CN105814499B - 用于监测和控制具有可变结构或可变运行条件的动态机器的动态模型认证方法和系统 - Google Patents

Abstract

一种通过感测到的数据来形成用于机器行为的动态模型的方法和系统。所述方法和系统可包括：通过至少一个传感器观测运行中的机器；通过至少一个传感器记录关于运行中的机器的至少一个特性的数据；将输入‑输出N(ARX)‑LPV动态模型拟合到所记录的机器数据；将CVA‑(N)LPV实现方法用于所述动态模型；基于所述CVA‑(N)LPV实现方法的采用来构建动态状态空间(N)LPV动态模型；生成机器行为的动态模型；以及基于生成的机器行为动态模型控制和/或修改机器动态响应特性。

Description

用于监测和控制具有可变结构或可变运行条件的动态机器的 动态模型认证方法和系统

背景技术

通过测量的输出数据和可能的输入数据来模拟非线性时间变化动态过程或系统是新兴技术领域。取决于理论或应用的领域，它可被称为统计方面的时间序列分析、工程方面的系统认证、心理学方面的纵向分析和金融分析方面的预测。

在过去，已经有子空间系统认证方法的创新以及包括涉及反馈的系统的最佳方法的相当大的发展和改进、用于非线性系统(包括双线性系统和线性参数变化(LPV)系统)的方法探索。子空间方法可以避免可能不收敛的迭代非线性参数优化，并且对于高阶大规模系统使用相当大值的数字上稳定的方法。

在时间变化非线性系统的领域中，已经做了很多工作，虽然没有得到期望的结果。所做的工作是现有技术状态的典型代表，其中将线性子空间方法的相当直接的延伸用于模拟非线性系统。这种方法将过去和未来表达为过去输入和输出的非线性函数的线性组合。这种方法的一个结果是过去和未来的维度在被使用的过去的测量输入、输出、状态和延迟的数量方面以指数方式扩展。当仅使用每个这些变量中的几个时，过去的维度可以是超过10⁴或者甚至超过10⁶的数量。对于典型的工业过程，过去的维度可容易地超过10⁹或者甚至10¹²。这种极端数量最多导致低效的探索和结果。

其他技术使用迭代子空间方法估算模型中的非线性项并且因此需要非常适度的计算。迭代方法涉及启发式算法，并且已在具有随机调度函数-即具有白噪声特性的LPV系统的情形中用于高准确性模型认证。然而，一个问题是，在大多数LPV系统中，调度函数通常是通过具体应用来确定的，并且通常性质上是非随机的。在已经实施来尝试提高非随机调度函数情形的准确性的多个改型中，结果是尝试的改型并没有成功地实质性提高模拟准确性。

在更通常的背景中，非线性系统认证的常见问题公知为通用非线性标准变量分析(CVA)程序。通过洛伦茨吸引子(Lorenz attactor)表达该问题，由简单非线性差分方程描述无序非线性系统。因此，确定过去和未来的非线性函数以便描述过程的状态，所述状态反过来用于表达系统的非线性状态方程。该方法中的一个主要困难是寻找可行的计算实施方式，因为如众所周知的，过去和未来的所需非线性函数的数量以指数方式扩展。在寻找应用于通用非线性系统的系统认证问题的解决方案时经常碰到这种困难。

因此，在下面描述的某些示例性实施方式中，方法和系统可被描述为能够在“大样本”观测值可用的情形中实现相当大的改进并且还产生最佳结果。另外，所述方法不是“特别设计的”，而是可以涉及最佳统计方法。

发明内容

一种通过感测数据来形成用于机器行为的动态模型的方法和系统。所述方法和系统可包括：通过至少一个传感器观测运行中的机器；通过至少一个传感器记录关于运行中的机器的至少一个特性的数据；将输入-输出N(ARX)-LPV动态模型拟合到所记录的机器数据；将CVA-(N)LPV实现方法用于所述动态模型；基于对所述CVA-(N)LPV实现方法的采用来构建动态状态空间(N)LPV动态模型；生成机器行为的动态模型；以及基于生成的机器行为的动态模型来控制和/或修改机器动态响应特性。

附图说明

通过下面对本发明的示例性实施方式的详细描述，本发明的实施方式的优点将变得明显，应当结合附图来考虑所述描述，在附图中类似的附图标记表示类似元件，并且其中：

图1是示出了用于将机器数据转换成机器的状态空间动态模型的示意图。

图2是示出了CVA-(N)LPV实现方法中的步骤的示意图。

图3是示出了机器动态模型与机器数据相比的优点的示意图。

图4是示出了单值分解的示意图。

图5是示出了标准变量分析的示意图。

图6是示出了用作认证输入的飞机速度分布图的示意图。

图7是示出了使用AIC、无噪声情形且真实阶次为4的俯仰状态空间模型阶次选定的示意图。

图8是示出了在没有噪声的情形中在4阶次下将AIC增加到超过最小值的俯仰状态空间模型阶次选定的详细图的示意图。

图9是示出了在没有噪声的情形中LPV状态空间模型提前20步预测的俯角与样本总数对比的示意图。

图10是示出了在没有噪声的情形中LPV状态空间模型提前20步预测的仰角与样品总数对比的示意图。

图11是示出了在具有测量噪声的情形中使用AIC的俯仰状态空间模型阶次选定的示意图。

图12是示出了在具有测量噪声的情形中在6阶次下使AIC增加到超过最小值的俯仰状态空间模型阶次选定的示意图。

图13是示出了在具有测量噪声的情形中LPV状态空间模型提前20步预测的俯角与样本总数对比的示意图。

图14是示出了在具有测量噪声的情形中LPV状态空间模型提前20步预测的仰角与样本总数对比的示意图。

图15是示出了延迟补偿的进气歧管和燃料喷射模型的LPV系统认证的示意图。

具体实施方式

本发明的各个方面在下面对本发明的具体实施方式的描述和相关附图中公开。所属领域技术人员将会认识到的是，在不偏离权利要求的精神或范围的情况下可以设想出备选实施方式。另外，本发明的示例性实施方式的公知元件将不被详细描述或者将会省略，以便使本发明的相关细节不会变得难于理解。

如在此使用的，词语“示例性”意指“用作示例、实例或例证”。在此描述的实施方式不是限制性的，而仅是示例性的。应当理解的是，所描述的实施方式不必理解为相对于其他实施方式而言是优选的或有利的。此外，术语“本发明的实施方式”、“实施方式”或“本发明”不要求本发明的所有实施方式都包括所述的特征、优点或操作模式。再者，绝对术语，例如“需要”、“要求”、“必须”等，应该解释为非限制性的，仅用于示例性目的。

进一步，在此描述的实施方式许多都是参照由例如计算装置的元件执行的动作序列来描述的。本领域技术人员应当明白的是，在此描述的各种动作序列都可由具体电路(例如，专用集成电路(ASIC))和/或由程序指令来执行，所述程序指令由至少一个处理器执行。另外，在此描述的动作序列可以完全在任何形式的计算机可读存储介质内实施，以便动作序列的执行使所述至少一个处理器能够执行在此描述的功能。此外，在此描述的动作序列可以硬件与软件组合实施。因此，本发明的各种方面能够以多种不同形式实施，所有这些方式都已被涵盖在要求保护的主题的范围内。另外，对于在此描述的每个实施方式，任何这种实施方式的对应形式可以在此描述为，例如“计算机，其配置成”执行描述的动作。

下面作为非限制性示例包含在本发明中的材料描述了一种用于通过标准变量分析来认证非线性参数变化系统的方法和系统的某些示例性实施方式。另外，描述飞机线性参数变化振颤模型的子空间认证的进一步示例性实施方式也被说明。另外，所有这些示例性实施方式都包含在此引用的参考文献，这些参考文献的全部内容在此通过引用并入到本申请中。这些方法和系统的各种实施型式可以在各种平台上实施并且可包括各种应用和物理实施型式。

总体上参阅图1-15，期望使用直接测量的机器结构和运行条件的参数-例如以转数每分钟(RPM)为单位的燃烧发动机速度或飞机速度和海拔高度来将机器动态参数化。这些参数可以多种形式中的任意一种来收集。例如，任何期望的探针或传感器都可用于收集和传递数据到数据库，在所述数据库中比较和分析数据。例如，通过使用这些数据，可以构建将机器结构和运行条件参数化的动态模型。总体而言，结构和/或工作点参数可以改变-甚至快速地改变，这可能不会影响动态模型，但是会带来更难解决的数学问题。然而，这种数学问题的结果可以应用于很多结构可变的机器和/或持续变化的条件。如在此使用的，这种方法相对于先前缓慢改变的“恒定”模型具有优点，因为那些模型不能获取参数化空间中的每组点的测量值并且不能提供被分析的机器实际访问或遭遇的点之外的其他点处的信息。在此描述的示例性实施方式可以提供高度准确且数学上有效的插值方法和系统。

在一个示例性实施方式中，用于从一组数据获取动态模型的总体方法和系统可被称为实现方法或算法，所述一组数据可包括机器结构和运行条件以及输出和输入。它可被进一步看作是将关于机器状态和运行条件的观测数据转换成描述机器行为的动态模型，该操作需要机器结构、运行条件、过去的输出和输入以及任何生成的未来输出的各种组合以便以一定保真度预测未来行为。在可能仅有一个机器结构及固定运行条件的线性时间不变(LTI)情形中，该问题能够使用子空间系统认证方法来可靠地解决，所述子空间系统认证方法使用单值分解(SVD)方法。

在其他情形中，涉及具有可变结构和可变运行条件的机器的更常见问题可能仅涉及非常小的问题，有时涉及子空间方法的延伸。一个问题可在于，计算需求可能随着待处理问题的规模例如系统输入、输出、状态变量和运行参数的数量而以指数方式增长，从而排除期望解决方案的当前实际处理问题的解决方案。因此，在此处描述的一个示例性实施方式中，可以采用一种例如类似于用于大规模问题的LTI情形的实现方法和系统，所述实现方法和系统具有可能仅随着问题规模的三次方来增长的计算需求。

在这种实施方式中，可以实现具有可变结构和可变运行条件的机器的动态的详细模拟。这种详细动态模型可转而允许动态结构的分析、估计器和过滤器的构建、系统变化和故障的监测和诊断以及用于控制和修改这些机器的行为的全局控制器的构建。因此，在此描述的示例性实施方式可将一组数据从经常包含大量噪声的动态机器转换成具有可被精确量化的动态行为的扩充机器。这就允许使用改进的控制方法来实现：对其他噪声变量进行准确估测、能够检测变化和故障的动态以及能够改变动态行为。进一步，这种示例性实施方式可以将机器数据转换成状态空间形式的动态模型描述并且随后使用这种动态模型以便获得一批明显不同的功能-例如估算和过滤随机变量、监测、故障监测和控制，所述动态模型描述表述机器的动态行为。如在输出和可能的输入的测量数据中以及描述机器结构和运行条件的变化的数据中实施的，在此描述的实施方式可示例性地应用于可涉及非常特定并且能见的自然现象的燃烧发动机、蒸馏过程和/或超音速运输。

在此描述的进一步实施方式可给出子空间系统认证的标准变量分析(CVA)方法的示例，所述子空间系统认证用于线性时间不变(LTI)、线性参数变化(LPV)和非线性参数变化(NLPV)系统。在此描述的实施方式可使用单值分解(SVD)，随后用统计多变量CVA作为限秩回归，来执行第一原理统计方法以便按序排列确定性向量的结果。这可随后被归纳到LTI动态系统，并且直接延伸到LPV和NLPV系统。除了矩阵行维度(过去的滞后变量的数量)可乘以参数变化函数的有效数值之外，计算结构和问题的大小可类似于LTI子空间方法。这与使用LPV系统的当前子空间方法的变量数量的指数爆炸形成对比。与当前方法相比较，使用在此描述的实施方式的结果需要的计算相对少很多、最可能具有准确性和更好的数值稳定性。所述方法和系统应用于具有反馈的系统并且可以通过假设测试自动去除非线性模型中的很多冗余，从而产生近似的最小状态阶次和多项式阶次。

这些系统的认证可涉及具有局部最小数值状态不正常的潜在问题的非线性迭代优化方法，或者涉及子空间方法，所述子空间方法具有随着问题规模以状态维度方式线性增加而以指数方式增长的计算和关联的增长数值误差。在LPV的CVA认证中起主要作用的模型形式与非线性模型之间的转换方面，静态和动态依赖相当明确。

在此描述的新方法和系统因为它们与用于LTI系统的子空间CVA方法的紧密关系而称为CVA-LPV。公知的是，LPV系统认证问题的解决方案可以为相对复杂很多的非线性系统提供一种途径，所述相对复杂很多的非线性系统包括双线性系统、多项式系统和涉及已知变量或运行条件的任何已知非线性函数-仿射(加法)形式的调度函数的系统。

