CN107370426B - 一种永磁球形电机四元数反馈线性化的运动控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种永磁球形电机四元数反馈线性化的运动控制方法,所适用的电机的定子线圈位于定子球壳内接正八面体的顶点、棱中点和面心处；永磁磁极的N、S极交替分布于转子球壳内接正六面体的顶点处，包括：根据PMSM定转子结构及洛伦兹法则，建立转子电磁转矩模型；根据PMSM定转子结构及楞次定律，建立定子反电动势模型；根据四元数特性，建立转子运动学模型；根据刚体牛顿‑欧拉旋转公式，建立转子动力学模型；根据运动学模型及动力学模型，建立PMSM整体运动模型；对整体运动模型进行坐标变换，得到解耦后的整体运动模型；对解耦后的整体运动模型进行反馈控制，得到闭环控制系统。

Description

一种永磁球形电机四元数反馈线性化的运动控制方法

技术领域

本发明属于永磁球形电机控制技术领域，尤其涉及一种将四元数及非线性系统解耦与电机运动特性相结合的控制算法。

背景技术

传统多自由度执行器由多个单自由度直驱电机和复杂机械传动装置组合而成，体积大、控制精度差且易受到外界扰动影响。与传统多自由度执行器相比，永磁球形电机(PMSM)具有体积小、精度高、响应速度快等优点，在航空航天、工业自动化和智能机器人等领域具有广泛的应用前景。由于PMSM结构特殊且发展时间较短，目前尚无统一的控制理论，因此在实际运用之前建立科学合理的动力模型及控制方案至关重要。

由于PMSM可以实现空间自由转动，为实施精确控制，需要对其转子位置进行准确描述。现有控制方法通常采用欧拉角作为球形电机的姿态描述量，但是当PMSM转动角度较大时，这种方法在控制过程中会周期性地出现奇异，增加了控制难度并且恶化了控制效果。此外，与传统电机定转子的平面排布不同，PMSM定转子为空间排布，转子磁场分布函数复杂，定子反电动势模型及转子电磁转矩模型与球形电机结构密切相关，使得PMSM数学模型具有强耦合、非线性等特点。

发明内容

本发明的目的是克服传统控制方法中由于采用欧拉角而产生的奇异，以及球形电机固有的轴间耦合，提出一种线性化的运动控制方法，技术方案如下：

一种永磁球形电机四元数反馈线性化的运动控制方法，所适用的电机的定子线圈位于定子球壳内接正八面体的顶点、棱中点和面心处，共计26个；永磁磁极的N、S极交替分布于转子球壳内接正六面体的顶点处，共计8个，控制方法如下：

(1)根据PMSM定转子结构及洛伦兹法则，建立转子电磁转矩模型：

式中T_i,j为线圈j、磁极i作用下转子电磁转矩，T为所有线圈磁极共同作用时的转子整体电磁转矩，I为定子线圈电流矢量，G为描述转矩-电流关系的系数矩阵，r_i和s_j分别为磁极i和线圈j的单位位置矢量，θ_i,j为线圈j、磁极i间的夹角，f(θ_i,j)为转子磁场分布的拟合函数。

(2)根据PMSM定转子结构及楞次定律，建立定子反电动势模型：

式中E_i,j为单线圈单磁极下线圈反电动势，E_j和E分别为定子各线圈反电动势及定子整体反电动势，ω为线圈j、磁极i的相对角速度，g(θ_i,j)为定子线圈反电动势的拟合函数。

(3)根据四元数特性，建立转子运动学模型：

式中

为q基于时间的导数，q＝[q₀ q₁ q₂ q₃]^T为姿态四元数，其中q_i，i＝1,2,3为转子单位方向向量在XYZ轴上的投影，

为姿态四元数补充值；ω＝[ω_xω_y ω_z]^T为转子角速度矢量，其中ω_x、ω_y和ω_z为转子角速度在XYZ轴上分量。此外，Q(q)为转子运动学模型关系矩阵；此外，根据刚体牛顿-欧拉旋转公式，建立转子动力学模型：

式中J＝diag(J_x,J_y,J_z)为转子转动惯量矩阵，其中J_x、J_y和J_z分别为以X、Y和Z轴为旋转轴的转子转动惯量；T＝[T_x T_y T_z]^T为施加在转子上的转矩矢量，其中T_x、T_y和T_z分别为转矩矢量在XYZ轴上分量。

