CN105954723A - 基于交替投影的mimo雷达波形设计 - Google Patents

Abstract

本发明属于信号处理领域，更进一步涉及波形优化技术领域的优化发射波形的方法。本发明对基于扩展目标的波形设计进行了研究，提出了基于交替投影的MIMO雷达波形设计方法。在基于最大化互信息准则得到理论上最优而实际无法产生波形的基础上，通过交替投影，可得到几乎无误差的逼近最优波形并且实际可产生的发射波形。此过程迭代次数较少，可确保收敛，并且迭代过程的每一步都可得到闭式解，因而计算复杂度较小。

Description

基于交替投影的MIMO雷达波形设计

技术领域

本发明属于信号处理技术领域，涉及基于交替投影的MIMO雷达波形设计。

背景技术

MIMO雷达系统是最近几年出现的一种新的雷达系统，与传统的相控阵系统相比，MIMO雷达能够(在给定的带宽以及发射功率的约束条件下)灵活选择每个发射阵元的波形(可以在每个CPI周期或者脉冲周期内)，而相控阵雷达只能发射相干波形。MIMO雷达系统发射波形的灵活选择能够提供额外的自由度，而这些自由度可以用来优化感兴趣的问题，从而可显著提高系统参数估计、检测等性能。因此，波形设计是MIMO雷达系统中的关键问题之一。

最近几年已经有许多研究人员对MIMO雷达波形设计问题进行了深入的研究。从优化的对象来对这些波形设计方法来进行归类，可以分为以下三类：(1)基于协方差矩阵的设计。(2)基于模糊函数的设计。(3)基于扩展目标的设计。对于基于协方差矩阵的波形设计方法，是针对波形的空域进行设计，从而只可提高系统的空域性能。对于基于模糊函数的设计方法，则是针对波形的空-时-多普勒域进行设计，从而可以提高雷达系统的整体性能。基于协方差以及模糊函数的设计方法都是针对点目标的，然而，随着雷达分辨率的提高，目标对于系统来说存在时域和空域扩展，即为扩展目标。因此，在扩展目标场景下，方法(1)、(2)不能使用。M.R.Bell首先把互信息的概念引入波形设计中，来对扩展目标场景下相控阵系统的波形进行设计，提出了利用最大化互信息准则设计波形以提高系统参数估计性能。Y.Yang以及R.S.Blum等人则把基于最大化互信息准则的波形设计方法推广到扩展目标场景下的MIMO系统，证明了基于最大化互信息准则与基于MMSE准则设计波形本质上是相同的，并得到理论上最优的波形，然而此波形由于结构上的原因，实际上是无法得到的，基于此，Yijia Yang，Zishu He等人在前者结论的基础上提出了基于ML和SLS(Separate LeastSquare)的波形设计方法逼近理论最优波形，其中ML方法得到了实际可产生波形的协方差矩阵，并且在最大互信息准则以及MMSE准则下非常逼近理论最优波形，但没有得到实际波形；而SLS方法虽然得到了实际波形，由于理论上最优波形存在一个不确定的列正交矩阵，因此，选择不同的列正交矩阵，对应此方法就有不同的实际波形，从而得到实际的波形在最大互信息及MMSE准则下与理论最优波形相差较大，基于此，本发明在以上研究的的基础上提出了基于交替投影的MIMO雷达波形设计方法。

发明内容

本发明的目的在于克服上述已有技术的不足，提出了基于交替投影的MIMO雷达波形设计方法。在基于最大化互信息准则得到理论上最优而实际无法产生波形的基础上，通过交替投影，得到几乎无误差的逼近最优波形并且实际可产生的发射波形。实现本发明的基本思路是，首先建立波形优化模型，然后基于最大化互信息准则下的交替投影的波形设计。

本发明解决其技术问题所采取的技术方案为：基于交替投影的MIMO雷达波形设计，该雷达波形设计包括如下步骤：

1)系统建模

本发明的模型描述如下：MIMO雷达系统发射阵元个数P，接收阵元Q，发射波形的离散形式x(n)，n＝1,2,…,L_t(L_t为发射波形持续时间)，功率P0，接收数据接收滤波器长度L。目标为扩展目标，以长度为v的FIR表征目标的时域特性(假设L＞＞v)，对于发射阵元m，接收阵元n，FIR滤波器系数为g^(m,n)(l),l∈[0,v]。则接收阵元q在时刻k的接收信号为：

$y_q\left(k\right)=\underset{p=1}{\overset{P}{\Σ}}\underset{l=0}{\overset{v}{\Σ}}{g}^{(p,q)}\left(l\right)x_p(k-l)+n_q\left(k\right)---\left(1\right)$

其中，x_p(k)发射阵元p的波形在第k时刻的采样值，n_q(k)为接收阵元q上的加性高斯复噪声。

记g^(p,q)＝[g^(p,q)(0),…,g^(p,q)(v)]^T， y_q＝[y_q(k),…,y_q(k+L-1)]^T，

n_q＝[n_q(k),…,n_q(k+L-1)]^T，其中并且记

$\mathrm{\χ}=I_Q\⊗\stackrel{\‾}{X}---\left(2\right)$

则可得系统的接收数据为：

$\stackrel{\‾}{y}=\mathrm{\χ}\stackrel{\‾}{g}+\stackrel{\‾}{n}---\left(3\right)$

假设并且满秩，则可得到的特征值分解形式为：

${\Σ}_{\stackrel{\‾}{g}}={\mathrm{U\ΛU}}^H---\left(4\right)$

其中U为酉矩阵，Λ＝diag{Λ₁₁,…,Λ_PQM,PQM}(M＝v+1)，并且假设且为独立同分布。

基于以上讨论，基于最大化互信息准则波形设计的目标函数如下：

$\begin{array}{c}\underset{\mathrm{\χ}}{\max }I(\stackrel{\‾}{y};\stackrel{\‾}{g}|\mathrm{\χ})=\log \left(\det \right({\mathrm{\σ}}_n^{-2}{\Σ}_{\stackrel{\‾}{g}}{\mathrm{\χ}}^H\mathrm{\χ}+I_{PQM}\left)\right)\\ \begin{array}{cc}s.t.& tr\left({\mathrm{\χ}}^H\mathrm{\χ}\right)\≤{\mathrm{LQP}}_0\end{array}\end{array}---\left(5\right)$