现参阅示例性的图1-3，在此描述的方法和系统能够以多个步骤执行。例如，在图1中，示出了从机器数据到机器动态模型的转换。在该实施方式中，首先，可以在100中收集关于机器或运行机器的任何期望特性的机器数据并且可以分配变量。机器数据能够以多种方式中的任一方式来收集。例如，可以采用检测任何期望条件-例如移动、振动、速度、位移、压缩等的传感器。这种传感器可以是任何可获取或已知的传感器并且可以任何期望方式联接到机器或系统，例如发动机、电动机、悬架部件等。数据可由传感器记录并传递到适当的存储器或数据库存储起来以供随后复查、分析和利用。机器数据的输入-输出(N)ARX-LPV动态模型可在102中被拟合，该动态模型下面被进一步相对于方程43映射。随后，在104中，可以采用CVA-(N)LPV实现方法(如进一步相对于示例性图2描述的)。随后，在106中，可以使用例如方程37和38的计算结果来构建状态空间-(N)LPV动态模型。随后，在步骤108中，可以隔离或消除非期望的机器特性。这可以通过对动态模型生成的数据进行外部差值来实现。在某些示例性实施方式中，机器可被进一步校准以便隔离或去除非期望的特性。换句话说，可以修改或改变机器以便隔离或去除非期望的特性。例如，根据需要，在汽车悬架中，可以改变弹簧几何形状或刚度或者可以在悬架部件上采用不同材料。对于发动机，能够以期望方式增加或平衡重量以便降低振动或调节非期望的特性。对于飞机，机翼或者机翼的部件可被重新构形、增强、用不同材料形成或者以其他方式动态调节以便补救非期望的振颤或者移除任何其他非期望的特性。在进一步的示例性实施方式中，对于任何机器，可以调节反馈控制来去除非期望的特性。例如，如果输入是机翼上的控制表面，并且与机翼联结的一个或多个加速度表检测激励机翼或导致机翼振动的循环，那么用于机器动态模型的控制系统可提供负量、相反或相对振动的反馈，以便消除振动。在这种示例中，可以动态地提供反馈以便去除特性并且提供计算结果和数据，而无需以物理方式改变机翼或在此描述的任何其他机器部件。

在示例性图2中，描述了CVA-(N)LPV实现方法。这可包括计算纠正的未来、执行CVA、将状态估测值分类和计算AIC。下面更详细地描述这些元素。随后，在示例性图3中，示出了机器动态模型与机器数据的某些示例性优点。某些示例性优点包括机器动态模型的近乎最佳(最可能的下限)准确性，具有多个近似最佳数值的估测参数(对应于大样本的真实模型阶次)，以及具有模型准确性RMS(与多个估测参数的平方根成反比例)。进一步，对于没有输入和高斯噪声的LTI问题，CVA对于大样本规模来说近似下限并且对于大样本规模来说在存在反馈的情况下是具有最小变化的三个子空间方法之一。例如当通过库尔贝克(Kullback)信息测量时，使用CVA和AIC进行排序选择近似最佳阶次。另外，随后的监测、过滤和控制程序的准确性与CVA-(N)LPV实现方法的统计特征相关或者由所述统计特征决定。因此，机器动态模型可允许：动态的高度准确分析的直接实施、噪声动态变量的过滤、准确监测和故障检测以及机器动态响应特性的高度准确控制或修改。

仍参阅示例性图1-3，并且相对于可使用在此描述的技术生成的机器动态模型来说，机器动态模型可被用于监测、修改和控制机器特性。由于多种原因，对于不同类型的机器，机器行为的监测是可以评估的。例如，机器行为可能因为故障而发生变化，可以评估和修改长期磨损以便增加有用性或者更好地预测故障，可以评估损坏并且可以调节机器性能以便避免损坏或磨损，以及可以记录和解释不良养护的影响。因此，期望尽快评估机器的动态行为并且检测行为的任何变化。

如在此描述的，动态模型可以提供准确模型作为底线以便以未来时间间隔与观测的输入和输出数据进行比较。这可以提供用于认证机器的动态如何变化的工具，从而进一步暗示可随后被研究的机器的具体方面或机器部件，以便确定可以进行什么样的补救或修改。如在此提供的，在没有准确底线动态模型的情况下，通常没有比较或监测可能影响机器动态的变化的基础。

在某些进一步示例中，动态模型的生成对于各种类型的机器来说是非常重要的。例如，具有快速响应的机器-例如飞机或汽车可采用动态建模。飞机可被设计成非常容易操作而牺牲了直线飞行稳定性，或者飞机的动态行为的变化可由故障、损坏、磨损等引起，使得飞机的原始行为发生变化，从而导致需要增加、纠正或调节其动态以便保持或回复到期望的飞机特性。具有如在此描述的动态模型，可以确定或预测例如飞机的机器动态的物理变化，并且通过修改控制系统行为该数据可被用于补偿物理变化。在某些示例中，这可仅涉及控制系统计算机中可以重新设计的具体信号-例如控制反馈增益的变化，以便补偿动态模型的变化。这可被称为“适应性控制”。然而，给出期望机器行为的底线机器动态模型的可用性可被评估，以便检测动态变化以及通过修改反馈控制信号来补偿这些变化中的某些变化。

通常来说，CVA-LPV是用于LPV和非线性系统的子空间认证并且使用最大概然方法的基础统计方法。对于LPV和非线性情形来说，这可导致使用单值分解类型方法直接估算参数，所述单值分解类型方法避免迭代非线性参数优化以及计算需求随着问题规模而像LTI情形中那样线性地增长。结果是统计上最佳的最大概然参数估测值，并且对于模型结构、模型变化和过程故障的概然比假设测试产生最佳决策。如在此描述的，可以进行不同系统认证方法之间的比较。这些方法可包括CVA-LP子空间方法、在先子空间方法以及例如预测误差和最大概然的迭代参数优化方法。还讨论了赤池信息标准(Akaike informationcritetia，AIC)，在比较动态系统的多个模型结构时所述AIC是假设测试的根本。

根据CVA-LPV方法的一个可能的实施方式，它可被用于分析静态输入/输出关系，例如没有系统动态的关系-该关系是确定性的、线性的并且没噪声。在进一步的实施方式中，这些构想可以延伸到独立噪声的情形，并且随后延伸到动态和自相关噪声。根据CVA-LPV方法被用于分析没有噪声损毁输入与输出之间的确定性关系的数据组的至少一个示例性实施方式，所述关系可以通过具有特定秩的矩阵来描述。所述秩将通过某些降秩方法来最小化，因为在观测值具有噪声的情形中，如果将过程限于低维度子空间，那么生成模型的准确性可大大增加。这种子空间具有较少的待估算参数，并且模型准确性可与估算参数的数值成反比。

例如，假设N个观测值，mⅹ1输入向量x_t和nⅹ1输出向量y_t，t＝1、…、N，这些向量可被放置在矩阵X＝(x₁,…,x_N)和Y＝(y₁,…,y_N)中。下标t可用于索引观测数，并且下标i或j可用于观测向量的分量，这样一来，x_i,t将是X的元素。

输入x与输出y之间的关系可使用这种表示法来描述，即该关系是满秩还是降秩。可以假设x与y之间存在由y＝Cx给出的确定性关系，其中C是mⅹn矩阵。还可假设中间组变量z与矩阵A和B，使得：

z＝Ax并且y＝Bz

方程1

多组潜在变量可存在这种关系。例如，可以使用一组中间变量作为输入变量x本身(即，A＝I并且B＝C)；备选地，z可以被选定为输出变量y(其中，A＝C并且B＝I)。然而，可以通过采用中间组z使得z的维度dim(z)最小化来实现处理复杂性的降低。C的秩被定义为任一组中间变量z可具有并且仍满足方程1的最小维度。秩(C)≤min(m，n)，因为通过选定z作为x或y来满足方程1。因此，秩(z)≤min(m，n)。应当指出，通过直接代入，矩阵C＝BA是B和A的矩阵乘积。可以看到的是，矩阵C的秩的上述定义与线性代数中给出的矩阵的秩的通常定义相同。上述定义对于动态过程是非常直观的，其中该组中间变量是过程的状态并且输入和输出分别是过程的过去的未来。

单值分解(SVD)可提供构建该组中间变量z以及矩阵A和B的关键要素。可以使用正交矩阵来进行这种构建。方形矩阵U＝(u₁,…,u_p)是正交的，如果列向量u_i是单位长度并且正交(

并且

i≠j，这就等于U^TU＝I，其中I是单位矩阵)。在该背景中，正交矩阵限定坐标轴刚性旋转而坐标不失真的转换。因此，它们可被用于限定在未变化线条之间留有距离和角度的新坐标系统。

对于任何实(n x m)矩阵C来说，单值分解确定正交矩阵U(nⅹn)和V(mⅹm)，使得：

U^TCV＝diag(s₁,…,s_K)＝S

方程2

其中S是n x m对角矩阵，其中对角元素S₁≥…S_r≥Sr+₁＝…＝S_K＝0并且k＝min(m，n)。C的秩r是S的非零对角元素的数值。这可在示例性图4中示出，该图4具有示出单值变量坐标和降秩函数的单值分解。

SVD可以下述方式演绎。向量g＝V^Tx仅是新坐标系中的x并且类似地h＝U^Ty是新坐标系中的y。从g到h的转换C是对角矩阵S。这通过代入来示出：

h＝U^Ty＝U^TCx＝(U^TCV)(V^Tx)＝Sg

方程3

因此，转换C分解成r＝秩(C)单变量转换h_i＝s_i g_i，1≤i≤r，在第一r对单变量(g_i,h_i)之间，其中i＝1,…,r。应当指出，SVD关于单变量矩阵V和U产生由g和h限定的两组中间或单值变量。应当进一步指出的是，单变量g和h为由矩阵C给出的线性函数提供特殊表达。它们在新坐标组中给出y和x，使得对于i＝1,…,r的第一r对变量(g_i,h_i)，函数C是非零的。(g_i,h_i)的任何其他组合是零。将会证明这在标准变量的论述中是非常重要的。示例性图6示出了(s₁,s₂,s₃)＝(0.8,0.6,0)的情形。

该组中间变量z的一个潜在实施方式是，第一r个单变量是(g₁,...,g_r)。使用这些值，A和B矩阵为：

A＝(I_r,0)V^T，B＝U(I_r,0)^TS

方程4

其中I_r是r维单位矩阵。这可以通过直接替代来证实，BA＝U(I_r,0)^TS(I_r,0)V^T＝USV^T＝C，因为S与i≥r的元素S_ii＝0对角。

根据另一个实施方式，矩阵C开始是未知的，并且可以通过上述观测值X＝(x₁,...,x_N)和Y＝(y₁,...,y_N)来确定。还可通过C的SVD来确定秩的表述。因为对于每个t来说y_t＝Cx_t，那么Y＝CX，并且乘以X^T而产生YX^T＝CXX^T。如果矩阵XX^T是非奇的(如果假设X的列向量跨越整个x空间，那么就可以进行假设)，那么矩阵C可被解为：

方程5

量值XX^T和YX^T能够以标准化形式表达为样本协方差矩阵：

方程6

并且，类似地，矩阵可被用于S_xx和S_yy。在这种表示法中，

的秩以及包含全组输入变量x中的全部信息的中间组降维度变量可以通过计算该值的SVD来确定。

虽然降秩的确定性函数能够以过程的输入和输出的观测值的方式容易地表达，但是将这种方法延伸到观测值中有噪声的情形在一定程度上更复杂。这是因为，在添加了噪声的情况下，上述样本协方差矩阵S_xy通常变得满秩，从而潜在地降低了上述方法的有效性。可以建议，在存在噪声的情况下，单值仅在它们变“小”时被缩短，但是这经常是不充分的，因为初始变量的缩放可以在具有多少“大”单值方面很大程度上影响SVD。

可以考虑在无需缩短单值的情况下解决噪声问题的备选的示例性实施方式。这种实施方式可采用随机变量的两个向量x和y，其中向量x是一组预测器变量并且向量y是一组待预测的变量。可以假设x和y结合分布为具有均值0的正态随机变量和协方差矩阵Σ_xx，Σ_yy，Σ_xy，并且通过x给予y的最佳预测的关系是线性的。向非零均值的情形的延伸是极小的，并且假设均值0将简化推导。如上面描述的，假设给定1≤t≤N的N观测值(x_t,y_t)，并且写出X＝(x_t,...,x_N)和Y＝(y_t,...,y_N)。

如前面描述的，确定维度r的中间组变量z是有用的，维度r比dim(x)的数值更小以使得z包含x中与预测y相关的所有信息。这需要确定z的维度或秩r以及估测定义了x与z之间和z与y之间的线性关系的参数。

可通过下述方程描述模型：

y_t＝BZ_t+e_t,

方程7

Z_t＝Ax_t

方程8

上述方程适用于第t个观测值(x_t,y_t)，t＝1,…,N。向量e_t是给定矩阵A(r x m)和B(n x r)时用x_t对y_t进行线性预测时的误差，并且Σ_ee是预测误差e_t的协方差矩阵。假设对于不同观测指数s和t，误差e_s和e_t是不相关联的。这些方程相当于以下述方式用x预测y：

y_t＝BAx_t+e_t＝Cx_t+e_t

方程9

其中，矩阵C＝BA具有秩约束，秩(C)≤r。应当指出，该部分描述的实施方式与在前面清楚表达的实施方式相同，除了在方程7中添加了额外的噪声。

最大概然(ML)方法可被用于确定矩阵A和B。将在说明书的随后部分详细论述最大概然程序的优化；这包括模型阶次选定的关键性重要问题，即z的秩r的确定。

X＝(x_t,...,x_N)和Y＝(y_t,...,y_N)作为参数矩阵A、B、Σ_ee的函数的结合概率从给定X的Y的条件概率方面来表述为：

P(Y,X；A,B,Σ_ee)＝P(Y│X；A,B,Σ_ee)p(X)

方程10

X的密度函数p(X)不是未知参数A、B和Σ_ee的函数；因此，它可基于已知参数被最大化。应当指出的是，如果Y是X的条件而不是X作为Y的条件，则该答案是相同的。

下面的标准变量分析(CVA)将x和y转换成独立相同分布(iid)随机变量，所述独立相同分布(iid)随机变量仅两两相关-即通过对角协方差进行转换。表达法I_K被用于表示kx k单位矩阵。

CVA法则：使Σ_xx(m×m)和Σ_yy(n×n)非负确定(通过协方差矩阵来满足)。那么，存在矩阵

和

使得：

方程11

JΣ_xyL^T＝P＝diag(p₁,…,p_r,0,…,0)

