CN113625573A - 受非对称死区输入影响的分数阶系统反步滑模控制方法 - Google Patents

Abstract

非对称死区输入影响的分数阶系统反步滑模控制方法，建立严格反馈分数阶系统数学模型；根据分数阶微积分算子构建合适形式滑模面；构建辅助分数阶系统补偿非对称死区输入的影响；确定分数阶数学模型中未知参数的自适应更新律；基于转换变量系统并结合分数阶分布频率模型，选择合适的Lyapunov函数逐级确定各虚拟控制器形式；采用间接Lyapunov稳定性分析方法验证滑模趋近阶段的稳定性。本发明基于分数阶频率分布模型的间接Lyapunov稳定理论的使用可以确保整个设计过程合理有效，从而验证反步滑模控制法在具有严格反馈结构的分数阶系统的自适应镇定控制中具有很好的控制效果，系统全部未知参数可以被有效辨识，增强系统鲁棒性。

Description

受非对称死区输入影响的分数阶系统反步滑模控制方法

技术领域

本发明属于室内外无缝定位技术领域，特别是涉及受非对称死区输入影响的分数阶系统反步滑模控制方法。

背景技术

随着分数阶微积分理论的发展，越来越多的学者开始在分数阶系统的控制中讨论非光滑非线性特性的影响，这些非线性特性的存在会使得系统性能变差，甚至会使系统变得不稳定。采用分数阶微积分对实际工程系统建模相比整数阶微积分理论有更精确的效果，由于分数阶算子的奇异性与复杂性，目前很多关于分数阶系统的控制研究中很难像整数阶系统构建统一形式的Lyapunov函数，导致分数阶系统的稳定性分析一直是分数阶系统研究中的重点和难点，除此之外，很多分数阶系统的研究中，系统参数的事先假设已知，事实上，因为外界环境的干扰因素及建模的复杂性，系统的参数不可事先完全已知，因此，有关分数阶系统的自适应控制问题成为亟待解决的问题。反步法是一种设计控制器的迭代方法，该方法通过设计虚拟控制器及部分Lyapunov函数迭代分析设计出实际控制器形式，所设计的控制器可以确保系统的全局稳定性，提升系统暂态性能。

基于以上背景，本发明基于反步法并结合滑模控制技术，考虑非对称死区输入对系统的影响，构建辅助分数阶系统产生虚拟信号抵消非线性输入的影响，同时设计虚拟控制器，结合分数阶频率分布模型，应用间接Lyapunov稳定性分析理论分别验证趋近阶段和滑模阶段稳定性，仿真实例证明，本发明提出的一种受非对称死区输入影响的分数阶系统反步滑模控制方法可实现系统的自适应镇定控制，使得系统具有很好的抗干扰性能，鲁棒性强，系统的全部未知参数都得到有效辨识。

发明内容

针对以上不足，为了实现受非对称死区输入影响的分数阶系统的自适应镇定控制，本发明基于反步法并结合滑模控制方案对分数阶系统的自适应镇定研究提出一种新的控制策略。该方案可以有效避免非线性输入对系统产生的影响，同时对系统未建模动态和所受到的外界干扰也能进行有效抑制。分数阶频率分布模型的应用可以将滑模控制中的趋近阶段和滑模阶段状态等效为无限维常微分方程，从而采用间接Lyapunov稳定理论可以很好地验证系统全局稳定性。通过反步迭代设计虚拟控制器最终得到合适的实际控制器形式，实现系统全局镇定及全部未知参数的辨识。

本发明提供受非对称死区输入影响的分数阶系统反步滑模控制方法，具体包含如下步骤：

(1)确定一类具有非对称死区输入的严格反馈结构分数阶系统数学模型；

所述步骤(1)具有非对称死区输入的严格反馈结构分数阶系统数学模型为：

式(1)中，X＝(x₁,x₂,...,x_n)^T为系统状态变量；δ_i为系统第i个方程参数矢量；g_i(·)，F_i(·)和f_i(·)i＝1,2,...,n为已知的光滑非线性函数；

所涉及如下形式的一类具有非对称死区输入的典型严格反馈分数阶系统：

式(2)典型结构中，α∈(0，1)，Δf_i(X)和d_i(t)(i＝1,2,...,n)分别为未建模动态和外界干扰项，Ψ(u(t))为非对称死区输入，描述如下：