基于MMSE准则波形设计的目标函数如下：

$\begin{array}{c}\underset{\mathrm{\χ}}{\min }MMSE=tr{({\mathrm{\σ}}_n^{-2}{\Σ}_{\stackrel{\‾}{g}}{\mathrm{\χ}}^H\mathrm{\χ}+{\Σ}_{\stackrel{\‾}{g}}^{-1})}^{-1}\\ \begin{array}{cc}s.t.& tr\left({\mathrm{\χ}}^H\mathrm{\χ}\right)\≤{\mathrm{LQP}}_0\end{array}\end{array}---\left(6\right)$

优化目标函数(5)(6)可得相同的波形，形式如下：

$\mathrm{\χ}=\mathrm{\ψ}{(diag\[{(\mathrm{\η}-\frac{{\mathrm{\σ}}_n^2}{{\mathrm{\Λ}}_{11}})}^{+},...,{(\mathrm{\η}-\frac{{\mathrm{\σ}}_n^2}{A_{PQM,PQM}})}^{+}\])}^{1/2}{U}^H---\left(7\right)$

其中，U以及Λ已在式(4)中定义；ψ为L_rQ×MPQ维列正交矩阵；(c)⁺＝max[0,c]，常数η由下式确定：

$\underset{i=1}{\overset{PQM}{\Σ}}{(\mathrm{\η}-\frac{{\mathrm{\σ}}_n^{-2}}{{\mathrm{\Λ}}_{ii}})}^{+}={\mathrm{LQP}}_0---\left(8\right)$

由此最优波形确定的最大互信息以及MMSE如下：

$I_{max}=\underset{i=1}{\overset{PQM}{\Σ}}{\left(\log \right({\mathrm{\σ}}_n^{-2}{\mathrm{\Λ}}_{ii}\mathrm{\η}\left)\right)}^{+}---\left(9\right)$

$MMSE=\underset{i=1}{\overset{PQM}{\Σ}}\frac{{\mathrm{\Λ}}_{ii}}{{({\mathrm{\Λ}}_{ii}{\mathrm{\σ}}_n^{-2}\mathrm{\η}-1)}^{+}+1}---\left(10\right)$

式(7)确定了基于互信息以及MMSE准则的最优波形的形式，然而可以看到式(7)并不具有式(2)的kronecker积的形式，因而基于式(6)无法得到实际可产生的波形基于此，本文在以上结论基础上提出了基于交替投影的波形设计，以期在最大化互信息以及MMSE意义下得到最优逼近式(7)且可实际产生的波形

2)基于交替投影的波形设计

由以上讨论可知，要得到在最大化互信息以及MMSE意义下最优逼近式(7)且可以实际产生的波形简单的方法就是用(2)式逼近式(7)，即优化如下目标函数：

$\begin{array}{c}\underset{X,\mathrm{\Ψ}}{\min }{||I_Q\⊗X-{\mathrm{\Ψ\Λ}}^{1/2}{U}^H||}^2\\ \begin{array}{cc}s.t.& tr\left({\stackrel{\‾}{X}}^H\stackrel{\‾}{X}\right)\≤{\mathrm{LP}}_0\end{array}\end{array}---\left(11\right)$

从式(11)可以看到，此目标函数有两个变量，其中为实际发射波形，具有能量约束，而Ψ为列正交矩阵，具有结构约束，此类优化问题即矩阵Ψ距离最近问题，有许多求解方法。在本发明中，采用交替投影的方法。

目标函数(11)的优化用交替投影方法可表述为：设Ψ∈γ，其中Ψ分别为具有能量约束(谱约束)和结构约束(比如列正交)的矩阵，Ω,γ则分别为相应的集合。则对于某一以Ψ为变量的目标函数，可通过下面的步骤来优化目标函数。

设置Ψ的初始值(比如Ψ中的每个元素为独立同分布，且服从均值为0，方差为1的复高斯分布，然后再正交化)；或者也可以先设置的初始值，只要满足式(11)的约束条件(此时，下面的步骤1)，2)也要调换)；

Step1：固定Ψ为它最新求解值，求解式(11)，得到

Step2：固定为它最新求解值，求解式(11)，得到Ψ；

Step3：迭代Step1，Step2，直到满足设定终止条件。在本文的仿真部分，终止条件为临近两次迭代目标函数(11)的Frobenius范数之差小于设定的值，比如10^-5。

选用交替投影方法的优势在于：Step1，Step2都可得到闭式解，因此在迭代过程中运算量较少，并且此方法经过很少的迭代次数便可得到最优解。

下面来推导Step1，Step2的闭式解：

对于Step1，在本文中采用SLS(Separable least squares)方法来得到闭式解。固定Ψ为最新值，并设Z＝ΨΛ^1/2U^H，对于目标函数(11)，可改写如下：

$\begin{array}{c}\underset{X}{\min }{||I_Q\⊗\stackrel{\‾}{X}-{\mathrm{\Ψ\Γ}}^{1/2}{U}^H||}^2=\underset{k=1}{\overset{L}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{MP}{\Σ}}{||Z^{(k,j)}-{\stackrel{\‾}{X}}_{k,j}{I}_Q||}^2\\ \begin{array}{cc}s.t.& \underset{k=1}{\overset{L}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{MP}{\Σ}}{X}_{kj}{X}_{kj}^{*}\≤{\mathrm{LP}}_0\end{array}\end{array}---\left(12\right)$