方程12

其中

并且

这将使问题相当大程度上简化并且在示例性图5中示出。示例性图5可表示标准变量分析，所述标准变量分析示出了标准变量的坐标和标准关系。

转换J和L定义了标准变量的向量c＝Jx和d＝Ly。标准变量c和d中的每个都以单位协方差矩阵独立且相同分布，因为：

Σ_cc＝JΣ_xxJ^T＝I，Σ_dd＝LΣ_yyL^T＝I

方程13

c和d的协方差是对角的并且可以描述为：

Σ_cd＝JΣ_xyL^T＝P

方程14

使得c和d的第i个分量以降阶的相关关系p_i两两相关。因此，CVA将x与y之间的多变量关系缩减成独立且相同分布的标准变量之间的一组两两相关单变量关系。应当指出的是，如果Σ_xx＝I并且Σ_yy＝I，那么CVA以对应关系J＝U^T，L＝V^T，Σ_xy＝C，c＝g，d＝h，并且p_i＝s_i缩减到常规SVD，这种行为可以在示例性图4和5中观测到。

否则，CVA可被描述为广义单值分解(GSVD)，其中加权系数Σ_xx和Σ_yy确保标准变量不相关；也就是说，随机向量等同于常规SVD的正交。变量x的分量可能(虽然也可能不)非常相关或者甚至共线；然而，标准变量c的分量不相关，并且y和d也类似。这是与SVD的主要差异，其中x的分量被认为是像图6所示那样正交的。因此，标准变量c和d分别为x和y提供非关联代表，以使得问题能够以数值良好确定并且优化统计的方式解决。

在该示例性实施方式中，还可描述对于选定r的A、B和Σ_ee的最佳选择。通过使用如方程6中限定的替代GSVD方程13和14中的Σ_xx、Σ_yy和Σ_xy的样本协方差矩阵S_xx、S_yy和S_xy来获得该方案。GSVD计算给出J、L和P。在该实施方式中A的最佳选择是：

因此z＝[I_r 0]Jx＝[I_r 0]c

方程15

使得

是J的第一r行。与z等同地，y的最佳秩r预测值包括第一r标准变量c₁，...,c_r。y的可预测(具有减小的误差)线性组合由随机变量d＝[I_r 0]Ly、第一r标准变量d₁，...,d_r给出。将P_r标记为P，其中对于k≥r来说P_k设定为零，对于每个方程14来说，通过c对d的最佳预测仅是

通过c预测d的误差的协方差矩阵是

B和Σ_ee的最佳估算是通过将L的反向值(或者，在S_yy为单值的情形中是由

表示的反矩阵)获得以便从d返回到y并且：

方程16

应当指出的是，X与Y之间的关系是完全对称的。因此，如果在开始时X与Y互换，那么在解中A和J与B和L的角色互换。

A、B和Σ_ee或者等同地具有约束秩r的C＝BA的最大对数概率由c_i与d_i之间的第一r标准相关性p_i给出：

方程17

秩的最佳统计测试可涉及概率。因此，最佳秩或阶次选定仅取决于标准相关性p_i。可因此通过协方差结构的单值GSVD计算来确定秩的潜在选择的比较。上面的理论仅对于零均值高斯随机向量-其中i≠j时x_t与x_j不相关来说是有效的。对于时间序列来说，这种假设不成立，虽然存在相似解。

多个其他统计秩选定程序与CVA密切相关并且可用于适当或期望的地方。作为说明性示例，用方程13来设想广义单值分解(GSVD)的示例，方程13被以下述方式替换：

方程18

其中加权系数Δ和Λ可以是任何正的半确定对称矩阵。通过选择Δ＝Σ_xx、Λ＝Σ_yy给出CVA。降秩回归是Δ＝Σ_xx、Λ＝I。主要分量分析(PCA)是x＝y，Λ＝I。主要分量工具变量是x＝y，Λ＝Σ_yy。偏最小二乘(PLS)顺序地解出变量z。第一步等同于选择Δ＝I、Λ＝I并且将Z₁选定为第一变量。在第i步使用残差重复该程序以便获得下一个变量Z_i。

使用其他统计秩选定程序的不利之处在于，所述其他统计秩选定程序不是如前面产生(并且将在下文参照各种动态系统模型论述)的最大概率并且不是尺度不变的(如所论述的所有ML程序的情形)。因此，如果输入和/或输出尺度不同-例如单位从英尺变成英里，所有其他方法都将给出不同解。此外，随机尺度缩放排除了目标模型阶次和结构选定程序，这也将取决于随机尺度缩放。

CVA之外的方法还需要假设测量误差具有具体的协方差结构。例如，如果使用PLS方法，那么该模型具有下述形式：

x_t＝P^Tu_t+e_t，y_t＝Q^Tu_t+f_t

方程19

其中Σ_ee和Σ_ff的协方差矩阵假设是已知的而不是估算的。如果这些误差具有与假设的很不相同的协方差矩阵，那么参数估算误差可能大得多。PCA和上面的其他问题也假设协方差是已知的。如所属领域公知的，这些潜在的变量方法必须假设协方差结构，这不可以通过数据来估算。这是应用这些方法的主要障碍。因为CVA没有关于协方差结构的假设，而是通过观测来估算它，在采用CVA的至少一个GSVD实施方式中，加权系数受数据而非随机参数支配。

如所属领域中公知的，CVA是有效计算广义投影的子空间方法中的一个，所述广义投影可以通过广义单值分解来描述。各种子空间方法之间的差值为加权系数Δ和Λ，并且其他子空间方法几乎总是使用不同于CVA的加权系数。因此，其他子空间方法是次最佳的并且潜在地可能具有更大的误差。

在某些示例性实施方式中，CVA方法应用于线性时间不变(LTI)动态系统的认证。虽然上面描述的理论可仅用于iid多元向量，但是它可以延伸到相关向量时间序列。

CVA方法中的一个概念是过程的过去和未来。例如，假设数据给出为包括在标记为t＝1,...,N的时间点的观测输出y_t和观测输入u_t，所述时间点的时间间隔相等。与每个时间t关联的是过去向量P_t、未来输出f_t的向量、未来输入q_t，过去向量P_t可由在时间t之前出现的过去输出和输入组成，所述未来输出f_t的向量可由在时间t或之后的输出组成，所述未来输入q_t可由在时间t或之后的输入组成，具体地：

p_t＝[y_t-1；u_t-1；y_t-2；u_t-2；...]，

方程20

f_t＝[y_t；y_t+1；...]，q_t＝[u_t；u_t+1；...]

方程21

然后可以考虑系统没有观测到的确定性输入u_t的纯随机过程的情形。有限状态阶次的线性时间不变高斯马尔科夫过程的基本特性是存在有限维度状态x_t，所述有限维度状态x_t是过去p_t的线性函数：

x_t＝Cp_t

方程22

状态x_t具有一种特性，所述特性是根据过去p_t确定的未来f_t的条件概率密度与根据有限维度状态x_t确定的未来f_t的条件概率密度相同，因此：

p(f_t|p_t)＝p(f_t|x_t)

方程23

因此，过去和未来扮演基础角色，在该基础角色中仅过去的有限数量的线性组合与过程的未来演化相关。

为了将与多元随机向量的CVA相关的结果延伸到关联向量时间序列的当前示例，可以发展(可能通过输入)概率函数的过去/未来形式。为了计算，将过去和未来的维度缩短到足够大的有限数量

。在赤池(Akaike)之后，通过使用赤池信息标准(AIC)借助自动回归(ARX)建模和确定最佳ARX阶次来确定该维度。表达法

被用于表示输出观测值，并且输入观测值

也是类似的。

对于具有可能的随机干扰的动态输入-输出系统，期望表征系统的输入-输出特性。关注点在于统计推论，所述统计推论关于输出

的概率密度

的未知参数θ，所述输出

是以输入

和某些初始条件

为条件的。

因此，在该示例中，假设对于某些整数M来说，样本N的数量正好是

那么通过依次确定，以时间

的初始状态

和输入Q为条件的输出Y的指数概率函数是：

方程24

其中

因此该概率函数分解成M多步骤条件概率的乘积。接下来，通过用时间S变换上述观测值的间隔，获得观测

的概率。考虑这些变换指数概率函数的均值，得出：

方程25

方程26

方程27

现在该均值中的每个概率函数都是仅在包含在时间间隔中的具体端点上不同的

点的概率。对于大样本规格来说该效应将消失，并且甚至在小样本规格中该效应将提供适当的近似概率函数。

向量变量f_t|q_t和p_t通常高度地自动相关，然而随机地假设相似向量变量y_t和x_t各自都是具有零自动相关的白噪声。不同之处在于，p_t、f_t和q_t是时间变换向量y_t和u_t的堆积向量，所述时间变换向量y_t和u_t自身可以高度相关。

应当指出的是，项f_t|q_t在某些示例性实施方式中出现的方式为p_t包含

使得未包含在p_t中的

的那些-即

仍独立地以f_t为条件。在下面论述的进一步的示例性实施方式中，f_t|q_t将被称为“去除未来输入效应的未来输出”或者简洁地称为“纠正的未来输出”。应当指出的是，这种条件依赖直接并且根本上源于在统计推论中具有基础重要性的概率函数。具体地，概率函数是充分统计量。也就是说，概率函数包含用于推论的样本中的所有信息，所述推论关于由参数θ索引的种类的模型。因为这种关系没有对模型的种类作出假设，对于具有选定为相对于样本规格足够大的

的任何模型种类来说，它大体上对大样本是适用的。

在进一步的示例性实施方式中，期望从未来输出中去除未来输入。上面的概率理论给出了强的统计论据，所述统计论据用于在进行CVA之前计算纠正的未来输出f_t|q_t。问题是如何进行纠正。由于计算ARX模型来确定过去滞后的数量

以便在过去的有限缩短中使用，已经使用了关于估算ARX模型的多种方法。

对于从未来输出去除未来输入问题的另一个视角来说，考虑过程的状态空间描述。k次线性Markov过程已经显示具有下列通用状态空间形式的表达式：

x_t+1＝Φx_t+Gu_t+w_t

方程28

y_t＝Hx_t+Au_t+Bw_t+v_t

方程29

其中x_t是k次Markov状态并且w_t和v_t是相应地独立于协方差矩阵Q和R的白噪声过程。这些状态方程比通常使用的方程更通用，因为输出方程Bw_t+v_t中的噪声与状态方程中的噪声w_t相关。这是需要状态空间方程的状态为k次Markov状态的结果。要求方程28和29中的噪声不相关便可得到状态空间模型，在所述状态空间模型中状态的维度比Markov阶次k的维度更高，使得它不是最小阶次实现方法。

进一步的示例性实施方式可致力于模拟从输入u_t到输出y_t的开环动态行为的限制认证任务。假设输入u_t可具有随机自相关性并且能够涉及从输出y_t到输入u_t的反馈，所述反馈与方程28和方程29中系统的开环特性相互独立。下面的论述概括了一种用于去除这种可能的自相关性的影响的子程序。

过程的未来

与通过状态x_t的过去p_t和未来输入

以下述形式相关：

f_t＝Ψ^Tx_t+Ω^Tq_t+e_t.

方程30

其中x_t位于的某些固定子空间p_t，

中并且Ω的第i,j个块是HΦ^j-iG。未来输入q_t的存在形成了在通过观测到的过去和未来进行状态空间子空间确定方面的重大问题。如果可以从上述方程去除项Ω^Tq_t，那么可以准确地估计状态空间子空间。在CVA方法中使用的方法将拟合ARX模型并且基于估算的ARX参数来计算Ψ的估算值

应当指出的是，ARX过程能够以其中状态x_t＝p_t的状态空间形式来表达，以使得上面对Ω和Ψ关于状态空间模型的表达也可被用作ARX模型。那么ARX状态空间参数(Φ，G，H，A)以及Ψ和Ω是ARX模型参数

自身的函数。

现在因为未来输入q_t对未来输出f_t的影响可以通过具有中等样本规模的ARX模型来准确地预测，所以可以因此预测和从方程30的两侧减去项Ω^Tq_t。随后，可以在纠正的未来f_t-Ω^Tq_t与过去之间完成CVA以便确定状态x_t。通过这种方法之间的比较，已经发展了对用于LTI系统的子空间系统认证中的自相关性和反馈进行处理的各种程序。

对于在随后的示例性实施方式中对LPV模型的拓展，应当指出的是，纠正的未来仅是假设过程的结果，在该假设过程中对于每个时间t假设过程具有过去p_t并且其中未来输入q_t设定为0。该结果是纠正的未来输出f_t-Ω^Tq_t，即由过去p_t暗示的过去状态的非受迫响应。现在采用对于时间t的某些范围的所有这种对(p_t，f_t-Ω^Tq_t)，对于如下面论述的状态阶次

的随机选择，CVA分析将获得CVA的变换矩阵，通过所述CVA的变换矩阵可以表达状态估算值。

最直接的方法是递归地使用ARX模型，以便预先一步预测未来输入的影响并且从观测到的未来输出减去该影响。这样做的明确计算对于更通用的LPV情形来说被具体地开发。

过去和未来的CVA相应地给出变换矩阵J和L，从而表示与过去p_t和纠正的未来输出f_t|q_t相关的标准变量c和d。对于状态阶次的每个选择k(或秩r)，过程的“存储”(中间变量z_t)从过去方面限定为：

m_t＝J_kp_t＝[I_k 0]Jp_t

方程31

其中向量m_t可由第一k标准变量组成。向量m_t有意地称为“存储”而非“状态”。存储m_t的给定选择可能不对应于任何已限定的k次Markov过程的状态，因为使Markov过程缩短大体上将不会导致剩余状态变量的Markov过程。具体地，存储m_t通常不包含用于预测m_t-即m_t+1，m_t+2，...未来值的过去中的所有信息。对于系统认证问题，这不是问题，因为将考虑很多阶次k并且给出最佳预测的阶次将被选定为最佳阶次。这种最佳阶次存储将对应于问题的取样变化内的Markov过程的状态。

