CN104166132A - 一种非正交多载波相位编码雷达系统 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种非正交多载波相位编码雷达系统，采用EBPSK调制的MCPC宽带雷达信号。系统首先采用广义似然比检测算法初步检测目标是否存在；然后根据扩展型目标对各频率子载波散射系数的差异性，设计回波信号与目标冲击响应间互信息量最大化的最优雷达发射波形，并通过调节EBPSK调制MCPC信号各子载波发射功率逼近该理论最佳波形，估计出均方误差最小的目标频域散射系数；再进一步优化设计雷达发射波形的频谱结构，优选散射系数较大的子载波频率并求解出最佳的子载波个数；最后根据估计出的目标冲击响应，优化设计回波信号信噪比最大化的雷达发射波形，使得目标的恒虚警检测概率最大，并持续这一不断更新调节的过程。

Description

一种非正交多载波相位编码雷达系统

技术领域

本发明涉及一种非正交多载波相位编码(Multi-Carrier Phase Coded,MCPC)雷达系统，综合考虑了雷达系统对扩展型目标的检测与估计问题，并且融合雷达波形的自适应优化设计理论，以在整体上提高雷达系统的目标检测与散射参数估计性能，属于雷达工程技术。

背景技术

1、雷达系统简介

雷达的发射波形的选取影响着回波中包含的信息量，与雷达监测、估计、成像、跟踪及干扰抑制等方面性能有直接的关系。根据雷达工作环境自适应地选择发射波形，有利于使雷达以最佳方式从回波中提取更多更准确的目标信息，对于提高雷达的感知能力和适应能力，以及抗干扰能力有重要的理论意义和实用价值。虽然我们可以通过估计目标冲击响应函数以及充分利用目标的散射特性来提高对雷达系统的对未知目标的检测能力，但是冲击目标响应的估计过程是以目标存在为前提条件，所以存在系统实现上的矛盾。当初步检测到目标存在的条件下，需要设计最佳的雷达发射波形，使得该波形中包含最多的目标冲击响应信息，从而提高对扩展型目标散射特性的估计性能。但是受限于雷达系统波形的产生的条件，并非所有的信号波形雷达系统都可以方便地生成。

2、基于扩展二元相移键控调制的多载波相位编码雷达波形

为了提高数字通信系统的频谱利用率，中国专利ZL200710025203.6提供了一种“统一的正交二元偏移健控调制和解调方法”，其中一个重要子集即扩展的二元相移键控(Extended Binary Phase Shift Keying,EBPSK)调制，简化定义如下：

$\begin{array}{c}{s}_0(t,f_c)=\cos \left(2\mathrm{\π}{f}_{c}t\right),0\≤t\≤T\\ s_1(t,f_c)=\left\{\begin{array}{c}-\cos \left(2\mathrm{\π}{f}_{c}t\right),0\≤t\≤\mathrm{\τ}\\ \cos \left(2\mathrm{\π}{f}_{c}t\right),\mathrm{\τ}\≤t\≤T\end{array}\right.\end{array}---\left(1\right)$

其中：s₀为码元“0”对应的时域波形，s₁为码元“1”对应的时域波形；EBPSK调制信号载波频率为f_c；T＝N/f_c是数据信息的符号宽度(即码元的时间长度)，持续了N≥1个载波周期；τ＝K/f_c是跳变波形持续的时间长度(持续了N个载波周期，K≤N)。EBPSK调制多载波相位编码(Multi-Carrier Phase Coded,MCPC)信号可以表示为：

$s\left(t\right)=A\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\underset{r=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}(C_{\mathrm{lr}}{s}_1(t-\mathrm{Tr},f_l)+(1-C_{\mathrm{lr}})s_0(t-\mathrm{Tr},f_l))---\left(2\right)$

其中：C_lr∈{0,1}为MCPC信号随机编码矩阵，L为子载波个数，R为每个子载波的编码长度，参数A用于归一化雷达总发射功率，使得：

∫s²(t)dt＝1   (3)

其中：s₀(t-Tr,f_l)和s₁(t-Tr,f_l)分别为延时为Tr、载频为f_l＝f_c+(l-1)△f的EBPSK调制码元“0”与码元“1”的波形，其中子载波间隔设置为△f，其时延波形如图3所示，对式(2)做傅里叶变换可得其频谱为：

$S\left(f\right)=A\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\underset{r=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}(C_{\mathrm{lr}}{S}_1(f,f_l)+(1-C_{\mathrm{lr}})S_0(f,f_l))\exp (-j2\mathrm{\πfTr})---\left(4\right)$

其中：S_i(f,f_l),i∈{0,1}表示s_i(t,f_l)的傅里叶变换，其频域波形如图4所示。

3、Neyman-Pearson准则

雷达系统中Neyman-Pearson(N-P)准则作为检测理论，目的是在保证虚警概率P_fα不超出容忍范围α的情况下，使目标检测概率P_d最大，可以写为如下最优化问题：

$\begin{array}{c}\max P_d\\ s.t.P_{\mathrm{f\α}}\≤\mathrm{\α}\end{array}---\left(5\right)$

采用拉格朗日乘子法求解函数f，即：

f＝P_d+λ(P_fa-α)   (6)

其中：λ为拉格朗日乘子，由于目标检测概率P_d与虚警概率P_fα分别可以表示为：

其中：y为雷达接收信号(即回波信号)，如果接收信号在集合中，其中集合为雷达系统中某种特定检测算法的判决集合，则判定目标存在，反之目标不存在；P_y为为回波信号的概率密度分布函数；H₁和H₀分别表示目标存在与不存在。将式(7)带入式(6)可得：

为了求得函数f的最大值，需要令下式成立：

P_y(y|H₁)+λP_y(y|H₀)>0   (9)

从而可以得到对应的雷达目标似然比检测准则：

$\frac{p_y\left(y\right|H_1)}{p_y\left(y\right|H_0)}\frac{\stackrel{H_1}{>}}{\underset{H_0}{<}}-\mathrm{\&lambda;}---\left(10\right)$

在N-P准则下，目标存在与否仅仅取决于回波信号y及检测门限λ，该检测门限也就是(6)中的拉格朗日乘子，式(10)表明由特定回波信号y算出的两个概率密度函数的比值需要与检测门限进行比较：如果该似然比值超过门限，则雷达系统检测到目标存在；否则，认为目标不存在。

4、扩展型目标雷达系统模型

扩展型目标特征为其尺寸大于雷达的分辨能力，即雷达可以认为扩展型目标占据多个距离单元，而且每个距离单元对电磁波具有不同的散射能力，如果假设雷达发射波形信号为s(t)，则距离雷达为R_i处的目标单元回波信号可以表示为：

y_i(t)＝h_i×s(t-τ_i)+n_i(t)   (11)

其中：回波信号受到加性高斯白噪声n_i(t)的影响和目标散射的幅度衰减h_i，回波信号延时为：

${\mathrm{\&tau;}}_i=\frac{{2R}_i}{v_0}---\left(12\right)$

其中：v₀为电磁波在空间的传播速度。则雷达系统接收信号为该目标不同距离单元回波的叠加：

$y\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{y}_i\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}(h_i\&times;s(t-{\mathrm{\&tau;}}_i)+n_i\left(t\right))---\left(13\right)$

其中：M为目标不同距离单元的个数。将式(13)重写可得：

y(t)＝h(t)*s(t)+n(t)   (14)

其中：*表示卷积运算，n(t)为加性高斯白噪声，h(t)可以表示为：

$h\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{h}_i\mathrm{\&delta;}(t-{\mathrm{\&tau;}}_i)---\left(15\right)$

