CN105762820A - 一种匹配虚拟同步机储能容量的惯量配置方法 - Google Patents

Abstract

一种匹配虚拟同步机储能容量的惯量配置方法，属于惯量匹配技术领域。根据虚拟同步机转子运动方程和虚拟同步机输出有功功率表达式求得电网频率与输出有功功率之间的小信号模型，得到在电网频率变化时虚拟同步机输出有功功率的最大值，即储能需配置的功率。并由此提出了虚拟同步机储能容量与虚拟惯量的匹配方法。实现了储能容量与虚拟惯量间的优化配置，为虚拟同步机技术的应用和发展提供重要的方法。

Description

一种匹配虚拟同步机储能容量的惯量配置方法

技术领域

本发明属于惯量匹配技术领域，尤其是涉及一种匹配虚拟同步机储能容量的惯量配置方法。

背景技术

近年来，由于能源问题和环境压力的不断增大，诸如光伏发电、风力发电等分布式发电形式得到了快速发展。逆变器在电力系统的渗透率愈来愈高，导致传统电力系统结构发生了巨大的变化。为解决分布式电源接入带来的电力系统低惯性、低阻尼问题，有学者提出了虚拟同步机(VirtualSynchronousMachine,VSM)的概念，近些年对VSM的研究表明，VSM可有效增加电力系统的惯性和阻尼，抑制电力系统的振荡，增强电力系统的稳定性。而系统的惯性和阻尼需要通过储能系统提供，因而VSM的储能容量配置与惯量匹配问题亟待解决。

目前国内外学者针对虚拟同步机惯量和阻尼选取方法取得的研究成果：

(1)由曾正等发表于《电力系统自动化》2015年第39卷第13期22-31页，题为“虚拟同步发电机的模型及储能单元优化配置”的论文，该论文通过理论计算，利用储能单元平抑可再生能源出力设计了虚拟同步发电机的储能单元优化配置方法，并未提出一套惯量匹配的方法。

(2)由程冲等发表于《电力系统自动化》2015年第39卷第19期82-89页，题为“虚拟同步发电机的转子惯量自适应控制方法”，以及由JaberAlipoor等发表于《IEEEJOURNALOFEMERGINGANDSELECTEDTOPICSINPOWERELECTRONICS》,2015年第3卷第2期451-458页，题为“PowerSystemStabilizationUsingVirtualSynchronousGeneratorWithAlternatingMomentofInertia”的文章，通过对频率的监测，实现了虚拟惯量值跟随频率实时变化，但该方法未计及阻尼因子对系统的影响，存在局限性。

(3)由M.A.TorresL等发表于《IEEETransactionsonEnergyConversion》，2014年第29卷第4期833页-840页，题为“Self-TuningVirtualSynchronousMachine:AControlStrategyforEnergyStorageSystemstoSupportDynamicFrequencyControl”的文章，提出了一种通过实时监测负载侧频率的方法控制储能单元的充放电，并以此提供实时的虚拟惯量和阻尼，实现了储能系统的充放电优化控制。

综上所述，现有的研究成果未提出明确有效的匹配虚拟同步机储能容量的惯量配置方法。本发明提出了一种新的虚拟同步机储能容量配置方法，并在此基础上考虑虚拟惯量与阻尼因子等参数的配合，提出了一种匹配虚拟同步机储能容量的惯量配置方法。

发明内容

本发明的目的在于提供一种匹配虚拟同步机储能容量的惯量配置方法，解决了虚拟同步机储能容量的配置及其为系统所提供惯量大小的问题。

本发明根据虚拟同步机转子运动方程和虚拟同步机输出有功功率表达式求得频率与输出有功功率之间的小信号模型，并以此得到虚拟同步机输出有功功率的最大值，即储能需配置的功率。并由此提出了虚拟同步机储能容量与虚拟惯量的匹配方法。实现了储能容量与虚拟惯量间的优化配置，为虚拟同步机技术的应用和发展提供重要的方法。

