CN106194903A - 一种气动位置伺服系统的分数阶滑模变结构控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种气动位置伺服系统的分数阶滑模变结构控制方法，步骤包括：步骤1、建立控制对象的气动位置伺服系统的模型；步骤2、构建该气动位置伺服系统的分数阶滑模面；步骤3、设置该气动位置伺服系统的指数趋近率；步骤4、构建分数阶滑模变结构的控制器，计算机通过D/A转换将经过限幅的控制信号输出给比例阀，比例阀再控制无杆气缸气腔A侧和气腔B侧的压力大小，实时调节无杆气缸中活塞的位移y，即成。本发明方法不需要增加压力检测硬件或压力辨识和估计算法，能够获得更好的跟踪效果和更高的控制精度。

Description

一种气动位置伺服系统的分数阶滑模变结构控制方法

技术领域

本发明属于高精度位置跟踪控制技术领域，涉及一种气动位置伺服系统的分数阶滑模变结构控制方法。

背景技术

气动系统是以压缩空气为工作介质，防火、防电磁干扰、不受放射线及噪声的影响，且对振动及冲击也不敏感。由于其结构简单、功率体积比高、安全防爆、清洁和使用寿命长等特点，在工业自动化领域得到了广泛应用。

但是由于气体的可压缩性、气体通过阀口的复杂流动特性、气缸与滑块之间的摩擦力相对较大，使得气动位置伺服系统的高精度跟踪控制十分困难。近年来，将分数微积分理论应用于控制领域已经引起了一些研究人员的兴趣。研究结果表明，机械惯性也可能是分数阶的，流体力学具有分数阶特性，而以压缩空气驱动的气动系统也可能是分数阶的，因此分数阶控制器能够期望得到更好的控制效果。

发明内容

本发明的目的在于提供一种气动位置伺服系统的分数阶滑模变结构控制方法，解决了现有技术对气动位置伺服系统的精度跟踪难以控制的问题。

本发明采用的技术方案是，一种气动位置伺服系统的分数阶滑模变结构控制方法，按照以下步骤具体实施：

步骤1、建立控制对象的气动位置伺服系统的模型

假设该气动位置伺服系统满足如下条件：1)所使用的工作介质为理想气体；2)气体流经各个阀口或其它节流口时的流动状态均为等熵绝热过程；3)在同一容腔内气体压力和温度处处相等；4)忽略泄漏；5)活塞运动时，无杆气缸两侧气腔内的气体变化过程均为绝热过程；6)气源压力和大气压力恒定；7)与系统动态特性相比，比例阀的惯性可以忽略，

根据上述假设的气动位置伺服系统的机理建模忽略摩擦，进行线性化，得到线性化后的数学模型如下式(1)：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=x_3\\ {\stackrel{\·}{x}}_3=a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3+bu\\ y=x_1\end{array}\right.,---\left(1\right)$

其中，x₁、x₂、x₃为系统状态变量，x₁、x₂、x₃分别表示活塞的位置、速度和加速度；分别对应为x₁、x₂、x₃的一阶导数，a₁，a₂，a₃为未知模型参数，b为系统控制增益，u为控制输入，y表示活塞位移，控制目标是使活塞位移y都能跟踪所要求的期望输出y_d，或称为参考信号y_d；

步骤2、构建该气动位置伺服系统的分数阶滑模面

假设：参考信号y_d的三阶导数分段连续且有界，针对式(1)表示的气动位置伺服系统模型，定义分数阶滑模面s为：

$s=\stackrel{\·\·}{e}+2{\mathrm{\λD}}^{\mathrm{\μ}}e+{\mathrm{\λ}}^{2}e,---\left(2\right)$