其中：Z^(k _, ^j)∈C^Q×Q，k＝1:L:LQ；j＝1:PM:PMQ，为的第k行、j列元素，I_Q为单位矩阵。

对最小化式(12)应用Langrange方法，可得如下目标函数：

$J=\underset{k=1}{\overset{L}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{MP}{\Σ}}{||Z^{(k,j)}-{\stackrel{\‾}{X}}_{k,j}{I}_Q||}^2+\mathrm{\λ}(\underset{k=1}{\overset{L}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{MP}{\Σ}}{\stackrel{\‾}{X}}_{kj}{\stackrel{\‾}{X}}_{kj}^{*}-{\mathrm{LP}}_0)---\left(13\right)$

对式(13)以为变量求导，并使其为0，可得：

${\widehat{\stackrel{\‾}{X}}}_{kj}^{*}=\frac{\sqrt{{\mathrm{LP}}_0}tr\left({\left(Z^{kj}\right)}^H\right)}{\sqrt{\underset{k=1}{\overset{L}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{MP}{\Σ}}{\mathrm{tr}}^2\left({\left(Z^{kj}\right)}^H\right)}}---\left(14\right)$

此即为的第k行、j列元素的估计值，则可得到Step1的闭式解。

对于Step2，有许多方法可得到其闭式解，在此按照以下的方法进行推导。

固定为最新值，并设则目标函数(11)可改写如下：

$\underset{\mathrm{\Ψ}}{min}{||T-{\mathrm{\Ψ\Λ}}^{1/2}{U}^H||}^2=tr\left(T^{H}T\right)-2\mathrm{Re}\left(tr\right(T^H{\mathrm{\Ψ\Λ}}^{1/2}{U}^H\left)\right)-C---\left(15\right)$

其中C为常数。

则最小化式(15)可变为如下形式：

$\underset{\mathrm{\Ψ}}{max}\mathrm{Re}\left(tr\right(T^H{\mathrm{\Ψ\Λ}}^{1/2}{U}^H\left)\right)=\mathrm{Re}\left(tr\right({\mathrm{\Ψ\Λ}}^{1/2}{U}^H{T}^H\left)\right)---\left(16\right)$

设W＝Λ^1/2U^HT^H，对W做奇异值分解可得：

W＝U₁Λ₁V₁ ^H (17)

将式(17)代入(16)可得：

$\underset{\mathrm{\Ψ}}{max}\mathrm{Re}\left(tr\right({\mathrm{\Ψ\Λ}}^{1/2}{U}^H{T}^H\left)\right)=\mathrm{Re}\left(tr\right({\mathrm{\ΨU}}_1{\mathrm{\Λ}}_1{V}_1^H\left)\right)=\mathrm{Re}\left(tr\right({\mathrm{\Λ}}_1{V}_1^H{\mathrm{\ΨU}}_1\left)\right)---\left(18\right)$

目标函数(18)可改写如下：

$\mathrm{Re}\left(tr\right({\mathrm{\Λ}}_1{V}_1^H{\mathrm{\ΨU}}_1\left)\right)=\underset{n=1}{\overset{PQM}{\Σ}}\mathrm{Re}\left({\[V_1^H{\mathrm{\ΨU}}_1\]}_{nn}{\left({\mathrm{\Λ}}_1\right)}_{nn}\right)---\left(19\right)$

由于

(V₁ ^HΨU₁)(V₁ ^HΨU₁)^H＝V₁ ^HΨΨ^HV₁≤V₁ ^HV＝I (20)

因此

Re²([V₁ ^HΨU₁]_nn)≤|[V₁ ^HΨU₁]_nn|²≤[(V₁ ^HΨU₁)(V₁ ^HΨU₁)^H]_nn≤1 (21)

则可知若式(21)的等式成立，则可最大化目标函数(16)，也即最优化式(15)。式(21)中等式成立的条件为：

$\mathrm{\Ψ}=V_1{U}_1^H---\left(22\right)$

则得到Step2的闭式解。

至此，得到Step1，Step2的闭式解，因此在迭代过程中只需计算闭式解，因而计算量较小。

本发明对基于扩展目标的波形设计进行了研究，提出了基于交替投影的MIMO雷达波形设计方法。在基于最大化互信息准则得到理论上最优而实际无法产生波形的基础上，通过交替投影，可得到几乎无误差的逼近最优波形并且实际可产生的发射波形。此过程迭代次数较少，可确保收敛，并且迭代过程的每一步都可得到闭式解，因而计算复杂度较小。仿真表明：此方法以较少的迭代次数以及计算复杂度的增加为代价得到实际可产生的波形，并且随之系统得到的关于目标的信息的增加，此波形可几乎无误差的逼近理论最优波形。

本发明与现有技术相比具有以下优点：

第一，本发明提出基于交替投影的波形设计方法，对实际波形以及最优波形中的列正交矩阵同时进行迭代最优化，从仿真结果可以看出，此方法随着系统得到的目标信息的增加可迅速而几乎无误差的逼近最优波形，而且此波形是实际可产生的。

第二，与其他方法相比，此过程迭代次数较少，可确保收敛，并且迭代过程的每一步都可得到闭式解，因而计算复杂度较小，因此，此方法具有一定的实际意义。

附图说明

图1为本发明实现流程图

图2为不同方法中I_max与L和P0的关系

图3为不同方法的RMSE与P0以及L的关系

图4为不同方法在相同条件下的RMSE比较

图5为不同方法的I_max在相同条件下的比较

图6为不同方法中MMSE与L和P0的关系

图7为不同方法的RMSE与P0以及L的关系

图8为不同方法在相同条件下的RMSE比较

图9为不同方法的MMSE在相同条件下的比较

图10为在不同P0以及L条件下，相邻两次迭代目标函数模之差随迭代次数的变化(P＝2，Q＝3)。

具体实施方式

下面结合图1至图10及实施例对本发明做进一步详细描述：本发明的基于交替投影的MIMO雷达波形设计，具体步骤为：

1)系统建模

本发明的模型描述如下：MIMO雷达系统发射阵元个数P，接收阵元Q，发射波形的离散形式x(n)，n＝1,2,…,L_t(L_t为发射波形持续时间)，功率P0，接收数据接收滤波器长度L。目标为扩展目标，以长度为v的FIR表征目标的时域特性(假设L＞＞v)，对于发射阵元m，接收阵元n，FIR滤波器系数为g^(m,n)(l),l∈[0,v]。则接收阵元q在时刻k的接收信号为：

