CN106127237A - 基于谱聚类的含vsc‑hvdc交直流系统最优解列断面搜索方法 - Google Patents

Abstract

本发明是一种基于谱聚类的含VSC‑HVDC交直流系统最优解列断面搜索方法，其特点是，包括根据电力系统结构构建电力系统无向边权图G、根据潮流数据计算邻接权矩阵W和度矩阵A、判断系统是否因大扰动而失稳、根据发电机受扰后转子功角摇摆曲线将发电机组分为k个同调群，更新邻接权矩阵W和度矩阵A、根据VSC‑HVDC换流站落点，更新邻接权矩阵W和度矩阵A、计算规范化拉普拉斯矩阵L_N、根据同调机群数k，通过基于k均值聚类算法对规范化拉普拉斯矩阵L_N的前k最小特征值对应的特征向量进行聚类，确定最优解列断面等步骤。具有科学合理，适用性强，可靠性高等优点。

Description

基于谱聚类的含VSC-HVDC交直流系统最优解列断面搜索方法

技术领域

本发明属于电力系统暂态安全稳定与控制技术领域，尤其涉及一种基于谱聚类的含VSC-HVDC交直流系统最优解列断面搜索方法。

背景技术

从国内外近些年发生的大停电事故中可以得知，电力系统在运行和设计中尽管采取一系列措施提高系统稳定性，但仍有可能会遇到突发故障情况使系统丧失稳定，因此必须通过了解系统失去稳定后的现象并采取相应措施以减轻稳定破坏后所带来的伤害，迅速使系统恢复稳定运行。解列工作是限制电力系统遭受大扰动后崩溃的有效手段，通过将系统解列成几个相对独立的子系统避免大停电事故发生。解列工作的核心步骤是确定合理的解列断面，断面即连接各个独立子系统线路的集合，如果将失去稳定的系统在错误的断面处解列，不仅为解列后采用一系列控制措施恢复系统稳定增加难度，而且极有可能使系统进一步失稳直至崩溃，因此如何确定最优解列断面已经成为国内外电力系统方向研究的热点。

最优断面搜索问题可以视为约束组合优化问题，现有方法的目标函数可以分为两种主要类型，最小不平衡功率以及最小有功潮流冲击。最小不平衡功率方法最小化各个子系统内部不平衡功率，通过子系统内部切机、切负荷，使有功功率的输出与消耗近似相等。最小有功潮流冲击方法最小化解列后系统有功潮流的改变，由此也降低了有功潮流改变时的扰动、传输线路过载的危险，提高了岛屿暂态稳定性。同时，最优断面搜索必须满足大量的约束，如负载平衡、发电机一致性、输电线路的可用性、热限制、电压稳定、暂态稳定性等。然而在实际电力系统中每一条线路都是可能解，随着系统规模增大解空间呈几何指数O(2^m)爆炸增长，属于非确定多项式(Non-deterministic Polynomial，NP)难题，满足所有以上约束求解方案将会变得十分困难，甚至无法确定可行解是否真实存在。但若只考虑以上约束条件的一部分，如负载平衡和发电机相干性，产生一组可行的候选解决方案，这组候选解决方案可以与其他约束相协调，最终找到满足所有约束的最优解决方案，这种近似考虑降低了解决问题的复杂性，可以应用于实际电力系统。

根据上述近似方法国内外已研究出很多最优断面搜索方案。通过启发式搜索方法可以克服这一难题，或通过仅解决该问题一个简化的网络模型，或选择原有的电力系统的子集进行求解，例如使用基于有序二元决策图的方法，电力系统模型被简化为含有少于大约40个节点。但化简网络模型缩小决策空间的同时，一些化简期间丢失的解决方案会可能比由该算法找到的最终解决方案更加合理。虽然启发式搜索方法通常具备灵活性高、计算速度快的优点，但因为这些方法趋向于局部收敛，而不是全局最小，因此不能保证最终解决方案是否是最优解。将求解最优断面的NP难题转化为其他相对容易求解的问题正是当前热门研究方向，谱聚类算法可以将实际NP难题转化为图论中最小切的问题，通过松弛法可以在求得在实数阈中的最优解，具有较高的计算效率并且不会丢失解集，但传统谱聚类算法如果仅考虑求解最小切而忽略切割后子图内部的密度分布，通常会出现某个子图内部只包含孤立节点的现象，不适用于应用到电力系统中解决实际问题，但已有研究表明若使用最小规范切准则可以避免节点单独成类现象发生。