式中，e＝y-y_d(t)，是e的二阶导数，λ为滑模面参数，1<μ<2为分数阶阶次；表示对误差e的μ阶分数阶微分，计算点数[·]表示取整运算，L为指定记忆长度，h为采样步长，n越大近似性能越好；

q_μ,0＝1，

对s求导得到其导数如下式(3)：

$\stackrel{\&CenterDot;}{s}=\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}+2{\mathrm{\&lambda;D}}^{\mathrm{\&mu;}+1}e+{\mathrm{\&lambda;}}^2\stackrel{\&CenterDot;}{e},---\left(3\right)$

其中，D^μ+1e是对误差e的μ+1阶分数阶微分，是e的一阶导数，是e的三阶导数；

步骤3、设置该气动位置伺服系统的指数趋近率

为改进滑模趋近阶段的动态品质，采用指数趋近率，如下式(4)：

$\stackrel{\&CenterDot;}{s}=-\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{sgn}\left(s\right)-ks,---\left(4\right)$

其中ε>0,k>0，均为控制器参数；sgn(s)为s的符号函数，其表达式是：

$\mathrm{sgn}\left(s\right)=\{\begin{array}{cc}1& s>0\\ 0& s=0\\ -1& s<0\end{array},$

联立式(3)和式(4)得到下式(5)：

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}=(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d)=-\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{sgn}\left(s\right)-ks-2{\mathrm{\&lambda;D}}^{\mathrm{\&mu;}+1}e-{\mathrm{\&lambda;}}^2\stackrel{\&CenterDot;}{e},---\left(5\right)$

其中，分别为y、y_d的三阶导数；

步骤4、构建分数阶滑模变结构的控制器

由式(1)、式(4)和式(5)得出控制律为：

$u^{\&prime;}=\frac{1}{b}\&lsqb;-\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{sgn}\left(s\right)-ky-a_1{x}_1-a_2{x}_2-a_3{x}_3+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d-2{\mathrm{\&lambda;D}}^{\mathrm{\&mu;}+1}e-{\mathrm{\&lambda;}}^2\stackrel{\&CenterDot;}{e}\&rsqb;,---\left(6\right)$

对控制信号u′进行限幅，如下式(7)：

$u=\left\{\begin{array}{cc}{U}_{max}& u^{\&prime;}>U_{max}\\ u^{\&prime;}& -U_{max}\&le;u^{\&prime;}\&le;U_{max}\\ -U_{max}& u^{\&prime;}<-U_{\max }\end{array}\right.,---\left(7\right)$

计算机通过D/A转换将经过限幅的控制信号输出给比例阀，比例阀再控制无杆气缸气腔A侧和气腔B侧的压力大小，实时调节无杆气缸中活塞的位移y，即成。

本发明方法的有益效果是：1)不需要增加压力检测硬件或压力辨识和估计算法；2)与现有一些控制方法相比，能够获得更好的跟踪效果和更高的控制精度。

附图说明

图1是本发明方法控制对象(比例阀控制无杆气缸)的结构示意图；

图2是采用本发明方法跟踪正弦信号的实验结果；

图3是采用本发明方法跟踪S曲线的实验结果；

图4是采用本发明方法跟踪多频正弦信号的实验结果；

图5是采用滑模变结构1方法跟踪正弦信号的实验结果；

图6是采用滑模变结构1方法跟踪S曲线的实验结果；

图7是采用滑模变结构1方法跟踪多频正弦信号的实验结果；

图8是采用滑模变结构2方法跟踪正弦信号的实验结果；

图9是采用滑模变结构2方法跟踪S曲线的实验结果；

图10是采用滑模变结构2方法跟踪多频正弦信号的实验结果；

图11是采用反步自适应1方法跟踪正弦信号的实验结果；

图12是采用反步自适应1方法跟踪S曲线的实验结果；

图13是采用反步自适应1方法跟踪多频正弦信号的实验结果；

图14是采用反步自适应2方法跟踪正弦信号的实验结果；

图15是采用反步自适应2方法跟踪S曲线的实验结果；

图16是采用反步自适应2方法跟踪多频正弦信号的实验结果。

图中，1.活塞，2.位移检测仪，3.无杆气缸，4.比例阀，5.计算机，6.减压阀，7.气泵，8.储气罐。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。