$y_q\left(k\right)=\underset{p=1}{\overset{P}{\Σ}}\underset{l=0}{\overset{v}{\Σ}}{g}^{(p,q)}\left(l\right)x_p(k-l)+n_q\left(k\right)---\left(1\right)$

其中，x_p(k)发射阵元p的波形在第k时刻的采样值，n_q(k)为接收阵元q上的加性高斯复噪声。

记g^(p _, ^q)＝[g^(p _, ^q)(0),…,g^(p _, ^q)(v)]^T， y_q＝[y_q(k),…,y_q(k+L-1)]^T，n_q＝[n_q(k),…,n_q(k+L-1)]^T，其中并且记

$\mathrm{\χ}=I_Q\⊗\stackrel{\‾}{X}---\left(2\right)$

则可得系统的接收数据为：

$\stackrel{\‾}{y}=\mathrm{\χ}\stackrel{\‾}{g}+\stackrel{\‾}{n}---\left(3\right)$

假设并且满秩，则可得到的特征值分解形式为：

${\Σ}_{\stackrel{\‾}{g}}={\mathrm{U\ΛU}}^H---\left(4\right)$

其中U为酉矩阵，Λ＝diag{Λ₁₁,…,Λ_PQM,PQM}(M＝v+1)，并且假设且为独立同分布。

基于以上讨论，基于最大化互信息准则波形设计的目标函数如下：

$\begin{array}{c}\underset{\mathrm{\χ}}{\max }I(\stackrel{\‾}{y};\stackrel{\‾}{g}|\mathrm{\χ})=\log \left(\det \right({\mathrm{\σ}}_n^{-2}{\Σ}_{\stackrel{\‾}{g}}{\mathrm{\χ}}^H\mathrm{\χ}+I_{PQM}\left)\right)\\ \begin{array}{cc}s.t.& tr\left({\mathrm{\χ}}^H\mathrm{\χ}\right)\≤{\mathrm{LQP}}_0\end{array}\end{array}---\left(5\right)$

基于MMSE准则波形设计的目标函数如下：

$\begin{array}{c}\underset{\mathrm{\χ}}{\min }MMSE=tr{({\mathrm{\σ}}_n^{-2}{\Σ}_{\stackrel{\‾}{g}}{\mathrm{\χ}}^H\mathrm{\χ}+{\Σ}_{\stackrel{\‾}{g}}^{-1})}^{-1}\\ \begin{array}{cc}s.t.& tr\left({\mathrm{\χ}}^H\mathrm{\χ}\right)\≤{\mathrm{LQP}}_0\end{array}\end{array}---\left(6\right)$

优化目标函数(5)(6)可得相同的波形，形式如下：

$\mathrm{\χ}=\mathrm{\ψ}{(diag\[{(\mathrm{\η}-\frac{{\mathrm{\σ}}_n^2}{{\mathrm{\Λ}}_{11}})}^{+},...,{(\mathrm{\η}-\frac{{\mathrm{\σ}}_n^2}{A_{PQM,PQM}})}^{+}\])}^{1/2}{U}^H---\left(7\right)$

其中，U以及Λ已在式(4)中定义；ψ为L_rQ×MPQ维列正交矩阵；(c)⁺＝max[0,c]，常数η由下式确定：

$\underset{i=1}{\overset{PQM}{\Σ}}{(\mathrm{\η}-\frac{{\mathrm{\σ}}_n^{-2}}{{\mathrm{\Λ}}_{ii}})}^{+}={\mathrm{LQP}}_0---\left(8\right)$

由此最优波形确定的最大互信息以及MMSE如下：

$I_{max}=\underset{i=1}{\overset{PQM}{\Σ}}{\left(\log \right({\mathrm{\σ}}_n^{-2}{\mathrm{\Λ}}_{ii}\mathrm{\η}\left)\right)}^{+}---\left(9\right)$

$MMSE=\underset{i=1}{\overset{PQM}{\Σ}}\frac{{\mathrm{\Λ}}_{ii}}{{({\mathrm{\Λ}}_{ii}{\mathrm{\σ}}_n^{-2}\mathrm{\η}-1)}^{+}+1}---\left(10\right)$

式(7)确定了基于互信息以及MMSE准则的最优波形的形式，然而可以看到式(7)并不具有式(2)的kronecker积的形式，因而基于式(6)无法得到实际可产生的波形基于此，本文在以上结论基础上提出了基于交替投影的波形设计，以期在最大化互信息以及MMSE意义下得到最优逼近式(7)且可实际产生的波形

2)基于交替投影的波形设计

由以上讨论可知，要得到在最大化互信息以及MMSE意义下最优逼近式(7)且可以实际产生的波形简单的方法就是用(2)式逼近式(7)，即优化如下目标函数：

$\begin{array}{c}\underset{X,\mathrm{\Ψ}}{\min }{||I_Q\⊗X-{\mathrm{\Ψ\Λ}}^{1/2}{U}^H||}^2\\ \begin{array}{cc}s.t.& tr\left({\stackrel{\‾}{X}}^H\stackrel{\‾}{X}\right)\≤{\mathrm{LP}}_0\end{array}\end{array}---\left(11\right)$

从式(11)可以看到，此目标函数有两个变量，其中为实际发射波形，具有能量约束，而Ψ为列正交矩阵，具有结构约束，此类优化问题即矩阵Ψ距离最近问题，有许多求解方法。在本发明中，采用交替投影的方法。

目标函数(11)的优化用交替投影方法可表述为：设Ψ∈γ，其中Ψ分别为具有能量约束(谱约束)和结构约束(比如列正交)的矩阵，Ω,γ则分别为相应的集合。则对于某一以Ψ为变量的目标函数，可通过下面的步骤来优化目标函数。