其中，ρ₊，ρ_-，u₊，u_-为正实数，斜率参数ρ₊和ρ_-有界，存在已知参数ρ₁和ρ₂满足：max{ρ₊,ρ_-}＝ρ₁，min{ρ₊,ρ_-}＝ρ₂，更进一步，非对称死区函数可改写为：

Ψ(u(t))＝ρ(t)u(t)+Δu(t) (4)

其中

(2)为正确应用反步滑模控制方案，选择转换变量构建新系统；

所述步骤(2)选择转换变量构建新系统，其选择如下：

式(7)中，i＝2,3,...,n，θ_j，j＝1,2,...,n-1为接下来设计的虚拟控制器，σ_j，j＝1,2,...,n为下述辅助分数阶系统产生的虚拟信号；

(3)为补偿非对称死区输入带来的不利影响，构建一个分数阶辅助系统；

步骤(3)为抵消非对称死区输入带来的不利影响，构建如下形式的辅助分数阶系统以产生上文提及的虚拟信号σ_j：

其中c_i＞0，c_n＞0，所涉及的系统未建模动态和外界干扰有界且上界未知，即

式(9)中，β_i1，β_i2为未知正实数；

(4)构造合适的分数阶形式的滑模面，并求导得到分数阶滑模态及虚拟控制器；

所述步骤(4)，提及的分数阶滑模面具有以下形式：

其中，p＝1,2,...,n，通过对滑模变量s求一阶导数，当系统运行至滑模面时，得到如下形式的滑模态：

D^αξ_p＝-ξ_p-sgn(ξ_p) (11)

根据期望滑模态动态描述方程，得到如下形式的虚拟控制器：

其中，

分别为β_i1，β_i2估计值，i＝1,2,...,n；

(5)基于滑模变量提出系统未知参数、未建模动态和外界干扰未知上界的自适应辨识律；

步骤(5)，记

为参数估计误差，提出如下形式未知参数辨识律：

(6)基于转换变量构建的新系统，建立分数阶频率分布模型，应用间接Lyapunov稳定性分析理论，分析每个子系统稳定性，并得到实际控制器形式；

步骤(6)，根据转换变量(7)和分数阶辅助系统(8)，得到如下形式的第一个新建子系统

将式(14)与参数辨识律(13)转换为分数阶频率分布模型

选择如下形式的Lyapunov函数，分析第一个新建子系统稳定性；

对式(16)等号两侧分别对时间求一阶导数，并根据所设计的滑模面、不确定项上界、未知参数辨识律，推导得到

显然，经过间接Lyapunov稳定理论验证，第一个新建子系统是渐近稳定的，同理，采用相同操作，前n-1个子系统都是渐近稳定的，当所设计的实际控制器u(t)具有如下形式时，第n个子系统也为渐近稳定：

构建如下形式的Lyapunov函数验证第n个子系统稳定性

对式(19)等号两侧分别对时间求一阶导数得

根据非对称死区函数的特点，存在一个分段正函数a(t)，使得ρ(t)/ρ₂＝1+a(t)，根据所设计的实际控制器形式(18)，则有：

结合式(20)和式(21)，得

综上，所有转换变量构成的新子系统在实际控制器作用下都是渐近稳定的；

(7)根据间接Lyapunov稳定理论，构建合适稳定性分析函数，验证滑模态滑模阶段的稳定性，实现系统的自适应镇定控制。

作为本发明进一步改进，步骤(7)，采用间接Lyapunov稳定理论验证期望滑模态的稳定性，根据第一个期望滑模态并结合分数阶频率分布模型，得

对上述滑模态(23)，选择如下形式的Lyapunov函数验证其稳定性

对式(24)等号两侧对时间求一阶导数，得

显然

第一个期望滑模态渐近稳定，采用相同推导，得到第n个期望滑模态所对应Lyapunov函数为

对式(26)等号两侧对时间求一阶导数，得

以上推导结果意味着n个期望滑模态均为渐近稳定，即在所设计的控制器u(t)的作用下，一类受非对称死区输入影响的分数阶系统可实现全局自适应镇定控制。

本发明与现有技术相比，其显著优点为：

(1)本发明首次将反步法和滑模控制技术进行结合，构建分数阶辅助系统，产生虚拟信号抵消非对称死区输入产生的不利影响，实现具有严格反馈结构的分数阶系统的全局镇定控制。