由附图1所示的虚拟同步机与同步发电机的等效关系图，虚拟同步机是通过控制方法实现逆变器虚拟同步运行的一种方法，为系统提供惯性和阻尼，提高系统的稳定性。

步骤1：与同步发电机类似，虚拟同步机的转子运动方程可写作：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d\mathrm{\δ}}{dt}=\mathrm{\ω}-{\mathrm{\ω}}_{bus}\\ P_m-P_e={\mathrm{J\ω}}_0\frac{d\mathrm{\ω}}{dt}+{\mathrm{D\ω}}_0(\mathrm{\ω}-{\mathrm{\ω}}_{bus})\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中P_m为机械功率；P_e为电磁功率；J为虚拟惯量；D为虚拟阻尼因子；ω虚拟转子角频率；δ为VSM功角；ω_bus为负载所在母线频率；ω₀为额定转子角频率。本发明中VSM的极对数为1。

步骤2：根据步骤1的转子运动方程，在负载变化频率发生波动时，假设机械功率不变，可由式(1)得到小信号模型。

$-{\mathrm{\ΔP}}_e={\mathrm{J\ω}}_0\frac{d\mathrm{\Δ}\mathrm{\ω}}{dt}+{\mathrm{D\ω}}_0(\mathrm{\Δ}\mathrm{\ω}-{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus})---\left(2\right)$

步骤3：对步骤2中结果，做拉普拉斯变换可得：

-ΔP_e(s)＝Jω₀sΔω(s)+Dω₀(Δω(s)-Δω_bus(s))(3)

步骤4：求虚拟同步机输出有功功率表达式，如下步骤5、步骤6所示。

步骤5：由基本的电路定律求解VSM的输出电流:

$\stackrel{\·}{I}=\frac{E\∠\mathrm{\δ}-U}{R+j\mathrm{\ω}L}---\left(4\right)$

其中E为VSM的电势,U为VSM的机端电压。

步骤6：求解VSM输出的视在功率:

$\begin{array}{c}S=U{\stackrel{\·}{I}}^{*}\\ =U\frac{E\∠(-\mathrm{\δ})-U}{R-j\mathrm{\ω}L}\\ =\frac{EU\∠(-\mathrm{\δ})-U^2}{Z\∠-\mathrm{\α}}=\frac{EU}{Z}\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\δ})+j\frac{EU}{Z}\sin (\mathrm{\α}-\mathrm{\δ})-\frac{U^2}{Z}\cos \mathrm{\α}-j\frac{U^2}{Z}\sin \mathrm{\α}\\ =P+jQ\end{array}---\left(5\right)$

一一对应可求得VSM输出有功功率和无功功率的表达式：

$\left\{\begin{array}{c}P=EU\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\δ})/Z-U^2\cos \mathrm{\α}/Z\\ Q=EU\sin (\mathrm{\α}-\mathrm{\δ})/Z-U^2\sin \mathrm{\α}/Z\end{array}\right.---\left(6\right)$

*表示复数运算，P为VSM输出的有功功率，Q为VSM输出的无功功率。

步骤7：求解步骤6其中滤波电路的阻抗Z和阻抗角α：

$\left\{\begin{array}{c}Z=\sqrt{{\left(\mathrm{\ω}L\right)}^2+R^2}\\ \mathrm{\α}={\tan }^{-1}(\mathrm{\ω}L/R)\end{array}\right.---\left(7\right)$

步骤8：当P＝P_ref，Q＝Q_ref时，其中P_ref、Q_ref分别为VSM输出有功功率的参考值、输出无功功率的参考值，由步骤6可求得此时对应的VSM电势E_s和VSM的功角δ_s：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_s=\mathrm{\α}-{\tan }^{-1}\left(\frac{Q_{ref}+U^2\sin \mathrm{\α}/Z}{P_{ref}+U^2\cos \mathrm{\α}/Z}\right)\\ E_s=\frac{Q_{ref}Z+U^2\sin \mathrm{\α}}{U\sin (\mathrm{\α}-{\mathrm{\δ}}_s)}\end{array}\right.---\left(8\right)$

步骤9：由步骤6中的表达式可得P_e小信号模型：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔP}}_e=\frac{EU}{Z}\[cos(\mathrm{\α}-\mathrm{\δ}-\mathrm{\Δ}\mathrm{\δ})-cos(\mathrm{\α}-\mathrm{\δ})\]\\ =\frac{EU}{Z}\[\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\δ})\cos \left(\mathrm{\Δ}\mathrm{\δ}\right)+\sin (\mathrm{\α}-\mathrm{\δ})\sin \left(\mathrm{\Δ}\mathrm{\δ}\right)-\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\δ})\]\end{array}---\left(9\right)$