(4)根据运动学模型及动力学模型，建立PMSM整体运动模型：

式中a₁＝(J_y-J_z)/J_x，a₂＝(J_z-J_x)/J_y，a₃＝(J_x-J_y)/J_z。

(5)对整体运动模型进行坐标变换，得到解耦后的整体运动模型：

式中y_i＝q_i,i＝1,2,3为输出量，v_i为虚拟输入量。

(6)对解耦后的整体运动模型实施反馈控制，得到闭环控制系统：

式中K_p和K_d分别为比例系数矩阵及微分系数矩阵；y＝[y₁ y₂ y₃]^T和

分别为实际输出矢量与期望矢量。

本发明的技术效果如下：

1、以四元数替代欧拉角作为球形电机姿态描述量，避免了欧拉角带来的转动奇异问题，降低了电机控制难度，优化了电机控制效果。

2、采用反馈线性化方式对球形电机非线性的运动模型进行解耦处理，消除轴间耦合，最终得出简单二阶线性模型，便于后续增加优化算法。

附图说明

图1是PMSM结构示意图,(a)为定子，(b)为转子

图中：1、永磁球形电机定子部分；101、定子线圈；102、定子球壳；2、永磁球形电机转子部分；201、永磁磁极；202、转子球壳。

图2是电磁转矩ANSOFT仿真模型

图3是电磁转矩拟合结果

图4是反电动势拟合结果

图5是PMSM整体模型

图6是闭环控制框图

图7是无扰动定点运动仿真结果

图8是带扰动定点运动仿真结果

图9是连续轨迹跟踪仿真结果

图10是不连续轨迹跟踪仿真结果

具体实施方式

本发明提供了一种永磁球形电机四元数反馈线性化的运动控制方法，下面结合附图和仿真实例对本发明进行详细的描述。本发明具体实施步骤如下：

1.本发明选择如图1所示永磁球形电机作为示例，电机包括定子部分1、转子部分2和支撑部件。定子部分1由定子线圈101和定子球壳102组成，其中定子球壳102所用材质为聚乳酸(PLA)，定子线圈101由PLA圆柱上绕制铜漆包线构成，且定子线圈101位于定子球壳102内接正八面体的顶点、棱中点和面心处，共计26个；转子部分2由永磁磁极201和转子球壳202组成，转子球壳202材质为PLA，永磁磁极201是圆柱型表面粘贴式稀土钕铁硼永磁体，N、S极交替分布于转子球壳202内接正六面体的顶点处，共计8个。此外，定转子间由支撑部件固定，以确保两者之间无摩擦。

根据定转子结构参数，利用有限元软件ANSOFT建立单线圈单磁极模型，如图2所示。对定子线圈通1A电流条件下磁极所受电磁转矩进行仿真，并利用MATLAB对所得的电磁转矩进行多项式拟合，拟合结果如图3所示，所得拟合函数为：

其中，f(θ_i,j)为电磁转矩拟合函数，θ_i,j为磁极线圈间夹角，pm为拟合多项式的各阶系数。根据洛伦兹力特性，可知电磁转矩与线圈电流大小成正比例关系，因此建立单线圈单磁极下电磁转矩模型为：

其中，T_i,j为线圈j和磁极i作用时转子电磁转矩，r_i和s_j分别为磁极i和线圈j的单位方向矢量，i_j为线圈j中所通电流。将上式转换为矩阵形式并采用叠加定理，可以得到所有线圈和磁极共同作用时转子整体电磁转矩模型为：

其中，T为转子整体电磁转矩，I为定子线圈电流矢量，G为转矩-电流系数矩阵。若已知球形电机转矩，可通过：

I＝G⁺T (4)求解所需定子电流，其中G⁺＝G^T(GG^T)^-1为转矩矩阵G的广义逆。

2.与步骤1类似，利用有限元软件ANSOFT建立单线圈单磁极模型，如图2所示。对定子线圈通恒定电流1A，转子旋转角速度为1rad/s条件下线圈反电动势进行仿真，并利用MATLAB对所得的反电动势进行多项式拟合，拟合结果如图4所示，所得拟合函数为：