(2)本发明提出的自适应镇定控制方案，可以很好的辨识系统全部未知参数、未建模动态和外界干扰项的上界，通过调整滑模面参数可以有效调节参数辨识速度，提高系统鲁棒性。

(3)本发明基于分数阶频率分布模型，应用间接Lyapunov稳定理论可以分别验证滑模控制趋近阶段和滑模阶段的渐近稳定性，可以很好避免分数阶算子难求整数阶导数问题，迭代得到的实际控制器实用性强，控制效果达到期望要求。

附图说明

图1为本发明提出的一种受非对称死区输入影响的分数阶系统反步滑模控制方法的流程图；

图2为非对称死区输入函数的结构图；

图3为分数阶Genesio-Tesi系统奇异吸引子；

图4为分数阶Genesio-Tesi系统未引入控制器前的状态轨迹曲线图；

图5为激活控制器后转换变量构建的新系统的状态轨迹曲线图。

具体实施方式

下面结合附图与具体实施方式对本发明作进一步详细描述：

本发明基于反步法并结合滑模控制方案对分数阶系统的自适应镇定研究提出一种新的控制策略。该方案可以有效避免非线性输入对系统产生的影响，同时对系统未建模动态和所受到的外界干扰也能进行有效抑制。分数阶频率分布模型的应用可以将滑模控制中的趋近阶段和滑模阶段状态等效为无限维常微分方程，从而采用间接Lyapunov稳定理论可以很好地验证系统全局稳定性。通过反步迭代设计虚拟控制器最终得到合适的实际控制器形式，实现系统全局镇定及全部未知参数的辨识。

下面结合附图对本发明的应用原理作详细的说明。

如图1所示,一种受非对称死区输入影响的分数阶系统反步滑模控制方法，主要包括以下步骤：

针对具有严格反馈结构的分数阶系统数学描述方程，明确方程中各部分代表的含义，从系统实际运行环境出发，在模型中充分考虑未建模动态、外界干扰、非对称死区输入项，使得研究问题具有重要的实际意义；

为补偿非对称死区输入给系统带来的不利影响，构建一个辅助分数阶系统产生虚拟信号来实现。选择合适的转换变量，构建新的子系统，以方便后续操作研究；

根据所构建的新转换变量系统和辅助分数阶系统，设计分数阶形式的滑模面，基于分数阶分布频率模型，引入间接Lyapunov稳定理论，逐步探讨转换变量构造的每个新子系统的稳定性，从而得到虚拟控制器形式；

为充分辨识系统未知参数、未建模动态和外界干扰项的未知上界，结合滑模变量和转换变量设计自适应辨识律，实现以上全部未知参数的辨识；

通过对n个新子系统进行迭代验证其稳定性，得到综合的实际控制器形式，该控制器有很好的抑制外界干扰和系统不确定性的作用；

实现对转换变量构造的新子系统的稳定性验证，也即完成滑模运动趋近阶段稳定性的验证，同样可将期望滑模态借助于分数阶频率分布模型转换为无限维常微分方程，采用间接Lyapunov稳定理论验证滑模运动滑模阶段稳定性。实验结果表明本发明所提出控制方案是合理且有效的。

针对一类具有严格反馈结构的分数阶系统，其数学模型描述为：

式(1)中，X＝(x₁,x₂,...,x_n)^T为系统状态变量；δ_i为系统第i个方程参数矢量；g_i(·)，F_i(·)和f_i(·)(i＝1,2,...,n)为已知的光滑非线性函数。本发明主要涉及如下形式的一类具有非对称死区输入的典型严格反馈分数阶系统：

式(2)典型结构中，α∈(0，1)，Δf_i(X)和d_i(t)(i＝1,2,...,n)分别为未建模动态和外界干扰项，Ψ(u(t))为非对称死区输入，描述如下：

其中，ρ₊，ρ_-，u₊，u_-为正实数，斜率参数ρ₊和ρ_-有界，存在已知参数ρ₁和ρ₂满足：max{ρ₊,ρ_-}＝ρ₁，min{ρ₊,ρ_-}＝ρ₂，更进一步，非对称死区函数可改写为：

Ψ(u(t))＝ρ(t)u(t)+Δu(t) (4)

其中

选择转换变量构建新系统，其选择如下：

式(7)中，i＝2,3,...,n，θ_j(j＝1,2,...,n-1)为接下来设计的虚拟控制器，σ_j(j＝1,2,...,n)为下述辅助分数阶系统产生的虚拟信号。