由于功角的变化量很小，即Δδ→0,cos(Δδ)→1,sin(Δδ)→Δδ，步骤9可化简为：

${\mathrm{\ΔP}}_e=\frac{EU}{Z}sin(\mathrm{\α}-\mathrm{\δ})\mathrm{\Δ}\mathrm{\δ}---\left(10\right)$

步骤10：对步骤9中表达式进行拉普拉斯变换可得频域中二者的关系：

${\mathrm{\ΔP}}_e\left(s\right)=\frac{EU}{Z}sin(\mathrm{\α}-\mathrm{\δ})\mathrm{\Δ}\mathrm{\δ}\left(s\right)---\left(11\right)$

令同步功率系数S_E＝EUsin(α-δ)/Z.

步骤11：由步骤1中表达式可得小信号模型：

$\frac{d\mathrm{\Δ}\mathrm{\δ}}{dt}=\mathrm{\Δ}\mathrm{\ω}-{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}---\left(12\right)$

步骤12：对步骤11中的表达式做拉普拉斯变换可得：

sΔδ(s)＝Δω(s)-Δω_bus(s)(13)

步骤13：由步骤3、10、11中的表达式可得VSM的传递函数模型，输出功率变化量ΔP_e与电网频率Δω_bus之间的关系如下：

$\frac{{\mathrm{\ΔP}}_e\left(s\right)}{{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}\left(s\right)}=-\frac{{\mathrm{J\ω}}_0{S}_{E}s}{{\mathrm{J\ω}}_0{s}^2+Ds+S_E}---\left(14\right)$

步骤14：当电磁功率在频率ΔP_e发生Δω_bus的阶跃时，根据步骤13中的传递函数，求得此时输出功率变化量ΔP_e:

${\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}\left(s\right)=\frac{{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}}{s}$

${\mathrm{\ΔP}}_e\left(s\right)=-\frac{S_{E}s}{s^2+Ds/\left({\mathrm{J\ω}}_0\right)+S_E/\left({\mathrm{J\ω}}_0\right)}\frac{{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}}{s}---\left(15\right)$

步骤15：令步骤14表达式的分母为零，可求得两个极点s₁,根据D²与4Jω₀S_E的大小关系，极点分为以下三种情况：D²小于4Jω₀S_E时，有两个实部为负的共轭复数根；D²大于4Jω₀S_E时，有两个不相等的负实数根；D²等于4Jω₀S_E时，有两个相等的负实数根。所求得的在频率变化时ΔP_e.max的表达式即为储能所需配置的最小功率。

步骤16：当步骤14中表达式有两个实部为负的共轭复极点时，对步骤14中表达式拉普拉斯反变换ΔP_e可写作：

${\mathrm{\ΔP}}_e=-\frac{2S_E{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}{\mathrm{J\ω}}_0{e}^{-\frac{D}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t}sin\left(\frac{A}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t\right)}{A}---\left(16\right)$

其中

步骤17：将步骤16中表达式对时间求导可得:

$\frac{{\mathrm{d\ΔP}}_e\left(t\right)}{dt}=\frac{S_E{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}{\mathrm{De}}^{-\frac{D}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t}\sin \left(\frac{A}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t\right)}{A}-S_E{\mathrm{\Δ\ωe}}^{-\frac{D}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t}\cos \left(\frac{A}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t\right)---\left(17\right)$

步骤18：令步骤17中表达式等于零，可求得时间t的表达式：

$t=\frac{2{\mathrm{J\ω}}_{0}arctan(A/D)}{A}---\left(18\right)$

步骤19：将步骤18中的t代入步骤16可得ΔP_e.max为

${\mathrm{\ΔP}}_{e.max}=-\sqrt{{\mathrm{J\ω}}_0{S}_E}{e}^{-\frac{Darctan(A/D)}{A}}{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}---\left(19\right)$

步骤20：当步骤14中的表达式有两个不相等的负实数极点时，对其式拉普拉斯反变换ΔP_e可写作：

${\mathrm{\ΔP}}_e=-\frac{2S_E{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}{\mathrm{J\ω}}_0{e}^{-\frac{D}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t}\sinh \left(\frac{B}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t\right)}{B}---\left(20\right)$

其中

步骤21：将步骤20中的式对时间求导可得:

$\frac{{\mathrm{d\ΔP}}_e\left(t\right)}{dt}=\frac{S_E{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}{\mathrm{De}}^{-\frac{D}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t}\sinh \left(\frac{B}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t\right)}{B}-S_E{\mathrm{\Δ\ωe}}^{-\frac{D}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t}\cosh \left(\frac{B}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t\right)---\left(21\right)$

步骤22：令步骤21中式等于零，可得时间t的表达式:

$t=\frac{ln\left(\frac{B+D}{-B+D}\right){\mathrm{J\ω}}_0}{B}---\left(22\right)$

步骤23：将步骤22中式代入步骤20中表达式可得ΔP_e.max为

${\mathrm{\ΔP}}_{e.\max }=\frac{-2{\mathrm{\ω}}_0{S}_E{e}^{-\frac{D\ln \left(\frac{B+D}{-B+D}\right)}{2B}}\sinh \left(\frac{1}{2}\ln \left(\frac{B+D}{-B+D}\right)\right){\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}}{B}---\left(23\right)$

步骤24：当步骤14式有两个相等的负实数根时，对式拉普拉斯反变换ΔP_e可写作：

${\mathrm{\ΔP}}_e=-S_E{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}{\mathrm{te}}^{-\frac{D}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t}---\left(24\right)$

步骤25：将步骤24中式对时间求导可得:

$\frac{{\mathrm{d\ΔP}}_e\left(t\right)}{dt}=-S_E{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}{e}^{-\frac{D}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t}+\frac{S_E{\mathrm{\Δ\ωDte}}^{-\frac{D}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t}}{2{\mathrm{J\ω}}_0}---\left(25\right)$

步骤26：令步骤25中表达式等于零，可得时间t的表达式：

$t=\frac{2{\mathrm{J\ω}}_0}{D}---\left(26\right)$

步骤27：将步骤26中式代入步骤24中表达式可得ΔP_e.max为

${\mathrm{\ΔP}}_{e.max}=\frac{-2{\mathrm{J\ω}}_0{S}_E{e}^{-1}{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}}{D}---\left(27\right).$

求得步骤14中电网频率变化量与虚拟同步机输出功率变化量最大值(即储能所需配置的容量)之间的传递函数表达式，该式明确给出了电网频率变化量与储能容量之间严格的数学关系。

步骤15所述可将系统分为三类，根据步骤14所得表达式的分母等于零时根的类型对系统进行分类。

步骤15除储能容量外其他的条件均已知时，可由步骤15对已知条件所属类型分类，再依据步骤19、步骤23、步骤27中的表达式获得储能所需配置的容量。

步骤15除储能容量和电网允许的最大频率变化量外其他的条件均已知时，可由步骤15对已知条件分类，再依据步骤19、步骤23、步骤27中的表达式和电网允许的最大频率变化量获得储能所需配置的最大容量。

步骤19、步骤23、步骤27储能容量与虚拟惯量之间的表达式，当除虚拟惯量外其他的条件均已知时，可由步骤19、步骤23、步骤27中的表达式求得相应的虚拟惯量。根据电力系统稳定运行的要求一般选择步骤15中有两个实部为负的共轭复极点情况。

本发明的有益效果在于，通过该方法可以获得如步骤19、步骤23、步骤27所示的虚拟同步机储能容量ΔP_e.max与惯量J之间的关系，在其储能容量给定及其他参数已知的前提下，根据储能容量大小可获得合理的惯量，为虚拟同步机提供了一种有效的惯量匹配方法。

附图说明

图1虚拟同步机与同步发电机的等效关系图。

图2频率阶跃0.5Hz时不同惯量下的VSM输出有功功率响应图。

图3惯量J与储能配置容量间的关系。

具体实施方式

下面结合具体实例对本发明作进一步的详细说明。

例：一台额定功率S_n的50kVA的虚拟同步机，滤波电感和电阻分别为L＝2mH、R＝0.1Ω，电网电压为U＝190V，频率f0为50Hz，虚拟惯量D＝500kg·m²/s,并网功率指令值P_ref和Q_ref分别为5kW和0var，频率波动为0.5Hz.