在进一步的示例性实施方式中，可以确定Markov过程的状态空间模型和状态空间模型估算的问题。建模问题在于：给出相关的随机过程u_t和y_t的过去，发展形成方程28和29的状态空间模型以便通过k次状态x_t来预测y_t的未来。现在考虑状态空间模型的估算并且随后考虑它在模型阶次选定中的使用。应当指出的是，如果经过时间间隔t，给出方程28和29中的状态x_t以及包括输入u_t和输出y_t的数据，那么可以通过简单的线性多元回归方法来容易地估算状态空间矩阵Ф、G、H和A。上面从标准变量方面给出了最佳降秩模拟问题的解。对于秩的给定选择k，如同方程31中构建k次状态空间模型那样，第一k标准变量随后被用作存储m_t＝J_kp_t。

具体地，通过将状态x_t替换成通过CVA确定的存储m_t来考虑状态方程28和29。多元回归方程从协方差方面表达，用多个向量中的Σ表示为：

方程32

其中通过m_t＝J_kp_t的替换来实现计算。预测误差的协方差矩阵以及矩阵Q、R和B具有类似的简单表达。

在进一步的示例性实施方式中，可以对目标模型结构选定以及状态阶次进行确定。CVA方法允许非常通用和多样的模型结构的比较，例如加法确定多项式的存在、系统动态的状态阶次、对来自输入的系统输出的瞬时或延迟影响的存在以及一组变量中的反馈和“因果关系”或影响。下面论述的方法允许精确地统计比较关于动态系统的所述多样假设。

为了确定模型状态阶次或模型结构，可以使用例如基于目标信息测量的近期发展，这涉及用于确定统计模型的适当阶次的赤池信息标准的使用。对充分并且重复取样的基础统计原理进行考虑为信息标准的使用提供了作为模型拟合的目标测量的声音辨析。具体地，假设真实可能性密度是p_*并且大致密度是p₁，那么模型p₁近似真值p_*的测量值通过Kullback区别信息给出：

方程33

可以示出的是：对于大样本来说，AIC是Kullback信息的最佳估计器并且实现对模型阶次的最佳确定。对于每个阶次k来说AIC通过下述方程限定：

方程34

其中p是基于N个时间点的观测值(Y^N，U^N)的概率函数，其中

是使用具有M_k参数的k阶模型的最大概率参数估测值。小样本纠正因数f对于Akaike初始AIC来说等于1，并且在下面针对小样本情形来论述。模型阶次k对应于AIC(k)的最小值来选定。对于采用大于或等于真实系统阶次的模型状态阶次k，CVA程序提供近似最大概率解。对于小于真实阶次的k，系统的CVA估算值欠佳，从而概率函数可能没有最大化。然而，这将仅强调较低阶次模型与真实阶次模型的计算AIC之间的差异，以便保持用于近似操作的最佳状态阶次的可靠确定。

方程28和29的状态空间模型中的参数的数量为：

M_k＝k(2n+m)+mn+n(n+1)/2

方程35

其中k是状态的数量、n是输出的数量并且m是到系统的输入的数量。可以通过考虑具有相同输入/输出和噪声特性的状态空间模型的对等种类的大小来得出这种结果。因此，状态空间模型中的功能独立参数的数量远小于各种状态空间矩阵中的元素的数量。AIC对于大样本规模提供模型阶次选定的最佳程序。

AIC的小样本纠正已针对模型次序选定被进一步发展。小样本纠正因数f是：

方程36

有效样本规模N是时间点的数量，在所述时间点使用认证模型来作出一步预测。对于大样本N，小样本因数f近似1，f的值初始被Akaike用于限定AIC。小样本纠正已显示能产生模型阶次选定，所述模型阶次选定近似于通过模型近似误差的Kullback信息测量描述的最佳选定。

在CVA-LPV方法中实施并且在该进一步示例性实施方式中给出的非线性系统认证方法基于线性参数变化(LPV)模型描述。因为其参量简约性并且因为其在控制应用中的状态空间结构，可以采用仿射状态空间LPV(SS-LPV)模型形式。用于初始模型拟合的ARX-LPV(自动回归输入/输出)模型形式也扮演重要角色。可以在引入所述模型形式之后，论述计算需求以及拟合和比较CVA-LPV程序中可用的模型结构的各种假设。

在进一步的示例性实施方式中，可以考虑仿射状态空间LPV模型。考虑线性系统，其中系统矩阵是具有下述形式的调度参数ρ_t＝[ρ_t(1)；ρ_t(2)；...；ρ_t(s)]的向量的时间变化函数_-也称为参数变化(PV)函数：

x_t+1＝A(ρ_t)x_t+B(ρ_t)u_t+w_t

方程37

y_t＝C(ρ_t)x_t+D(ρ_t)u_t+v_t

方程38

在该实施方式中，仅考虑LPV系统具有对形式A(ρ_t)＝ρ_t(1)A₁+…+ρ_t(s)A_s的调度参数的仿射依赖，并且对B(ρ_t)，C(ρ_t)和D(ρ_t)也是类似的。在此，参数变化矩阵A(ρ_t)表达为由常数矩阵A＝[A₁...A_S]的ρ_t＝[ρ_t(1)；ρ_t(2)；...；ρ_t(s)]表示的线性组合，称为仿射形式，并且对B、C和D也是类似的。应当指出的是，方程37和38是具有由ρ_t参数化的时间变化的线性时间变化系统。

LPV模型通常限于其中调度函数ρ_t不是系统输入u_t、输出y_t和/或状态x_t的函数的情形。包括这些u_t、y_t和x_t的函数的更通用情形通常被称为Quasi-LPV模型。在该实施方式中，不需要区分两种情形，从而发展模型可以应用于两个情形。

LPV方程可被大幅简化成涉及克罗内克(Kronecker)积变量

和

的LTI系统，所述系统具有下述形式：

方程39

其中

表示Kronecker积

对于任意矩阵M和N该积定义为由块i、j组成的分块矩阵

其中M的i、j元素表示为m_i，j，并且[M；N]＝(M^T N^T)^T表示向量或矩阵M和N的堆积。在随后的实施方式中，这种LTI结构的进一步开发将导致计算方面类似LTI子空间的减少和模拟准确性的增加。

现在考虑状态噪声也具有通过测量噪声v_t对调度参数ρ_t的仿射依赖的情形，具体地其中对于某些LTI矩阵K方程39中的w_t满足

随后对于输出方程38中没有参数变化的情形，可以通过简单的重新布置来将状态方程示出为

方程40

其中

方程41

以及

方程42

以上面的形式，状态方程中的噪声被测量输出与预测输出v_t＝y_t-(Cx_t+Du_t)之间的差值代替，这仅是对测量方程的重新布置。因此，仅状态方程中出现测量输入、输出和状态，从而去除了对非线性状态方程中的噪声影响求近似的需求。下面的多个示例性实施方式具有这种D＝0的形式，其中没有不具有测量输出方程中的延迟的直接馈通。

在进一步的实施方式中，CVA-LPV程序中的第一步是通过高阶ARX-LPV模型对LPV程序求近似。对于该实施方式，LPV动态系统可以通过具有下述形式的高阶ARX-LPV系统来求近似：

方程43

该方程从过去输出y_t-i和过去以及可能的当前输入u_t-i方面给出时间t处的当前输出y_t的线性预测值y_t，其中

是ARX-LPV过程的阶次，并且v_t是具有协方差矩阵的Σ_vv白噪声过程。如果系统在输入与输出之间没有直接关联，那么第二总和的下限等于1，即β₀＝0。

ARX-LPV方程43处于变换形式，其中调度函数ρ_t+i中的时间变换匹配输入和输出中的时间变换。这是仅有的能够避免将从ARX-LPV模型导出的合成状态空间LPV描述中的动态依赖引入的几个模型形式中的一个。动态依赖的存在可导致LPV模型中相当大的不准确。

应当注意的是，在方程43中，参数变化调度函数ρ_t-i可以与常数矩阵系数α_i和β_i或者数据y_t和u_t关联或相乘。在第一种情形中，结果是相应地被y_t-i和u_t-i相乘的参数变化系数

和

其中单位矩阵I_y和I_u的维度相应地是y和u的维度。在第二种情形中，因为时间变化t-i在所有变量y_t-i、u_t-i和ρ_t-i中相同，扩展数据

对于每个时间t可以计算一次并且都用在随后的计算中。

对于与LTI系数α_i和β_j(j＞0)相乘的ARX-LPV模型，ARX-LPV过程的过去限定为

过去p_t是ARX-LPV过程的状态，因为对于过程的未来演化的线性预测，它包含过去的所有信息。过去p_t通常不是最小阶次并且通常比最小阶次高得多。应当注意的是，演化依赖于进度ρ_t，因此如果进度

不同，那么对应状态

不同。应当指出的是，进度ρ_t可以随机选定或者可以通过过去的相应变化来考虑进度的各种变化。

如在此进一步描述的，调度函数ρ_t与数据的关联性将允许将线性时间不变(LTI)系统的CVA子空间方法直接调整到包括LTI方法的所有计算和数值益处的LPV系统。具体地，ARX-LPV方程变成扩展数据中的LTI，ARX-LPV模型的系数估算的计算几乎与使用扩展数据的ARX-LTI模型相同。

在该实施方式以及下面那些实施方式中，可设置成适用于LTI系统的前面描述的CVA子空间认证方法被延伸到LPV系统。这种发展具有重大意义，因为前面用于认证LPV系统的方法需要具有准确性和/或收敛问题的非线性迭代优化或者需要随着输入、输出、状态和ARX-LPV阶次

的数量以指数方式增长的子空间计算方法。将会示出的是，LPV系统的CVA子空间认证方法仅以这种变量的数量的三次方而非指数方式来增长。

将所述方法调整到LPV系统涉及下述步骤：

·拟合足够高阶的ARX-LPV模型并计算每个阶次的AIC来确定最佳阶次。

·使用最佳ARX-LPV模型阶次移除未来输入对未来输出的影响以便确定纠正的未来。

·在过去与纠正的未来之间执行CVA来确定最佳候选状态估算值，并且通过它们的预测能力-即与未来的相关性来将这些估算值进行分类。

·计算每个状态阶次的AIC来选定最佳状态阶次。

·计算可能关注的最佳状态阶次和其他状态阶次的SS-LPV模型。

在进一步的实施方式中，可以从未来输出中去除未来输入。在此，对于给定时间t的下列定义将是有用的：过去的扩展输入和输出

，或者简单地仅过去，未来输出

和未来输入

未来输入或未来输出项包括当前时间t，并且过去的长度

是方程43中的ARX-LPV模型的阶次

，对于所述阶次

来说AIC名义上最小。通过去除未来输入对未来输出的影响，将在下面示出的是，合成的未来输出(称为纠正的未来并且表示为f_t(y)|q_t)是当前状态的自由响应的结果，该当前状态严格来说是系统的时间t处的过去p_t的函数，其中未来输入q_t被有效地设定为零。系统的状态可以通过在过去与纠正的未来之间执行CVA来计算(如在下面进行计算的那样)。

使用前述部分中开发的最佳ARX-LPV模型来迭代地计算纠正的未来。几个简化将使计算极大地简化。在下面的论述中，通过确定ARX系数α和β及参数变化函数ρ_t的方程43来看待ARX-LPV系统并且将其看成是通过输入序列

产生输出序列

将会是有用的，其中从t＝1到t＝N或者正整数的某些其他相邻子集，该表示法是整个序列

的简化表达。根据常规，非正整数的序列的值假定为零计数器或者适当维度的零向量。两个序列的总和可以限定为是具有相应时间指数的元素的总和。

首先应当示出的是，对于方程43的ARX-LPV，如果

和

是两个输入序列并且对应的输出序列是

并且

那么两个输入序列的总和序列

的输出y_t是相应输出序列的总和，因此

这在随后的定理(下面的定理1)中陈述，其中

表示

作为(24)的输出，其具有输入

以及确定的ARX系数α和β和确定的参数变化函数ρ_t。应当指出的是，被有效实施的内容用于通过将ρ_t固定到过去p_t来确定ARX过程的非受迫响应。这是用于以非常类似于前述LTI情形那样来计算纠正的未来的装置。输入u_t、输出y_t或者PV函数ρ_t都未发生实际变化。

定理1(序列的累加)：使对于所有t噪声v_t＝0的方程43的ARX-LPV输入-输出关系具有有限取值的系数α_i和β_i，并且使参数变化函数

是有限取值并且固定的。使

和

是任何有限取值的输入序列并且将总和表示为

随后这些输入序列对输出的影响以下面的方式累加：

方程44

继续该基础定理，对于所有t噪声v_t＝0的方程43中的输入-输出关系可具有有限取值的系数α_i和β_i并且参数变化函数

是有限取值的。那么使

和

是任何有限取值的输入序列并且将总和表示为

随后这些输入序列对输出的影响以下面的方式累加：

方程45

因此，足以表明，使用方程43通过过去的输入和输出来预测目前输出

是如方程45所示那样相加的。随后这种累加可被递归地使用以便显示对于任何未来输出的累加。

仅因为Kronecker积满足

所以：

方程46

方程47

方程48

方程49

方程50

方程51

y_t和u_t的序列对于非正整数来说限定为零，使得所述累加保持为t＝1。为了通过归 纳证明，我们仅需要表明，如果它对给定时间t-1成立，那么它也保持对t成立。在上面的方 程中，在y的方程中的累加的所有使用都发生为涉及指数t-1及更小，这符合最终等式