其中，g(θ_i,j)为反电动势拟合函数，l_m为拟合多项式的各阶系数。根据楞次定律可知，线圈反电动势大小与线圈、磁极相对角速度成正比例关系，因此建立单线圈单磁极下线圈反电动势模型为：

E_i,j＝g(θ_i,j)ω (6)

其中，E_i,j为线圈j和磁极i作用时线圈中反电动势，ω为线圈j和磁极i的相对角速度。将上式转换为矩阵形式并采用叠加定理，可以得到定子整体反电动势模型为：

其中，E_j和E分别为所有线圈及磁极作用时线圈j反电动势及定子反电动势矢量。

此外，参考传统直流电机，建立PMSM电压方程：

其中，U为定子电压矢量，R为定子电阻矢量，L＝diag(L₁,L₂,…L₂₆)为定子电感矩阵。

3.(1)建立PMSM运动学模型

四元数最早由Hamilton提出，现在常用于表述三维空间内的坐标旋转变换。本发明中定义四元数为q＝[q₀ q₁ q₂ q₃]^T，其中q₁、q₂和q₃分别为转子单位方向向量在XYZ轴上的投影，并且有

根据四元数特性，可以得到旋转公式

其中，q_s为初始时刻球形电机转子位置，q_r为旋转变换后转子位置，q为将q_s转化成q_r的旋转四元数。左右两边同时求导可以得到

其中，

为q的共轭四元数，且

假定ω＝[ω_x ω_y ω_z]^T为转子角速度矢量，由于

和

化简(10)后可以得到PMSM运动学模型：

(2)建立PMSM动力学模型

由于PMSM转子磁极与转子球体紧密连接，运动时可以将转子整体视为刚体。根据刚体牛顿-欧拉旋转公式，建立PMSM动力学模型为：

其中，J＝diag(J_x,J_y,J_z)为转子转动惯量矩阵，J_x、J_y和J_z分别为以X、Y和Z轴为旋转轴的转子转动惯量；T＝[T_x T_y T_z]^T为施加在转子上的转矩矢量，在实际控制中T为电磁转矩矢量，其中T_x、T_y和T_z分别为转矩矢量在XYZ轴上分量。

综合上述，根据公式(3)、(8)、(11)及(12)，可以得到永磁球形电机整体模型如图5所示。PMSM模型包含电气模型、转矩模型、动力学模型、运动学模型和反电动势模型等五部分，其中动力学模型和运动学模型具有非线性、强耦合特性，在下文中将对这两部分进行反馈线性化解耦。

4.根据PMSM动力学模型及运动学模型，建立电机整体运动模型为：

其中，a₁＝(J_y-J_z)/J_x，a₂＝(J_z-J_x)/J_y，a₃＝(J_x-J_y)/J_z。定义输入矢量u＝T，输出矢量y＝[q₁ q₂ q₃]^T，状态变量x＝[ω_x ω_y ω_z q₀ q₁ q₂ q₃]^T，则上式可写成：

其中，

(1)坐标变换

对于(14)，可以计算得到：

其中，L为李导数。为保证对

均有||L_gL_fh||≠0，定义：

其中，ε为极小值。此时有相对阶r＝6。定义映射z＝Φ(x)为：

其中，ξ为外状态，η为内状态。因此有：

其中，

C＝diag(C₁,C₂,C₃)，C₁＝C₂＝C₃＝[1 0]^T。此外，

b(ξ,η)＝[b₁ b₂ b₃ b₄ b₅ b₆]^T (19)

A(ξ,η)＝[A₁ A₂ A₃ A₄ A₅ A₆]^T (22)

A₁＝A₃＝A₅＝[0 0 0] (23)

进一步变换(18)中外状态部分可得：

其中，

A₀＝diag(A₀₁,A₀₂,A₀₃) (26)

B₀＝diag(B₀₁,B₀₂,B₀₃) (27)

u＝A(ξ,η)⁺(A₀ξ+B₀v-b(ξ,η)) (29)