随着电压源换流器型直流输电系统(Voltage Souce Converter Based HighVoltage Direct Current Transmission，VSC-HVDC)技术逐渐成熟，其相对于传统直流输电的优势已经逐渐显现。相比于传统直流输电，VSC-HVDC具备换流器无需无功补偿、不存在换相失败、可以为无源网络供电、同时独立调节有功功率和无功功率、连接异步系统等优点。交流系统解列成各个孤立子系统后，必然会出现某些子系统内部有功功率充裕但另一些子系统有功功率匮乏的情况，此时只能通过发电机调速器、低频减载等装置使子系统内部恢复稳定，而通过VSC-HVDC将两个子系统连接后，通过直流线路进行电力交换优化电源、负荷匹配程度，限制切机、切负荷，从而降低了大扰动对经济造成的损失。目前在国内VSC-HVDC属于快速发展建设阶段，福建省、浙江省等多个地区的电力系统都已建成并投产，因此关于含VSC-HVDC交直流系统最优解列断面搜索方法迫在眉睫。

发明内容

本发明的目的在于提供一种科学合理，适用性强，可靠性高，效果佳的基于谱聚类的含VSC-HVDC交直流系统最优解列断面搜索方法。

本发明的目的是这样实现的：一种基于谱聚类的含VSC-HVDC交直流系统最优解列断面搜索方法，其特征在于，它包括下列步骤：

步骤1：根据电力系统结构构建电力系统无向边权图G

根据电力系统结构构建电力系统无向边权图G，谱聚类算法是一种基于图论的聚类算法，图论中无向图模型G(V，V_G，E，W)用来描述m台发电机，n条线路的系统，点集V＝{v₁,...,v_n}，边集E中元素为e_ij(i,j＝1,...,n)表示母线以及输电线，V_G是V的子集包含那些有发电机直接相连的母线，矩阵W是一组边的权重，其中的元素为(1)式：

式中：w_ij是边e_ij的权值，边权值的大小代表两点相似程度的高低，从图论中可以得知，此时求无向图模型G(V，V_G，E，W)切的代价c表示为(2)式：

$c=\frac{1}{2}\mathrm{\Σ}c(G_s,G_t)=\frac{1}{2}\underset{i\∈G_s,j\∈G_t}{\Σ}{w}_{ij},(s,t=1,2,...,k,s\≠t)---\left(2\right)$

由步骤1可知电力系统最优断面搜索问题可以转换为求无向图G的最小代价切的问题；

步骤2：根据潮流数据计算邻接权矩阵W和度矩阵A，若系统遭受大干扰后发电机组构成k个同调机群V_G1，V_G2，...，V_Gk，为了保持解列后各个独立子系统内部稳定，需要相对应解列成k个孤岛V₁，V₂，...，V_k。最小有功冲击为目标函数的表达式为(3)式：

$P=\underset{V_1,V_2,...,V_k\⋐V}{min}\left(\frac{1}{2}\underset{i\∈V_s,j\∈V_t}{\Σ}\right|P_{ij}\left|\right),(s,t=1,2,...,k,s\≠t)---\left(3\right)$

因此邻接权矩阵W由n个节点系统节点之间交换的有功功率来构造，同时必须考虑系统中的网损以产生用于谱聚类所需的对称无向图，为了确保矩阵W是对称的，矩阵W的元素定义为(IP_ijI+IP_jiI)/2，P_ij表示考虑网损后两个相邻的节点i，j之间传输的有功功率，表示为(4)式：

$W_{ij}=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{\left|P_{ij}\right|+\left|P_{ji}\right|}{2}& if& i\≠j\\ 0& if& i=j\end{array}\right.---\left(4\right)$

定义度矩阵A为对角阵，其只含有对角线元素，对角线元素为连接至该节点的所有边的权重的总和：

$A_{ij}=\left\{\begin{array}{c}\underset{j=1,j\≠i}{\overset{n}{\Σ}}{W}_{ij},i=j\\ 0,i\≠j\end{array}\right.---\left(5\right)$