其中：δ(t)为狄拉克函数，定义如下：

从以上的分析结果可知，扩展型目标对雷达发射信号的影响可以建模为线性时不变系统，图1给出了扩展型目标的EBPSK调制MCPC雷达系统框图。

5、多载波宽带雷达系统的设计主要面临的问题

虽然我们可以通过估计目标冲击响应函数以及充分利用目标的散射特性来提高雷达系统对未知目标的检测能力，但是目标冲击响应的估计过程是以目标存在为前提条件，所以这里存在一个系统实现上的矛盾，即雷达是为了解决目标的存在性问题，我们不能以目标是否存在作为雷达系统的先验知识再对目标特征参数进行估计。多载波宽带雷达系统的设计主要面临如下几个问题：

1、在未知目标是否存在的条件下，需要设计最佳雷达目标检测方案，使得基于恒虚警概率(Constant False Alarm Rate,CFAR)检测的雷达系统拥有最高的目标检测概率；

2、在初步检测到目标存在的条件下，需要设计最佳雷达发射波形，使得该波形中包含最多的目标冲击响应信息，从而提高对扩展型目标散射特性的估计性能；但是受限于雷达系统波形产生条件，并非所有信号波形雷达系统都可以方便地生成，需要设计便于生成的雷达波形；

3、在能够充分估计出雷达系统冲击响应的条件下，需要基于目标冲击响应的估计值设计出使回波信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)最大化的雷达发射波形，从而提高雷达系统的目标检测概率；

4、雷达系统需要满足自适应调节雷达发射波形的功能，并且在再次检测到目标存在时能够更新雷达发射波形，从而提供更优的目标检测与估计性能。

发明内容

发明目的：为了克服现有技术中存在的不足，本发明提供一种非正交多载波相位编码雷达系统，旨在充分利用扩展型目标的散射特性优化设计雷达系统发射波形，以期有效提高目标的参数估计性能和检测概率。

技术方案：为实现上述目的，本发明采用的技术方案为：

一种非正交多载波相位编码雷达系统，通过自适应调节雷达发射波形来提高对于目标的检测及其各频点散射系数估计的性能，其工作过程包括如下步骤：

(1)在未知是否存在目标的情况下，雷达发射宽带EBPSK调制的MCPC波形，在整个雷达带宽内能量均匀分布，不限制各子载波间必须正交，进入步骤(2)；

(2)根据雷达回波信号，采用GLRT算法初步判断目标是否存在：若目标不存在，则返回步骤(1)，否则进入步骤(3)；

(3)根据雷达回波信号，采用注水法求解出用于估计目标冲击响应函数的最佳雷达发送信号的频谱结构，使得雷达回波信号与目标冲击响应间的互信息量最大化，进入步骤(4)；

(4)采用EBPSK调制MCPC信号的功率分配方案设计雷达发送信号的频谱结构，使设计出的雷达发送信号的频谱结构逼近步骤(3)得到的最佳雷达发送信号的频谱结构，进入步骤(5)；

(5)自适应调节雷达发送信号的子载波频谱结构，在目标频域散射系数方差越大的频点处配置的多载波信号越密集，进入步骤(6)；

(6)通过自适应调节雷达发送信号的子载波个数，使得目标频域散射系数估计的均方误差最小化，进入步骤(7)；

(7)通过对当前目标频域散射系数的估计重新设计雷达发送信号，从而最大化雷达回波信号的信噪比，进入步骤(8)；

(8)发送步骤(7)得到的雷达发送信号，返回步骤(2)。

所述步骤(2)中，GLRT算法等效于检测雷达回波信号的能量，如果能量大于阀值则判断目标存在，反之则不存在；其中阈值λ(P_fa)的选择为：

$\mathrm{\&lambda;}\left(P_{\mathrm{fa}}\right)\&ap;{\mathrm{MP}}_{\mathrm{fa}}^{2/M}+M{(1-P_{\mathrm{fa}}^{2/M})}^2-\frac{3M}{2}{(1-P_{\mathrm{fa}}^{2/M})}^3+\frac{8M}{3}{(1-P_{\mathrm{fa}}^{2/M})}^4-\frac{125M}{24}{(1-P_{\mathrm{fa}}^{2/M})}^5$

其中：P_fa为目标虚警概率，M为雷达回波信号所满足的χ²分布的自由度。

所述步骤(3)中，用于估计目标冲击响应函数的最佳雷达发送信号的频谱结构满足如下函数：

${\left|S\left(f\right)\right|}^2=\max [0,\mathrm{\&epsiv;}-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2\left(f\right)\tilde{T}}{{\mathrm{\&sigma;}}_G^2\left(f\right)}]$

其中：S(f)为雷达发送信号的功率频谱密度函数，ε为雷达发送信号的功率频率设计阈值，T为雷达发送信号的持续时间，T_g为目标冲击响应g(t)的持续时间，T_W为限制雷达发送信号带宽的理想低通滤波器的持续时间，为不同频率的噪声散射系数方差，为不同频率的目标散射系数方差。

所述步骤(4)中，EBPSK调制MCPC信号的编码矩阵为随机编码矩阵。

所述步骤(5)中，根据目标频域散射系数方差从高到低依次分配载波信号。

所述步骤(6)中，自适应调节雷达发送信号的子载波个数，其中子载波个数通过最小化理论参考函数求出，其中为雷达发送信号功率谱密度平方，为不同频率的噪声散射系数方差，为不同频率的目标散射系数方差，m为不同频率索引，为所有频率索引集合。

所述步骤(7)中，为了使雷达回波信号的信噪比最大，重新设计的雷达发送信号的构造是将雷达发送信号的功率集中在目标频域散射系数方差最大的载波频率处。

有益效果：本发明提供的非正交多载波相位编码雷达系统，相较于现有技术，具有如下优势：

1、解决了雷达系统检测与估计之间的矛盾问题

本发明解决了一般雷达系统面临的同时进行目标检测与估计的问题，将GLRT理论引入到目标的初步检测之中，并根据CFAR检测理论设计最佳目标检测阈值；如果检测到目标存在，便设计最佳的EBPSK调制MCPC信号，使得可通过最佳的雷达回波信号估计出扩展型目标冲击响应函数，再根据目标冲击响应函数重新设计该最佳的EBPSK调制MCPC信号，使得雷达回波信号的SNR最大。

2、最优化设计了初步目标检测的阈值

本发明的初步目标检测过程是基于N-P准则，即在CFAR条件下最大化目标检测概率，由于扩展型目标的散射特性未知，所以采用GLRT作为初步目标检测算法，并在该算法的基础上给出了如何根据雷达回波信号能量判断目标是否存在的方法，即给出了理论上最佳的判决阈值。

3、最优化设计雷达发送信号从而最大化回波信号与目标冲击响应间的互信息量

当采用GLRT初步检测到目标存在时，本发明给出了可使雷达接收回波信号中包含最多目标冲击响应信息的最大化互信息量的波形设计方案，即给出了该条件下的最佳雷达发射波形频谱结构。

4、最优化设计EBPSK调制MCPC信号频谱结构

由于雷达系统生成信号的局限性，我们考虑通过调节EBPSK调制MCPC信号各个子载波的发射功率，使其逼近最佳雷达发射信号，从而得到近似最优的雷达发射波形，以尽可能减小目标散射系数估计的均方误差。

5、最优化设计EPBSK调制MCPC信号的子载波间隔

本发明提出了一种可以根据目标冲击响应函数估计值自适应调节子载波频率间隔的方案，据此指导本发明系统在目标散射系数较大的频点，对于EBPSK调制MCPC信号配置更密集的子载波和更高的发射功率。

6、最优化设计EBPSK调制MCPC信号的子载波个数

本发明提出了一种自适应调节子载波数目的方案，该方案给出了一个理论参考函数用于计算最佳子载波数目，该最佳子载波数目与最小化子载波间隔时采用最大化互信息量求得的非零子载波幅度数目基本一致。