本发明的控制方法，按照以下四个步骤具体实施：

步骤1、建立控制对象的气动位置伺服系统的模型

参照图1，本发明方法控制对象的气动位置伺服系统的结构是，包括无杆气缸3和比例阀4，活塞1将无杆气缸3的内腔分隔为气腔A侧和气腔B侧，活塞1对外与位移检测仪2对应接触，位置检测仪2的输出信号通过A/D转换后与计算机5连接，即位置检测仪2的输出信号通过A/D转换后输入计算机5中；比例阀4为三位五通比例伺服阀，无杆气缸3的气腔A侧和气腔B侧分别与比例阀4的两个出气端(两个Po端)对应联通，比例阀4进气端(Pu端)与储气罐8连通，储气罐8通过减压阀6与气泵7联通，计算机5通过D/A转换后与比例阀4连接，将控制器的输出信号发送给比例阀4。

假设该气动位置伺服系统满足如下条件：1)所使用的工作介质(空气)为理想气体；2)气体流经各个阀口或其它节流口时的流动状态均为等熵绝热过程；3)在同一容腔内气体压力和温度处处相等；4)忽略泄漏；5)活塞1运动时，无杆气缸3两侧气腔内的气体变化过程均为绝热过程；6)气源压力和大气压力恒定；7)与系统动态特性相比，比例阀4的惯性可以忽略。

根据上述假设的气动位置伺服系统的机理建模忽略摩擦，进行线性化，得到线性化后的数学模型如下式(1)：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=x_3\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3+bu\\ y=x_1\end{array}\right.,---\left(1\right)$

其中，x₁、x₂、x₃为系统状态变量，x₁、x₂、x₃分别表示活塞的位置、速度和加速度；分别对应为x₁、x₂、x₃的一阶导数，a₁，a₂，a₃为未知模型参数，b为系统控制增益，u为控制输入，y表示活塞位移，控制目标是使活塞位移y都能跟踪所要求的期望输出y_d，或称为参考信号y_d；

步骤2、构建该气动位置伺服系统的分数阶滑模面

在设计控制器之前，先做如下假设：

假设：参考信号y_d的三阶导数分段连续且有界，

针对式(1)表示的气动位置伺服系统模型，定义分数阶滑模面s为：

$s=\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}+2{\mathrm{\&lambda;D}}^{\mathrm{\&mu;}}e+{\mathrm{\&lambda;}}^{2}e,---\left(2\right)$

式中，e＝y-y_d(t)，是e的二阶导数，λ为滑模面参数，1<μ<2为分数阶阶次；表示对误差e的μ阶分数阶微分，计算点数[·]表示取整运算，L为指定记忆长度，h为采样步长，n越大近似性能越好；

q_μ,0＝1，

对s求导得到其导数如下式(3)：

$s=\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}+2{\mathrm{\&lambda;D}}^{\mathrm{\&mu;}}e+{\mathrm{\&lambda;}}^{2}e,---\left(3\right)$

其中，D^μ+1e是对误差e的μ+1阶分数阶微分，是e的一阶导数，是e的三阶导数；在此，分数阶滑模变结构的控制器参数优选λ＝41，μ＝1.5，h＝0.01，n＝20。

步骤3、设置该气动位置伺服系统的指数趋近率

为改进滑模趋近阶段的动态品质，采用指数趋近率，如下式(4)：

$\stackrel{\&CenterDot;}{s}=-\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{sgn}\left(s\right)-ks---\left(4\right)$

其中ε>0,k>0，均为控制器参数；sgn(s)为s的符号函数，其表达式是：

$\mathrm{sgn}\left(s\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& s>0\\ 0& s=0\\ -1& s<0\end{array}\right.$