通过这种方式定义，无向图的邻接权矩阵W和度矩阵A均为对称矩阵；

步骤3：判断系统是否因大扰动而失稳，若已经失稳进入步骤4，否则回到步骤1；

步骤4：根据发电机受扰后转子功角摇摆曲线将发电机组分为k个同调群，更新邻接权矩阵W和度矩阵A。为满足解列后同调机群必须处于同一子系统，而非同调机群务必处于不同子系统，需要增加成对约束条件来约束求解过程，因此需要将发电机分群信息作为约束监督信息对邻接权矩阵W和度矩阵A进行修改，发电机同调约束包括Must-Link约束与Cannot-Link约束，Must-Link约束表示任意两台同调发电机节点之间务必至少存在一条交流路径相连，Cannot-Link约束表示任意两台非同调发电机节点之间务必没有交流路径相连，因此邻接权矩阵W需按(6)式进行修改：

$W\left(V_{Gi},V_{Gj}\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\ζ},& \left(V_{Gi},V_{Gj}\right)\∈Must-Link\\ 0,& \left(V_{Gi},V_{Gj}\right)\∈Cannot-Link\end{array}\right.,\left(i,j=1,2,...,k,i\≠j\right)---\left(6\right)$

式中：ζ为经验值，取邻接权矩阵W中最大元素的1.5倍，得到修改后的邻接权矩阵W，度矩阵A按公式(5)进行修改；

步骤5：根据VSC-HVDC换流站落点，更新邻接权矩阵W和度矩阵A。为迫使解列后各个子系统通过VSC-HVDC相连，确保解列后VSC-HVDC两端换流站不处于同一孤岛内部，直流落点约束属于Cannot-Link约束，表示两个换流站节点之间没有务必没有交流线路相连，邻接权矩阵W需按(7)式进行修改：

W(n_VSC1,n_VSC2)＝0,(n_VSC1,n_VSC2)∈Cannot-link (7)

式中：n_VSC1，n_VSC2表示两个换流站节点；

步骤6：计算规范化拉普拉斯矩阵L_N；

L_N＝A^-1(A-W) (8)

步骤7：基于Lanczos算法计算L_NX＝λX的前k个最小特征值对应的特征向量。根据最小规范切准则，求无向边权图G的最小规范切N-C可以表示为：

$N-C=\mathrm{\Σ}\frac{c(G_s,G_t)}{v\left(G_s\right)},(s,t=1,2,...,k,s\≠t)---\left(9\right)$

式中v(G_s)表示G_s的节点的度之和，定义k个聚类指示向量β_j＝(β_1j,β_2j,...,β_nj)^T(j＝1,2,...k)，定义β_ij为：

令未规范化的拉普拉斯矩阵L＝A-W，将k个聚类指示向量β_j构成矩阵F，则求无向边权图G的最小规范切可以等效为：

$\begin{array}{ccc}\underset{G_1,G_2,...,G_k}{min}T\left(F^{T}LF\right)& s.t.& F^{T}LF=E\end{array}$

式中T(F^TLF)表示求矩阵F^TLF的迹。由于求图划分准则的最优解属于NP难题，在多项式时间内无法快速求解，但通过将求解F的问题转化为考虑F的连续放松形式，根据Rayleigh-Ritz定理，F的解对应规范化拉普拉斯矩阵L_N的前k最小特征值对应的特征向量；

步骤8：根据同调机群数k，通过基于k均值聚类算法对规范化拉普拉斯矩阵L_N的前k最小特征值对应的特征向量进行聚类，确定最优解列断面；

本发明的一种基于谱聚类的含VSC-HVDC交直流系统最优解列断面搜索方法的优点体现在：使用谱聚类最小规范切(Normalized Cut,N-C)准则，能够避免发生节点单独成类现象；以最小有功潮流冲击为目标函数，降低了解列时刻有功潮流改变时的扰动、传输线路过载的危险，提高了岛屿暂态稳定性；根据发电机同调约束限制同调机组相连、非同调机组分离，确保解列工作可以平息振荡，解列后各个子系统内部保持同步；为进一步提高各个子系统的稳定性的同时切机切负荷尽可能少，加入直流落点约束使各个子系统能够通过VSC-HVDC相连。具有科学合理，适用性强，可靠性高等优点。