设置Ψ的初始值(比如Ψ中的每个元素为独立同分布，且服从均值为0，方差为1的复高斯分布，然后再正交化)；或者也可以先设置的初始值，只要满足式(11)的约束条件(此时，下面的步骤1)，2)也要调换)；

Step1：固定Ψ为它最新求解值，求解式(11)，得到

Step2：固定为它最新求解值，求解式(11)，得到Ψ；

Step3：迭代Step1，Step2直到满足设定终止条件。在本文的仿真部分，终止条件为临近两次迭代目标函数(11)的Frobenius范数之差小于设定的值，比如10^-5。

选用交替投影方法的优势在于：Step1，Step2都可得到闭式解，因此在迭代过程中运算量较少，并且此方法经过很少的迭代次数便可得到最优解。

下面来推导Step1，Step2的闭式解：

对于Step1，在本文中采用SLS(Separable least squares)方法来得到闭式解。固定Ψ为最新值，并设Z＝ΨΛ^1/2U^H，对于目标函数(11)，可改写如下：

$\begin{array}{c}\underset{X}{\min }{||I_Q\⊗\stackrel{\‾}{X}-{\mathrm{\Ψ\Γ}}^{1/2}{U}^H||}^2=\underset{k=1}{\overset{L}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{MP}{\Σ}}{||Z^{(k,j)}-{\stackrel{\‾}{X}}_{k,j}{I}_Q||}^2\\ \begin{array}{cc}s.t.& \underset{k=1}{\overset{L}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{MP}{\Σ}}{X}_{kj}{X}_{kj}^{*}\≤{\mathrm{LP}}_0\end{array}\end{array}---\left(12\right)$

其中：Z^(k _, ^j)∈C^Q×Q，k＝1:L:LQ；j＝1:PM:PMQ，为的第k行、j列元素，I_Q为单位矩阵。

对最小化式(12)应用Langrange方法，可得如下目标函数：

$J=\underset{k=1}{\overset{L}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{MP}{\Σ}}{||Z^{(k,j)}-{\stackrel{\‾}{X}}_{k,j}{I}_Q||}^2+\mathrm{\λ}(\underset{k=1}{\overset{L}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{MP}{\Σ}}{\stackrel{\‾}{X}}_{kj}{\stackrel{\‾}{X}}_{kj}^{*}-{\mathrm{LP}}_0)---\left(13\right)$

对式(13)以为变量求导，并使其为0，可得：

${\widehat{\stackrel{\‾}{X}}}_{kj}^{*}=\frac{\sqrt{{\mathrm{LP}}_0}tr\left({\left(Z^{kj}\right)}^H\right)}{\sqrt{\underset{k=1}{\overset{L}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{MP}{\Σ}}{\mathrm{tr}}^2\left({\left(Z^{kj}\right)}^H\right)}}---\left(14\right)$

此即为的第k行、j列元素的估计值，则可得到Step1的闭式解。

对于Step2，有许多方法可得到其闭式解，在此按照以下的方法进行推导。

固定为最新值，并设则目标函数(11)可改写如下：

$\underset{\mathrm{\Ψ}}{min}{||T-{\mathrm{\Ψ\Λ}}^{1/2}{U}^H||}^2=tr\left(T^{H}T\right)-2\mathrm{Re}\left(tr\right(T^H{\mathrm{\Ψ\Λ}}^{1/2}{U}^H\left)\right)-C---\left(15\right)$

其中C为常数。

则最小化式(15)可变为如下形式：

$\underset{\mathrm{\Ψ}}{max}\mathrm{Re}\left(tr\right(T^H{\mathrm{\Ψ\Λ}}^{1/2}{U}^H\left)\right)=\mathrm{Re}\left(tr\right({\mathrm{\Ψ\Λ}}^{1/2}{U}^H{T}^H\left)\right)---\left(16\right)$

设W＝Λ^1/2U^HT^H，对W做奇异值分解可得：

W＝U₁Λ₁V₁ ^H (17)

将式(17)代入(16)可得：

$\underset{\mathrm{\Ψ}}{max}\mathrm{Re}\left(tr\right({\mathrm{\Ψ\Λ}}^{1/2}{U}^H{T}^H\left)\right)=\mathrm{Re}\left(tr\right({\mathrm{\ΨU}}_1{\mathrm{\Λ}}_1{V}_1^H\left)\right)=\mathrm{Re}\left(tr\right({\mathrm{\Λ}}_1{V}_1^H{\mathrm{\ΨU}}_1\left)\right)---\left(18\right)$

目标函数(18)可改写如下：

$\mathrm{Re}\left(tr\right({\mathrm{\Λ}}_1{V}_1^H{\mathrm{\ΨU}}_1\left)\right)=\underset{n=1}{\overset{PQM}{\Σ}}\mathrm{Re}\left({\[V_1^H{\mathrm{\ΨU}}_1\]}_{nn}{\left({\mathrm{\Λ}}_1\right)}_{nn}\right)---\left(19\right)$

由于

(V₁ ^HΨU₁)(V₁ ^HΨU₁)^H＝V₁ ^HΨΨ^HV₁≤V₁ ^HV＝I (20)

因此

Re²([V₁ ^HΨU₁]_nn)≤|[V₁ ^HΨU₁]_nn|²≤[(V₁ ^HΨU₁)(V₁ ^HΨU₁)^H]_nn≤1 (21)