(1)由已知滤波电感和电阻求其阻抗及阻抗角：

(2)由已知的电网电压，并网有功功率指令值P_ref和无功功率指令值Q_ref求得功角和电势：

(3)求同步功率系数：

(4)将上述已知的阻尼因子D、额定转子角频率314rad/s、频率变化量0.5Hz及功率同步系数代入步骤15中D²和4Jω₀S_E可知当J＝0.01kg·m²，J＝0.02kg·m²，J＝0.03kg·m²时D²＝250000，此时4Jω₀S_E分别为704038、1408076、2112114，可见D²小于4Jω₀S_E，满足第一种情况的要求。

(5)将上述已知的阻尼因子D、额定转子角频率314rad/s、频率变化量0.5Hz、功率同步系数即虚拟惯量J代入步骤16表达式可得ΔP_e(t)，数据代入式步骤19表达式可求得ΔP_e.max：

当J＝0.01kg·m²时，ΔP_e(t)＝-1640.4e^-79.6tsin(107.3t)，|ΔP_e.max|＝659.5W.

当J＝0.02kg·m²时，ΔP_e(t)＝-2054.3e^-39.8tsin(85.7t)，|ΔP_e.max|＝1099.1W.

当J＝0.03kg·m²时，ΔP_e(t)＝-2430.0e^-26.5tsin(72.4t)，|ΔP_e.max|＝1459.4W.

由此可得附图2所示的频率阶跃0.5Hz时不同惯量下的VSM输出有功功率响应图，由此可见当惯量J增大时，储能配置的容量需要相应增大。

(6)将已知的阻尼因子D、额定转子角频率314rad/s、频率变化量0.5Hz及功率同步系数代入步骤19表达式，可得储能单元配置容量与虚拟惯量J之间的表达式：

${\mathrm{\ΔP}}_{e.max}=-13173.4\sqrt{J}{e}^{-\frac{500arctan\left(\frac{\sqrt{70403824J-250000}}{500}\right)}{\sqrt{70403824J-250000}}}---\left(28\right)$

(7)当J在0.01～1kg·m²间变化时，作上式的图像，如附图3所示虚拟惯量J与储能配置容量间的关系图，由附图3可见，当其他参数固定时，储能配置容量与虚拟惯量J之间是如附图3关系。

(8)若已知储能容量为5000W，由附图3即可得到此时对应的J＝0.021kg·m²。

Claims (1)

1.一种匹配虚拟同步机储能容量的惯量配置方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：与同步发电机类似，虚拟同步机的转子运动方程可写作：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d\mathrm{\δ}}{dt}=\mathrm{\ω}-{\mathrm{\ω}}_{bus}\\ P_m-P_e={\mathrm{J\ω}}_0\frac{d\mathrm{\ω}}{dt}+{\mathrm{D\ω}}_0(\mathrm{\ω}-{\mathrm{\ω}}_{bus})\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中P_m为机械功率；P_e为电磁功率；J为虚拟惯量；D为虚拟阻尼因子；ω虚拟转子角频率；δ为VSM功角；ω_bus为负载所在母线频率；ω₀为额定转子角频率；VSM的极对数为1；

步骤2：根据步骤1的转子运动方程，在负载变化频率发生波动时，假设机械功率不变，可得到小信号模型：

$-{\mathrm{\ΔP}}_e={\mathrm{J\ω}}_0\frac{d\mathrm{\Δ}\mathrm{\ω}}{dt}+{\mathrm{D\ω}}_0(\mathrm{\Δ}\mathrm{\ω}-{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus})---\left(2\right)$

步骤3：对步骤2中结果做拉普拉斯变换得：

-ΔP_e(s)＝Jω₀sΔω(s)+Dω₀(Δω(s)-Δω_bus(s))(3)

步骤4：求虚拟同步机输出有功功率表达式，如下步骤5、步骤6所示；

步骤5：由基本的电路定律求解VSM的输出电流；

$\stackrel{\·}{I}=\frac{E\∠\mathrm{\δ}-U}{R+j\mathrm{\ω}L}---\left(4\right)$

其中E为VSM的电势,U为VSM的机端电压；

步骤6：求解VSM输出的视在功率:

$\begin{array}{c}S=U{\stackrel{\·}{I}}^{*}\\ =U\frac{E\∠(-\mathrm{\δ})-U}{R-j\mathrm{\ω}L}\\ =\frac{EU\∠(-\mathrm{\δ})-U^2}{Z\∠-\mathrm{\α}}=\frac{EU}{Z}\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\δ})+j\frac{EU}{Z}\sin (\mathrm{\α}-\mathrm{\δ})-\frac{U^2}{Z}\cos \mathrm{\α}-j\frac{U^2}{Z}\sin \mathrm{\α}\\ =P+jQ\end{array}---\left(5\right)$