7、最优化雷达回波信号SNR的雷达发送信号

当雷达系统估计出目标冲击响应时，本发明同时还提出了一种可以最大化回波信号SNR的雷达EBPSK调制MCPC信号设计方案，按照该方案在已知目标冲击响应时雷达系统需要将更多的能量放置在回波信号较强的频点处。

8、无须考虑EBPSK调制MCPC信号各个子载波之间的正交性

现有按照正交频分复用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)技术实现的多载波雷达，为了保证各个子载波之间的正交性，对于子载波的间隔、频率和个数都有严格的限制，否则性能会严重下降；而本发明则无须考虑EBPSK调制MCPC信号各个子载波之间的正交性约束，甚至在回波信号最强的频点附近可以更加密集地配置子载波的个数，从而为多载波雷达系统的设计与实现提供了极大的灵活性。

附图说明

图1为本发明的非正交多载波相位编码雷达的系统框图，可以针对扩展目标的检测；

图2为本发明的工作过程流程图；

图3为EBPSK调制的MCPC信号的时域波形，其中EBPSK调制参数K＝2，N＝20，载波频率f_c＝100MHz，子载波频率间隔△f＝20MHz，采样频率f_s＝1GHz，MCPC波形采用随机编码，其中每个子载波编码长度为N_C＝32，子载波个数为L＝16；

图4为EBPSK调制MCPC信号的频谱，其调制参数与图3参数相同；

图5为EBPSK调制MCPC信号的单边带频谱结构，其中子载波间隔△f＝50MHz，子载波个数L＝4，每个子载波编码长度N_C＝4；

图6为目标频域散射系数方差，其中各个频率间的散射参数满足独立高斯分布，方差满足[0.1,1]之间的均匀分布；

图7为雷达回波信号的频谱，该信号主要受到SNR＝-20dB加性高斯白噪声以及目标频域散射的影响；

图8为SNR＝-50dB噪声时表征雷达目标检测概率的接收机工作特性(ReceiverOperating Characteristic,ROC)曲线的理论值与仿真值的对比；

图9为能量均匀分布的EBPSK调制MCPC信号频谱以及目标对不同频率电磁波的散射方差；

图10为采用注水法求解最优多载波能量分配时注水阈值以及噪声方差与目标频域散射方差比值的关系图；

图11为给出信号能量分配对比：1)采用均匀功率分布的EBPSK调制MCPC信号的频谱；2)采用EBPSK调制MCPC信号通过调节各频点发射功率来逼近最佳信号的频谱；3)采用注水法求得的最佳发射波形频谱；4)目标对不同频点电磁波的散射系数方差；

图12为不同信噪比条件下目标不同频点散射参数估计的均方误差对比，其中包括采用功率均匀分布的EBPSK调制MCPC信号，只发射最大散射方差频点处的EBPSK调制信号，以及本发明的最佳EBPSK调制MCPC信号波形；

图13为不同信噪比条件下目标散射系数最大值估计的方差对比，其中包括采用功率均匀分布的EBPSK调制MCPC信号，只发射最大散射方差频点处的EBPSK调制信号，以及本发明最佳EBPSK调制MCPC信号波形；

图14为自适应调节子载波间隔而得到的优化EBPSK调制MCPC波形，其中最小子载波间隔设置为 $f_{\min }=20\&times;\frac{f_c}{{\mathrm{NN}}_C}<\frac{f_c}{N};$

图15为不同信噪比条件下优化设计子载波间隔时对目标散射系数估计均方误差的影响；

图16为不同信噪比条件下优化设计子载波间隔时对目标散射系数最大值的估计误差的影响；

图17为对于不同的子载波个数EBPSK调制MCPC信号对目标散射系数估计的均方误差及理论参考值；

图18为对于不同的子载波个数EBPSK调制MCPC信号对目标散射系数估计的均方误差及理论参考值，用于求得最佳子载波数目并与最大互信息量的理论值做比较；

图19为采用最大化雷达回波信号(EBPSK调制MCPC信号)与目标冲击响应直接互信息量为设计准则求得的各个子载波的幅度。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作更进一步的说明。

为了解决雷达系统设计以及扩展型目标检测的问题，本案需要设计一种新的多载波雷达系统，旨在充分利用扩展型目标的散射特性优化设计雷达系统发射波形，以期有效提高目标的参数估计性能和检测概率。扩展型目标对不同频率电磁波的散射作用可以建模为如图1所示的线性时不变系统，本案的整体设计思想为：

1)首先采用GLRT算法检测目标是否存；

2)如果目标存在便以最小化目标频域散射参数估计的均方误差为目标函数，设计最优的雷达发射波形，对目标频域散射参数进行估计；

3)接着进一步从估计结果中自适应设计可以使雷达回波信噪比最大化的雷达发送信号，从而提高雷达对该目标的检测性能。

雷达系统的设计需要考虑到以下两个优化条件：

1)最优化设计雷达发送信号使得目标频域散射参数估计性能最优；

2)根据估计得到的目标频域散射参数设计最佳雷达发送信号从而最大化目标检测概率。

最大化目标频域散射参数的估计性能，等效于从接收信号中得到最多的目标冲击响应函数的信息，即需要在已知雷达发射波形的条件下最大化接收信号与目标冲击响应之间的互信息量，但据此求得的最佳雷达发射波形不容易在雷达系统中生成，所以可以考虑采用EBPSK调制的MCPC信号逼近该最佳波形。另一方面，通过自适应地调节子载波间隔和子载波个数，可以使得目标散射参数的估计性能进一步提高。当可以估计出目标冲击响应函数时，最优化雷达系统的目标检测概率等效于最大化接收信号的信噪比，所以在设计雷达系统时，可以从以下几个方面入手：

1)基于最大化互信息量的雷达发送信号设计以估计出目标冲击响应参数；

2)基于最大化信噪比的波形设计以最大化目标的检测概率；

3)为了实现雷达系统自适应调节雷达发送信号，并且在再次检测到目标存在时能够更新雷达发送信号的问题，当雷达系统检测到目标存在时需要再次估计目标的冲击响应，从而更新雷达系统的发射波形，得到更优的目标检测与估计性能。

基于上述考虑，本案设计了一种非正交多载波相位编码雷达系统，用于解决未知目标散射特性条件下对目标进行检测与散射参数估计的问题，并提出雷达发送信号优化算法分别用于优化雷达的目标检测性能和目标散射参数估计性能；该系统的逻辑流程图如图2所示，其工作过程包括如下步骤：

(1)在未知是否存在目标的情况下，雷达发射宽带EBPSK调制的MCPC波形，在整个雷达带宽内能量均匀分布，不限制各子载波间必须正交，进入步骤(2)；

(2)根据雷达回波信号，采用GLRT算法初步判断目标是否存在：若目标不存在，则返回步骤(1)，否则进入步骤(3)；

(3)根据目标频域散射系数方差采用注水法求解出用于估计目标冲击响应函数的最佳雷达发送信号的频谱结构，使得雷达回波信号与目标冲击响应间的互信息量最大化，进入步骤(4)；

(4)采用EBPSK调制MCPC信号的功率分配方案设计雷达发送信号的频谱结构，使设计出的雷达发送信号的频谱结构逼近步骤(3)得到的最佳雷达发送信号的频谱结构，进入步骤(5)；

(5)自适应调节雷达发送信号的子载波频谱结构，在目标频域散射系数方差越大的频点处配置的多载波信号越密集，进入步骤(6)；

(6)通过自适应调节雷达发送信号的子载波个数，使得目标频域散射系数估计的均方误差最小化，进入步骤(7)；

(7)通过对当前目标频域散射系数的估计重新设计雷达发送信号，从而最大化雷达回波信号的信噪比，进入步骤(8)；

(8)发送步骤(7)得到的雷达发送信号，返回步骤(2)。

下面对几个主要部分的内容加以具体描述。

第一部分 广义似然比检测——初步检测目标是否存在

首先，雷达系统未知是否存在目标，为了提高目标检测概率，充分利用雷达回波信号的频域以及目标对不同频点的电磁波散射能量不同的特性，首先发射宽带EBPSK调制MCPC信号，并保持各子载波上的发射功率相同，则雷达信号波形及其频谱分别如式(2)和式(4)所示，假设事件H₀与事件H₁分别表示目标不存在与存在，则频域雷达回波信号可以分别表示为：