其中，v是虚拟输入，

和A(ξ,η)⁺分别为B₀和A(ξ,η)的广义逆，且

将(30)代入(18)可得

即原PMSM运动模型解耦为三个互不关联的二阶线性系统。

(2)反馈控制

针对(31)中的二阶线性系统，采用PD算法进行闭环控制。定义误差信号为

其中，y和y_d分别为实际输出与期望输出，e和

分别为误差信号和差分误差信号。设定反馈控制率为：

其中，K_p和K_d分别为比例系数矩阵以及微分系数矩阵，y＝[y₁ y₂ y₃]^T和

分别为实际输出矢量和期望矢量。结合公式(4)，可以得到解耦后整体闭环控制框图如图6所示。

5.为证实本方法的有效性，在MATLAB/Simulink环境下构建模块，分别进行定点运动和轨迹跟踪仿真验证。定点运动实验分为无扰动和带外部扰动两种，在无扰动仿真，初始位置定为[0 0 1]^T，目标轨迹为[1 0 0]^T、[-1 0 0]^T、[0 0 1]^T和[1 0 0]^T，比例及微分系数矩阵分别设为K_p＝diag(9.5,9,10)和K_d＝diag(5,5,6)，仿真结果如图5所示。在带外部扰动仿真中，初始位置定为[0 0 1]^T，目标位置为[1 0 0]^T。在4s≤t≤4.5s内，施加扰动T_E＝[0.03 0.03 0.03]^T N·m,结果如图6所示；轨迹跟踪实验中，连续轨迹跟踪结果及不连续轨迹跟踪结果分别如图7和图8所示。较好的仿真结果验证了本方法的正确性和有效性。

Claims (1)

1.一种永磁球形电机四元数反馈线性化的运动控制方法,所适用的电机的定子线圈位于定子球壳内接正八面体的顶点、棱中点和面心处，共计26个；永磁磁极(202)的N、S极交替分布于转子球壳内接正六面体的顶点处，共计8个，包括下列步骤：

(1)根据PMSM定转子结构及洛伦兹法则，建立转子电磁转矩模型：

式中T_i,j为线圈j、磁极i作用下转子电磁转矩，T为所有线圈磁极共同作用时的转子整体电磁转矩，I为定子线圈电流矢量，G为描述转矩-电流关系的系数矩阵，r_i和s_j分别为磁极i和线圈j的单位位置矢量，θ_i,j为线圈j、磁极i间的夹角，f(θ_i,j)为转子磁场分布的拟合函数；

(2)根据PMSM定转子结构及楞次定律，建立定子反电动势模型：

式中E_i,j为单线圈单磁极下线圈反电动势，E_j和E分别为定子各线圈反电动势及定子整体反电动势，ω为线圈j、磁极i的相对角速度，g(θ_i,j)为定子线圈反电动势的拟合函数；

(3)根据四元数特性，建立转子运动学模型：

式中

为q基于时间的导数，q＝[q₀ q₁ q₂ q₃]^T为姿态四元数，其中q_i，i＝1,2,3为转子单位方向向量在XYZ轴上的投影，

为姿态四元数补充值；ω＝[ω_x ω_yω_z]^T为转子角速度矢量，其中ω_x、ω_y和ω_z为转子角速度在XYZ轴上分量；此外，Q(q)为转子运动学模型关系矩阵；此外，根据刚体牛顿-欧拉旋转公式，建立转子动力学模型：

式中J＝diag(J_x,J_y,J_z)为转子转动惯量矩阵，其中J_x、J_y和J_z分别为以X、Y和Z轴为旋转轴的转子转动惯量；T＝[T_x T_y T_z]^T为施加在转子上的转矩矢量，其中T_x、T_y和T_z分别为转矩矢量在XYZ轴上分量；

(4)根据运动学模型及动力学模型，建立PMSM整体运动模型：

式中a₁＝(J_y-J_z)/J_x，a₂＝(J_z-J_x)/J_y，a₃＝(J_x-J_y)/J_z；

(5)对整体运动模型进行坐标变换，得到解耦后的整体运动模型：

式中y_i＝q_i,i＝1,2,3为输出量，v_i为虚拟输入量；

(6)对解耦后的整体运动模型进行反馈控制，得到闭环控制系统：

式中K_p和K_d分别为比例系数矩阵及微分系数矩阵；y＝[y₁ y₂ y₃]^T和

分别为实际输出矢量与期望矢量。

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