、B(x₁,y₁,z₁)，则利用式(1)获得法向量n：

n＝(y₀z₁-y₁z₀,x₁z₀-x₀z₁,x₀y₁-x₁y₀) (1)

步骤5：对所述法向量n进行分解后，利用式(2)获得欧拉旋转角θ(α,β,γ)：

式(2)中，α、β、γ分别表示所述永磁球形电机转子从所述运动轨迹球面上点A运动到点B的过程中，分别绕所述定子静坐标系O-XYZ中的X轴、Y轴、Z轴旋转的角度；

步骤6：在给定所述永磁球形电机的运行时间T和初始角速度为0的条件下，利用式(3)得到所述永磁球形电机转子的角加速度

式(3)中，t表示时间变量；

步骤7：利用式(4)获得所述永磁球形电机转子的转矩τ：

式(4)中，J表示所述永磁球形电机转子的转动惯量；

步骤8：判断时间变量t是否到达运行时间T，若到达，则所述永磁球形电机转子根据所述转矩τ完成永磁球形电机点到点的运动轨迹规划，所述永磁球形电机的运行结束，否则返回步骤7。

2.一种利用权利要求1所述的基于正弦加速度函数的永磁球形电机点到点运动轨迹规划方法的应用，其特征是：应用于复杂连续轨迹的规划，即利用插值法找出运动轨迹球面上复杂连续轨迹的若干关键点，再按照步骤3至步骤8求出相邻两个关键点的运动轨迹规划，从而实现复杂连续轨迹的规划。