$\begin{array}{c}{H}_0:y\left(t\right)=n\left(t\right)\\ H_1:y\left(t\right)=z\left(t\right)+n\left(t\right)\end{array}---\left(17\right)$

其中，n(t)为加性高斯白噪声，y(t)为雷达回波信号，z(t)为EBPSK调制MCPC回波。对式(17)做Fourier变换并离散化可得其频域表达式为：

$\begin{array}{c}{H}_0:y=n\\ H_1:y=\mathrm{Sg}+n=z+n\end{array}---\left(18\right)$

其中：S＝diag{s}为离散化频域信号S(f)的对角阵，g为目标频域散射系数；假设g与n满足高斯分布，则雷达回波信号y也满足高斯分布，其概率分布密度函数为：

$\begin{array}{c}p\left(y\right|H_0)=\frac{1}{{\mathrm{\&pi;}}^M\left|\det \left(R_0\right)\right|}\exp \left({-y}^H{R}_0^{-1}y\right)\\ p\left(y\right|g,H_1)=\frac{1}{{\mathrm{\&pi;}}^M\left|\det \left(R_0\right)\right|}\exp (-{(y-\mathrm{Sg})}^H{R}_0^{-1}(y-\mathrm{Sg}))\end{array}---\left(19\right)$

其中：R₀＝ε{nn^H}，M为雷达回波信号向量y的长度；则对数似然比为：

$\begin{array}{c}l\left(y\right|g)=\ln \frac{p\left(y\right|g,H_1)}{p\left(y\right|H_0)}\\ =y^H{R}_0^{-1}\mathrm{Sg}+g^H{\mathrm{SR}}_0^{-1}y-g^H{\mathrm{SR}}_0^{-1}\mathrm{Sg}\end{array}---\left(20\right)$

假设目标伴随着高斯白噪声的干扰，噪声方差为则有：

$l\left(y\right|g)=\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2}({2y}^H\mathrm{Sg}-g^H{S}^H\mathrm{Sg})---\left(21\right)$

根据GLRT理论，在未知目标冲击响应时，检测目标是否存在的过程可以表示为：

$l\left(y\right)=\underset{g}{\max }\{l\left(y\right|g)=\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2}({2y}^H-g^H{S}^H)\mathrm{Sg}\}\frac{\stackrel{H_1}{>}}{\underset{H_0}{<}}\mathrm{\&lambda;}---\left(22\right)$

其中：

$\begin{array}{c}\hat{g}=\underset{g}{\arg \max }({2y}^H-g^H{S}^H)\mathrm{Sg}\\ =\underset{g}{\arg \min }{\left|\right|y-\mathrm{Sg}\left|\right|}_2=S^{-1}y\end{array}---\left(23\right)$

则有：

$l\left(y\right)=\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2}{y}^{H}y\frac{\stackrel{H_1}{>}}{\underset{H_0}{<}}\mathrm{\&lambda;}---\left(24\right)$

λ为目标检测阈值。所以，GLRT等效于检测雷达回波信号的能量，如果能量大于阈值则判定目标存在，反之判定目标不存在；这是雷达领域的公知。

由于采用CFAR准则对目标进行检测，需要求得虚警概率P_fα和目标检测概率P_d。首先，当目标不存在时，雷达回波信号满足自由度为M的χ²分布，所有雷达系统的虚警概率P_fα为：

$\begin{array}{c}{P}_{\mathrm{fa}}=P({\mathrm{\&chi;}}_M^2\&GreaterEqual;\mathrm{\&lambda;})\\ =1-\frac{1}{\mathrm{\&Gamma;}\left(\frac{M}{2}\right)}\mathrm{\&gamma;}(\frac{M}{2},\frac{\mathrm{\&lambda;}}{2})=1-F(\mathrm{\&lambda;};M)\end{array}---\left(25\right)$

其中γ(·)为不完全Gamma函数，Γ(·)为Gamma函数，当λ>M时，雷达系统的虚警概率的Chernoff界可以表示为：

$P_{\mathrm{fa}}\&le;{\left(\frac{\mathrm{\&lambda;}}{M}\exp (1-\frac{\mathrm{\&lambda;}}{M})\right)}^{M/2}---\left(26\right)$

由于该表达式为Lambert W函数，不易求得显示解，所有采用Taylor级数进行近似，将目标检测回波能量阈值设定为：

$\mathrm{\&lambda;}\left(P_{\mathrm{fa}}\right)\&ap;{\mathrm{MP}}_{\mathrm{fa}}^{2/M}+M{(1-P_{\mathrm{fa}}^{2/M})}^2-\frac{3M}{2}{(1-P_{\mathrm{fa}}^{2/M})}^3+\frac{8M}{3}{(1-P_{\mathrm{fa}}^{2/M})}^4-\frac{125M}{24}{(1-P_{\mathrm{fa}}^{2/M})}^5---\left(27\right)$

这里的Taylor级数展开求解目标检测阈值λ(P_fa)的方案也可以采用MATLAB仿真软件中的chi2inv(1-P_fa,M)函数代替。

其次，当目标存在时，回波信号的似然比为：

$l\left(y\right)=\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2}{y}^{H}y=\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2}{(\mathrm{Sg}+n)}^H(\mathrm{Sg}+n)\frac{\stackrel{H_1}{>}}{\underset{H_0}{<}}\mathrm{\&lambda;}\left(P_{\mathrm{fa}}\right)---\left(28\right)$

由于 $l\left(y\right)=\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2}{y}^{H}y=\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2}{(\mathrm{Sg}+n)}^H(\mathrm{Sg}+n)=\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{(s_m{g}_m+n_m)}^2,$ 其中每一项满足独立高斯分布不同频点的目标散射系数方差用表示，所以l(y)满足广义卡方(Generalized Chi-Squared)分布，其概率密度函数为：

$f(x=l\left(y\right))=\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left[\frac{\exp (-\frac{x}{{\mathrm{\&sigma;}}_m^2})}{{\mathrm{\&sigma;}}_m^2\underset{i=1,i\&NotEqual;m}{\overset{M}{\mathrm{\&Pi;}}}(1-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_i^2}{{\mathrm{\&sigma;}}_m^2})}\right],$ 其中 ${\mathrm{\&sigma;}}_m^2=1+\frac{s_m^2{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gm}}^2}{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2},{\mathrm{\&sigma;}}_m^2\&NotEqual;{\mathrm{\&sigma;}}_n^2,\&ForAll;m\&NotEqual;n---\left(29\right)$

则根据N-P准则得到以CFAR为准则的EBPSK调制MCPC信号的目标检测概率为：

$\begin{array}{c}{P}_d={\&Integral;}_{\mathrm{\&lambda;}\left(P_{\mathrm{fa}}\right)}^{\&infin;}f(x=l\left(y\right))\mathrm{dx}\\ ={\&Integral;}_{\mathrm{\&lambda;}\left(P_{\mathrm{fa}}\right)}^{\&infin;}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left[\frac{\exp (-\frac{x}{{\mathrm{\&sigma;}}_m^2})}{{\mathrm{\&sigma;}}_m^2\underset{i=1,i\&NotEqual;m}{\overset{M}{\mathrm{\&Pi;}}}(1-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_i^2}{{\mathrm{\&sigma;}}_m^2})}\right]\mathrm{dx}=\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left(\frac{\exp (-\frac{\mathrm{\&lambda;}\left(P_{\mathrm{fa}}\right)}{{\mathrm{\&sigma;}}_m^2})}{\underset{i=1,i\&NotEqual;m}{\overset{M}{\mathrm{\&Pi;}}}(1-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_i^2}{{\mathrm{\&sigma;}}_m^2})}\right)\end{array}---\left(30\right)$