为抵消非对称死区输入带来的不利影响，构建如下形式的辅助分数阶系统以产生上文提及的虚拟信号σ_j：

其中c_i＞0，c_n＞0。本发明中所涉及的系统未建模动态和外界干扰有界且上界未知，即

式(9)中，β_i1，β_i2为未知正实数。

本发明中提及的分数阶滑模面具有以下形式：

其中，p＝1,2,...,n，通过对滑模变量s求一阶导数，当系统运行至滑模面时，得到如下形式的滑模态：

D^αξ_p＝-ξ_p-sgn(ξ_p) (11)

根据期望滑模态动态描述方程，可得到如下形式的虚拟控制器：

其中，

分别为β_i1，β_i2估计值，i＝1,2,...,n。

记

为参数估计误差，提出如下形式未知参数辨识律：

根据转换变量(7)和分数阶辅助系统(8)，得到如下形式的第一个新建子系统

将式(14)与参数辨识律(13)转换为分数阶频率分布模型

选择如下形式的Lyapunov函数，分析第一个新建子系统稳定性

对式(16)等号两侧分别对时间求一阶导数，并根据所设计的滑模面、不确定项上界、未知参数辨识律，可推导得到

显然，经过间接Lyapunov稳定理论验证，第一个新建子系统是渐近稳定的，同理，采用相同操作，前n-1个子系统都是渐近稳定的。当所设计的实际控制器u(t)具有如下形式时，第n个子系统也为渐近稳定：

构建如下形式的Lyapunov函数验证第n个子系统稳定性

对式(19)等号两侧分别对时间求一阶导数可得

根据非对称死区函数的特点，存在一个分段正函数a(t)，使得ρ(t)/ρ₂＝1+a(t)，根据所设计的实际控制器形式(18)，则有：

结合式(20)和式(21)，可得

综上，所有转换变量构成的新子系统在实际控制器作用下都是渐近稳定的。

采用间接Lyapunov稳定理论验证期望滑模态的稳定性，根据第一个期望滑模态形式并结合分数阶频率分布模型，可得

对上述滑模态(23)，选择如下形式的Lyapunov函数验证其稳定性

对式(24)等号两侧对时间求一阶导数，可得

显然

第一个期望滑模态渐近稳定，采用相同推导，可得到第n个期望滑模态所对应Lyapunov函数为

对式(26)等号两侧对时间求一阶导数，可得

以上推导结果意味着n个期望滑模态均为渐近稳定，即在所设计的控制器u(t)的作用下，一类受非对称死区输入影响的分数阶系统可实现全局自适应镇定控制。

图2所示为本发明中所提到的非对称死区非线性函数的结构示意图。

图3-5所示为本发明实例所涉及的吸引子、控制器激活前的原系统状态轨迹时间响应曲线、控制器激活后的新转换变量系统的时间响应曲线，在本发明的实施例中，选择分数阶Genesio-Tesi系统为被控对象，数学描述为：

其中，a₁＝1，a₂＝1.1，a₃＝-0.232，a₄＝1，δ₃＝[a₁,a₂,a₃,a₄]^T，

Δf(X)＝-0.01cos(x₃)，d(t)＝0.02sin(3t)，Ψ(u(t))为非对称死区输入，描述如下：

控制方案参数m₁＝m₂＝m₃＝5，c₁＝c₂＝c₃＝2，η₃₁＝5，η₃₂＝2，系统初始条件为：x₁(0)＝-0.3，x₂(0)＝0.1，x₃(0)＝-0.2，

α＝0.8。分数阶Genesio-Tesi系统混沌吸引子如图3所示，未激活前系统的状态轨迹如图4所示，显然，系统不稳定。当激活控制器u(t)，转换变量构成的新系统状态轨迹如图5所示，响应曲线显示本发明提出的控制方案可以有效实现一类受非对称死区输入影响的分数阶系统的全局镇定控制，控制方案有效可行。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例之一，并非是对本发明作任何其他形式的限制，而依据本发明的技术实质所作的任何修改或等同变化，仍属于本发明所要求保护的范围。

Claims (2)

1.受非对称死区输入影响的分数阶系统反步滑模控制方法，其特征在于，具体包含如下步骤：

(1)确定一类具有非对称死区输入的严格反馈结构分数阶系统数学模型；

所述步骤(1)具有非对称死区输入的严格反馈结构分数阶系统数学模型为：

式(1)中，X＝(x₁,x₂,...,x_n)^T为系统状态变量；δ_i为系统第i个方程参数矢量；g_i(·)，F_i(·)和f_i(·)i＝1,2,...,n为已知的光滑非线性函数；