则可知若式(21)的等式成立，则可最大化目标函数(16)，也即最优化式(15)。式(21)中等式成立的条件为：

$\mathrm{\Ψ}=V_1{U}_1^H---\left(22\right)$

则得到Step2的闭式解。

至此，得到Step1，Step2的闭式解，因此在迭代过程中只需计算闭式解，因而计算量较小。

本发明的效果可通过以下仿真进一步说明：

仿真条件：假设目标滤波器系数的协方差矩阵具有Toeplitz结构，这个假设需要为宽平稳过程，这在的长度很长时是成立的。具有Toeplitz结构的矩阵可用它对应的循环矩阵来近似，又知可用DFT来对角化循环矩阵，因此可得到对应的近似值。在下面的仿真中，都采用这种方式得到，的功率谱采样值可随机产生，根据式(7)，则可得到χ对应的功率谱值D以及对应的的值。对于MIMO系统，设发射阵元个数P＝[1,2,3]，接收阵元个数Q＝[2,3,4]，在下面的仿真中，如果不加特别说明P＝1，Q＝2；接收滤波器阶数L＝[80,160,320]，目标阶数v＝19，发射功率P0＝[10,20,30,40,50,60,70,80],噪声n～CN(0,1)，且独立同分布。对于交替投影方法，首先设置Ψ的初始值，Ψ中的每个元素为独立同分布，且服从均值为0，方差为1的复高斯分布，然后再正交化，得到Ψ。迭代终止阈值为10^-5，进行1000次蒙特卡洛实验。

仿真内容：

仿真1：最大互信息准则下的性能比较。在此准则下，首先考察四种方法在相同的条件下，各自得到的最大互信息量I_max与发射功率P0以及接收滤波器长度L的关系，如图2所示。接下来考虑基于ML和SLS的波形设计方法以及本发明提出的方法与理论最优波形的逼近程度的比较，此处采用均方根准则来刻画此性能。基于最大互信息准则，其中I_max为理论最优波形得到的最大互信息，而则为基于ML和SLS的波形设计方法以及本文所提方法得到的最大互信息。则不同方法的RMSE与P0以及L的关系如图3所示。为了比较不同方法在相同条件下与理论最优波形的逼近程度，可得比较不同方法在相同条件下的RMSE比较，如图4所示。为了更清楚的在最大互信息准则下的比较基于ML和SLS的波形设计方法以及本文所提方法，可在相同条件下对不同方法得到的最大互信息量进行比较，具体如图5所示。

从图2-5中，可以得到以下结论：首先，四种方法得到的I_max随着P0或者L的增大而增加，这是由于随着P0的增大系统的SNR增大，则就会得到更多的信息，因而I_max也随之增大；同理，随着L的增大，系统在目标的驻留时间就越长，从而得到关于目标的能量就越大，从而I_max也随之增大。在相同条件下，理论上最优的波形设计方法得到的I_max是最大的，说明MIMO系统发射用理论上最优的波形设计方法产生的波形可以得到最多的关于目标的信息，然而由于这种方法得不到具有kronecker积结构的结果，因而得不到实际发射波形，因此只能是理论上最优的。

再者，ML方法得到的I_max略小于最优值，然而由于ML方法只能得到发射波形的协方差矩阵，若要得到具体的波形还要通过处理。而SLS方法，可以得到具体的波形然而可以看到在相同条件下，此方法得到的I_max是最小的，这是由于SLS方法建立在对式(7)单次逼近的基础上，可以看到式(7)中存在只有结构约束的矩阵ψ，当选择不同的ψ时，通过SLS就会得到不同的因此通过单次逼近很难得到较好的最优逼近，从而得到的I_max就比较小。而本专利提出的基于交替投影的方法，通过交替迭代，以较小的代价就可以很好的逼近最优值，并且随着P0或者L的增大，本方法在最大化互信息准则下很快的逼近理论上最优的波形设计方法，并且性能要比ML方法稍好，这是由于随着P0或者L的增大，系统得到的关于目标的能量越大，并且由于当系统得到的关于目标的能量增大时，最优波形趋近于每个频点等功率的波形，而此时本文的方法的局部最优点也都将趋近于此波形，因而本文的方法产生的波形会很快逼近最优波形。从图4还可以看到，随着P0或者L的增大，SLS方法很快其他方法，甚至基本相同，原因与上述相同。

仿真2：MMSE准则下的性能比较。与最大互信息准则下类似，我们首先得到不同方法中MMSE与P0以及L的关系，如图6所示。其次，基于MMSE准则，我们可设式(23)中其中ξ为理论上最优的波形设计方法得到的MMSE，而为其他方法得到的MMSE，则可得到不同方法的RMSE如图7所示。为了比较不同方法在相同条件下与理论上最优的波形的逼近程度，可得比较不同方法在相同条件下的RMSE比较，如图8所示。为了更明显的比较本文的方法与基于ML和SLS(Separate Least Square)的波形设计方法在MMSE准则下的性能比较，可在相同条件下对不同方法得到的MMSE进行比较，具体如图9所示。

由图6-9，我们可以看到，相同条件下，理论上最优的波形的MMSE性能最好，ML方法稍差，SLS方法最差，基于交替投影的方法性能随着P0或者L的增大，所提方法很快逼近最优的方法，并且性能比ML好，原因同前所述。除此之外，还可得到与最大互信息准则下类似的结论，不再赘述。

仿真3：基于交替投影方法的计算复杂度以及收敛性分析。由以上两种准则下不同方法的比较可以看到基于交替投影的方法性能能够较好的逼近最优方法，并且可以得到实际可产生的波形，但是也付出了计算复杂度增加的代价，下面我们就计算复杂度做具体分析。首先，计算复杂度为迭代步数与迭代中的每一步的计算量之和的积，由于基于交替投影方法迭代的每一步我们都可得到闭式解，并且闭式解(14)(22)的计算量较小，因此可用迭代步数表征计算复杂度，迭代步数与P0与L的关系如图10所示：

从图10可以看出，当本文设置迭代终止阈值为10^-5时，迭代步数最多不超过7，可以看出优化计算量是比较小的，并且随着发射功率的增加，优化迭代逐渐减小，原因同上所述，并且随着L的增大，在相同发射功率条件下，迭代步数也是逐渐减少的，这是由于虽然L的增大导致需处理的数据量的增加，从而导致每一步迭代所需时间增大，然而同时也会使系统能够得到更多关于目标的信息，因而在优化时，可能迭代较少的次数就会收敛到局部最优值。