第二部分 目标存在时对其频域散射参数进行估计

当目标频域散射参数及其对应的时域冲击响应未知时，我们将其建模为有色平稳高斯随机过程，并从回波信号中对其进行估计。如果雷达发射信号s(t)满足有限能量E_s，持续时间为信号带宽为[f_o,f₀+W]，而且带外信号能量可以忽略不计，则在已知雷达发射波形s(t)条件下使得回波信号y(t)与目标频域散射函数g(t)的互信息量I(y(t)；g(t)|s(t))最大化的雷达发射波形功率谱密度函数，应当满足如下条件：

${\left|S\left(f\right)\right|}^2=\max [0,\mathrm{\&epsiv;}-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2\left(f\right)\tilde{T}}{{\mathrm{\&sigma;}}_G^2\left(f\right)}]=\max [0,\mathrm{\&epsiv;}-\mathrm{\&tau;}\left(f\right)]---\left(31\right)$

其中：参数ε用于调节雷达发射功率，T_g为目标冲击响应g(t)的持续时间，为限制雷达发送信号带宽的理想低通滤波器的持续时间，为不同频率的目标散射系数方差。在本案系统中假设目标冲击响应均值μ_G(f)＝0，为了满足雷达发射信号的功率约束条件，ε应当满足：

$E_s={\&Integral;}_W\max [0,\mathrm{\&epsiv;}-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2\left(f\right)\tilde{T}}{{\mathrm{\&sigma;}}_G^2\left(f\right)}]\mathrm{df}---\left(32\right)$

在该发射信号功率谱条件下可以得到相应的最大互信息量为：

$\begin{array}{c}{I}_{\max }(y\left(t\right);g\left(t\right)|s\left(t\right))\\ =\tilde{T}{\&Integral;}_W\max [0,\ln \mathrm{\&epsiv;}-\ln \frac{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2\left(f\right)\tilde{T}}{{\mathrm{\&sigma;}}_G^2\left(f\right)}]\mathrm{df}\\ =\tilde{T}{\&Integral;}_W\max [0,\ln \mathrm{\&epsiv;}-\ln \mathrm{\&tau;}\left(f\right)]\mathrm{df}\end{array}---\left(33\right)$

对于具体的目标冲击响应频谱的估计方法，采用MAP准则，即：

$\begin{array}{c}\hat{g}=\underset{g}{\arg \max }p\left(g\right|y)\\ =\underset{g}{\arg \max }\frac{1}{\left|\det \left(R_0\right)\det \left(R_G\right)\right|}\exp ({-g}^H{R}_G^{-1}g-{(y-\mathrm{Sg})}^H{R}_0^{-1}(y-\mathrm{Sg}))\\ =\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2}{\left(H^{H}H\right)}^{-1}{S}^{H}y=\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2}{(R_G^{-1}+\frac{S^{H}S}{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2})}^{-1}{S}^{H}y\end{array}---\left(34\right)$

其中：R₀为高斯噪声的协方差矩阵，R_G为目标频域散射系数的协方差矩阵。因为假设目标频域散射系数满足独立高斯分布，所以有：

$\begin{array}{c}\hat{g}=\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2}{(R_G^{-1}+\frac{S^{H}S}{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2})}^{-1}{S}^{H}y\\ ={(\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{G1}^2{s}_1(s_1{g}_1+n_1)}{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2+s_1^2{\mathrm{\&sigma;}}_{G1}^2},\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{G2}^2{s}_2(s_2{g}_2+n_2)}{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2+s_2^2{\mathrm{\&sigma;}}_{G2}^2},...,\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{GM}}^2{s}_M(s_M{g}_M+n_M)}{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2+s_M^2{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{GM}}^2})}^T\end{array}---\left(35\right)$

由于采用MAP准则对目标散射系数进行估计的前提是已知目标频域响应的协方差矩阵及高斯白噪声的方差，得到目标频域散射系数方差估计为：

$\begin{array}{c}{y}_m=s_m{g}_m+n_m\\ \mathrm{\&epsiv;}\left\{y_m^2\right\}=\mathrm{\&epsiv;}\left\{{(s_m{g}_m+n_m)}^2\right\}=s_m^2{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gm}}^2+{\mathrm{\&sigma;}}_n^2\\ =>{\widehat{\mathrm{\&sigma;}}}_{\mathrm{Gm}}^2=\frac{\mathrm{\&epsiv;}\left\{y_m^2\right\}-{\mathrm{\&sigma;}}_n^2}{s_m^2}\end{array}---\left(36\right)$

由于发射波形受雷达系统的限制，本案采用EBPSK调制MCPC信号逼近最优化回波信号与雷达散射参数互信息量的信号波形，而EBPSK调制MCPC信号可以表示为：

$s\left(t\right)=\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}{A}_l\underset{r=1}{\overset{R}{\mathrm{\&Sigma;}}}(C_{\mathrm{lr}}{s}_1(t-\mathrm{Tr},f_l)+(1-C_{\mathrm{lr}})s_0(t-\mathrm{Tr},f_l))---\left(37\right)$

其中：A_l表示各个子载波调制幅度，其余参数定义与式(4)相同，我们需要设计各个子载波幅度A_l，从而解决以下最优化问题：

$\begin{array}{c}A=\underset{A}{\arg }\min {\&Integral;\left(\right|X\left(f\right)|-|S\left(f\right)\left|\right)}^2\mathrm{df}\\ s.t.{\left|X\left(f\right)\right|}^2=\max [0,\mathrm{\&epsiv;}-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2\left(f\right)\tilde{T}}{{\mathrm{\&sigma;}}_G^2\left(f\right)}]\\ \&Integral;{\left|X\left(f\right)\right|}^2\mathrm{df}=1\\ {\&Integral;\left|S\left(f\right)\right|}^2\mathrm{df}=1\end{array}---\left(38\right)$

其中：S(f)为最大互信息量求得的最佳雷达发射信号频谱，该优化问题等价于：

$\begin{array}{c}A=\underset{A}{\arg \max }\&Integral;X^2\left(f\right){\left(\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}{A}_l{g}_l\left(f\right)\right)}^2\mathrm{df}\\ s.t.\&Integral;{\left|S\left(f\right)\right|}^2\mathrm{df}=1\\ g_l\left(f\right)=\underset{r=1}{\overset{R}{\mathrm{\&Sigma;}}}(C_{\mathrm{lr}}{S}_1(f,f_l)+(1-C_{\mathrm{lr}})S_0(f,f_l))\exp (-j2\mathrm{\&pi;fTr})\end{array}---\left(39\right)$

即我们需要最大化信号|X(f)|与|S(f)|的相关系数：

$A=\underset{A}{\arg }\max \frac{\&Integral;X^2\left(f\right){\left(\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}{A}_l{g}_l\left(f\right)\right)}^2\mathrm{df}}{{\&Integral;X}^2\left(f\right)\mathrm{df}{\&Integral;\left(\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}{A}_l{g}_l\left(f\right)\right)}^2\mathrm{df}}---\left(40\right)$

于是本案提出以下算法求解EBPSK调制MCPC信号的最佳频谱功率分配：

1)初始化，先求解第一个子载波的幅度：

A₁＝∫|X(f)g₁(f)|df；

2)依次求解其他各子载波的幅度：

$A_m=A_m=\&Integral;\left|\left(\right|X\left(f\right)|-|\underset{n=1}{\overset{m-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{A}_n{g}_n\left(f\right)\left|\right)g_m\left(f\right)\right|\mathrm{df};$