如下面在定理2中陈述的，输入序列对输出序列的上述累加影响导致简单累加纠正以便通过未来输入

来获得纠正的未来输出f_t(y)|(q_t＝0)。

定理2(纠正的未来)：使阶次

的ARX-LPV过程通过方程43给出-其中对于所有t噪声v_t＝0，使该过程具有有限取值系数α_i和β_i，并且使参数变化函数

为有限取值并且固定的。使

将未来ARX输出表示为未来输入

的结果，其中输入在时间t之前为零。对于

这种纠正递归地计算为：

随后通过下述方程给出纠正的未来输出

方程52

作为该理论的验证，并且为了简便起见，对于时间t从M到N的零向量序列被表示为

现在对于每个时间t，将输入序列

看作是未来输入q_t，其中

并且前面有t-1个零。随后通过从实际输入序列

减去

合成的输入序列是：

方程53

其中输入序列的未来f_t确切地是零序列。现在通过配置：

方程54

因此通过由输入序列的差异导致的输出序列

来获得期望的纠正未来的响应：

方程55

纠正的未来输出序列因此为：

方程56

方程57

方程58

其中纠正的未来给出为最后表达式的未来：

方程59

为了使用方程59计算纠正的未来，仅需要计算未来输入导致的ARX系统的输出

因为输入在时间t之前为零，对于

其被容易地递归计算为：

QED

像在LTI系统的CVA的论述中，纠正的未来输出确切地是具有固定ρ_t的ARX模型对过去p_t的非受迫未来响应，其中没有未来输入q_t。

在已经移除未来输入对未来输出的影响以便获得纠正的未来的情况下，纠正的未来是扩展的过去的自由响应。下面的定理可用于显示LPV情形的结构。

定理3(过去纠正的未来的LTI结构)：考虑没有噪声(v_t＝0)的阶次

滞后的ARX-LPV过程方程43。那么对于所有t使得

纠正的未来输出

如定理2中限定的，是纠正的扩展未来

和扩展的过去

的LTI函数，并且以矩阵形式递归地表达为：

方程60

对于每个

矩阵方程描述了计算纠正的未来输出

的递归。这种结果随后与实时得知的参数变化函数ρ_t+j一起使用，以便计算纠正的扩展未来

的元素

随后可以计算t+j+1的下一个递归。上面方程的更简洁形式为：

方程61

作为这种情况的验证，期望的结果是通过下述步骤获得的。

首先，在方程43中，用t+j替代t，并且随后随着当前将过去和未来划分开而将t认作是固定的，其中j被认为是变量，对于方程43的递归计算

其次，对于每个j，方程43中的项的计算被分割成当前-未来项(从i＝0或1到j的总和)并且被分割成过去项(从i＝j+l到

的总和)

第三，通过从上面方程的两侧减去方程45并且使用方程44，获得下述结果：

方程62

方程63

其中多个项被分割成涉及t之前的时间指数(i＝1，...，j)以及t之后或等于t的时间指数

的项的总和。这也可以矩阵形式示出。

如在上面论述的LTI情形中那样，未来输入将误差引入到系统认证中并且需要通过减法从方程的两侧移除。这就得到由过去输入和输出导致的状态的非受迫响应。方程22的简洁形式可以改写为：

方程64

因为调度向量ρ_t的第一分量是常数1，所以使未来纠正项

(构成 未来纠正输出的向量

)中的每个都作为子向量包含在纠正的扩展未来向量

中。使

从而

使

为n x n块对角矩阵，其中对角块由

组成。那么

所以该方程 意指方程64。

通过方程22，因为系数矩阵

和[α_p β_p]是LTI，所以过去p_t与纠正的扩展未来

之间的关系对于所有t是时间不变的。因此，这些向量之间可以执行CVA(就像它们是LTI过程一样)以便获得过程的状态。还应当指出的是，通过方程22，来自过去的信息仅通过过去的LTI函数加上扩展的纠正的未来的LTI函数提供。并且这种信息明显地依赖进度ρ_t。这种结构符合LTI CVA的使用以便获得ARX-LPV过程的状态，所述ARX-LPV过程的状态用于下面论述的LPV状态方程39中常数矩阵[A B；C D]的状态阶次选定和估算。

在进一步的示例性实施方式中，可以采用最大概率降秩状态估算。对于包括LTI系统的输入和反馈的各种情形，可以采用多步对数概率函数。例如，可用于证明CVA算法的渐近收敛以便对于没有输入或者具有白噪声输入的LTI系统获得渐进最大概率估算。下面的定理将它延伸到LPV系统的情形。

定理4(降秩的ML状态估算)：对于阶次

延迟的LPV-ARX过程，观测到的输出

的渐进高斯对数概率函数(以初始过去

和观测到的输入

为条件并且作为降秩回归参数的函数)能够以下述多步在先形式表达：

方程65

其中

是维度ζ的纠正的未来输出的向量，并且如理论3中那样p_t是扩展的过去输出以及可能输入的向量。对于秩r的状态的最大概率解是通过扩展的过去p_t与纠正的未来输出

之间的标准变量分析并且通过选择由第一r标准变量

(由第一r排J给出)指定的状态来获得。

概率的参数化是过去与未来之间的CVA回归参数化(不包含LPV状态空间模型的时间变换不变特性)。这在下面的示例性实施方式中进一步改进并且被用于评估模型拟合准确性并且选定最佳状态阶次。可以实现LTI情形从ARX到CVA中并且最终到SS形式中的嵌套ML模型投影，并且LTI情形容易地概括到当前LPV情形。

在进一步的实施方式中，可以做出状态空间阶次选定和模型估算。通过过去和纠 正的未来的CVA确定的标准变量提供备选的状态变量。对于秩r，备选状态向量

LPV状态方程可以在状态中的阶次递归计算中书写，因为涉及状态变量的Kronecker积元素

可以相应地在方程39中记录为

其中列A和C相 应地记录到

和

类似地，可以容易地计算方程39中的残差预测误差的协方差矩阵。

对于状态的更好选择是通过计算状态阶次的每个选择来确定的。在过程中有噪声的情形中，各种矩阵是满秩的，使得适当的状态阶次不明显。对于LPV过程中有高斯噪声的情形，AIC提供状态阶次的最佳选定。

在下一个实施方式中，可以执行LPV到仿射非线性系统的延伸。仿射非线性系统的种类是表达为基础函数的线性组合的系统，通常意味着单项式。在该部分中，论述了具有涉及连续函数的连续输入-输出映射或状态方程的通用非线性系统的近似法。首先，通过多项式函数对一组涉及解析函数的非线性状态方程求近似并且以LPV形式的双线性方程表达。这允许使用LPV系统认证方法。随后论述这种仿射非线性近似方法的通用特性。

然而，双线性LPV形式的调度函数是状态函数，从而不适用前面的CVA LPV认证方法。该理论被延伸到包含是Quasi-LPV的非线性状态仿射系统，其中调度函数ρ_t可以是u_t、y_t和/或x_t的函数-即ρ_t可能不是外源的。这导致涉及多项式阶次的层次结构，并且在给定阶次内导致由状态阶次定阶的一组模型。

有很多关于仿射多项式系统的文献(见A.Schrempf在2004年发表的奥地利林茨Johannes Kepler大学博士学位论文“延伸状态仿射系统的认证”，所述论文的全部内容在此通过引用并入到本申请中)。在此论述了与模型近似和系统认证相关的某些主要问题和结果。

仿射非线性系统具有相当重要的通用逼近器的特性。给定任何LTI系统，能够通过选择足够高状态阶次系统作为逼近器来对任一这种系统求近似。能够获得类似特性，以便通过离散时间状态仿射(多项式)系统来对具有连续输入-输出映射的非线性离散时间系统求近似。具体地，A.Schrempf陈述了下面的推论：

推论2.1：由具有对U的衰退记忆(其中U是l^∞(Z)中的球)的连续输入-输出映射

代表的每个非线性系统Σ_a可以通过输出仿射差值方程S_a随机地且良好地求近似。

通过将这种系统限定到有限时间段，它们可以使用严格递归差值方程(可以使用普通最小二乘法计算来确定)来实现，以便确定多项式差值方程系数。(A.Schrempf，定理2.4)

他的策略中的最终步骤是获得多项式系统的仿射状态空间实现，因此在该论文中将采用CVA方法。CVA程序以通过解简单线性回归计算来获得NARX-LPV输入-输出描述来开始，并且随后使用CVA-LPV方法以便获得仿射NLPV状态空间模型描述。具体地，如在下面涉及Quasi-LPV系统的部分中开发的，状态仿射形式确切地是双线性形式，其中输入和/或可能的输出中具有较高阶次的多项式与任何外源调度函数一起作为参数变化调度函数。

作为大体上非线性、时间变化并且参数变化的动态系统，具有连续输入-输出映射的仿射状态空间模型可以通过下述形式的非线性状态方程的系统来描述：

x_t+1＝f(x_t，u_t，ρ_t，v_t)

方程66

y_t＝h(x_t，u_t，ρ_t，v_t)

方程67

其中x_t是状态向量，u_t是输入向量，y_t是输出向量并且v_t是白噪声测量向量。为了处理“参数变化”系统，“调度”变量ρ_t是描述系统的当前运行点的时间变化参数。

为了简便和直觉上有吸引力起见，允许没有ρ_t和v_t的Taylor扩展的函数的情形导致(将u_t为标量的情形延伸到u_t为向量的情形(巴尔的摩的Johns Hopkins大学出版社1981年出版的W.Rugh的非线性系统理论：Volterra/Wiener方法，所述文献的全部内容在此通过引用并入到本申请中))下述方程：

方程68

方程69

其中表示法

递归地定义为

并且对

是类似的，其中

定义为u_t的1维度向量。

所述方程可以仅通过卡尔曼(Carleman)双线性转化成状态变量

以及输入幂和乘积变量

(其中最后的等式被用于强调度J-1)中的双线性向量离散时间方程，从而给出状态仿射形式：

程方程70

方程71

这些双线性方程能够以

的状态仿射LPV形式表达为下述方程，所述LPV形式给出了没有噪声的类LPV(Quasi-LPV)情形(所述情形与D＝0但大体上具有

更高维度的方程39的严格LPV形式相同)的准确解：

方程72

方程73

A.Schrempf中描述的延伸状态仿射系统能够以下述形式表达：

方程74

y_t＝Cx_t

方程75

其中f(u_t，y_t)和g(u_t)是多项式函数，并且将调度函数设定为这些表示为ρ_t＝[1；mon{f(u_t，y_t)}；mon{g(u_t)}]的多项式的单项式，该系统减少为方程74和75的形式。

应当注意的是，双线性状态仿射形式确切地是方程39的SS-LPV的形式。如所属领域公知的，对于形式方程39的每个SS-LPV模型，存在具有相同输入-输出特点的变换形式方程43的ARX-LPV模型，反之亦然。因此，为了构建方程74-75形式的状态仿射LPV模型的目的，ARX-LPV形式方程39可以首先使用最小二乘方拟合，其调度函数ρ_t包括单项式项(涉及高达某些选定程度的u_t和y_t的幂和乘积)。双线性方程74-75可包括这些项并且可以描述为非线性ARX-LPV-即NARX-LPV。

因此，在Quasi-LPV的情形中，可以考虑可能包括动态变量中的各种单项式项的方程39的拟合，并且与使用赤池信息标准比较所述模型拟合。这可以确定更好的拟合模型结构以及u_t和y_t的对应单项式以便包括在调度函数中，从而确定NARX-LPV模型方程39的结构和阶次。随后可以使用认证的NARX-LPV模型来实施CVA-NLPV方法以便确定状态仿射模型方程68-69。

随后，在进一步的实施方式中，可以考虑非线性状态方程的更通用形式。在该情形中，调度参数可以通过

表示为与输入乘积项

区别开。这些调度参数

可以是运行点或者其他公知或准确测量的变量的非线性函数，所述非线性函数可用作调度函数。随后复合调度函数

可被定义为包括输入中的多项式

以及调度函数

那么双线性方程也包括这种情形。

仿射双线性方程的简化掩盖了大量的项和复杂性，因为很多非线性的项被吸收到PV中。但是这远比Volterra系列中数量以指数方式增长的脉冲响应项扩展或者其他LPV子空间方法的QR分解中行数以指数方式增长更简单。LPV方程的状态

的维度是r+r²+…+r^J＝-1+(r^J+1-1)/(r-1，其中r是方程66的非线性状态x_t的维度，并且类似地

的维度是1+r+r²+…+r^J-1＝(r^J-1)/(r-1)，其中r是u_t的维度。使得

和

的维度在所述扩展的程度J中以指数方式增长。

因此，期望选择仅足够高以便实现期望准确性的程度。如果过程或数据中具有噪声或干扰，那么可以确定一些点，近似化的程度在该点处增长但没有使准确性增长。这种情形可以通过计算J中的ARX-LPV模型拟合阶次递归来检测，其中增加程度的统计重要性的任何缺少可以通过低阶线性计算来确定。类似地，PV函数的重要性可以通过各种PV函数的累加或删除来确定。在完全讨论了ARX-LPV拟合中的这些“复合调度函数”的结构选定之后，CVA子空间模型认证进行自动降阶。LPV状态向量