所涉及如下形式的一类具有非对称死区输入的典型严格反馈分数阶系统：

式(2)典型结构中，α∈(0，1)，Δf_i(X)和d_i(t)(i＝1,2,...,n)分别为未建模动态和外界干扰项，Ψ(u(t))为非对称死区输入，描述如下：

其中，ρ₊，ρ_-，u₊，u_-为正实数，斜率参数ρ₊和ρ_-有界，存在已知参数ρ₁和ρ₂满足：max{ρ₊,ρ_-}＝ρ₁，min{ρ₊,ρ_-}＝ρ₂，更进一步，非对称死区函数可改写为：

Ψ(u(t))＝ρ(t)u(t)+Δu(t) (4)

其中

(2)为正确应用反步滑模控制方案，选择转换变量构建新系统；

所述步骤(2)选择转换变量构建新系统，其选择如下：

式(7)中，i＝2,3,...,n，θ_j，j＝1,2,...,n-1为接下来设计的虚拟控制器，σ_j，j＝1,2,...,n为下述辅助分数阶系统产生的虚拟信号；

(3)为补偿非对称死区输入带来的不利影响，构建一个分数阶辅助系统；

步骤(3)为抵消非对称死区输入带来的不利影响，构建如下形式的辅助分数阶系统以产生上文提及的虚拟信号σ_j：

其中c_i＞0，c_n＞0，所涉及的系统未建模动态和外界干扰有界且上界未知，即

式(9)中，β_i1，β_i2为未知正实数；

(4)构造合适的分数阶形式的滑模面，并求导得到分数阶滑模态及虚拟控制器；

所述步骤(4)，提及的分数阶滑模面具有以下形式：

其中，p＝1,2,...,n，通过对滑模变量s求一阶导数，当系统运行至滑模面时，得到如下形式的滑模态：

D^αξ_p＝-ξ_p-sgn(ξ_p) (11)

根据期望滑模态动态描述方程，得到如下形式的虚拟控制器：

其中，

分别为β_i1，β_i2估计值，i＝1,2,...,n；

(5)基于滑模变量提出系统未知参数、未建模动态和外界干扰未知上界的自适应辨识律；

步骤(5)，记

为参数估计误差，提出如下形式未知参数辨识律：

(6)基于转换变量构建的新系统，建立分数阶频率分布模型，应用间接Lyapunov稳定性分析理论，分析每个子系统稳定性，并得到实际控制器形式；

步骤(6)，根据转换变量(7)和分数阶辅助系统(8)，得到如下形式的第一个新建子系统

将式(14)与参数辨识律(13)转换为分数阶频率分布模型

选择如下形式的Lyapunov函数，分析第一个新建子系统稳定性；

对式(16)等号两侧分别对时间求一阶导数，并根据所设计的滑模面、不确定项上界、未知参数辨识律，推导得到

显然，经过间接Lyapunov稳定理论验证，第一个新建子系统是渐近稳定的，同理，采用相同操作，前n-1个子系统都是渐近稳定的，当所设计的实际控制器u(t)具有如下形式时，第n个子系统也为渐近稳定：

构建如下形式的Lyapunov函数验证第n个子系统稳定性

对式(19)等号两侧分别对时间求一阶导数得

根据非对称死区函数的特点，存在一个分段正函数a(t)，使得ρ(t)/ρ₂＝1+a(t)，根据所设计的实际控制器形式(18)，则有：

结合式(20)和式(21)，得

综上，所有转换变量构成的新子系统在实际控制器作用下都是渐近稳定的；

(7)根据间接Lyapunov稳定理论，构建合适稳定性分析函数，验证滑模态滑模阶段的稳定性，实现系统的自适应镇定控制。

2.根据权利要求书1所述受非对称死区输入影响的分数阶系统反步滑模控制方法，其特征在于：步骤(7)，采用间接Lyapunov稳定理论验证期望滑模态的稳定性，根据第一个期望滑模态并结合分数阶频率分布模型，得

对上述滑模态(23)，选择如下形式的Lyapunov函数验证其稳定性

对式(24)等号两侧对时间求一阶导数，得

显然

第一个期望滑模态渐近稳定，采用相同推导，得到第n个期望滑模态所对应Lyapunov函数为

对式(26)等号两侧对时间求一阶导数，得

以上推导结果意味着n个期望滑模态均为渐近稳定，即在所设计的控制器u(t)的作用下，一类受非对称死区输入影响的分数阶系统可实现全局自适应镇定控制。

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