3)能量归一化：

$A=\frac{A}{\&Integral;{\left(\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}{A}_l{g}_l\left(f\right)\right)}^2\mathrm{df}}$

采用如上步骤得到最佳EBPSK调制MCPC雷达发射波形为：

$S\left(f\right)=\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}{A}_l{g}_l\left(f\right)---\left(41\right)$

第三部分 自适应调节EBPSK调制MCPC信号频谱结构

上述已经给出了利用目标散射特性自适应调节各EBPSK子载波信号的幅度，使得回波信号中包含更多的目标散射信息，现在将通过自适应调节各子载波的频率间隔以及多载波EBPSK信号的频谱位置优化雷达发射信号，最大化回波信号与目标冲击响应之间的互信息量。该优化问题可以描述为：

假设原始子载波间隔为△f，子载波个数为L，雷达信号带宽为B＝L△f，通过调节不同频谱位置的子载波间隔△f和子载波个数L，使得在总发射信号带宽B不变的条件下，提高对回波信号中目标频域散射系数的估计性能。

1、雷达信号频谱分布优化

假设目标冲击响应的频谱为g(f)，对其离散采样，用结合表示所有采样点的索引，我们只发射频率处于索引结合中的子载波调制波形，而不发射频率处于集合中的雷达波形，而且估计目标频域散射系数仍采用上述MAP准则：

则目标频谱的估计误差由两部分组成，即存在回波的频点的估计误差和不存在回波的频点的散射系数方差：

我们需要确定雷达发射波形频点集合，使得目标频谱估计均方差误差最小，即替换中任意一个子载波都会导致均方差增加。不妨假设中任意索引k与中任意索引k'交换位置，这时有：

当各个子载波幅度相同，即时，我们有：

$E^{\&prime;}=E+\frac{({\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gk}}^2-{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{Gk}}^{\&prime;}}^2)({\mathrm{\&sigma;}}_n^2{s}_k^2({\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gk}}^2+{\mathrm{\&sigma;}}_{G{k}^{\&prime;}}^2)+(2{\mathrm{\&sigma;}}_n^4+{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{Gk}}^{\&prime;}}^2{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gk}}^2{s}_k^4))}{({\mathrm{\&sigma;}}_n^2+s_k^2{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gk}}^2)({\mathrm{\&sigma;}}_n^2+s_{k^{\&prime;}}^2{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{Gk}}^{\&prime;}}^2)}---\left(45\right)$

可以看到在各个子载波的发射波形幅度相同，即的条件下，如果替换目标频谱估计索引能够减小目标频域散射系数估计的均方误差，所以需要将EBPSK调制MCPC信号集中于目标频域散射系数方差较大的频谱位置，并对该位置的目标散射参数进行估计。综上所述，本案的雷达系统在目标散射方差较大的位置采用更加密集的EBPSK调制MCPC信号，并优先发射目标散射系数方差较大的载频处的雷达波形。

2、子载波数目优化

首先考虑不同子载波数目对目标散射参数估计性能的影响。在保持雷达发射功率不便的条件下，有：

其中：集合为雷达发射EBPSK调制MCP信号波形所在频点索引的集合，集合表示雷达不发射信号的频点索引。由前述内容可知，需要将发射信号频点集中于目标散射系数较大的位置，不妨设而且对于任意我们有如果m<n，这时有：

当各个子载波幅度相同时，有：

不妨假设集合比集合的元素数目多1个，此时式(48)可以表示为：

由于如果满足如下条件：

需要继续增加子载波个数，反之：

需要减少子载波数目。综上所述，可以得到EBPSK调制MCPC雷达信号的最佳子载波数目L应当满足如下条件：

3、假设条件优化改进

上述推导过程是假设各子载波的带宽足够窄，甚至单频信号，而且但是从最优化回波信号与目标散射系数互信息量的分析结果可知，在散射较强的频点处应当放置更多的信号能量，即当时，需要有这时分析式(44)可知：

$\begin{array}{c}{E}^{\&prime;}=E+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2(s_k^2{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gk}}^4-s_{k^{\&prime;}}^2{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{Gk}}^{\&prime;}}^4)+(2{\mathrm{\&sigma;}}_n^4+s_{k^{\&prime;}}^2{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{Gk}}^{\&prime;}}^2{s}_k^2{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gk}}^2)({\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gk}}^2-{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{Gk}}^{\&prime;}}^2)}{({\mathrm{\&sigma;}}_n^2+s_k^2{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gk}}^2)({\mathrm{\&sigma;}}_n^2+s_{k^{\&prime;}}^2{\mathrm{\&sigma;}}_{G{k}^{\&prime;}}^2)}\\ \&GreaterEqual;E+\frac{({\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gk}}^2-{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{Gk}}^{\&prime;}}^2)({\mathrm{\&sigma;}}_n^2{s}_{k^{\&prime;}}^2({\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gk}}^2+{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{Gk}}^{\&prime;}}^2)+(2{\mathrm{\&sigma;}}_n^4+{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{Gk}}^{\&prime;}}^2{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gk}}^2{s}_k^4))}{({\mathrm{\&sigma;}}_n^2+s_k^2{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gk}}^2)({\mathrm{\&sigma;}}_n^2+s_{k^{\&prime;}}^2{\mathrm{\&sigma;}}_{{\mathrm{Gk}}^{\&prime;}}^2)}\&GreaterEqual;E,(s_{k^{\&prime;}}^2\&le;s_k^2)\end{array}---\left(53\right)$

所以在m<n条件下，依然应该将EBPSK调制MCPC信号的能量集中于散射系数较强的频点处。因为实际雷达系统信号宽度足够宽，即如果这时增加子载波数目，即式(47)可以写为：

所以，本案系统的EBPSK调制MCPC信号频点首先选择目标散射系数较大的位置。如果增加子载波个数满足如下条件：

则需要增加子载波数目，反之减少子载波数目。一旦确定了多载波EBPSK信号的子载波个数后，便可以根据各载频目标散射方差确定对应子载波的发射功率。

4、与最大互信息量的统一

前述内容阐述了所述一种非正交多载波雷达系统的波形设计方案，即在已知目标频域散射系数方差条件下，在目标散射系数方差较大的位置放置更加密集的多载波信号，即优先发射目标散射系数方差较大频点处的波形，而对于EPBSK调制MCPC信号子载波数目的优化问题上，我们给出了一个理论参考函数即式(55)，求得该参考函数的最小值所对应的子载波数目，就是最佳多载波信号的子载波数目。然而对于固定子载波间隔和子载波个数时，我们还给出了一种最大化回波信号与目标冲击响应的互信息量的注水波形设计方案，下面我们将分析这两种波形设计方案的一致性。

如果子载波间隔满足最小间隔，并采用前述注水法求得这时各个子载波的波形幅度，可以得到一个结论，即注水法求得的非零幅度子载波的个数应当与采用另一个方案求得的最佳子载波个数相一致。但是采用第二种方案求解最佳子载波个数以及最佳子载波频谱分配过程要比直接求解互信息量的注水法更简单，因为注水法是直接设计最大子载波数目时各个子载波的幅度，计算复杂度比较高。

第四部分 最大化接收SNR的雷达发射波形设计(快变散射系数)

当目标频域散射系数g满足独立高斯分布时，需要设计信号发射波形，使得回波信号SNR大于某一值的概率足够大。我们建立如下最优化问题：

$\begin{array}{c}\max P(\mathrm{\&gamma;}>{\mathrm{\&gamma;}}_0)\\ s.t.{\left|\right|s\left|\right|}_2^2=1\end{array}---\left(56\right)$