的各种状态的需求在标准变量分析中评估，并且放弃了没有统计重要性的那些以便获得最小状态阶次实现。

结果首先针对Quasi-LPV情形被陈述，并且随后使用那些用于严格LPV情形之外的方法来证明。

为了该部分和随后部分的目的，可以限定项“过去运算符”和“未来运算符”。给定由时间t索引的变量(例如v_t)，对于任何固定时间t^*，长度

的未来运算符定义为

类似地，长度

的过去运算符可以定义为

应当指出的是，未来运算符实际上包括当前

项“未来”被用于简化替代当前-未来。除非以其他方式指出，过去和未来运算符的长度可以理解为ARX-LPV模型的运算符，并且t^*将通常表示为t。

定义1(纠正的未来)通过没有噪声(v_t＝0)的方程43给出阶次

的ARX-LPV过程，并且使系数α_i和β_i为有限取值的，并且使调度函数

为有限取值的并且为输入u_t、输出y_t和状态x_t(Quasi-LPV情形)的可能的函数。对于每个t，用

表示未来输入导致的未来输出，其中输入在t之前的影响为零并且对于

被递归地计算为：

方程76

将纠正的未来输出表示为

并且计算为：

方程77

上述定义中的项在下面的定理中证明。

定理5(过去&纠正的未来的LTI结构，Quasi-LPV情形)：对于Quasi-LPV过程的情形考虑没有噪声(v_t＝0)的阶次

延迟的方程43中描述的ARX-LPV过程。那么对于每个t使得

如定义1中那样，纠正的未来输出

是纠正的扩展未来的LTI函数。

和扩展的过去

并且以矩阵形式递归地表达为：

方程78

对于

的每个t+j，矩阵方程描述了计算纠正的未来输出

的递归。这种结果随后与实时得知的参数变化函数ρ_t+j一起使用，以便计算纠正的扩展未来

的元素

随后可以计算t+j+1的下一个递归。上述方程的更简化的形式为：

作为这种定理的证明，首先在方程43中用t+j替换t，并且随后把t看作是当前时间t以便将过去与当前-未来分开以便进行未来输出y_t+j的递归计算，其中j考虑为当前时间

之前的步骤的数量。

第二，对于每个j，方程43中的项的计算被分割成当前-未来项(其中总数从i＝0或1到j)并且被相应地分割成方程79和方程80环节中的过去项(其中总数从i＝j+1到

)，如下面每个方程所示：

方程79

方程80

现在在预测y_t+j中预先考虑固定的j个步骤。通过这些方程明确的是，方程79的第二项具有仅来自当前-未来输入的贡献，并且方程80的所有项具有仅来自过去输入和输出的贡献。方程79的第一项具有来自过去和当前-未来的贡献，因为针对i＝1到j定义的未来输出y_t+j-i是通过方程79和方程80预先递归地定义的。这样一来，y_t+j-i的计算中的每个递归的过去和当前-未来贡献可以在方程79的第一项中单独地分开。因此，这将有益于证明下面论点。

论点1(过去和当前-未来对输出的影响)使时间t将过去与当前-未来分开，并且使y_t+j是

的当前-未来输出。随后如在方程76中那样通过

给出当前-未来输入对y_t+j的贡献，并且如在方程77中那样通过

给出过去的输入和输出对y_t+j的贡献。

作为论点1的证明，(ⅰ)首先，证明对于j＝0论点1为真，并且随后(ⅱ)第二，对于满足

的j^*的任何选择，如果对于满足0≤j＜j^*的所有j论点1为真，那么对于j＝j^*论点1也为真。所以，如果(ⅰ)和(ⅱ)都为真，那么通过归纳，论点1必须也为真。

仅需要保持来自当前/未来的贡献的轨迹，因为这样做会必要地确定过去的正确贡献，因为

其中y_t+j-i是观测到的具体输出。为了展示(ⅰ)，来自方程76和方程79两者给出的现在/未来的贡献一致，因为每个的第一项都为零并且第二项相同。为了展示(ⅱ)，假设分开的部分

和

对于0≤j＜j^*是正确的，那么需要展示的是对于j＝j^*这也为真。如果在方程79中的第一项中进行

的替换，那么这将产生相应地与现在/未来和过去关联的两项的总和。那么将

与线路1的现在/未来和项2关联给出：

方程81

同时将

项与方程80的过去和线路2关联给出了用于计算方程60中的

的下面表达。

方程82

方程83

的表达式符合方程76，这证明了论点1，并且方程82-83确切地是矩阵方程78的回归形式，这证明了定理5。

因为Quasi-LPV情形的方程78与严格LPV情形的方程60相同，由方程64给出的简洁形式也应用于Quasi-LPV情形。具体地，方程64之后的论述也适用，因此过去和纠正的未来的LTI CVA确定了非线性状态仿射系统的状态。

然而，严格LPV和Quasi-LPV系统的行为可能相当不同，因为严格LPV系统是线性(时间变化/参数变化)输入-输出系统，而Quasi-LPV系统可以是与线性非常不同的双线性输入-输出系统。对于Quasi-LPV系统，相当大的非线性可以“隐藏”在调度函数中(如果它们是状态的函数)。

应当指出的是，定理3和5提供了用于处理静态依赖的新工具。在没有噪声并且满状态阶次的情形中，这些定理保证状态仿射模型确切地具有相同的输入-输出映射，因此具有静态依赖性。然而，在输出噪声的情形中，状态阶次的最佳选定是通过最小AIC确定的，所述最小AIC是将小样本中的Kullback信息最小化的最佳多重比较，使得任何其他选择都将导致更差的结果。似乎没有可用于处理存在噪声的情况下的动态依赖的任何其他方法。

那么，在又进一步的示例性实施方式中，可以认证仿射非线性系统。下面描述了关于系统认证的问题和结果以及用于系统认证的非线性CVA方法。

仿射非线性系统具有相当重要的通用逼近器的特性。给定任何LTI系统，能够通过选择足够高的状态阶次系统作为逼近器来对任何这种系统求近似。通过状态仿射(多项式)系统，类似特性能够用于对连续非线性系统求近似。

状态仿射系统的通用近似特性给予设计出有系统的近似程序的机会。在CVA非线性子空间认证的背景中，通用近似特性应用于连续输入-输出差值方程描述的仿射近似以及状态仿射近似。通过解决简单线性回归计算并且随后使用CVA-LPV方法，CVA程序以获得(N)ARX-LPV输入-输出描述开始，以便获得LPV状态空间模型描述。具体地，状态仿射形式确切地是作为参数变化函数的输入中具有较高阶次多项式的双线性形式。

随后，可以拟合并且比较非线性模型结构。在拟合ARX-LPV模型时，通过处理扩展数据(好像它是来自(N)ARX模型的输入u_t和输出y_t)来给出参数α_i、β_i、

和Σ_vv的最大概率估算值。在计算(N)ARX-LPV模型时，使用需要仅计算最高阶次maxord的一些额外计算的有效方法，能够以阶次递归方式进行计算以便针对ARX阶次1、2、...maxord连续计算模型。这可以包括针对被拟合的每个ARX-LPV模型阶次的赤池信息标准(AIC)的计算，所述计算可随后被用于通过选择最小AIC来选定最佳ARX-LPV阶次。如果最佳阶次接近于被考虑的最大阶次，那么最大阶次maxord可以例如通过倍增来增加，并且评估用于合成的较高阶次AIC并且确定新的最小AIC。

这种相同的阶次递归方法允许比较包括PV函数ρ_t＝[ρ_t(1)；...；ρ_t(s)]组的任何 嵌套模型。这就允许使用跳跃和界定方法以及嵌套定阶来高效拟合和比较嵌套的假设(例 如子组选定)。例如在上面描述的非线性延伸方面，Taylor扩展的多项式程度J指定对应于

的假设H_J以便产生嵌套序列

对于取决于在ARX-LPV模型拟合中考虑的ρ的结构参数的每个模型机构H_ρ，执行最佳ARX-LPV阶次

的自动计算并且针对假设的多重比较来评估AIC。

在实施上面的CVA程序以便拟合SS-LPV模型时，获取嵌套状态估算值的序列并且计算AIC以便比较各种状态阶次。通过CVA进行的模型(尤其是双线性模型)状态阶次减少可能是相当大的，因为Kronecker积状态可具有相当大的冗余(包括不同标记的单项式，例如

和

)。

SS-LPV模型的子空间认证的计算需求受扩展的过去p_t的维度dim(p_t)的影响。对于LPV情形，dim(p_t)是在过去的相同长度

下比LTI情形大的因数dim(p_t)。主要计算是与[dim(p_t)]³成比例的CVA，从而通过因数[dim(ρ_t)]³增加计算。对于双线性系统，[dim(ρ_t)]随[dim(u_t)]^(J-1)以指数方式增长。

在另一个示例性实施方式中，可以描述飞机线性参数变化振颤模型的子空间认证。下面的描述和附图本质上是示例性的，并且可以预见采用在此描述的技术和实施方式的其他方式。

使用子空间技术的线性参数变化(LPV)系统的系统认证过程是通过应用到飞机振颤仿真(aircraft flutter simulation)的广泛使用的俯仰模型(pitch-plunge model)来证明的。使用最近出版的用于LPV系统的子空间认证(SID)算法来完成该认证。目标是证明该方法的能力，以便不仅认证状态空间形式的高准确模型，而且还确定系统的状态阶次。由于通过仿真获得了认证数据，给出了无噪声与有噪声情形之间的比较，所以论述了噪声尤其对模型阶次估算的影响。

在另一个示例性实施方式中，线性参数变化(LPV)系统已经用于研究以及控制应用。LPV系统的一个吸引力是能够基于运行参数空间的限制区域中的数据来确定运行参数空间的延伸区域的全局模型。对于飞机仿真来说，例如，这允许预测飞行特性以及将飞行特性从外部差值到没有预先获得可用的实际数据的运行参数空间的区域中。

对于固定的运行点，LPV系统表现得像线性时间不变(LTI)的系统那样。如果运行点改变，那么线性动态的参数通过运行点的函数而改变。容易想像的示例是具有线性动态的弹簧、质量块和阻尼系统。如果这是沿着道路行驶的车辆的一部分，那么系统中的响应很大程度上取决于车辆的速度。实际上，来自道路的力是取决于速度的并且通过速度的函数来缩放。更通常地，LTI系统的状态和输入通过运行点的函数相乘并且反馈到LTI系统中。所述动态保持LTI独立于运行点(即，示例中的速度)。这是LPV系统的基础结构。实际上，反馈缩放是通过表达为运行点的函数的物理定律来支配的。

如在此描述的并且通过下面的示例性实施方式，采用阶次和参数未知的子空间方法，并且用状态空间进行的描述可以形成为认证过程的结果。

子空间认证(SID)或者长度的基于子空间的状态空间系统认证(4SID)表示一种黑匣子认证方法，所述方法非迭代地估算动态系统的阶次和参数。这种认证方法中的经典算法是标准变量分析(CVA)、基于子空间的状态空间系统认证的数字算法(N4SID)、多变量输出误差状态空间认证(MOESP)和基于预测器的子空间认证(PBSID)，它们的基础版本都导致LTI系统的离散时间状态空间描述。

另外，存在用于特定种类非线性系统、双线性系统或LPV系统的上述SID方法的几个延伸。其中的算法基于MOESP方法，然而其他算法基于PBSID。使用LTI子空间认证的经典背景的这些LPV算法的主要缺点是取决于过去延迟的数量的矩阵大小以指数方式增长以及缺少集成且可靠的阶次选定标准，所述指数方式增长的大小应当至少与系统阶次一样高。这些缺点还被提供的LPV-PBSID的递归变体继承，在所述变体中数据矩阵的大小至少独立于数据样本的数量。

为了降低算法内的数据矩阵的大小，可相应地引入LPV-MOESP和LPV-PBSID的核心版本。再者，那些算法的存储需求对于LPV系统来说保持较高。取决于样本和调度参数的数量，10个或更少的过去范围对今天的高端PC已经可能成为挑战或不可实行。

基于CVA提出了解决存储消耗问题的新的子空间方法。这些新LPV子空间方法具有类似于用于线性时间不变模型的子空间认证方法的计算需求，除了“延迟变量”的数量乘以一加上参数变化函数的数量。当具有足够的信噪比和数据长度时，这些方法产生具有高准确性的统计最佳模型。为了展示LPV子空间认证过程，得出的新方法以给出这种贡献的方式应用于俯仰仿真的数据。

这种示例性实施方式可以对使用的基于CVA的LPV子空间方法提供简短综述。那么可以引入俯仰模型并且可以紧接着给出认证结果，所述认证结果用于无噪声情形以及包括测量噪声的数据组。

在这种示例性实施方式中，通过LPV-CVA构思，类似于其他LPV子空间方法，期望以LTI方法可被应用的形式重写LPV认证问题。用于LTI系统的CVA是基于统计的子空间认证方法。对于没有噪声或白噪声的情形以及随机输入和反馈的情形，可以采用关于LTI的方法和它们对CVA的渐进等同体。

使用CVA的LPV系统认证可涉及下述步骤：拟合足够高阶次的ARX-LPV模型并且计算每个阶次的AIC以便确定最佳阶次；使用最佳ARX-LPV模型阶次移除未来输入对未来输出的影响以便确定纠正的未来；在过去与纠正的未来之间进行CVA以便确定最佳候选状态估算值，通过它们的预测能力-即与未来的相关性将这些估算值分类；计算每个状态阶次的AIC以便选定最佳状态阶次；并且计算最佳状态阶次以及可能关注的其他状态阶次的SS-LPV模型。

LPV俯仰空气弹性变形仿真模型的示例已经被广泛地用于LPV模型的分析和对于LPV模型的控制系统设计。以它的最简洁形式，这种模型是4状态、1输入、2输出系统。

在当前的示例中，翼振颤包括概念上是飞机翼的2自由度刚性体，所述飞机翼具有可移动后缘襟翼。系统输入是相对于翼的襟翼角β，所述襟翼角β被用于控制相对于自由流动空气流的攻角α，并且两个输出测量值是翼重心的海拔高度h以及翼仰角α。输入α是高斯随机噪声以便提供持续激励来确保模型参数的可识别性。