联立式(3)和式(4)得到下式(5)：

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}=(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d)=-\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{sgn}\left(s\right)-ks-2{\mathrm{\&lambda;D}}^{\mathrm{\&mu;}+1}e-{\mathrm{\&lambda;}}^2\stackrel{\&CenterDot;}{e},---\left(5\right)$

其中，分别为y、y_d的三阶导数；

步骤4、构建分数阶滑模变结构的控制器

由式(1)、式(4)和式(5)得出控制律为：

$u^{\&prime;}=\frac{1}{b}\&lsqb;-\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{sgn}\left(s\right)-ky-a_1{x}_1-a_2{x}_2-a_3{x}_3+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d-2{\mathrm{\&lambda;D}}^{\mathrm{\&mu;}+1}e-{\mathrm{\&lambda;}}^2\stackrel{\&CenterDot;}{e}\&rsqb;,---\left(6\right)$

在此，分数阶滑模变结构的控制器参数取ε＝5，k＝60；通过辨识可粗略得到式(1)三阶线性系统的模型参数为a₁＝0，a₂＝-218.43，a₃＝-29.55，b＝5559.20，

对控制信号u′进行限幅，如下式(7)：

$u=\left\{\begin{array}{cc}{U}_{max}& u^{\&prime;}>U_{max}\\ u^{\&prime;}& -U_{max}\&le;u^{\&prime;}\&le;U_{max}\\ -U_{max}& u^{\&prime;}<-U_{\max }\end{array}\right.,---\left(7\right)$

在此控制限幅优选U_max＝1.95V，

计算机5通过D/A转换将经过限幅的控制信号输出给比例阀4，比例阀4再控制无杆气缸3气腔A侧和气腔B侧的压力大小，实时调节无杆气缸3中活塞1的位移y，即成。

实施例

图1实施例所示的气动位置伺服系统中，各个部件选用型号分别是：无杆气缸3选用FESTO公司的型号为DGPL-25-450-PPV-A-B-KF-GK-SV；比例阀4为三位五通结构，型号为MPYE-5-1/8-HF-010-B；位移检测仪2为滑动电阻式直线结构，型号为MLO-POT-450-TLF；计算机5的CPU型号为P21.2GHz；通用数据采集卡的型号为PCI2306。计算机内置的控制软件采用Visual Basic编制，通过屏幕交互界面显示控制过程中相关变量的变化曲线。

控制目标分别设置为：

参考信号1：单频正弦信号

y_d＝111.65sin(0.5πt)， (8)

参考信号2：S曲线

$y_d=\left\{\begin{array}{cc}-\&lsqb;55.825/{\left(0.5\mathrm{\&pi;}\right)}^2\&rsqb;sin\left(0.5\mathrm{\&pi;}t\right)+\&lsqb;55.825/\left(0.5\mathrm{\&pi;}\right)\&rsqb;t& t<4s\\ 142.157mm& t\&GreaterEqual;4s\end{array}\right.,---\left(9\right)$

参考信号3：多频正弦信号

y_d＝167.475[sin(πt)+sin(0.5πt)+sin(2πt/7)+sin(πt/6)+sin(2πt/17)]，10)

采用式(6)及式(7)的分数阶滑模变结构控制器进行控制实验。

本实施例中的参数分别设置为：a₁＝0，a₂＝-218.43，a₃＝-29.55，b＝5559.20，λ＝41，μ＝1.5，ε＝5，k＝60，h＝0.01，n＝20，控制限幅U_max＝1.95V，当跟踪期望目标分别为式(8)-式(10)时，稳态跟踪曲线分别如图2、图3、图4所示。

图5-图16给出了采用现有技术的四种结构(即滑模变结构1和滑模变结构2，反步自适应1和反步自适应2)的控制方式时，跟踪相同期望输出时的控制效果，通过对比可见，本发明方法的跟踪精度更高。