综上所述，基于交替投影的MIMO雷达波形设计方法，在基于最大化互信息准则得到理论上最优而实际无法产生波形的基础上，通过交替投影，可得到几乎无误差的逼近最优波形并且实际可产生的发射波形。此过程迭代次数较少，可确保收敛，并且迭代过程的每一步都可得到闭式解，因而计算复杂度较小。由此，本发明所提方法可以为工程应用中通过设计发射波形提高系统检测性能提供坚实的理论与实现依据。

Claims (1)

1.基于交替投影的MIMO雷达波形设计，其特征在于，该雷达波形设计包括如下步骤：

1)系统建模：

本发明的模型描述如下：MIMO雷达系统发射阵元个数P，接收阵元Q，发射波形的离散形式x(n)，n＝1,2,…,L_t，L_t为发射波形持续时间，功率P0，接收数据接收滤波器长度L，目标为扩展目标，以长度为v的FIR表征目标的时域特性，假设L＞＞v，对于发射阵元m，接收阵元n，FIR滤波器系数为g^(m,n)(l),l∈[0,v]，则接收阵元q在时刻k的接收信号为：

$y_q\left(k\right)=\underset{p=1}{\overset{P}{\Σ}}\underset{l=0}{\overset{v}{\Σ}}{g}^{(p,q)}\left(l\right)x_p(k-l)+n_q\left(k\right)---\left(1\right)$

其中，x_p(k)发射阵元p的波形在第k时刻的采样值，n_q(k)为接收阵元q上的加性高斯复噪声，

记g^(p _, ^q)＝[g^(p _, ^q)(0),…,g^(p _, ^q)(v)]^T， y_q＝[y_q(k),…,y_q(k+L-1)]^T，n_q＝[n_q(k),…,n_q(k+L-1)]^T，其中并且记

$\mathrm{\χ}=I_Q\⊗\stackrel{\‾}{X}---\left(2\right)$

则可得系统的接收数据为：

$\stackrel{\‾}{y}=\mathrm{\χ}\stackrel{\‾}{g}+\stackrel{\‾}{n}---\left(3\right)$

假设并且满秩，则可得到的特征值分解形式为：

${\mathrm{\Σ}}_{\stackrel{\‾}{g}}={\mathrm{U\ΛU}}^H---\left(4\right)$

其中U为酉矩阵，Λ＝diag{Λ₁₁,…,Λ_PQMPQM}(M＝v+1)，并且假设且为独立同分布，

因此，基于最大化互信息准则波形设计的目标函数如下：

$\begin{array}{c}\underset{\mathrm{\χ}}{\max }I(\stackrel{\‾}{y};\stackrel{\‾}{g}|\mathrm{\χ})=\log \left(\det \right({\mathrm{\σ}}_n^{-2}{\Σ}_{\stackrel{\‾}{g}}{\mathrm{\χ}}^H\mathrm{\χ}+I_{PQM}\left)\right)\\ \begin{array}{cc}s.t.& tr\left({\mathrm{\χ}}^H\mathrm{\χ}\right)\≤{\mathrm{LQP}}_0\end{array}\end{array}---\left(5\right)$

基于MMSE准则波形设计的目标函数如下：

$\begin{array}{c}\underset{\mathrm{\χ}}{\min }MMSE=tr{({\mathrm{\σ}}_n^{-2}{\Σ}_{\stackrel{\‾}{g}}{\mathrm{\χ}}^H\mathrm{\χ}+{\Σ}_{\stackrel{\‾}{g}}^{-1})}^{-1}\\ \begin{array}{cc}s.t.& tr\left({\mathrm{\χ}}^H\mathrm{\χ}\right)\≤{\mathrm{LQP}}_0\end{array}\end{array}---\left(6\right)$

优化目标函数(5)(6)可得相同的波形，形式如下：

$\mathrm{\χ}=\mathrm{\ψ}{(diag\[{(\mathrm{\η}-\frac{{\mathrm{\σ}}_n^2}{{\mathrm{\Λ}}_{11}})}^{+},...,{(\mathrm{\η}-\frac{{\mathrm{\σ}}_n^2}{A_{PQM,PQM}})}^{+}\])}^{1/2}{U}^H---\left(7\right)$

其中，U以及Λ已在式(4)中定义；ψ为L_rQ×MPQ维列正交矩阵；(c)⁺＝max[0,c]，常数η由下式确定：

$\underset{i=1}{\overset{PQM}{\Σ}}{(\mathrm{\η}-\frac{{\mathrm{\σ}}_n^{-2}}{{\mathrm{\Λ}}_{ii}})}^{+}={\mathrm{LQP}}_0---\left(8\right)$

由此最优波形确定的最大互信息以及MMSE如下：

$I_{max}=\underset{i=1}{\overset{PQM}{\Σ}}{\left(\log \right({\mathrm{\σ}}_n^{-2}{\mathrm{\Λ}}_{ii}\mathrm{\η}\left)\right)}^{+}---\left(9\right)$

$MMSE=\underset{i=1}{\overset{PQM}{\Σ}}\frac{{\mathrm{\Λ}}_{ii}}{{({\mathrm{\Λ}}_{ii}{\mathrm{\σ}}_n^{-2}\mathrm{\η}-1)}^{+}+1}---\left(10\right)$

式(7)确定了基于互信息以及MMSE准则的最优波形的形式，然而可以看到式(7)并不具有式(2)的kronecker积的形式，因而基于式(6)无法得到实际可产生的波形基于此，在以上结论基础上提出了基于交替投影的波形设计，以期在最大化互信息以及MMSE意义下得到最优逼近式(7)且可实际产生的波形

2)基于交替投影的波形设计

由1)可知，要得到在最大化互信息以及MMSE意义下最优逼近式(7)且可以实际产生的波形简单的方法就是用(2)式逼近式(7)，即优化如下目标函数：

$\begin{array}{c}\underset{X,\mathrm{\Ψ}}{min}\left|\right|I_Q\⊗\stackrel{\‾}{X}-{\mathrm{\Ψ\Λ}}^{1/2}{U}^H|{|}^2\\ \begin{array}{cc}s.t.& tr\left({\stackrel{\‾}{X}}^H\stackrel{\‾}{X}\right)\≤{\mathrm{LP}}_0\end{array}\end{array}---\left(11\right)$