具体实施方式

下面结合具体实施方式对本发明作详细说明。

本发明的一种基于谱聚类的含VSC-HVDC交直流系统最优解列断面搜索方法，包括下列步骤：

步骤1：根据电力系统结构构建电力系统无向边权图G

根据电力系统结构构建电力系统无向边权图G，谱聚类算法是一种基于图论的聚类算法，图论中无向图模型G(V，V_G，E，W)用来描述m台发电机，n条线路的系统，点集V＝{v₁,...,v_n}，边集E中元素为e_ij(i,j＝1,...,n)表示母线以及输电线，V_G是V的子集包含那些有发电机直接相连的母线，矩阵W是一组边的权重，其中的元素为(1)式：

式中：w_ij是边e_ij的权值，边权值的大小代表两点相似程度的高低，从图论中可以得知，此时求无向图模型G(V，V_G，E，W)切的代价c表示为(2)式：

$c=\frac{1}{2}\mathrm{\Σ}c(G_s,G_t)=\frac{1}{2}\underset{i\∈G_s,j\∈G_t}{\Σ}{w}_{ij},(s,t=1,2,...,k,s\≠t)---\left(2\right)$

由步骤1可知电力系统最优断面搜索问题可以转换为求无向图G的最小代价切的问题；

步骤2：根据潮流数据计算邻接权矩阵W和度矩阵A，若系统遭受大干扰后发电机组构成k个同调机群V_G1，V_G2，...，V_Gk，为了保持解列后各个独立子系统内部稳定，需要相对应解列成k个孤岛V₁，V₂，...，V_k。最小有功冲击为目标函数的表达式为(3)式：

$P=\underset{V_1,V_2,...,V_k\⋐V}{min}\left(\frac{1}{2}\underset{i\∈V_s,j\∈V_t}{\Σ}\right|P_{ij}\left|\right),(s,t=1,2,...,k,s\≠t)---\left(3\right)$

因此邻接权矩阵W由n个节点系统节点之间交换的有功功率来构造，同时必须考虑系统中的网损以产生用于谱聚类所需的对称无向图，为了确保矩阵W是对称的，矩阵W的元素定义为(IP_ijI+IP_jiI)/2，P_ij表示考虑网损后两个相邻的节点i，j之间传输的有功功率，表示为(4)式：

$W_{ij}=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{\left|P_{ij}\right|+\left|P_{ji}\right|}{2}& if& i\≠j\\ 0& if& i=j\end{array}\right.---\left(4\right)$

定义度矩阵A为对角阵，其只含有对角线元素，对角线元素为连接至该节点的所有边的权重的总和：

$A_{ij}=\left\{\begin{array}{c}\underset{j=1,j\≠i}{\overset{n}{\Σ}}{W}_{ij},i=j\\ 0,i\≠j\end{array}\right.---\left(5\right)$

通过这种方式定义，无向图的邻接权矩阵W和度矩阵A均为对称矩阵；

步骤3：判断系统是否因大扰动而失稳，若已经失稳进入步骤4，否则回到步骤1；

步骤4：根据发电机受扰后转子功角摇摆曲线将发电机组分为k个同调群，更新邻接权矩阵W和度矩阵A。为满足解列后同调机群必须处于同一子系统，而非同调机群务必处于不同子系统，需要增加成对约束条件来约束求解过程，因此需要将发电机分群信息作为约束监督信息对邻接权矩阵W和度矩阵A进行修改，发电机同调约束包括Must-Link约束与Cannot-Link约束，Must-Link约束表示任意两台同调发电机节点之间务必至少存在一条交流路径相连，Cannot-Link约束表示任意两台非同调发电机节点之间务必没有交流路径相连，因此邻接权矩阵W需按(6)式进行修改：

$W\left(V_{Gi},V_{Gj}\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\ζ},& \left(V_{Gi},V_{Gj}\right)\∈Must-Link\\ 0,& \left(V_{Gi},V_{Gj}\right)\∈Cannot-Link\end{array}\right.,\left(i,j=1,2,...,k,i\≠j\right)---\left(6\right)$

式中：ζ为经验值，取邻接权矩阵W中最大元素的1.5倍，得到修改后的邻接权矩阵W，度矩阵A按公式(5)进行修改；

步骤5：根据VSC-HVDC换流站落点，更新邻接权矩阵W和度矩阵A。为迫使解列后各个子系统通过VSC-HVDC相连，确保解列后VSC-HVDC两端换流站不处于同一孤岛内部，直流落点约束属于Cannot-Link约束，表示两个换流站节点之间没有务必没有交流线路相连，邻接权矩阵W需按(7)式进行修改：