在该文件中很好地记载了持续时间微分方程。在此，使用了源于所述持续时间微分方程的具体方程：

方程84

相应的参数还转载在表格1中。

表格1

参数变化系统的运行点由以kg/m³为单位的空气密度ρ(海拔高度的函数)以及以m/s为单位的相对于空气的飞机速度U定义。

为了证实LPV系统认证算法的目的，俯仰翼振颤仿真模型被用于在各种运行条件下以50Hz的样本率来仿真离散时间数据。这种LPV模型的优点在于，对于具体运行条件，系统是简单4状态振动系统。随着运行条件改变，两个模式的频率和阻尼改变，以使得在任何运行条件下表征系统变得简单。

对于俯仰振颤模型，两个参数变化函数是rp＝[ρU；ρU²]。在仿真时，空气密度以表格1中给出的值保持恒定，并且速度是从正斜率k到负斜率-k随机变换的渐变输入值U＝U_t＝kt，反之亦然。此外，U_t的最大和最小值被限制在u_t0±δu之间。另外，随机测量值和/或状态噪声还能够累加到上面的振颤仿真。示例性图6中示出了飞机的仿真速度分布图。

在该示例中，可以考虑没有噪声累加到仿真输出测量值或状态来在没有噪声存在的情况下确定系统认证准确性的仿真情形。在LPV系统认证中，对于每个可能的状态空间阶次ord，在示例性图7中，阶次ord的LPV状态空间模型被拟合到观测的仿真数据并且计算和绘制了模型拟合的赤池信息标准(AIC)测量值，图7示出了使用AIC、没有噪声的情形和真实4阶次的俯仰状态空间模型阶次选定。示例性图8中示出了超出4状态的真实状态阶次的尾部放大，图8是示出了使AIC增加超过阶次4的最小值的俯仰状态空间模型阶次选定(没有噪声情形)的详细视图。示例性图8示出了每个状态阶次增加大约40的AIC(稍微高于30)，如通过统计理论预测的，所述AIC的数量是每个状态阶次的15个参数的两倍。因此，超出状态阶次4的行为与随机游动的理论一致-也就是说没有超过4阶次的统计上重要的额外动态结构。

为了证实动态SS-LPV模型的相当大的保真度，在用于提提前20步预测的示例性图9(LPV状态空间模型提前20步预测的俯角与观测到的输出相比较，没有噪声的情形)和示例性图10(LPV状态空间模型提前20步预测的仰角与观测到的输出，没有噪声的情形)中相应地示出了输出俯角h和仰角α的多步预测，并且与观测到的输出相比较。在计算预测值时，提前20步的襟翼角输入β假设是已知的，并且提前20步视觉上是输出信号振荡的大约一个循环。400个时间样本的这种子组的准确性通常是20000个样本的完整数据组的典型代表。在400个样本中，飞机速度增加了大约百分之8。

观测的与预测的输出信号之间的唯一差异是俯仰仿真模型与提前20步迭代的被认证状态空间模型之间的非常小的差异的结果。应当注意的是，信号中没有明显的系统延迟或者波峰或波谷处的下冲(under-shoot)或过冲(over-shoot)。测量的输出与提前20步的预测之间的RMS误差为相应信号RMS的大约百分之1。这是非常了不起的，因为线性动态模型的参数随空气密度和空气速度的运行参数的非线性函数持续改变。实际上，高准确度是使用20000个观测值来估算4状态LPV状态空间模型的仅69个参数的结果。提前20步的预测对应于大约提前一个循环的预测。

现在考虑白测量噪声添加到仿真中来确定其影响的仿真情形。在LPV系统认证中，对于每个可能的状态空间阶次ord，阶次ord的LPV状态空间模型被拟合到观测的仿真数据。在示例性图11(使用AIC的俯仰状态空间模型阶次选定，测量噪声情形)中计算和描绘了模型拟合的AIC测量值，其中最小AIC实质上在状态阶次6处发生。示例性图12中示出了超出6状态的状态阶次的尾部放大，图12是示出了使AIC增加超过阶次6的最小值的俯仰状态空间模型阶次选定(测量噪声情形)的详细视图。这显示了每个状态阶次增加大约23的AIC(接近于通过统计理论预测的每个状态阶次15个参数的两倍数量)。这种行为与随机游动的理论一致。

类似于在之前的部分中的没有测量噪声的情形中，在示例性图11和12中示出了数据组的相同部分的提前20步预测。示例性图13示出了LPV状态空间模型提前20步预测的俯角与观测的输出(测量噪声的情形)，并且示例性图14示出了LPV状态空间模型提前20步预测的仰角与观测的输出(测量噪声的情形)。观测的输出与LPV状态空间模型提前20步预测的输出之间的差异主要是所添加的白测量噪声的结果。可以看到，提前20步预测提供了对测量噪声的平滑处理。应当注意的是，信号中没有明显的系统延迟或者波峰或波谷处的下冲或过冲。测量的输出与提前20步的预测之间的RMS误差为相应信号RMS的大约百分之10。这是非常了不起的，因为线性动态模型的参数随空气密度和空气速度的运行参数的非线性函数持续改变。实际上，高准确度是使用20000个观测值来估算6状态LPV状态空间模型的仅99个参数的结果。提前20步的预测对应于大约一个提前循环的预测。

在上面描述的没有测量噪声的第一情形中，选择的状态阶次是4状态的真实状态阶次，而在低测量噪声的情形中，最小值出现在状态阶次6附近。虽然仿真中的输入-输出状态阶次为真实阶次4，但是AIC计算决定了在该情形下在LPV状态空间模型中必须使用较高的状态阶次6以便在存在测量噪声的情况下获得动态的高准确性预测。统计子空间方法的额外优点是可以使用AIC作为阶次选定标准。

在另一个示例性实施方式中，可以使用在此描述的系统和方法来执行汽车发动机的实时认证和监测。监测汽车发动机的现有系统中的某些困难主要是由发动机动态的非线性(由于发动机运行条件的改变)导致的。然而，如在此示出的，许多动力系子系统被很好地近似化为线性参数变化(LPV)系统，所述线性参数变化系统被描述为具有反馈的时间不变线性系统，所述反馈与取决于运行条件的参数(可以实时测量或以其他方式获得)相乘。LPV结构在固定运行条件下具有线性动态，并且已示出为将许多已知的控制物理定律直接包含到动态模型的结构中。

所描述的子空间方法能够使用很好理解的线性时间不变子空间方法来对较大规模问题进行有效求解。额外的益处是对过程的状态阶次的严格确定(它对控制器实施是有价值的)。LPV形式的发动机子系统模型的认证可具有极大地提高准确性、极大地减少数据需求和对不包含在模型拟合数据中的情形进行外部差值的卓越能力的优点。在其他领域中的准确LPV模型的使用已导致全局控制器被设计成保证全局稳定性和改进性能的富余空间，以及使监测方法能检测之前没有碰到的运行条件下的变化和故障。潜在问题是可受益于最新开发的Quasi-LPV子空间方法的某些发动机模型的显著非线性。此外，为了实现潜在的高认证准确性，可使用每个大矩阵的SVD的四重准确计算(开始对实时发动机模型认证的实践)。

汽车发动机的准确建模在基于模型的发动机控制和监测方面具有巨大价值。几种方法当前可用于总体非线性以及/或者参数或时间变化的系统。在此论述的线性参数变化(LPV)模型具有下述优点：在固定的运行点动态为线性的并且LPV模型结构将问题简化为线性时间不变LTI块的认证。一旦确定了这种LTI块，通过用运行点处的预定函数缩放各种反馈信号来获得在任何运行点处的动态。具有非线性反馈的这种简单线性(LTI)结构具有用于模拟、系统认证、监测和控制的深远含义。

线性参数变化系统的概念是针对建模、系统认证、监测和控制的广泛应用的主要简化。该基本概念深入延伸到与系统动态行为相关的基本物理定律中。

许多物理结构具有当它们在许多不同运行条件下运行时显得非常复杂的简单子系统。通过一系列运行点将系统行为参数化的最新方法可以将系统描述为普通的线性时间不变(LTI)子系统以及作为运行条件的函数的非线性交互。这种系统的示例包括振动结构、飞机空气动力结构和化学过程等。

一个示例是具有线性动态的弹簧、质量块和阻尼系统。如果这是沿着道路行驶的车辆的一部分，那么响应很大程度上取决于车辆的速度。实际上，来自道路的力通过速度的函数被缩放。

更通常地，LTI子系统的状态和输入与运行条件的函数相乘并且被反馈回到LTI子系统中。动态响应保持为独立于速度的LTI，但是力取决于速度。这是LPV系统的基础结构。实际上，反馈缩放可以通过表达为运行条件的函数的物理定律来支配。

这种LPV结构是用于外部差值的理想程序。在非线性动态模型中，基础问题是存在很少被状态轨迹访问的状态空间部分。在没有用于外部差值的基础方法的情况下，将存在动态没有被很好地求近似的状态空间部分。LPV方法通过LPV模型根本地解决了这个问题，该LPV模型由涉及动态的LTI子系统以及涉及运行条件变化的反馈组成。

在此论述的标准变量分析(CVA)方法中实施的非线性系统认证方法基于线性参数变化(LPV)模型描述。可以使用这种示例的仿射状态空间LPV(SS-LPV)模型形式，因为它的参数简约性以及它在控制应用中的状态空间结构。用于初始模型拟合的ARX-LPV(自回归输入/输出)模型形式还扮演一种角色并且被首先论述。为了简化该发展型式，系统中的随机噪声未包含在某些论述中。

CVA-LPV程序中的第一步是通过高阶次ARX-LPV模型来对LPV过程求近似。如公知的并且经常做的那样，LPV动态系统可以通过下述形式的高阶次ARX-LPV系统来求近似：

方程85

这从过去输出y_t-i以及过去和可能的当前输入u_t-i的方面给出了时间t处的当前输出y_t的线性预测，其中

是ARX-LPV过程的阶次，并且v_t是具有协方差矩阵Σ_vv的白噪声过程。如果系统在输入与输出之间没有直接关联-即β₀＝0，则第二总和的下限等于1。

应当指出的是，调度函数ρ_t-i中的时间变换t-i与ARX-LPV方程85中的输入u_t-i和输出y_t-i中的那些相匹配。这不是随机的但是是必须的，以便避免将动态依赖性引入将从ARX-LPV模型导出的合成状态空间LPV的描述中。

应当注意的是，在方程85中，可以将参数变化函数ρ_t-i与常数矩阵系数α_i和β_i或者数据y_t和u_t相关联，即相乘。在第一情形中，结果是相应地与y_t-i和u_t-i相乘的参数变化系数

和

其中单位矩阵I_y和I_u的维度相应地是y和t的维度。在第二情形中，因为时间变换t-i在所有变量y_t-i、u_t-i和ρ_t-i中都相同，所以扩展数据

对每个时间t可以计算一次并且被用于所有随后的计算中。

PV与数据的关联允许将线性时间不变(LTI)系统的CVA子空间系统认证方法直接调整为包括LTI方法的所有计算和数字优点的LPV系统。具体地，ARX-LPV方程变成扩展数据中的LTI，并且ARX-LPV模型的系数估算值的计算与使用扩展数据的ARX-LTI模型几乎相同。具体地，来自扩展数据的系数矩阵α和β的估算涉及对严格线性方程求解。

考虑系统矩阵是调度参数ρ_t＝[ρ_t(1)；ρ_t(2)；...；ρ_t(s)]的向量的时间变化函数(还称为具有下述形式的参数变化(PV)函数)的线性系统：

x_t+1＝A(ρ_t)x_t+B(ρ_t)u_t

方程86

y_t＝C(ρ_t)x_t+D(ρ_t)u_t

方程87

在该示例中，像在多数文献中那样，认为仅LPV系统具有对A(ρ_t)＝ρ_t(1)A₁+…+ρ_t(s)A_s形式的调度参数的仿射依赖，并且对于B(ρ_t)、C(ρ_t)和D(ρ_t)来说情况也类似。在此，参数变化矩阵(Aρ_t)表达为由常数矩阵A＝[A₁ … A_s]的ρ_t＝[ρ_t(1)；ρ_t(2)；...；ρ_t(s)](称为仿射形式)表示的线性组合，并且对于B、C和D来说情况也类似。

为了将论述简化，LPV方程可以通过将调度参数ρ_t与跟ARX-LPV情形类似的输入u_t和状态x_t关联来以多种更简洁的形式书写，以便获得下述形式：

方程88

其中

将针对任何矩阵M和N定义的Kronecker积

表示为由块i、j组成的分块矩阵

其中M的i、j元素表示为m_i，j，并且[M；N]＝(M^T N^T)^T表示将向量或矩阵M和N堆叠。

LPV系统认证的其他可用方法涉及迭代非线性优化和非线性子空间方法，在所述非线性子空间方法中计算时间随着输入、输出、状态和调度函数的大小-即模型复杂性的线性增长以指数方式增长。通过使用这些新LTI子空间方法来认证LPV系统，可以避免这些困难。

用于气体发动机空气-燃料比率模拟的示例性数据可用于具有等大双凸轮相位器的6.2升V8发动机。所研究的子系统涉及如示例性图15的方框图中示出的进气歧管(IM)和燃料/兰姆达路径的LPV模型。该方框图具有两个动态LPV块(1002和1004)，所述两个动态LPV块与静止非线性块相互连接并且后面跟着延迟块。这些动态LPV模型在下面被更详细地论述。

策略可以是确定具有LPV结构的动态块，该LPV结构具有可测量的输入和输出变量以及已知或可准确测量的运行条件。此外，可以假设这些块的输入没有显著噪声。随后使用CVA-LPV系统认证方法，这些LPV动态输入/输出块是可以通过足够输入激励认证的，因为这些方法是最大概率的并且是最佳的。