一一对应可求得VSM输出有功功率和无功功率的表达式：

$\left\{\begin{array}{c}P=EUcos(\mathrm{\α}-\mathrm{\δ})/Z-U^{2}cos\mathrm{\α}/Z\\ Q=EUsin(\mathrm{\α}-\mathrm{\δ})/Z-U^2\sin \mathrm{\α}/Z\end{array}\right.---\left(6\right)$

*表示复数运算，P为VSM输出的有功功率，Q为VSM输出的无功功率；

步骤7：求解步骤6其中滤波电路的阻抗Z和阻抗角α：

$\left\{\begin{array}{c}Z=\sqrt{{\left(\mathrm{\ω}L\right)}^2+R^2}\\ \mathrm{\α}={\tan }^{-1}(\mathrm{\ω}L/R)\end{array}\right.---\left(7\right)$

步骤8：当P＝P_ref，Q＝Q_ref时，其中P_ref、Q_ref分别为VSM输出有功功率的参考值、输出无功功率的参考值，由步骤6中表达式可求得此时对应的VSM电势E_s和VSM的功角δ_s：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_s=\mathrm{\α}-{\tan }^{-1}\left(\frac{Q_{ref}+U^2\sin \mathrm{\α}/Z}{P_{ref}+U^2\cos \mathrm{\α}/Z}\right)\\ E_s=\frac{Q_{ref}Z+U^2\sin \mathrm{\α}}{Usin(\mathrm{\α}-{\mathrm{\δ}}_s)}\end{array}\right.---\left(8\right)$

步骤9：由步骤6中的表达式得P_e小信号模型：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔP}}_e=\frac{EU}{Z}\[cos(\mathrm{\α}-\mathrm{\δ}-\mathrm{\Δ}\mathrm{\δ})-cos(\mathrm{\α}-\mathrm{\δ})\]\\ =\frac{EU}{Z}\[cos(\mathrm{\α}-\mathrm{\δ})cos\left(\mathrm{\Δ}\mathrm{\δ}\right)+\sin (\mathrm{\α}-\mathrm{\δ})\sin \left(\mathrm{\Δ}\mathrm{\δ}\right)-\cos (\mathrm{\α}-\mathrm{\δ})\]\end{array}---\left(9\right)$

由于功角的变化量很小，即Δδ→0,cos(Δδ)→1,sin(Δδ)→Δδ，步骤9表达式化简为：

${\mathrm{\ΔP}}_e=\frac{EU}{Z}sin(\mathrm{\α}-\mathrm{\δ})\mathrm{\Δ}\mathrm{\δ}---\left(10\right)$

步骤10：对步骤9中表达式进行拉普拉斯变换可得频域中二者的关系：

${\mathrm{\ΔP}}_e\left(s\right)=\frac{EU}{Z}sin(\mathrm{\α}-\mathrm{\δ})\mathrm{\Δ}\mathrm{\δ}\left(s\right)---\left(11\right)$

令同步功率系数S_E＝EUsin(α-δ)/Z，

步骤11：由步骤1可得小信号模型：

$\frac{d\mathrm{\Δ}\mathrm{\δ}}{dt}=\mathrm{\Δ}\mathrm{\ω}-{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}---\left(12\right)$

步骤12：对步骤11中的表达式做拉普拉斯变换得：

sΔδ(s)＝Δω(s)-Δω_bus(s)(13)

步骤13：分别由步骤3、10、11中的表达式得到VSM的传递函数模型，输出功率变化量ΔP_e与电网频率Δω_bus之间的关系如下：

$\frac{{\mathrm{\ΔP}}_e\left(s\right)}{{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}\left(s\right)}=-\frac{{\mathrm{J\ω}}_0{S}_{E}s}{{\mathrm{J\ω}}_0{s}^2+Ds+S_E}---\left(14\right)$

步骤14：当电磁功率在频率ΔP_e发生Δω_bus的阶跃时，根据步骤13中的传递函数，求得此时输出功率变化量ΔP_e；

${\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}\left(s\right)=\frac{{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}}{s}$

${\mathrm{\ΔP}}_e\left(s\right)=-\frac{S_{E}s}{s^2+Ds/\left({\mathrm{J\ω}}_0\right)+S_E/\left({\mathrm{J\ω}}_0\right)}\frac{{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}}{s}---\left(15\right)$