W(n_VSC1,n_VSC2)＝0,(n_VSC1,n_VSC2)∈Cannot-link (7)

式中：n_VSC1，n_VSC2表示两个换流站节点；

步骤6：计算规范化拉普拉斯矩阵L_N；

L_N＝A^-1(A-W) (8)

步骤7：基于Lanczos算法计算L_NX＝λX的前k个最小特征值对应的特征向量。根据最小规范切准则，求无向边权图G的最小规范切N-C可以表示为：

$N-C=\mathrm{\Σ}\frac{c(G_s,G_t)}{v\left(G_s\right)},(s,t=1,2,...,k,s\≠t)---\left(9\right)$

式中v(G_s)表示G_s的节点的度之和，定义k个聚类指示向量β_j＝(β_1j,β_2j,...,β_nj)^T(j＝1,2,...k)，定义β_ij为：

令未规范化的拉普拉斯矩阵L＝A-W，将k个聚类指示向量β_j构成矩阵F，则求无向边权图G的最小规范切可以等效为：

$\begin{array}{ccc}\underset{G_1,G_2,...,G_k}{min}T\left(F^{T}LF\right)& s.t.& F^{T}LF=E\end{array}$

式中T(F^TLF)表示求矩阵F^TLF的迹。由于求图划分准则的最优解属于NP难题，在多项式时间内无法快速求解，但通过将求解F的问题转化为考虑F的连续放松形式，根据Rayleigh-Ritz定理，F的解对应规范化拉普拉斯矩阵L_N的前k最小特征值对应的特征向量；

步骤8：根据同调机群数k，通过基于k均值聚类算法对规范化拉普拉斯矩阵L_N的前k最小特征值对应的特征向量进行聚类，确定最优解列断面；

本发明的保护范围并不局限于具体实施方式，本领域技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种基于谱聚类的含VSC-HVDC交直流系统最优解列断面搜索方法，其特征在于，它包括下列步骤：

步骤1：根据电力系统结构构建电力系统无向边权图G

根据电力系统结构构建电力系统无向边权图G，谱聚类算法是一种基于图论的聚类算法，图论中无向图模型G(V，V_G，E，W)用来描述m台发电机，n条线路的系统，点集V＝{v₁,...,v_n}，边集E中元素为e_ij(i,j＝1,...,n)表示母线以及输电线，V_G是V的子集包含那些有发电机直接相连的母线，矩阵W是一组边的权重，其中的元素为(1)式：

$W_{ij}=\left\{\begin{array}{c}{w}_{ij},(i,j)\∈E\\ 0,(i,j)\∉E\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中：w_ij是边e_ij的权值，边权值的大小代表两点相似程度的高低，从图论中可以得知，此时求无向图模型G(V，V_G，E，W)切的代价c表示为(2)式：

$c=\frac{1}{2}\mathrm{\Σ}c(G_s,G_t)=\frac{1}{2}\underset{i\∈G_s,j\∈G_t}{\Σ}{w}_{ij},(s,t=1,2,...,k,s\≠t)---\left(2\right)$

由步骤1可知电力系统最优断面搜索问题可以转换为求无向图G的最小代价切的问题；

步骤2：根据潮流数据计算邻接权矩阵W和度矩阵A，若系统遭受大干扰后发电机组构成k个同调机群V_G1，V_G2，...，V_Gk，为了保持解列后各个独立子系统内部稳定，需要相对应解列成k个孤岛V₁，V₂，...，V_k。最小有功冲击为目标函数的表达式为(3)式：

$P=\underset{V_1,V_2,...,V_k\⋐V}{min}\left(\frac{1}{2}\underset{i\∈V_s,j\∈V_t}{\Σ}\right|P_{ij}\left|\right),(s,t=1,2,...,k,s\≠t)---\left(3\right)$

因此邻接权矩阵W由n个节点系统节点之间交换的有功功率来构造，同时必须考虑系统中的网损以产生用于谱聚类所需的对称无向图，为了确保矩阵W是对称的，矩阵W的元素定义为(|P_ij|+|P_ji|)/2，P_ij表示考虑网损后两个相邻的节点i，j之间传输的有功功率，表示为(4)式：