使用CVA LPV子空间方法能够获得参数估算的非常高的准确性，但是为了实现准确性，可能需要使用多于30个小数位的四重(Quad)精度。甚至对于1个输入、2个输出、4个状态和2个调度函数的简单飞机振颤问题，通过500X 20000的数据矩阵的SVD以双精度方式计算的标准相关性产生了大于0.999999999的标准相关性，所述双精度保持小于6个小数位并且经常小于4个小数位。这种计算可以在5分钟内完成，或者明显更快地完成-例如使用当前可用的图形处理单元(GPU)硬件在5秒内完成。

关于燃烧发动机的第二个问题是潜在的大的非线性问题，使得系统不是严格LPV而是Quasi-LPV。所述非线性将直接通过广泛使用的状态空间发动机仿真模型来示出。这意味着发动机模型实际上是双线性或多项式的，它涉及类调度函数(该类调度函数是输入u_t、输出y_t和/或x_t的动态变量的函数)。最新开发的LPV CVA子空间系统认证方法被延伸到Quasi-LPV情形。

如下面论述的，两个不同的方法被用于确定参数变化调度函数ρ_t。在第一种情形中，可以使用计算状态空间系数矩阵的时间变化元素的非线性仿真来完成函数数值的计算。第二种情形可以是不同方程的系数的非线性函数形式的分析确定。

在示例性图15中示出了简化的进气歧管，所述进气歧管包括流动块以及作为节门动态的一部分的电子节气门。电子节气门由电机驱动并且由专用控制器局部控制，所述专用控制器可以通过第二阶次线性系统模拟。这种额外的LPV系统还从输入节气门角设定点TA_SP到由节门位置传感器TPS测量的输出节门角α被容易地模拟。

输入是歧管节气门空气流

还表示为MAF，而节气门热流

是下面的T_im表达式的简单函数。矩阵(A、B、C、D)的元素明确地表达为多个温度、压力、质量流、发动机RPM、输入节气门命令和采样时间间隔的参数变化(PV)调度函数。这些调度函数具有相当大的非线性。因为仿真链接模型(Simulink Model)的可用性，可能不需要明确地实施这些调度函数的计算，因为它们在仿真模型中隐含地是可用的。此外，进气歧管模型中具有针对温度测量值T_im，meas的额外状态。

如示例性图15中示出的，进气歧管开环动态模型表达为3阶次的LPV状态空间模型，该模型涉及进气歧管压力P_im、进气歧管温度T_im和测量的进气歧管温度T_im，meas的状态，并且在下面表达为差分方程：

方程89

方程90

方程91

T_{im，meas，n+1}＝a_TT_{im，meas，n}+b_T[P_im，n；T_im，n]

方程92

其中

是T_im的代替物并且表达来自进气歧管的热传送率，并且最后一个方程表达温度传感器离散时间动态模型。

状态方程中的变量是上游压力(环境)P_a、上游温度(环境)T_a、冷却剂温度T_coolant、下游压力(进气歧管)P_im、干燥空气的比热率k和干燥空气的理想气体常数R_air。

应当注意的是，与状态歧管下游压力P_im、歧管空气温度T_im、测量的歧管空气温度T_im，meas和替代的热传送率

相乘的系数是状态方程的A矩阵的对应元素。类似地，与输入节气门质量空气流

相乘的系数对应于B矩阵。与

关联的系数具体涉及输入、输出和状态的动态变量。

认证进气歧管的策略是获得高准确性输入

其示出为图15中的MAF。这种可行性已针对所有非常特殊的情形被核实。输入

作为节气门静态非线性的输被获得，节气门静态非线性的输入是图1所示的节门位置传感器(TPS)和P_im的反馈。子空间LPV系统认证将随后获得进气歧管的非偏置开环动态模型，该模型的输出是P_im、T_im和T_im，meas。

仿真链接模型描述节气门/进气歧管的离散时间线性化状态空间模型，该模型是具有下述形式的时间变化3状态系统。

连续时间电子节气门(ET)模型是线性时间不变系统。对应的离散时间模型参数将随着发动机速度改变，其中采样时间段T_s，n以T_s，n＝120/(8N_n)的取值与发动机速度N_n相关，其中在离散事件n时N_n以每分钟转数为单位。

如下面所示的，这意味着，电子节气门离散时间模型是具有参数变化函数T_s，n的用于大样本A_ET，n＝I+F_ETT_s，n和B_ET，n＝G_ETT_s，n的一阶渐进LPV，其中F_ET是对应于A_ET，n的连续时间状态过渡矩阵，并且对于B_ET，n和G_ET情况也类似。因此，采样时间段T_s，n是通过考虑A_n的元素获得的调度函数中的一个。

TPS、

和T_im的输出测量值是通过直接测量相应状态加上测量噪声获得的，使得C矩阵是常数。

D矩阵是零。

节气门/进气歧管仿真链接模型从可获得的运行点变量方面明确地计算离散时间状态过渡矩阵A_n的元素。下面论述的这些数据组中独特的一个小组明确了LPV模型的调度函数。

仿真链接LPV模型可以计算状态空间模型矩阵A_n中的每个元素，所述状态空间模型矩阵A_n明确地提供LPV模型的一组参数变化函数。通过计算A_n的所有25个元素中的相关性矩阵确定的所有的可能的元素中具有某些冗余。表格2将这些元素表示为常数C、具有高度相关性的副本D或者独特代表U。常数C具有0到机器精度的标准偏差。多组副本元素具有0.9908的相关性系数，所以第一个被用作独特代表U并且第二个被用作副本D。元素a_2，1、a_2，4、a_3，1、a_4，4据具有相关性1，其中a_3，1被用作独特代表U，并且对于a_5，1、a_5，2情况也类似，其中a_5，1为独特代表U。其他独特元素是a_2，2和a_3，2。向量中的所有独特元素[a_1，1；a_2，2；a_3，1；a_3，2；a_5，1]中的相关性矩阵都在表格3中示出。

U	D	C	C	C
					D	U	C	D	C
U	U	C	C	C
					C	C	C	D	C
U	D	C	C	C

表格2

	a<sub>1，1</sub>	a<sub>2，2</sub>	a<sub>3，1</sub>	a<sub>3，2</sub>	a<sub>5，1</sub>
						a<sub>1，1</sub>	1.0000	-0.1481	-0.3861	-0.1583	0.0647
a<sub>2，2</sub>	-0.1481	1.0000	0.7659	0.8664	0.7796
						a<sub>3，1</sub>	-0.3861	0.7659	1.0000	0.9410	0.5616
a<sub>3，2</sub>	-0.1583	0.8664	0.9410	1.0000	0.7639
						a<sub>5，1</sub>	0.0647	0.7796	0.5616	0.7639	1.0000

表格3

表格4中给出了针对延迟补偿发动机仿真链接模型的对应于各种子系统动态的参数变化函数。

图13中示出了完整的进气歧管和燃料/兰姆达子系统。进气歧管为气缸内的燃烧提供空气，所述空气用可变气缸充气量CAC_s，n定量，同时在燃料喷射器和膜动态块中提供燃料，所述燃料定量为燃料脉宽FPW_s，n。控制的关键量是空气-燃料比率，所述空气-燃料比率表示为λ_s，n并且在催化转化器之前在排出气体中测量，其中燃料-空气比率称为兰姆达倒数并且表示为λ_INV，n。燃料喷射量FPW和λ_INV，n的测量值两者都涉及图15中表示的实质性延迟。

为了消除延迟，燃料喷射器和膜动态块的输入燃料脉宽FPW可以相对于时间基础T_s，n延迟6个事件，因此表达为FPW_s，n-6。还应当注意的是，由于12个事件的排出气体传输延迟，兰姆达倒数传感器动态块中的时间基础是比输入CFC提前12个事件。因此，通过消除CFC的12个延迟并且将块中的时间基础提前12个事件，就会产生相同的结果，除了输出λ_inv，n+12被提前12个事件。这就移除了延迟并且将保持了每个块内的动态。另外，进入兰姆达倒数传感器动态块的参数变化函数也需要提前12个事件。

当使用子空间系统认证方法时，延迟的移除是系统认证问题的主要简化。因为6加12个事件的延迟总共为18个事件，所以所述延迟将状态阶次从没有延迟的5状态增加到具有延迟的23状态。使用子空间认证方法的计算时间将随着状态阶次的立方而增加。

使用上面的简化来移除FPW和λ中的纯延迟，这允许燃料兰姆达路径被表达为2状态系统：

方程93

方程94

该2状态燃料兰姆达路径子系统中的输入是FPW中的偏置FPW_off，n，输出是测量的兰姆达倒数λ_INV，n+12，并且状态是燃料壁的质量m_w，n和λ_INV，n+12。参数τ和X是取决于运行条件的过程参数。

表格4中给出了方程93和94的2状态燃料兰姆达模型的参数变化函数。应当注意的是，该表格的(3)和(4)行中的PV函数涉及具有不同时间延迟的因数的乘积。这可以看作是不寻常的，而是此处在延迟的LPV动态系统的背景中严格地开发。因此，LPV表达式也可以是用于从延迟的离散时间LPV系统去除延迟的有力工具，并且可以相当大地降低状态阶次。最终，在这种具有12个事件的延迟的系统的输出λ_INV，n+12之后，产生了延迟的输出λ_INV，n。

表格4

在该示例中，给出了应用LPV系统的系统认证新方法、通过测量的数据来模拟汽车发动机。过去的LPV系统认证方法仅用于具有很少的动态变量和很少的调度函数的系统。LTI子空间认证方法被潜在地缩放成更大且复杂的LPV和Quasi-LPV系统。

本发明还参照这些示例性实施方式提供了高保真LPV发动机仿真链接模型的详细研究。所论述的两个子系统是进气歧管和燃料兰姆达路径。采用了两个不同方法，一个涉及计算调度函数的仿真链接模型的使用，而另一个直接使用构成仿真链接模型的基础的分析表达式。

存在两个主要问题，这些问题对某些LPV模型类型以及某些发动机子系统而言是典型的。进气歧管的非线性程度很高，这意味着调度函数是输入、输出和/或状态的动态变量的函数，而非已知的外源性运行条件变量的线性函数。这会将大的估算误差潜在地引入到认证程序中。另一个问题是，可能会有极高的准确性，因为调度函数通过关于高度复杂的发动机行为的相当多的信息被编码。因此，能够以非常高的准确性来潜在地估算某些发动机参数。但是，利用这点需要执行四重精度的计算。

前面的描述和附图示出了本发明的原理、优选实施方式和运行模式。然而，本发明不应被理解被受限于上面论述的具体实施方式。所属领域技术人员将能理解上面论述的实施方式的额外变型。

因此，上面描述的实施方式应当被认为是示例性的，而非限制性的。另外，应当理解的是，在不偏离由所附权利要求限定的本发明的范围的情况下，所属领域技术人员可以做出那些实施方式的变型。

Claims (9)

1.一种通过感测到的数据形成用于机器行为的动态模型的方法，包括：

通过至少一个传感器观测运行中的机器；

通过所述至少一个传感器记录关于所述运行中的机器的至少一个特性的数据；

将自动回归输入-输出非线性参数变化动态模型和自动回归输入-输出线性参数变化动态模型中的至少一个拟合到所记录的机器数据；

通过采用拟合的自动回归输入-输出非线性参数变化动态模型和拟合的自动回归输入-输出线性参数变化动态模型中的至少一个，从未来输出中去除未来输入的影响以便生成修正的未来输出；

在所述拟合的自动回归输入-输出非线性参数变化动态模型和所述拟合的自动回归输入-输出线性参数变化动态模型中的至少一个的修正的未来输出与过去的输出之间执行标准变量分析(CVA)以便减少所述拟合的自动回归输入-输出非线性参数变化动态模型和所述拟合的自动回归输入-输出线性参数变化动态模型中的至少一个的计算量；

基于所述标准变量分析的执行来构建动态状态空间非线性参数变化动态模型和动态状态空间线性参数变化动态模型中的至少一个；

生成机器行为的动态模型；以及

基于生成的机器行为动态模型控制和/或修改机器动态响应特性，其中所述标准变量分析通过下列方程执行：

其中，y_t是当前输出的线性预测值，α_i和β_i是常数矩阵系数，ρ_t-i是参数变化调度函数，y_t-i是过去输出，u_t-i是过去以及可能的当前输入，t是时间，v_t是具有协方差矩阵的白噪声过程，l是自动回归输入-输出线性参数变化动态模型或自动回归输入-输出非线性参数变化动态模型的阶次。

2.根据权利要求1所述的通过感测到的数据形成用于机器行为的动态模型的方法，其中所述机器是燃烧发动机。

3.根据权利要求1所述的通过感测到的数据形成用于机器行为的动态模型的方法，其中所述机器是飞机。

4.根据权利要求1所述的通过感测到的数据形成用于机器行为的动态模型的方法，其中所述机器是振动结构。

5.根据权利要求1所述的通过感测到的数据形成用于机器行为的动态模型的方法，其中所述机器是汽车悬架。

6.根据权利要求1所述的通过感测到的数据形成用于机器行为的动态模型的方法，进一步包括：

隔离机器行为的特性。

7.根据权利要求6所述的通过感测到的数据形成用于机器行为的动态模型的方法，其中被隔离的机器行为的特性是振动。

8.根据权利要求6所述的通过感测到的数据形成用于机器行为的动态模型的方法，进一步包括修改所述机器的控制系统计算机中的一个或多个信号。

9.根据权利要求8所述的通过感测到的数据形成用于机器行为的动态模型的方法，其中所述机器的控制系统计算机中的一个或多个信号通过反馈被修改，所述反馈包括被隔离的机器行为特性的负值。

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