滑模变结构1的方法参照文献[T.Nguyen,J.Leavitt,F.Jabbari,J.E.Bobrow.Accurate Slide-Mode Control of Pneumatic Systems Using Low-CostSolenoid Valves.IEEE/ASME Transactions on Mechatronics,2007,12(2):216-219]，滑模变结构1的控制器表达式如下：

$s=\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d+2\mathrm{\&zeta;}\mathrm{\&omega;}(\stackrel{\&CenterDot;}{y}-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d)+{\mathrm{\&omega;}}^2(y-y_d),---\left(11\right)$

u＝-k_s2sgn(s)， (12)

该滑模变结构1的控制方法针对开关阀控制气缸，实际的控制由式(12)给出，k_s2＝1，u＝1对应阀开，u＝-1对应阀关。

本发明中采用比例阀，因此取k_s2＝1.56V控制比例阀的开度幅值，控制器参数ξ＝1，ω＝50实现控制，控制结果曲线分别参照图5-图7所示。

滑模变结构2的方法参照文献[Gary M.Bone,Shu Ning.ExperimentalComparison of Position Tracking Control Algorithms for Pneumatic CylinderActuators.IEEE/ASME Transactions on Mechatronics,2007,12(5):557-561]，滑模变结构2的控制器表达式如下：

$s=\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d+2\mathrm{\&lambda;}(\stackrel{\&CenterDot;}{y}-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d)+{\mathrm{\&lambda;}}^2(y-y_d),---\left(13\right)$

$u_{eq}=\frac{1}{m_0}\&lsqb;{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d+n_2\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}+n_1\stackrel{\&CenterDot;}{y}+n_{0}y-2\mathrm{\&lambda;}(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d)-{\mathrm{\&lambda;}}^2(\stackrel{\&CenterDot;}{y}-{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_d)\&rsqb;,---\left(14\right)$

u_s＝-k_s1sat(s/φ)， (15)

u′＝u_eq+u_s， (16)

实际的控制由式(16)给出，控制输出的限幅如式(7)给出与本发明方法相同，其中模型标称参数n₂＝29.5544，n₁＝218.436，n₀＝0，m₀＝5531.3305控制器参数λ＝50，k_s1＝2.44×10⁴，φ＝0.05实现控制，控制结果曲线参照图8-图10所示。

反步自适应1的方法参照文献[Ren H P,Huang C.Adaptive BacksteppingControl of Pneumatic Servo System.In Proceeding of the 2013IEEE InternationalSymposium on Industrial Electronics,Taibei,May 28-31,2013:1-6.]，反步自适应1的控制器表达式如下：

$u^{\&prime;}=\frac{1}{\hat{b}}(-z_2-{\hat{a}}_1{z}_1-{\hat{a}}_1{y}_d-{\hat{a}}_2{z}_2-{\hat{a}}_2{\mathrm{\&alpha;}}_1-{\hat{a}}_3{\mathrm{\&alpha;}}_2+{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_2),---\left(17\right)$

$\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{\hat{b}}=\&Integral;(-\mathrm{\&lambda;})z_1{y}_{d}dt\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{a}}}_1=-{\mathrm{\&beta;}}_1{z}_1{x}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{a}}}_2=-{\mathrm{\&beta;}}_2{z}_1{x}_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{a}}}_3=-{\mathrm{\&beta;}}_3{z}_1{x}_3\end{array}\right.,---\left(18\right)$

实际的控制由式(17)给出，控制输出的限幅如式(7)给出与本发明方法相同，控制器参数c₁＝c₂＝50，λ＝β₁＝β₂＝β₃＝1实现控制，控制结果曲线分别参照图11-图13所示。

反步自适应2的方法参照文献[Ren H P,Huang C.Experimental TrackingControl for Pneumatic System.In Proceeding of the 2013IEEE 39th AnnualConference on Industrial Electronics Society,Vienna,Austria,November 10-13,2013:4126-4130.]，反步自适应2的控制器表达式如下：