$W_{ij}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\left|P_{ij}\right|+\left|P_{ji}\right|}{2}& ifi\≠j\\ 0& ifi=j\end{array}\right.---\left(4\right)$

定义度矩阵A为对角阵，其只含有对角线元素，对角线元素为连接至该节点的所有边的权重的总和：

$A_{ij}=\left\{\begin{array}{c}\underset{j=1,j\≠i}{\overset{n}{\Σ}}{W}_{ij},i=j\\ 0,i\≠j\end{array}\right.---\left(5\right)$

通过这种方式定义，无向图的邻接权矩阵W和度矩阵A均为对称矩阵；

步骤3：判断系统是否因大扰动而失稳，若已经失稳进入步骤4，否则回到步骤1；

步骤4：根据发电机受扰后转子功角摇摆曲线将发电机组分为k个同调群，更新邻接权矩阵W和度矩阵A。为满足解列后同调机群必须处于同一子系统，而非同调机群务必处于不同子系统，需要增加成对约束条件来约束求解过程，因此需要将发电机分群信息作为约束监督信息对邻接权矩阵W和度矩阵A进行修改，发电机同调约束包括Must-Link约束与Cannot-Link约束，Must-Link约束表示任意两台同调发电机节点之间务必至少存在一条交流路径相连，Cannot-Link约束表示任意两台非同调发电机节点之间务必没有交流路径相连，因此邻接权矩阵W需按(6)式进行修改：

$W\left(V_{Gi},V_{Gj}\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\ζ},& \left(V_{Gi},V_{Gj}\right)\∈Must-Link\\ 0,& \left(V_{Gi},V_{Gj}\right)\∈Cannot-Link\end{array}\right.,\left(i,j=1,2,...,k,i\≠j\right)---\left(6\right)$

式中：ζ为经验值，取邻接权矩阵W中最大元素的1.5倍，得到修改后的邻接权矩阵W，度矩阵A按公式(5)进行修改；

步骤5：根据VSC-HVDC换流站落点，更新邻接权矩阵W和度矩阵A。为迫使解列后各个子系统通过VSC-HVDC相连，确保解列后VSC-HVDC两端换流站不处于同一孤岛内部，直流落点约束属于Cannot-Link约束，表示两个换流站节点之间没有务必没有交流线路相连，邻接权矩阵W需按(7)式进行修改：

W(n_VSC1,n_VSC2)＝0,(n_VSC1,n_VSC2)∈Cannot-link (7)

式中：n_VSC1，n_VSC2表示两个换流站节点；

步骤6：计算规范化拉普拉斯矩阵L_N；

L_N＝A^-1(A-W) (8)

步骤7：基于Lanczos算法计算L_NX＝λX的前k个最小特征值对应的特征向量。根据最小规范切准则，求无向边权图G的最小规范切N-C可以表示为：

$N-C=\mathrm{\Σ}\frac{c(G_s,G_t)}{v\left(G_s\right)},(s,t=1,2,...,k,s\≠t)---\left(9\right)$

式中v(G_s)表示G_s的节点的度之和，定义k个聚类指示向量β_j＝(β_1j,β_2j,...,β_nj)^T(j＝1,2,...k)，定义β_ij为：

${\mathrm{\β}}_{ij}=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{v\left(G_j\right)}},i\∈G_j\\ 0,i\∉G_j\end{array}\right.,(i=1,2,...,n;j=1,2,...,k)---\left(10\right)$

令未规范化的拉普拉斯矩阵L＝A-W，将k个聚类指示向量β_j构成矩阵F，则求无向边权图G的最小规范切可以等效为：

$\begin{array}{ccc}\underset{G_1,G_2,...,G_k}{min}T\left(F^{T}LF\right)& s.t.& F^{T}LF=E\end{array}$

式中T(F^TLF)表示求矩阵F^TLF的迹。由于求图划分准则的最优解属于NP难题，在多项式时间内无法快速求解，但通过将求解F的问题转化为考虑F的连续放松形式，根据Rayleigh-Ritz定理，F的解对应规范化拉普拉斯矩阵L_N的前k最小特征值对应的特征向量；

步骤8：根据同调机群数k，通过基于k均值聚类算法对规范化拉普拉斯矩阵L_N的前k最小特征值对应的特征向量进行聚类，确定最优解列断面。