其中：回波信号信噪比为：

$\mathrm{\&gamma;}=\frac{{\left|\right|\mathrm{Sg}\left|\right|}_2^2}{{\left|\right|n\left|\right|}_2^2}=\frac{\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}_m^2{g}_m^2}{\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{n}_m^2}---\left(57\right)$

由于雷达为能量受限系统，所以首先分析对于不同目标子载波频谱方差如果分配相同的功率，那么回波信号SNR大于某一值的概率应当不同，即：

$\begin{array}{c}{P}_1=P(s_m^2{g}_m^2>{\mathrm{\&gamma;}}_0{n}_m^2)=P(x-y>0)\\ =\underset{x-y>0}{\&Integral;\&Integral;}{f}_X\left(x\right)f_Y\left(y\right)\mathrm{dxdy}\\ =\underset{0}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}{f}_X\left(x\right)P(\frac{1}{2},\frac{x}{2{\mathrm{\&sigma;}}_n^2{\mathrm{\&gamma;}}_0})\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{\sqrt{2}{\mathrm{\&Gamma;}}^2\left(\frac{1}{2}\right)}\frac{1}{s_m^2{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gm}}^2}\underset{0}{\overset{+\&infin;}{\&Integral;}}{\left(\frac{x}{s_m^2{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gm}}^2}\right)}^{-1/2}{e}^{-\frac{x}{2s_m^2{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gm}}^2}}\mathrm{\&gamma;}(\frac{1}{2},\frac{x}{2{\mathrm{\&sigma;}}_n^2{\mathrm{\&gamma;}}_0})\mathrm{dx}\\ =1+\frac{2\sqrt{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gm}}^2{s}_m^2{\mathrm{\&gamma;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_n^2}}{\mathrm{\&pi;}({\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gm}}^2{s}_m^2+{\mathrm{\&gamma;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_n^2)}-\frac{2{\tan }^{-1}\left(\sqrt{\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_n^2}{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gm}}^2{s}_m^2}}\right)}{\mathrm{\&pi;}}\end{array}---\left(58\right)$

$\begin{array}{c}{P}_2=P(s_k^2{g}_k^2>{\mathrm{\&gamma;}}_0{n}_m^2)\\ =1+\frac{2\sqrt{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gk}}^2{s}_k^2{\mathrm{\&gamma;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_n^2}}{\mathrm{\&pi;}({\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gk}}^2{s}_k^2+{\mathrm{\&gamma;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_n^2)}-\frac{{2\tan }^{-1}\left(\sqrt{\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_n^2}{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gk}}^2{s}_k^2}}\right)}{\mathrm{\&pi;}}\end{array}---\left(59\right)$

如果雷达发射功率则有：

$\begin{array}{c}f\left({\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gm}}^2\right)=1+\frac{2\sqrt{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gm}}^2{s}_m^2{\mathrm{\&gamma;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_n^2}}{\mathrm{\&pi;}({\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gm}}^2{s}_m^2+{\mathrm{\&gamma;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_n^2)}-\frac{2{\tan }^{-1}\left(\sqrt{\frac{{\mathrm{\&gamma;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_n^2}{{\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gm}}^2{s}_m^2}}\right)}{\mathrm{\&pi;}}\\ \frac{\&PartialD;f\left({\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gm}}^2\right)}{\&PartialD;(x={\mathrm{\&sigma;}}_{\mathrm{Gm}}^2)}=\frac{2{\left(x{s}_m^2{\mathrm{\&gamma;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_n^2\right)}^{3/2}}{\mathrm{\&pi;}{x}^2{s}_m^2{(x{s}_m^2+{\mathrm{\&gamma;}}_0{\mathrm{\&sigma;}}_n^2)}^2}>0\end{array}---\left(60\right)$

所以P₁>P₂。综上所述，在能量受限的雷达系统中，我们需要将能量尽量集中于目标频谱响应中方差较大的频点处，但是对于一般的目标，如果其散射系数变化比较慢，我们可以人为在多倍雷达脉冲之间目标的散射系数保持不变，也就是接下来要分析的对应慢变目标的雷达波形设计。

第五部分 最大化接收SNR的雷达发射波形设计(慢变散射系数)

当求得目标的冲击响应频谱g后，我们需要设计雷达的发射波形使得回波信号的SNR最大，其中雷达发射功率固定为1，则有：

$\begin{array}{c}s=\underset{S=\mathrm{diag}\left\{s\right\}}{\arg \max }\{\mathrm{SNR}=10{\log }_{10}\left(\frac{{\left|\right|\mathrm{Sg}\left|\right|}_2^2}{{\left|\right|n\left|\right|}_2^2}\right)\}\\ =\underset{S=\mathrm{diag}\left\{s\right\}}{\arg \max }{\left|\right|\mathrm{Sg}\left|\right|}_2^2,({\left|\right|s\left|\right|}_2^2=1)\end{array}---\left(61\right)$

由拉格朗日乘子法可得：

$f\left(s\right)=\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{g}_m^2{s}_m^2+\mathrm{\&lambda;}(\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{s}_m^2-1)---\left(62\right)$

对其求导可得：

$\begin{array}{c}\frac{\&PartialD;f\left(s\right)}{\&PartialD;s_m}={2g}_m^2{s}_m+2\mathrm{\&lambda;}{s}_m=0\\ s^{H}s=1\end{array}---\left(63\right)$

由于s_m不可能全为0，所以存在且有：

$f\left(s\right)=\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{g}_m^2{s}_m^2=-\mathrm{\&lambda;}---\left(64\right)$

所以当中的元素为目标最大频域散射系数位置时，可使回波SNR最大化。

下面结合实例，对本案做出进一步的说明。

1、广义似然比检测——初步检测目标是否存在

使用非正交多载波雷达系统在未知目标是否存在时采用广义似然比检测，初步检测目标是否存在，图5给出了本雷达系统所发射EBPSK调制MCPC信号的频谱，其中载波频率f_c＝100MHz，采样频率f_s＝1GHz，子载波个数为L＝4，每个子载波编码个数为N_C＝4，EBPSK调制参数为K＝2，N＝20，相位编码矩阵为{±1}随机矩阵。为了体现目标对不同频率信号散射的不同，图6给出了目标对不同频率电磁波散射系数的方差，其分布为[0.1,1]上的均匀分布。EBPSK调制MCPC信号的回波信号频谱如图7所示，该回波信号受到SNR＝-20dB的加性白噪声影响。目标的散射特性使得回波信号频谱幅度产生变化，从而影响雷达对目标的检测。为了分析所述一种非正交多载波雷达系统的目标检测性能，我们给出了CFAR条件下目标检测概率的ROC曲线，如图8所示，该图回波信号的SNR＝-50dB，图中分别给出了式(30)的理论计算结果以及系统仿真结果，可知本文给出的理论结果与仿真结果的吻合度较好，差异主要是由于理论计算过程中的近似引起的。

2、目标存在时估计其冲击响应

当所述一种非正交多载波雷达系统采用GLRT检测到目标存在时，第二步需要设计最佳EBPSK调制MCPC信号从而提高对目标频域散射系数的估计性能。我们对该过程进行了仿真实验，其中仿真参数设置为：子载波数目L＝16，每个子载波相位编码长度为N_C＝16，回波信号受到SNR＝-20dB的加性白噪声干扰。首先我们给出了多载波信号每个子载波功率相同时的信号频谱，以及目标对不同频率电磁波散射系数的方差，如图9所示，其中目标散射方差采用高斯函数建模：

${\mathrm{\&sigma;}}_G^2=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&zeta;}}_k\exp (-\frac{{(f-f_k)}^2}{2{\mathrm{\&sigma;}}^{\text{'}2}})---\left(65\right)$