$u^{\&prime;}=\hat{p}\stackrel{\&OverBar;}{u},---\left(19\right)$

$\stackrel{\&OverBar;}{u}={\mathrm{\&alpha;}}_2+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_m,---\left(20\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{p}}=-\mathrm{\&gamma;}sgn\left(m_0\right)\stackrel{\&OverBar;}{u}{z}_3,---\left(21\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{A}}=\mathrm{\&Gamma;}\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)z_3,---\left(22\right)$

实际的控制由式(19)给出，控制输出的限幅如式(7)给出与本发明方法相同，控制器参数c₁＝c₂＝50，λ＝1，Γ＝diag[1 1 1]实现控制，控制结果曲线分别参照图14-图16所示。

为了更加直观的说明本发明方法的控制效果，在跟踪不同期望目标的情况下定量地计算了跟踪误差，定义稳态均方根误差为：

$RMSE=\sqrt{\frac{1}{N_2-N_1}\underset{k=N_1}{\overset{N_2}{\&Sigma;}}{e}_k^2},---\left(23\right)$

其中N₁为比较开始时刻，N₂为比较结束时刻，e_k＝y(kΔT)-y_d(kΔT)，ΔT为采样时间间隔。为避免不同初值和随机干扰的影响，对每种输入信号的跟踪进行了多次试验，给出其中五次的实验结果，其结果如表1-表3所示。

表1、本发明方法与现有控制方法在跟踪式(8)时的稳态误差对比

表2、本发明方法与现有控制方法在跟踪式(9)时的稳态误差对比

表3、本发明方法与现有控制方法在跟踪式(10)时的稳态误差对比

对比上述表1-表3中的结果可见，在各种期望目标的情况下，相比现有技术的四种控制方法，本发明方法均能获得更高的跟踪精度。

Claims (4)

1.一种气动位置伺服系统的分数阶滑模变结构控制方法，其特征在于，按照以下步骤具体实施：

步骤1、建立控制对象的气动位置伺服系统的模型

假设该气动位置伺服系统满足如下条件：1)所使用的工作介质为理想气体；2)气体流经各个阀口或其它节流口时的流动状态均为等熵绝热过程；3)在同一容腔内气体压力和温度处处相等；4)忽略泄漏；5)活塞(1)运动时，无杆气缸(3)两侧气腔内的气体变化过程均为绝热过程；6)气源压力和大气压力恒定；7)与系统动态特性相比，比例阀(4)的惯性可以忽略，

根据上述假设的气动位置伺服系统的机理建模忽略摩擦，进行线性化，得到线性化后的数学模型如下式(1)：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=x_3\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_3=a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3+bu\\ y=x_1\end{array}\right.,---\left(1\right)$

其中，x₁、x₂、x₃为系统状态变量，x₁、x₂、x₃分别表示活塞的位置、速度和加速度；分别对应为x₁、x₂、x₃的一阶导数，a₁，a₂，a₃为未知模型参数，b为系统控制增益，u为控制输入，y表示活塞位移，控制目标是使活塞位移y都能跟踪所要求的期望输出y_d，或称为参考信号y_d；

步骤2、构建该气动位置伺服系统的分数阶滑模面

假设：参考信号y_d的三阶导数分段连续且有界，针对式(1)表示的气动位置伺服系统模型，定义分数阶滑模面s为：

$s=\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}+2{\mathrm{\&lambda;D}}^{\mathrm{\&mu;}}e+{\mathrm{\&lambda;}}^{2}e,---\left(2\right)$

式中，e＝y-y_d(t)，是e的二阶导数，λ为滑模面参数，1<μ<2为分数阶阶次；表示对误差e的μ阶分数阶微分，计算点数[·]表示取整运算，L为指定记忆长度，h为采样步长，n越大近似性能越好；

q_μ,0＝1，对s求导得到其导数如下式(3)：

$\stackrel{\&CenterDot;}{s}=\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}+2{\mathrm{\&lambda;D}}^{\mathrm{\&mu;}+1}e+{\mathrm{\&lambda;}}^2\stackrel{\&CenterDot;}{e},---\left(3\right)$