步骤15：令步骤14表达式的分母为零，求得两个极点根据D²与4Jω₀S_E的大小关系，极点分为以下三种情况：D²小于4Jω₀S_E时，有两个实部为负的共轭复数根；D²大于4Jω₀S_E时，有两个不相等的负实数根；D²等于4Jω₀S_E时，有两个相等的负实数根；所求得的在频率变化时ΔP_e.max的表达式即为储能所需配置的最小功率；

步骤16：当步骤14式有两个实部为负的共轭复极点时，对其拉普拉斯反变换ΔP_e写作：

${\mathrm{\ΔP}}_e=-\frac{2S_E{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}{\mathrm{J\ω}}_0{e}^{-\frac{D}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t}sin\left(\frac{A}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t\right)}{A}---\left(16\right)$

其中

步骤17：将步骤16中的表达式对时间求导得；

$\frac{{\mathrm{d\ΔP}}_e\left(t\right)}{dt}=\frac{S_E{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}{\mathrm{De}}^{-\frac{D}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t}sin\left(\frac{A}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t\right)}{A}-S_E{\mathrm{\Δ\ωe}}^{-\frac{D}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t}cos\left(\frac{A}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t\right)---\left(17\right)$

步骤18：令步骤17中表达式等于零，求得时间t的表达式：

$t=\frac{2{\mathrm{J\ω}}_{0}arctan(A/D)}{A}---\left(18\right)$

步骤19：将步骤18中的时间t代入步骤16得ΔP_e.max为

${\mathrm{\ΔP}}_{e.max}=-\sqrt{{\mathrm{J\ω}}_0{S}_E}{e}^{-\frac{Darctan(A/D)}{A}}{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}---\left(19\right)$

步骤20：当步骤14中的表达式有两个不相等的负实数极点时，对其拉普拉斯反变换ΔP_e写作：

${\mathrm{\ΔP}}_e=-\frac{2S_E{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}{\mathrm{J\ω}}_0{e}^{-\frac{D}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t}\sinh \left(\frac{B}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t\right)}{B}---\left(20\right)$

其中

步骤21：将步骤20中的表达式对时间求导得:

$\frac{{\mathrm{d\ΔP}}_e\left(t\right)}{dt}=\frac{S_E{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}{\mathrm{De}}^{-\frac{D}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t}\sinh \left(\frac{B}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t\right)}{B}-S_E{\mathrm{\Δ\ωe}}^{-\frac{D}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t}\cosh \left(\frac{B}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t\right)---\left(21\right)$

步骤22：令步骤21中表达式等于零，得时间t的表达式:

$t=\frac{ln\left(\frac{B+D}{-B+D}\right){\mathrm{J\ω}}_0}{B}---\left(22\right)$

步骤23：将步骤22中t代入步骤20中表达式得ΔP_e.max为

${\mathrm{\ΔP}}_{e.\max }=\frac{-2{\mathrm{J\ω}}_0{S}_E{e}^{-\frac{D\ln \left(\frac{B+D}{-B+D}\right)}{2B}}\sinh \left(\frac{1}{2}\ln \right(\frac{B+D}{-B+D}\left)\right){\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}}{B}---\left(23\right)$

步骤24：当步骤14中表达式有两个相等的负实数根时，对其拉普拉斯反变换ΔP_e写作：

${\mathrm{\ΔP}}_e=-S_E{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}{\mathrm{te}}^{-\frac{D}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t}---\left(24\right)$

步骤25：将步骤24中表达式对时间求导得:

$\frac{{\mathrm{d\ΔP}}_e\left(t\right)}{dt}=-S_E{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}{e}^{-\frac{D}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t}+\frac{S_E{\mathrm{\Δ\ωDte}}^{-\frac{D}{2{\mathrm{J\ω}}_0}t}}{2{\mathrm{J\ω}}_0}---\left(25\right)$

步骤26：令步骤25中表达式等于0，得时间t的表达式：

$t=\frac{2{\mathrm{J\ω}}_0}{D}---\left(26\right)$

步骤27：将步骤26中t代入步骤24中表达式得ΔP_e.max为

${\mathrm{\ΔP}}_{e.max}=\frac{-2{\mathrm{J\ω}}_0{S}_E{e}^{-1}{\mathrm{\Δ\ω}}_{bus}}{D}---\left(27\right).$