1)采用最大化回波信号与目标散射参数间的互信息为雷达波形设计标准；

2)为了满足发射信号功率保持不变，同时从式(31)可知最优信号功率谱密度与噪声方差以及目标散射系数方差有关，所以我们给出了(10)所示的注水法阈值以及噪声方差与目标散射系数方差的比值，从该图中可以看出只有在目标散射系数方差足够大的频点处才会放置信号功率，而且方差越大放置的功率越多；

3)图11给出了最大化互信息量时雷达发射的理想波形以及使用EBPSK调制MCPC信号逼近该理想波形的结果，这里EBPSK调制MCPC信号各个子载波幅度采用式(41)给出的算法求解；

4)图12与图13分别给出了不同SNR条件下目标散射系数估计均方误差以及目标散射系数最大值估计误差。

从仿真结果可知，所述一种非正交多载波雷达系统的优化雷达发射波形的目标散射系数估计性能明显优于功率均匀分布的多载波雷达信号或者只将信号能量集中于最强回波频点处的雷达波形，从而论证了本专利在目标散射系数估计上的优越性。

3、自适应调节EBPSK多载波信号频谱结构

1)雷达信号频谱分布

现在给出所述一种非正交多载波雷达系统中子载波频率的分配方式，每个子载波编码长度为N_C＝32，令自适应调节子载波间隔后多载波EBPSK信号的幅度设置满足如下条件：

$A=\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_G}{\left|\right|{\mathrm{\&sigma;}}_G\left|\right|}---\left(66\right)$

最小子载波间隔设置为为相同调制参数BPSK调制满足OFDM条件下的子载波间隔，其中N＝20为EBPSK调制参数。图14给出了自适应调节EBPSK调制MCPC信号子载波频率间隔后得到的雷达发射波形频域图，从图中仿真结果可知采用本专利提出的自适应调节多载波频率可以更好地逼近最大化互信息量的理想信号频谱结构。

图15和图16分别给出了不同SNR条件下目标散射系数估计均方误差以及目标散射系数最大值估计误差，从仿真结果可知，采用自适应调节子载波间隔的方式得到的多载波雷达波形的目标散射系数估计性能更优，从而展现了本专利在目标散射系数估计上的优越性。

2)不同子载波数目的影响

现在仿真EBPSK调制MCPC信号最佳子载波数目的求解过程，其中SNR＝-40dB，多载波EBPSK信号总带宽B＝320MHz，每个子载波编码长度N_C＝32，最小子载波间隔其中子载波分配按照前述分析结论以目标散射系数从大到小对所在频点依次分配EBPSK调制子载波，图17给出了不同子载波个数条件下目标散射系数估计的均方误差，其中理论参考值为式(55)给出的判断是否需要增加子载波个数的函数，即：

从该图的仿真结果以及理论结果可知，正如前面理论分析的一样，开始阶段增加子载波个数，这时发射的多载波信号所处的频点目标散射系数比较强，能够减小整体的目标散射系数估计误差；然而当子载波个数过多时，增加的子载波会将雷达功率浪费在目标散射系数较小的频点处，这时再增加子载波个数只会带来目标散射系数估计性能的损失。

3)与最大互信息量的统一性

首先，采用所述一种非正交多载波雷达系统中给出的求解最佳子载波数目算法得到不同子载波数目条件下目标频域散射系数估计的均方误差以及相应的理论参考曲线，如图18所示；再得到当子载波间隔取得最小时，采用最大化互信息量求得的各个子载波的幅度，如图19所示。从这两幅图的仿真结果可以看出：在均方误差取得最小值时有60个子载波，而这时采用最大化互信息量求得子载波幅度低于最大值幅度5％的子载波也大约有60个，从而验证了以最小化目标散射系数估计均方误差求得子载波个数与最大化互信息求得的子载波个数基本一致。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (7)

1.一种非正交多载波相位编码雷达系统，其特征在于：通过自适应调节雷达发射波形来提高对于目标的检测及其各频点散射系数估计的性能，其工作过程包括如下步骤：

(1)在未知是否存在目标的情况下，雷达发射宽带EBPSK调制的MCPC波形，在整个雷达带宽内能量均匀分布，不限制各子载波间必须正交，进入步骤(2)；

(2)根据雷达回波信号，采用GLRT算法初步判断目标是否存在：若目标不存在，则返回步骤(1)，否则进入步骤(3)；

(3)根据雷达回波信号，采用注水法求解出用于估计目标冲击响应函数的最佳雷达发送信号的频谱结构，使得雷达回波信号与目标冲击响应间的互信息量最大化，进入步骤(4)；

(4)采用EBPSK调制MCPC信号的功率分配方案设计雷达发送信号的频谱结构，使设计出的雷达发送信号的频谱结构逼近步骤(3)得到的最佳雷达发送信号的频谱结构，进入步骤(5)；

(5)自适应调节雷达发送信号的子载波频谱结构，在目标频域散射系数方差越大的频点处配置的多载波信号越密集，进入步骤(6)；

(6)通过自适应调节雷达发送信号的子载波个数，使得目标频域散射系数估计的均方误差最小化，进入步骤(7)；

(7)通过对当前目标频域散射系数的估计重新设计雷达发送信号，从而最大化雷达回波信号的信噪比，进入步骤(8)；

(8)发送步骤(7)得到的雷达发送信号，返回步骤(2)。

2.根据权利要求1所述的非正交多载波相位编码雷达系统，其特征在于：所述步骤(2)中，GLRT算法等效于检测雷达回波信号的能量，如果能量大于阀值则判断目标存在，反之则不存在；其中阈值λ(P_fa)的选择为：

$\mathrm{\&lambda;}\left(P_{\mathrm{fa}}\right)\&ap;{\mathrm{MP}}_{\mathrm{fa}}^{2/M}+M{(1-P_{\mathrm{fa}}^{2/M})}^2-\frac{3M}{2}{(1-P_{\mathrm{fa}}^{2/M})}^3+\frac{8M}{3}{(1-P_{\mathrm{fa}}^{2/M})}^4-\frac{125M}{24}{(1-P_{\mathrm{fa}}^{2/M})}^5$

其中：P_fa为目标虚警概率，M为雷达回波信号所满足的χ²分布的自由度。

3.根据权利要求1所述的非正交多载波相位编码雷达系统，其特征在于：所述步骤(3)中，用于估计目标冲击响应函数的最佳雷达发送信号的频谱结构满足如下函数：

${\left|S\left(f\right)\right|}^2=\max [0,\mathrm{\&epsiv;}-\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2\left(f\right)\tilde{T}}{{\mathrm{\&sigma;}}_G^2\left(f\right)}]$

其中：S(f)为雷达发送信号的功率频谱密度函数，ε为雷达发送信号的功率频率设计阈值，T为雷达发送信号的持续时间，T_g为目标冲击响应g(t)的持续时间，T_W为限制雷达发送信号带宽的理想低通滤波器的持续时间，为不同频率的噪声散射系数方差，为不同频率的目标散射系数方差。

4.根据权利要求1所述的非正交多载波相位编码雷达系统，其特征在于：所述步骤(4)中，EBPSK调制MCPC信号的编码矩阵为随机编码矩阵。

5.根据权利要求1所述的非正交多载波相位编码雷达系统，其特征在于：所述步骤(5)中，根据目标频域散射系数方差从高到低依次分配载波信号。

6.根据权利要求1所述的非正交多载波相位编码雷达系统，其特征在于：所述步骤(6)中，自适应调节雷达发送信号的子载波个数，其中子载波个数通过最小化理论参考函数求出，其中为雷达发送信号功率谱密度平方，为不同频率的噪声散射系数方差，为不同频率的目标散射系数方差，m为不同频率索引，为所有频率索引集合。

7.根据权利要求1所述的非正交多载波相位编码雷达系统，其特征在于：所述步骤(7)中，为了使雷达回波信号的信噪比最大，重新设计的雷达发送信号的构造是将雷达发送信号的功率集中在目标频域散射系数方差最大的载波频率处。