其中，D^μ+1e是对误差e的μ+1阶分数阶微分，是e的一阶导数，是e的三阶导数；

步骤3、设置该气动位置伺服系统的指数趋近率

为改进滑模趋近阶段的动态品质，采用指数趋近率，如下式(4)：

$\stackrel{\&CenterDot;}{s}=-\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{sgn}\left(s\right)-ks,---\left(4\right)$

其中ε>0,k>0，均为控制器参数；sgn(s)为s的符号函数，其表达式是：

$\mathrm{sgn}\left(s\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& s>0\\ 0& s=0\\ -1& s<0\end{array}\right.,$

联立式(3)和式(4)得到下式(5)：

$\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{e}=(\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}-{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d)=-\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{sgn}\left(s\right)-ks-2{\mathrm{\&lambda;D}}^{\mathrm{\&mu;}+1}e-{\mathrm{\&lambda;}}^2\stackrel{\&CenterDot;}{e},---\left(5\right)$

其中，分别为y、y_d的三阶导数；

步骤4、构建分数阶滑模变结构的控制器

由式(1)、式(4)和式(5)得出控制律为：

$u^{\&prime;}=\frac{1}{b}\&lsqb;-\mathrm{\&epsiv;}\mathrm{sgn}\left(s\right)-ks-a_1{x}_1-a_2{x}_2-a_3{x}_3+{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;}{y}}_d-2{\mathrm{\&lambda;D}}^{\mathrm{\&mu;}+1}e-{\mathrm{\&lambda;}}^2\stackrel{\&CenterDot;}{e}\&rsqb;,---\left(6\right)$

对控制信号u′进行限幅，如下式(7)：

$u=\left\{\begin{array}{cc}{U}_{max}& u^{\&prime;}>U_{max}\\ u^{\&prime;}& -U_{max}\&le;u^{\&prime;}\&le;U_{max}\\ -U_{max}& u^{\&prime;}<-U_{\max }\end{array}\right.,---\left(7\right)$

计算机(5)通过D/A转换将经过限幅的控制信号输出给比例阀(4)，比例阀(4)再控制无杆气缸(3)气腔A侧和气腔B侧的压力大小，实时调节无杆气缸(3)中活塞(1)的位移y，即成。

2.根据权利要求1所述的气动位置伺服系统的分数阶滑模变结构控制方法，其特征在于：所述的步骤1中，气动位置伺服系统的结构是，包括无杆气缸(3)和比例阀(4)，活塞(1)将无杆气缸(3)的内腔分隔为气腔A侧和气腔B侧，活塞(1)对外与位移检测仪(2)对应接触，位置检测仪(2)的输出信号通过A/D转换后与计算机(5)连接；比例阀(4)为三位五通比例伺服阀，无杆气缸(3)的气腔A侧和气腔B侧分别与比例阀(4)的两个出气端对应联通，比例阀(4)进气端与储气罐(8)连通，储气罐(8)通过减压阀(6)与气泵(7)联通，计算机(5)通过D/A转换后与比例阀(4)连接。

3.根据权利要求1所述的气动位置伺服系统的分数阶滑模变结构控制方法，其特征在于：所述的步骤2中，分数阶滑模变结构的控制器参数为λ＝41，μ＝1.5，h＝0.01，n＝20。

4.根据权利要求1所述的气动位置伺服系统的分数阶滑模变结构控制方法，其特征在于：所述的步骤4中，分数阶滑模变结构的控制器参数ε＝5，k＝60；通过辨识粗略得到式(1)三阶线性系统的模型参数为a₁＝0，a₂＝-218.43，a₃＝-29.55，b＝5559.20，控制限幅U_max＝1.95V。