从式(11)可以看到，此目标函数有两个变量，其中为实际发射波形，具有能量约束，而Ψ为列正交矩阵，具有结构约束，目标函数(11)的优化用交替投影方法可表述为：设Ψ∈Υ，其中Ψ分别为具有能量约束(谱约束)和结构约束(比如列正交)的矩阵，Ω,Υ则分别为相应的集合，则对于某一以Ψ为变量的目标函数，可通过下面的步骤来优化目标函数：

Step1：设置Ψ的初始值或者设置的初始值，只要满足式(11)的约束条件，

Step1：固定Ψ为它最新求解值，求解式(11)，得到

Step2：固定为它最新求解值，求解式(11)，得到Ψ；

Step3：迭代步骤Step1，Step2，直到满足设定终止条件，在本文的仿真部分，终止条件为临近两次迭代目标函数(11)的Frobenius范数之差小于设定的值，比如10^-5；

步骤Step1，Step2都可得到闭式解，在迭代过程中运算量较少，并且此方法经过很少的迭代次数便可得到最优解，步骤Step1，Step2的闭式解：

对于Step1，在本文中采用SLS方法来得到闭式解，固定Ψ为最新值，并设Z＝ΨΛ^1/2U^H，对于目标函数(11)，可改写如下：

$\begin{array}{c}\underset{X}{\min }{||I_Q\⊗\stackrel{\‾}{X}-{\mathrm{\Ψ\Γ}}^{1/2}{U}^H||}^2=\underset{k=1}{\overset{L}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{MP}{\Σ}}{||Z^{(k,j)}-{\stackrel{\‾}{X}}_{k,j}{I}_Q||}^2\\ \begin{array}{cc}s.t.& \underset{k=1}{\overset{L}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{MP}{\Σ}}{X}_{kj}{X}_{kj}^{*}\≤{\mathrm{LP}}_0\end{array}\end{array}---\left(12\right)$

其中：Z^(k _, ^j)∈C^Q×Q，k＝1:L:LQ；j＝1:PM:PMQ，为的第k行、j列元素，I_Q为单位矩阵；

对最小化式(12)应用Langrange方法，可得如下目标函数：

$J=\underset{k=1}{\overset{L}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{MP}{\Σ}}{||Z^{(k,j)}-{\stackrel{\‾}{X}}_{k,j}{I}_Q||}^2+\mathrm{\λ}(\underset{k=1}{\overset{L}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{MP}{\Σ}}{\stackrel{\‾}{X}}_{kj}{\stackrel{\‾}{X}}_{kj}^{*}-{\mathrm{LP}}_0)---\left(13\right)$

对式(13)以为变量求导，并使其为0，可得：

${\widehat{\stackrel{\‾}{X}}}_{kj}^{*}=\frac{\sqrt{{\mathrm{LP}}_0}tr\left({\left(Z^{kj}\right)}^H\right)}{\sqrt{\underset{k=1}{\overset{L}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{MP}{\Σ}}{\mathrm{tr}}^2\left({\left(Z^{kj}\right)}^H\right)}}---\left(14\right)$

此即为的第k行、j列元素的估计值，则可得到Step1的闭式解；

对于Step1，有许多方法可得到其闭式解，在此按照以下的方法进行推导；

固定为最新值，并设则目标函数(11)可改写如下：

$\underset{\mathrm{\Ψ}}{min}\left|\right|T-{\mathrm{\Ψ\Λ}}^{1/2}{U}^H|{|}^2=tr\left(T^{H}T\right)-2\mathrm{Re}\left(tr\right(T^H{\mathrm{\Ψ\Λ}}^{1/2}{U}^H\left)\right)-C---\left(15\right)$

其中C为常数；

则最小化式(15)可变为如下形式：

$\underset{\mathrm{\Ψ}}{max}\mathrm{Re}\left(tr\right(T^H{\mathrm{\Ψ\Λ}}^{1/2}{U}^H\left)\right)=\mathrm{Re}\left(tr\right({\mathrm{\Ψ\Λ}}^{1/2}{U}^H{T}^H\left)\right)---\left(16\right)$

设W＝Λ^1/2U^HT^H，对W做奇异值分解可得：

W＝U₁Λ₁V₁ ^H (17)

将式(17)代入(16)可得：

$\underset{\mathrm{\Ψ}}{max}\mathrm{Re}\left(tr\right({\mathrm{\Ψ\Λ}}^{1/2}{U}^H{T}^H\left)\right)=\mathrm{Re}\left(tr\right({\mathrm{\ΨU}}_1{\mathrm{\Λ}}_1{V}_1^H\left)\right)=\mathrm{Re}\left(tr\right({\mathrm{\Λ}}_1{V}_1^H{\mathrm{\ΨU}}_1\left)\right)---\left(18\right)$

目标函数(18)可改写如下：

$\mathrm{Re}\left(tr\right({\mathrm{\Λ}}_1{V}_1^H{\mathrm{\ΨU}}_1\left)\right)=\underset{n=1}{\overset{PQM}{\Σ}}\mathrm{Re}\left({\[V_1^H{\mathrm{\ΨU}}_1\]}_{nn}{\left({\mathrm{\Λ}}_1\right)}_{nn}\right)---\left(19\right)$

由于

(V₁ ^HΨU₁)(V₁ ^HΨU₁)^H＝V₁ ^HΨΨ^HV₁≤V₁ ^HV＝I (20)

因此

Re²([V₁ ^HΨU₁]_nn)≤|[V₁ ^HΨU₁]_nn|²≤[(V₁ ^HΨU₁)(V₁ ^HΨU₁)^H]_nn≤1 (21)

则可知若式(21)的等式成立，则可最大化目标函数(16)，也即最优化式(15)，式(21)中等式成立的条件为：

$\mathrm{\Ψ}=V_1{U}_1^H---\left(22\right)$

则得到Step2的闭式解。